資源簡介

(共42張PPT)
第31講　平面與平面的位置關系
第7章　
簡單幾何體與立體幾何
　能力層級
考試內容　　　 了解 理解 掌握
平面與平面
的位置關系 空間中平面與平面的位置關系類型. 空間中平面與平面的位置關系. 平面與平面的位置關系表示.
平面與平面平行 平面與平面平行的定義. 平面與平面平行判定定理和性質定理. 線線平行、線面平行和面面平行相互轉
化.
二面角 二面角及其平面角的定義. 二面角的平面角的意義. 二面角的平面角的計算.
平面與平面垂直 平面與平面垂直的概念. 平面與平面垂直的判定定理和性質定理.(2022，T56) 線線垂直、線面垂直和面面垂直相互轉
化.
復習建議：
1.考情小結：空間中平面與平面的位置關系是必考內容，近三年考查1次，考查了面面垂直的判斷.
2.備考攻略：本講內容是直線與平面位置關系及度量延續學習，也是空間中線面彼此位置關系學習的收尾.
1.兩個平面相交
兩個平面有一條公共直線時，稱兩個平面相交.
如圖所示，平面α與平面β相交于直線l，記
作α∩β＝l.
注意：畫兩個平面相交時，一定要把交線畫出來.
考點1
平面與平面的位置關系
2.兩個平面平行
兩個平面沒有公共點時，稱兩個平面平行.
如圖所示，平面α與平面β平行，記作α∥β，此時α∩β＝ .
注意：畫兩個平面平行時，要使表示平面的兩個平行四邊形的對應邊平行.
例1　若平面α∥平面β，直線a α，則直線a與平面β的位置關系是(　　　)
A.平行 B.異面
C.相交 D.平行或相交
【答案】 A
【試題分析】 本題考查平面與平面平行的定義和直線與平面的位置關系.
【解題過程】 平面α∥平面β得平面α與平面β沒有公共點，則平面α內的直線a與平面β沒有公共點，由直線與平面的位置關系可知：直線a與平面β的位置關系是平行，故選A.
跟蹤訓練1　若平面α∥平面β，直線l∥平面α，則(　　　)
A.l∥β B.l β
C.l與β相交 D.l∥β或l β
D
【試題分析】 本題考查直線與平面平行和平面與平面平行的知識.
【解題過程】 若直線l與平面β相交，則由平面α∥平面β得直線l與平面α相交，這與已知條件直線l∥平面α相矛盾.故選D.
1.判定定理
如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面互相平行.
考點2
平面與平面平行
如圖所示，已知：m β，n β，且m∩n＝P，m∥α，n∥α，則α∥β.
重要結論：如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線，那么這兩個平面互相平行.
2.性質定理
如果兩個平行平面同時和第三個平面相
交，那么兩條交線互相平行.
如圖所示，已知：α∥β，γ∩α＝m，γ∩β
＝n，則m∥n.
重要結論1：如果兩個平面平行，那么其
中一個平面內的直線必平行于另一個平面.
重要結論2：如果一條直線與兩個平行平面中的一個平面垂直，那么它也與另一個平面垂直.
例2　如圖所示，已知長方體ABCD－A1B1C1D1，M，N，P分別是AA1，A1B1，CD的中點.
(1)判斷平面MNP與平面AB1C的位置關系；
(2)判斷直線MP與平面AB1C的位置關系.
【試題分析】 本題考查平面與平面平行的判定和性質.利用面面平行的判定定理和性質定理解決簡單問題.
【解題過程】 (1)在△AA1B1中，M，N分別是AA1和A1B1的中點，則MN∥AB1，MN 平面AB1C，AB1 平面AB1C，由線面平行的判定定理得：直線MN∥平面AB1C，
由N，P分別是A1B1，CD的中點得：B1N＝PC，又由正方體的性質得：B1N∥PC，則B1NPC是平行四邊形，故B1C∥NP，由NP 平面AB1C，B1C 平面AB1C，由線面平行的判定定理得：直線NP∥平面AB1C.因為MN 平面MNP，NP 平面MNP，且MN∩NP＝N，由面面平行的判定定理得：平面MNP∥平面AB1C.
