資源簡介

(共40張PPT)
第29講　直線與直線的位置關系
第7章　
簡單幾何體與立體幾何
能力層級
考試內容　　　 了解 理解 掌握
共面直線 空間中直線與直線的位置關系. 共面直線的類型及判斷. 平行直線的性質及相交直線的夾角的取值范圍.
異面直線 異面直線所成的角的概念.
(2023，T50) 異面直線的定義及判定方法. 異面直線垂直的判定方法.
復習建議：
1.考情小結：本講知識近三年考查1次，內容為異面直線所成角的大小計算.
2.備考攻略：本講內容是學習直線與平面位置關系及度量和平面與平面位置關系及度量的基礎.
1.空間中直線與直線的位置關系
(1)異面直線：一般地，把不同在任何一個平面內的兩條直線稱為異面直線.
(2)共面直線：相交或平行的兩條直線稱為共面直線.
考點1
共面直線
2.平行直線
(1)定義：同一平面內兩條直線沒有公共點稱為平行直線.
(2)平行直線的傳遞性：空間中平行于同一條直線的所有直線都互相平行，這稱為平行直線的傳遞性.
(3)規定：兩條平行直線所成的角為0.
5.等角定理
如果兩條相交直線l1與l2分別平行于另外兩條相交直線l'1與l'2，那么l1與l2所成的角和l'1與l'2所成的角相等.
例1　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1
中，點M，N分別是A1D1和A1B1的中點.
(1)判斷直線AB與BD、直線AB與A1B1、直線
AB與B1D1的位置關系；
(2)求證：MN∥BD；
(3)求MN與B1D1、MN與A1B1所成的角大小分別為多少.
跟蹤訓練1　在正方體ABCD－A1B1C1D1
中，如圖所示.
(1)判斷直線AA1與CC1、直線AA1與AC、
直線AA1與B1D1的位置關系；
(2)求證：AB∥C1D1；
(3)求BD與B1D1、A1C1所成角的大小分別是多少.
【試題分析】 本題考查空間中線線位置關系判斷、平行線的傳遞性和共面直線所成角大小.
【解題過程】 (1)直線AA1與CC1是正方形的兩個對邊，故是平行直線；直線AA1與AC只有一個公共點A，故是相交直線；直線AA1與B1D1既不平行又不相交，故是異面直線.
(2)由ABCD是正方形得：AB//CD，CC1D1D是正方形得：CD//C1D1，由平行線的傳遞性可得：AB//C1D1.
1.異面直線的定義
一般地，把不同在任何一個平面內的兩條直線稱為異面直線.
考點2
異面直線
2.異面直線的判斷
定理：過平面外一點和平面內一點的
直線，與平面內不經過該點的直線是
異面直線.
如圖所示，M∈n且M α，P∈n且
P∈α，m α，P m，m和n是異面直線.
注意：畫異面直線時，通常利用平面“襯托”：表示兩條異面直線的線段分別畫在不同的平面內，并且使它們既不相交也不平行，如圖所示：
3.異面直線所成的角
(1)定義：已知兩條異面直線a與b，如圖1所示.在空間上任取一點P，過點P作a'∥a，b'∥b，得到兩條相交直線a'和b'，如圖2所示，相交直線a'與b'所成的角θ稱為異面直線a與b所成的角.
圖1　　　　　　　　　圖2
注意：在作異面直線a與b所成的角時，常在其中的一條直線上取一點O，過點O作另一條直線的平行線，如圖3所示.相交直線a'與b所成的角即為異面直線a與b所成的角.
圖3
4.異面直線的距離
(1)與兩條異面直線同時垂直且相交的直線稱為這兩條異面直線的公垂線.兩條異面直線的公垂線有且只有一條.
(2)兩條異面直線的公垂線夾在兩條異面直線之間的部分，稱為這兩條異面直線的公垂線段，公垂線段的長度稱為兩條異面直線的距離.
