資源簡介

(共34張PPT)
第26講　圓的方程
第6章　直線與圓的方程
能力層級
考試內容　　　 了解 理解 掌握
圓的方程 圓的定義.
二元二次方程表示圓的條件和圓的一般方程.
(2023，T37) 圓的標準方程.
(2024，T42)
復習建議：
1.考情小結：圓的標準方程、圓的一般方程近三年涉及2次，
屬于高頻考點，主要考查由圓的標準方程、一般方程求圓心坐標及半徑，由給定條件寫出圓的標準方程.題目難度適中，分值4分.
2.備考攻略：待定系數法求圓的一般方程學有余力的同學可以掌握.
1.圓的定義
圓是平面內到定點的距離為定長的動點的軌跡，定點稱為圓心，定長稱為半徑.
考點1
圓的定義與圓的標準方程
2.圓的標準方程
在平面直角坐標系中，圓心為C(a，b)，半徑為r的圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.若圓心在坐標原點O(0，0)處，則半徑為r的圓的標準方程為x2＋y2＝r2.
例1　(2024·安徽職教高考真題)以點(1，－1)為圓心，且過坐標原點的圓的方程為(　　　)
A.(x－1)2＋(y＋1)2＝4 B.(x＋1)2＋(y－1)2＝4
C.(x－1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x＋1)2＋(y－1)2＝2
【答案】 C
【試題分析】 本題考查圓的標準方程.首先根據(1，－1)為圓心，排除B、D選項，再結合圓過坐標原點，代入A、C選項，利用排除法即可求出答案.
【解題過程】 因為點(1，－1)為圓心，所以B、D選項錯誤，又因為圓過坐標原點，所以A選項錯誤，故選C.
例2　(2021·安徽職教高考真題)以點C(－5，2)為圓心，5為半徑的圓的標準方程為(　　　)
A.(x－5)2＋(y＋2)2＝5 B.(x－5)2＋(y＋2)2＝25
C.(x＋5)2＋(y－2)2＝5 D.(x＋5)2＋(y－2)2＝25
【答案】 D
【試題分析】 本題考查圓的標準方程.
【解題過程】 根據圓的標準方程，本題中a＝－5，b＝2，r＝5，故所求方程為(x＋5)2＋(y－2)2＝25，故選D.
例3　(真題)已知點A(－1，2)，B(3，0)，則以線段AB的中點為圓心，1為半徑的圓的方程是(　　　)
A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x－2)2＋(y－2)2＝1
C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 D.(x＋2)2＋(y＋2)2＝1
【答案】 A
【試題分析】 本題考查圓的標準方程、線段的中點坐標公式.根據線段的中點坐標公式求得圓心.
跟蹤訓練1　(改編)已知圓上的兩個點分別為A(2，5)，B(4，3)，且圓心在直線x＋y－3＝0上，求該圓的標準方程.
【試題分析】 本題考查求圓的標準方程.根據圓心在直線x＋y－3＝0上，可設出圓心坐標，而圓經過A(2，5)，B(4，3)，則圓心到A、B兩點的距離相等，都等于半徑，從而建立等式，求出圓心坐標與半徑.
考點2
圓的一般方程
例5　(2023·安徽職教高考真題)過三點A(0，0)，B(－4，0)，C(0，－2)的圓的方程是(　　　)
A.(x＋2)2＋y2＝5 B.x2＋(y＋1)2＝5
C.(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 D.(x＋1)2＋(y＋2)2＝5
【答案】 C
【試題分析】 本題考查圓的方程.利用待定系數法設出圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，把A(0，0)，B(－4，0)，C(0，
－2)代入，解三元一次方程組，可以求得D，E，F的值.
跟蹤訓練2　(改編)若圓的方程為x2＋y2＋8y＝0，則該圓的面積
為(　　　)
A.2 B.4
C.16π D.8π
C
【試題分析】 本題考查由圓的一般方程求圓的半徑.由圓的方程
為x2＋y2＋8y＝0，可以求出半徑，再由圓的面積公式可以求解.
1.點和圓的位置關系的判斷
(1)幾何法：比較點到圓心的距離d與圓的半徑r的大小關系：
①當d＜r時，點在圓內；②當d＝r時，點在圓上；③當d＞r時，點在圓外.
(2)根據點的坐標p0(x0，y0)與圓的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的關系進行判斷：
④當(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，點在圓內；⑤當(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，點在圓上；⑥當(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，點在圓外.
2.圓外一點到圓上點的最短距離與最長距離
設點P為圓C外一點，點P到圓心C的距離為d，圓C的半徑為r，則點P到圓上一點的最長距離是d＋r，最短距離是d－r.
C
【試題分析】 本題考查求圓的標準方程.由圓的標準方程易得圓心坐標與半徑.
2.(原創)已知圓的方程為x2＋y2＝5，則點(2，0)與圓的位置關系
是(　　　)
A.圓內 B.圓上
C.圓外 D.不能確定
A
3.(改編)已知兩點A(－2，3)和B(4，5)，則以AB為半徑，點A為
圓心的圓的標準方程是(　　　)
A.(x＋2)2＋(y－3)2＝20 B.(x＋2)2＋(y－3)2＝40
C.(x－2)2＋(y－3)2＝20 D.(x－2)2＋(y＋3)2＝40
B
【試題分析】 本題考查求圓的標準方程.因為AB為半徑，所以可根據兩點間的距離公式求得半徑，再根據點A為圓心可寫出圓的標準方程.
4.(改編)二元二次方程x2＋y2－2x－6y－m2＝0表示的是(　　　)
A.圓 B.點
C.不表示任何圖形 D.根據m的值來確定
A
【試題分析】 本題考查二元二次方程表示圓的條件.根據D2＋E2－4F與0的大小關系來判斷此方程表示的圖形.
【解題過程】 由二元二次方程x2＋y2－2x－6y－m2＝0可得D＝－2，E＝－6，F＝－m2，所以D2＋E2－4F＝(－2)2＋(－6)2＋4m2＝4m2＋40＞0，所以此方程表示一個圓，故選A.
5.(改編)已知圓的方程為x2＋y2－2x＋4y－4＝0，則圓心坐標是
___________，半徑長為________.
(1，－2)　
3
【試題分析】 本題考查求圓的標準方程.因為PQ為直徑，所以可根據兩點間的距離公式求得半徑，再根據中點坐標公式求圓心坐標，從而得圓的標準方程.
7.(改編)求過三點A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)的圓的一般方程，并求圓的圓心坐標和半徑長.
【試題分析】 本題考查求圓的一般方程.利用待定系數法設出圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，把A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)三點代入，解三元一次方程組，可以求得D，E，F的值，再由公式得圓心坐標及半徑.
8.(改編)已知方程x2＋y2－4x－16y＋3k＝0表示圓，求實數k的取值范圍，并求出圓心坐標和圓的半徑.
【試題分析】 本題考查二元二次方程表示圓的條件.根據D2＋E2－4F＞0表示圓來建立關于k的方程，求k值，再由公式得圓心坐標與半徑.

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