(2)由(1)可知平面MNP∥平面AB1C，MP 平面MNP，故直線MP∥平面AB1C.
跟蹤訓練2　如圖所示(見下頁)，已知正方體ABCD－A1B1C1D1，M，N，H分別是A1B1，A1D1，AB的中點.
(1)判斷平面B1D1H與平面AMN的位置關系；
(2)判斷直線D1H與平面AMN的位置關系.
【試題分析】 本題考查平面與平面平行的判
斷和性質.同時考查直線和平面平行的知識.
【解題過程】 (1)在△A1B1D1中，M，N分別是A1B1和A1D1的中點，則MN//B1D1，MN 平面B1D1H，B1D1 平面B1D1H，由線面平行的判定定理得：直線MN//平面B1D1H.
由H是AB的中點得：B1M＝AH且B1M//AH，則AHB1M是平行四邊形，故B1H//AM，由AM 平面B1D1H，B1H 平面B1D1H，由線面平行的判定定理得：直線AM//平面B1D1H.因為MN，AM 平面AMN，且MN∩AM＝M，由面面平行的判定定理得：平面B1D1H//平面AMN.
(2)由(1)可知：平面B1D1H//平面AMN，而D1H 平面B1D1H，故直線D1H//平面AMN.
1.定義及表示
平面內的一條直線把這個平面分成兩部分，其中的每一部分都稱為半平面.從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，這兩個半平面稱為二面角的面.
考點3
二面角
根據二面角的不同擺放位置，常常把二面角畫成4種圖形.如圖所示，
當二面角的棱為l，兩個面分別為α、β時，二面角記為α－l－β.圖(4)所示的二面角也可記為A－BD－C.
2.二面角的平面角
(1)定義
如圖所示，在二面角α－l－β的棱l上任取一點O，分別在兩個面內作垂直于棱l的射線OA、OB，射線OA、OB所成的最小正角稱為這個二面角的平面角.用二面角的平面角的大小度量二面角的大小.
圖中，平面角∠AOB的大小就是二面角α－l－β的大小.
(2)范圍
規定：當二面角的兩個半平面重合時，二面角為零角；當二面角的兩個半平面構成一個面時，二面角為平角.
二面角的取值范圍是[0，π].當二面角的平面角為直角時，稱為直二面角.
例3　已知二面角α－l－β是銳角，其面α內一點A到棱l的距離為4，到面的距離為2，求二面角α－l－β的大小.
【試題分析】 本題考查二面角的大小計算.找到二面角的平面角是計算二面角大小的關鍵.
跟蹤訓練3　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求平面AB1C1D與平面A1ADD1所形成的二面角的大小.
【試題分析】 本題考查二面角的大小計算.
考點4
平面與平面垂直
3.性質定理
如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面.
已知：α⊥β，α∩β＝CD，AB α，AB⊥CD，垂足為B，如圖所示，
則：AB⊥β.
例4　如圖所示，四邊形ABCD是菱形，P是平面ABCD外一點，且PA＝PC，PB＝PD，O是AC與BD的交點.
(1)判斷平面PBD與平面ABCD是否垂直；
(2)證明AC⊥平面PBD.
【試題分析】 本題考查平面與平面垂直.判斷面面是否垂直，判定定理是非常重要的依據；面面垂直性質定理反映了面面垂直轉化為線面垂直的思想.
【解題過程】 (1)由四邊形ABCD是菱形得：點O是AC和BD的中點.由PA＝PC得：PO⊥AC，由PB＝PD得：PO⊥BD，由AC∩BD＝O，AC 平面ABCD，BD 平面ABCD得：PO⊥平面ABCD，而PO 平面PBD，故平面PBD⊥平面ABCD.
(2)由四邊形ABCD是菱形得：AC⊥BD，由平面PBD∩平面ABCD＝BD，AC 平面ABCD，再由平面PBD⊥平面ABCD得：AC⊥平面PBD.
跟蹤訓練4　如圖所示，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓周上不同于A、B的任一點，(1)判斷平面PAC與平面PBC是否垂直；(2)若AC＝BC，證明：CO⊥平面PAB.
【試題分析】 本題考查平面與平面垂直的判斷與性質.