例2　已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長
為1，如圖所示.
(1)判斷直線A1C1與BC的位置關系；
(2)求直線A1C1與BC所成角的大??；
(3)求異面直線A1B1與AD的距離.
【試題分析】 本題考查異面直線的判斷、求異面直線所成角和求異面直線的距離.判斷兩條直線是否異面，除了定義外，定理也是重要依據；求異面直線所成角的關鍵是找“第三條直線”與異面直線其中一條直線平行，與另一條直線相交所成的角即為異面直線所成角；求兩條異面直線的距離關鍵找到它們的公垂線段.
(3)因為正方體ABCD－A1B1C1D1的六個面都是正方形，所以AA1⊥A1B1，AA1⊥AD，且AA1∩A1B1＝A1，AA1∩AD＝A，所以線段AA1是異面直線A1B1與AD的公垂線段.因為AA1＝1，所以異面直線A1B1與AD的距離等于1.
1.空間中兩條直線有三種位置關系：相交、平行、異面，因此判斷兩條直線是否異面，可以依據既不平行也不相交來認定.
2.兩條異面直線所成角的定義提供了求兩條異面直線所成角的重要方法：平移法——將兩條直線或其中一條平移(找出平行線)至它們相交，把異面轉化為相交.
1.(原創)若空間中兩條直線沒有公共點，則這兩條直線(　　　)
A.平行 B.共面
C.異面 D.平行或異面
D
【試題分析】 本題考查空間直線的位置關系.
【解題過程】 兩條直線平行或異面時都沒有公共點，故選D.
D
B
4.(原創)若平面α∩平面β＝l，直線AB 平面α，直線AB∩l＝M，
C∈β，如圖所示，則下列說法正確的是(　　　)
A.過點C的直線與直線AB位置關系一定是異面直線
B.在平面β內，過點C的所有直線與直線AB
位置關系都是異面直線
C.在平面β內，過點C的直線與直線AB位置
關系不可能是平行
D.在平面β內，過點C的直線若與直線l相交，
則該直線與直線AB位置是異面直線
C
【試題分析】 本題考查異面直線的判斷.
【解題過程】 在平面β內，過點C的直線：若與直線l相交，交點是M點則與直線AB相交，交點不是M點則與直線AB異面；若與直線l平行則與直線AB異面，總之不可能是平行，故選C.
5.(原創)已知兩條異面直線a與b，關于它們的公垂線下列說法
正確的是(　　　)
A.只要與a與b都垂直的直線都是它們的公垂線
B.直線a與b的公垂線有無數條
C.直線a與b的公垂線線段長是它們的距離
D.直線a與b的公垂線與直線a與b都垂直且相交
D
【試題分析】 本題考查異面直線距離.
【解題過程】 與兩條異面直線a與b都垂直且相交才能是它們的公垂線.夾在兩條異面直線a與b之間的公垂線段長才是它們的距離，故選D.
6.(原創)如圖所示，在長方體
ABCD－A1B1C1D1中，與直線AB平
行的棱有________條.
3
【試題分析】 本題考查平行直線的判斷.
【解題過程】 與直線AB平行的棱有CD、A1B1、C1D1.
7.(原創)如圖所示，在長方體ABCD－
A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，則
異面直線A1C1與BD的距離是________.
2
【試題分析】 本題考查異面直線的距離.
【解題過程】 分別取A1C1與BD中點O1、
O，連接O1O.，則O1O與異面直線A1C1、BD都垂直且相交，故O1O是異面直線A1C1與BD的公垂線段，其長度2即為異面直線A1C1與BD的距離.
8.(原創)如圖所示，已知棱長為4的正方
體ABCD－A1B1C1D1，M、N分別是AA1
和A1B1的中點.
(1)判斷MN與B1C1的位置關系；
(2)求異面直線MN與DC所成角的大?。?br/>(3)求異面直線MN與BC的距離.

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