資源簡介

(共41張PPT)
第28講　平面
第7章　
簡單幾何體與立體幾何
能力層級
考試內容　　　 了解 理解 掌握
平面的特征和表示 平面的概念. 平面與平面圖形區別. 平面的表示方法.
空間中點與線、面的關系及符號表示 空間中點、線、面關系. 空間中點、線、面關系的符號表示.
平面的基本性質 平面性質的三個公理.
復習建議：
1.考情小結：平面的基本性質近5年來沒有直接考查.但本講內容是學習立體幾何的基礎知識，是學生從二維認識到三維認識的起點知識.
2.備考攻略：本講內容貫穿于整個立體幾何學習過程，學好平面的基本性質是學好立體幾何知識的前提.
1.平面的特征
數學中的平面具有平和無限延展的特征.可以向各個方向無限
延展.
考點1
平面的特征和表示
2.平面的表示
(1)通常我們用平行四邊形、三角形、圓等平面圖形來表示.
(2)為了敘述方便，常常把幾何對象用字母表示.平面可以用小寫希臘字母α、β、γ、…
表示，也可以用多邊形的頂點字母表示.
例1　下列說法正確的個數是(　　　)
(1)教室的黑板面是一個長2 m，寬1 m的平面；
(2)籃球的球面是平面的一部分；
(3)把兩個平面疊加一起比一個平面要厚.
A.3 B.2
C.1 D.0
【答案】 D
【試題分析】 本題考查平面的特征.平面是抽象的，是平的且向各個方向無限延展.沒有具體的面積和厚薄.
【解題過程】 根據平面的特征，黑板面只是平面的一部分不是平面，說法(1)錯誤；平面是平的，籃球球面是曲面，說法(2)錯誤；平面沒有厚薄之分，無論多少個平面疊加在一起都一樣，說法(3)錯誤，故選D.
跟蹤訓練1　下列說法正確的是(　　　)
A.平面形狀是多樣的，如平行四邊形、三角形、圓形等
B.兩個平面的面積之和要比其中一個平面面積要大
C.平面圖形是平面的一部分，常常代表平面
D.光滑的圓柱的側面是平面
C
【試題分析】 本題考查平面的特征，弄清平面的特征，區分平面與平面圖形是關鍵.
【解題過程】 平面是無限延展，沒有形狀；平面圖形是平面的一部分，代表平面，其形狀是多樣的；平面是平的，圓柱的側面是曲面不是平面.
例2　如圖所示平行四邊形ABCD表示平面，則下列平面表示錯誤的是(　　　)
A.平面α B.平面ABCD
C.平面AB D.平面AC
【答案】 C
【試題分析】 本題考查平面的字母表示.平面若用平行四邊形表示，則可以用小寫希臘字母或頂點字母表示，不可用連續的兩個頂點字母表示.
【解題過程】 根據平面表示的規則，平面AB不符合要求，故選C.
跟蹤訓練2　下列圖形中不能用來表示平面的是(　　　)
A. B. C. D.
B
【試題分析】 本題考查平面的表示，平面只能用平面圖形表示.
【解題過程】 長方體不是平面圖形，不能表示平面.
1.空間中點與線、面的關系
直線和平面均可看作由無數個點組成的點集.一個點要么在已知直線上，要么不在已知直線上；同樣，一個點要么在已知平面內，要么不在已知平面內.點在直線上又可稱為直線經過點；同樣，點在平面內又可稱為平面經過點.點不在直線上可稱為直線不經過點或點在直線外.點不在平面內可稱為平面不經過點或點在平面外.
考點2
空間中點與線、面的關系及符號表示
2.空間中點與線、面關系符號表示
點P在直線l上 點P不在直線l上 點P在平面α內 點P不在平面α內

P∈l P l P∈α P α
例3　“點A在直線m外；點O在平面ABCD內”用符號語言表示.
【試題分析】 本題考查空間中點與線、面的關系符號表示.直線與平面都是點的集合，點與直線和平面的位置關系符號表示就是元素與集合的關系.
【解題過程】 點A在直線m外，即點A不在直線m上，符號表示：A m；點O在平面ABCD內，符號表示：O∈平面ABCD.
