資源簡介

(共31張PPT)
第23講　對數與對數函數
第5章　
指數函數與對數函數
能力層級
考試內容　　　 了解 理解 掌握
對數 對數的概念，自然對數與常用對數，積、商、冪的對數及運算法則.
(2024，T39；2022，T41) 指數式與對數式的互化.
能力層級
考試內容　　　 了解 理解 掌握
對數函數 對數函數的概念. 對數函數的圖像和性質，能解決簡單問題.
(2024，T54；2023，T55；2022，T50，T59)
對數函數的應用 從實際情境中抽象出對數函數模型解決簡單實際問題的方法.
復習建議：
1.考情小結：此知識點高考每年必考，難度中等，分值4分.
2.備考攻略：同學們要非常熟悉積、商、冪的對數及運算法則，掌握對數函數的圖像和性質，特別在沒有指明a的情況時，一定要考慮a＞1和0＜a＜1兩種情況.
1.對數的概念
一般地，如果ab＝N(a＞0且a≠1)，那么稱b為以a為底N的對數，
記作b＝logaN，其中：a稱為底數；N稱為真數，真數N＞0.
考點1
對數
2.指數式與對數式的互化
ab＝N b＝logaN(a＞0且a≠1，N＞0)
3.對數的性質(a＞0且a≠1)
(1)loga1＝0；(2)logaa＝1；(3)N＞0，即零和負數沒有對數.
1.常用對數和自然對數
(1)以10為底的對數叫作常用對數，記作lg N(N＞0)，即log10N＝lg N.
(2)以無理數e(e＝2.718 28…)為底的對數叫作自然對數，記作
ln N(N＞0)，即logeN＝ln N.
考點2
對數運算
跟蹤訓練2　已知a＝lg 2，b＝lg 3，用a，b表示lg 24.
【試題分析】 利用對數的積、商、冪運算公式運算.
【解題過程】 lg 24＝lg(23×3)＝lg 23＋lg 3＝3lg 2＋lg 3＝3a＋b.
1.對數函數的概念
形如y＝logax的函數叫作對數函數，其中常數a＞0且a≠1.
考點3
對數函數的圖像和性質
2.對數函數y＝logax(a＞0且a≠1)的圖像和性質
(1)對數函數圖像和性質；
a的取值 a＞1 0＜a＜1
圖像
性質 定義域：(0，＋∞)
值域：(－∞，＋∞)
a的取值 a＞1 0＜a＜1
性質 定點：(1，0)
奇偶性：非奇非偶函數
單調性：在(0，＋∞)上是增函數 單調性：在(0，＋∞)上是減函數
0＜x＜1時，y∈(－∞，0)；
x＞1時，y∈(0，＋∞). 0＜x＜1時，y∈(0，＋∞)；
x＞1時，y∈(－∞，0).
例4　 (2024·安徽職教高考真題)若指數函數 y＝(2a－1)x 是R
上的增函數，則函數y＝loga(x＋1)的圖像可能是(　　　)
A B C D
【答案】 A
【試題分析】 本題考查指數函數、對數函數的知識.做題時，首先根據指數函數y＝(2a－1)x 是R上的增函數，確定a的取值范圍，進而能夠確定y＝logax的增減性和圖像，函數y＝loga(x＋1)的圖像是由y＝logax向左平移1個單位得到的.根據以上分析，進而可以確定答案.
【解題過程】 因為指數函數 y＝(2a－1)x 是R 上的增函數，所以2a－1＞1，即a＞1.所以y＝logax在x＞0上是增函數，然后再往左平移1個單位，即可確定A選項正確，故選A.
跟蹤訓練3　已知a＞0且a≠1，解不等式：loga(x－2)＞loga(2x＋1).
【試題分析】 本題考查解對數不等式的知識.需要注意兩點，一是對數本身有意義；二是考慮對數的單調性解不等式.
【解題過程】 (1)當a＞1時，對數函數y＝logax是增函數，所以x－2＞2x＋1＞0，解得x＜－3且x＞2，所以x∈ ；(2)當0＜a＜1時，對數函數y＝logax是減函數，所以0＜x－2＜2x＋1，解得x＞2，所以x∈(2，＋∞).
在前一節中所講的指數型函數中，求其中指數時，就需要轉化為對數函數來求解，這就是對數函數的實際應用情況.
考點4
對數函數的實際應用
例6　探測某片森林知道，可采伐的木材有10萬立方米，該片森林的年平均增長率為8%，計算經過多少年，可采伐的木材能達到40萬立方米.(參考數據：lg 2≈0.301 0，lg 1.08≈0.033，計算結果按照進一法取整數).
【試題分析】 本題考查對數函數的實際應用.設經過x年可采伐的木材達到40萬立方米，根據指數增長型函數，由題意得：y＝10(1＋8%)x，y＝40時，把指數寫成對數，根據參考數據，求出x的值.
跟蹤訓練4　某工廠2019年生產某產品2萬件，計劃從2020年開始每一年比上一年增產20%，則這家工廠生產這種產品的年產量超過6萬件的起始年份是(參考數據：lg 2≈0.301 0，lg 3≈
0.477 1)(　　　)
A.2023 B.2024
C.2025 D.2026
D
D
【試題分析】 本題考查分段函數的知識.
【解題過程】 由f(－a)＝3，得出a＝2，所以f(4)＝log24＝2，故選D.
【試題分析】 要考慮分母是對數式，對數式本身要有意義且分母不為0；分子是二次根式，被開方數要大于等于0.
【解題過程】 要使函數有意義，則4－x≥0且x－2＞0且
lg (x－2)≠0，解得：x∈(2，3)∪(3，4].
3.(改編)判斷函數f(x)＝log3(x＋3)＋log3(3－x)的奇偶性.
【試題分析】 首先考慮函數的定義域，再判斷f(－x)的結果.
【解題過程】 函數有意義，則x＋3＞0且3－x＞0，解得x∈
(－3，3)，因為f(－x)＝log3(3－x)＋log3(x＋3)＝f(x)，所以函數是偶函數.
4.解不等式：lg(x＋2)＋lg(x－1)＞1
【試題分析】 首先考慮不等式有意義，左邊再化簡成lg (x2＋x－2)，利用對數的單調性解不等式.
【解題過程】 要使不等式有意義，則x＋2＞0，x－1＞0，所以x＞1，且lg (x2＋x－2)＞lg 10，所以x2＋x－2＞10解得x＜－4或x＞3，綜上，故x∈(3，＋∞).

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