【解題過程】 (1)由AB是圓O的直徑，C是圓周上不同于A、B的任一點得：AC⊥BC，由PA垂直于圓O所在的平面，BC 圓O，則PA⊥BC，而PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，故BC⊥平面PAC，因BC 平面PBC，由面面垂直的判定定理可得：平面PAC⊥平面PBC.
(2)由PA垂直于圓O所在的平面，PA 平面PAB得：平面PAB垂直于圓O所在的平面，且平面PAB∩圓O＝AB.由AC＝BC，點O是AB的中點得：CO⊥AB，CO 圓O，由面面垂直的性質定理得：CO⊥平面PAB.
1.平面與平面的垂直判斷體現的是“線面垂直轉化為面面垂直”的思想；面面垂直轉化為線面垂直”的思想；
2.二面角大小計算主要是求兩個相交半平面所成的角，通過定義找到二面角的平面角，在三角形中去求.
1.(原創)空間中平面α與平面β沒有交點，直線a 平面α，則直
線a與平面β的關系是(　　　)
A.平行 B.垂直
C.在平面內 D.斜交
A
【試題分析】 本題考查平面與平面平行.
【解題過程】 若平面α與平面β沒有交點，則它們平行，平面α內直線與平面β沒有交點，則直線a與平面β是平行關系，故選A.
2.(改編)若直線l∥平面α，平面α∥平面β，則直線l與平面β的
關系是(　　　)
A.一定是平行 B.不可能平行
C.一定相交 D.不可能相交
D
【試題分析】 本題考查直線與平面平行和平面與平面平行的知識.
【解題過程】 若直線l在平面β外，則直線l與平面β平行；若直線l在平面β內，則直線l//平面α，故選D.
3.關于二面角下列說法正確的是(　　　)
A.兩個平面相交形成的圖形是二面角
B.二面角的大小范圍是[0，π)
C.一個二面角的平面角是唯一的
D.一個二面角的平面角大小是固定的
D
【試題分析】 本題考查二面角.
【解題過程】 由二面角定義和二面角的平面角可知A、B、C選項說法都是錯誤的，故選D.
4.若平面α⊥平面β，平面α⊥平面γ，則平面β與平面γ的位置關
系不可能是(　　　)
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.垂直但不相交
D
【試題分析】 本題考查平面與平面垂直.
【解題過程】 由兩個面垂直知識，兩個平面垂直必定相交，故選D.
B
【試題分析】 本題考查兩個相交平面所成的角的知識.
6.(2023·安徽職教高考真題)如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點，則下列
結論正確的是(　　　)
A.MN∥平面PAD B.PA∥MN
C.MN⊥平面PCD D.PC⊥MN
A
【試題分析】 本題考查直線與平面平行.
【解題過程】 M，N分別是AB、PC的中點，取PB的中點Q，連接MQ，NQ，易得MQ//AP，NQ//DA，NQ∩MQ＝Q，AP∩AD＝A，所以平面APD//平面MNQ，因為MN在面MNQ內，所以MN//平面PAD.
7.(原創)如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，二面角
D1－AB－D的平面角是________.(答案不唯一)
∠D1AD
【試題分析】 本題考查二面角的平面角.
【解題過程】 在平面D1ABC1中，D1A⊥AB，在平面ABCD中，DA⊥AB，故∠D1AD是二面角D1－AB－D的平面角.
8.若平面α⊥平面β，平面α∥平面γ，則平面β與平面γ的位置是
________.
垂直
【試題分析】 本題考查面面垂直和面面平行.
【解題過程】 平面β⊥平面γ.
9.(改編)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為A1B1，A1D1的中點.
(1)求證：平面A1ACC1⊥平面AMN；(2)二面角A－MN－A1的平面角的正切值.
【試題分析】 本題考查平面與平面垂直
和二面角的計算.
【解題過程】 (1)由AA1⊥平面A1B1C1D1，MN 平面A1B1C1D1，得AA1⊥MN，因M，N分別為A1B1，A1D1的中點得：MN//B1D1，而A1C1⊥B1D1，故MN⊥A1C1，而AA1∩A1C1＝A1，AA1，A1C1 平面A1ACC1，故MN⊥平面A1ACC1，而MN 平面AMN，故平面A1ACC1⊥平面AMN.

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