跟蹤訓練3　如圖所示，下列關系表示錯
誤的(　　　)
A.P 平面α B.A∈平面α
C.A∈直線l D.P 直線l
D
【試題分析】 本題考查點與線、面位置關系及符號表示，結合圖形觀察位置關系，用符號正確表示.
【解題過程】 點P在直線l外，符號表示：P 直線l.
1.公理1　
經過不在同一條直線上的三點，有且
只有一個平面.這個公理也可以說成
“不共線的三點確定一個平面”.
如圖所示，點A、B、C不共線.由公理1可知，存在唯一的平面α，使得A∈α，B∈α，C∈α.
考點3
平面的基本性質
2.公理2
如果一條直線上有兩個點在一個平面內，那么這條直線上的所有點都在這個平面內.
當一條直線上的所有點都在平面內時，稱直線在平面內，或者說平面經過直線.直線l在平面α內可表示為l α.當直線l不在平面α內時，表示為l α，此時直線與
平面有一個公共點或沒有公共點.
如圖所示，由A∈α，B∈α，
可知AB α.
3.三個推論
由公理1、2得到以下結論：
推論1　經過一條直線和該直線外一點有且只有一個平面.
如圖1所示，A l，存在唯一的平面α，使得A∈α，l α.
圖1
推論2　經過兩條相交直線有且只有一個平面.
如圖2所示，直線m與直線n相交于點A，存在唯一的平面α，使得m α，n α.
推論3　經過兩條平行直線有且只有一個平面.
如圖3所示，m∥n，存在唯一的平面α，使得m α，n α.
圖2　　　　　　　　 　圖3
4.公理3
如果兩個平面有一個公共點，那么它
們有且只有一條經過該點的公共直線.
當平面α與平面β相交于直線l時，記作
α∩β＝l.
如圖所示，A∈α，A∈β，存在唯一的
直線l，使得A∈l，α∩β＝l.
例4　下列說法正確的是(　　　)
A.經過空間的任意三個點，只能確定一個平面
B.三條直線相交，最多可確定兩個平面
C.一條直線和這條直線外的一點，可以確定一個平面
D.四條線段首尾相連，所得的圖形一定是平面圖形
【答案】 C
【試題分析】 本題考查平面的基本性質.確定平面依據是公理1、2和三個推論，要注意依據中的條件.
【解題過程】 不共線的三點確定一個平面，A選項錯誤；三條直線相交，每兩個直線確定一個平面，故最多可確定三個平面，B選項錯誤；四條線段首尾相連，所得的圖形也可以是空間四邊形，D選項錯誤；根據推論1，C選項正確，故選C.
跟蹤訓練4　在空間中，可以確定一個平面的條件是(　　　)
A.四個點不共線
B.兩條直線不垂直
C.三條直線相互平行
D.三條直線，它們兩兩相交，但不交于同一點
D
【試題分析】 本題考查平面的基本性質——共面，弄清公理1與三個推論是關鍵.
【解題過程】 四個點中某個點可以與另外三個點所確定的平面不共面；兩條直線不垂直不能確定兩條直線一定是平行或相交；三條直線相互平行時，某一條直線可以與另外兩條直線所確定的平面不共面；由公理1可知，D選項正確.
例5　若平面α與平面β滿足：α∩β＝m，α∩β＝A，則點A與直線m關系正確的是(　　　)
A.A m B.A∈m
C.m A D.m∈A
【答案】 B
【試題分析】 本題考查平面的基本性質.兩個平面相交有交線，有交點，且交點一定在交線上.
【解題過程】 α∩β＝m表示平面α與平面β的交線是直線m，α∩β＝A，表示平面α與平面β的交點是點A，點A在直線m上，符號表示是：A∈m，故選B.
跟蹤訓練5　下列圖形正確表示兩個平面α，β相交于直線l的是
(　　　)
A.① B.①③
C.①②④ D.②④
D
【試題分析】 本題考查平面的基本性質——兩個平面相交，弄清公理3是關鍵.
【解題過程】 兩個平面相交，必有交線且畫圖要畫出來，平面被遮擋時要畫虛線或不畫，故②④畫法正確的.
1.(原創)關于平面的特征理解正確的是(　　　)
A.平面是具體的，現實中存在平面
B.平面圖形是平面的具體化的體現
C.廣袤平坦的大草原是平面
D.平面的形狀是多姿多彩的
B
【試題分析】 本題考查平面特征，解題時一定抓住平面的“平”“無限延展”兩個重要特征.
【解題過程】 平面和直線一樣是抽象的，不是具體的，現實中不存在；平面圖形是平面的一部分，是平面的具體化體現，故選B.
2.(改編)下列圖形不能代表平面的是(　　　)
A. B. C. D.
D
【試題分析】 本題考查平面的表示，解題時首先明確平面只能用平面圖形表示.
【解題過程】 圓柱不是平面圖形，不能表示平面，故選D.
3.(改編)如圖所示，下列表示的關系不正確
的是(　　　)
A.α∩β＝l B.A l
C.C β D.B β
【試題分析】 本題考查空間中點與線、面位置關系及符號表示，解題時首先看懂圖形表示，正確使用符號表示.
【解題過程】 通過圖形可以看出點C在平面β內，符號表示是：C∈β，其余選項表示位置關系和符號表示都是正確的，故選C.
C
4.(原創)若空間中存在不同點A，B，直線l與平面α，滿足條件
A∈l，l α，則下列說法正確的是(　　　)
A.A α B.若B∈l，A∈α，則B α
C.若B∈α，則B l D.若B α，則B l
B
【試題分析】 本題考查平面的基本性質——公理2，直線上至少有兩個點在平面內，則這條直線在平面內，否則直線在平面外.
【解題過程】 l α則直線l不存兩個或兩以上點在平面α內，但直線l與平面α可以有最多一個交點，A選項中點A可以在平面α內；C選項中若A α，則點B可以在直線l上；D選項中，B α時點B可以在線l，故選B.
5.(改編)若直線a，b，c滿足a∥b，a∩c＝A，b∩c＝B，則a，
b，c確定的平面數為(　　　)
A.0 B.1
C.2 D.1或2
B
【試題分析】 本題考查平面的基本性質——公理2和推論3，解題時先利用推論3確定兩條平行的直線共面，再利用公理2確定第三條直線和它們共面.
【解題過程】 由a//b得直線a、b確定一個平面(假如是平面α)，直線c上兩點A、B都在平面α內，從而得出直線c也在平面α內，故選B.
6.(原創)根據語言描述，寫出符號表示直線l不是平面α與平面β的交線，但點A是平面α與平面β的交點__________________.
α∩β≠l，A∈(α∩β)
【試題分析】 本題考查空間中點與線、面位置關系符號表示，解題時可以結合集合中的符號表示.
【解題過程】 直線l不是平面α與平面β的交線：α∩β≠l，點A是平面α與平面β的交點：A∈(α∩β).
7.(原創)請添加條件(用符號表示)使得下列結論成立
(1)過直線m與點A確定一個平面：____________；
(2)過無公共點的兩條直線a與直線b確定一個平面：________.
A m　
a//b
【試題分析】 本題考查平面的基本性質——共面，解題時不要忘記三個推論中的條件.
【解題過程】 過直線m與點A確定一個平面，這個點在直線
外；過無公共點的兩條直線a與直線b確定一個平面，這兩條直線平行.
8.(原創)平面α不經過直線m，但直線m與平面α和平面β的交線l交于點O，點A在直線m上且在平面β內.
(1)用符號表示上述語言描述內容；
(2)判斷點A與平面α，直線m與平面β的關系.
【試題分析】 本題考查空間中點與線、面位置關系符號表示.解題時根據點、線、面位置關系語言描述，正確選擇符號表示.
【解題過程】 (1)平面α不經過直線m：m α，平面α與平面β的交線是l：α∩β＝l，直線m與交線l交于點O：m∩l＝O，點A在直線m上且在平面β內：m∩β＝A.
(2)由m α得直線m與平面最多有一個交點，由α∩β＝l，m∩l＝O得m∩α＝O，由m∩β＝A得A∈m，故點A不可能在平面α內：A α.由α∩β＝l，m∩l＝O得m∩β＝O，再由m∩β＝A得m β.

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