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(共47張PPT)
第27講　直線與圓的位置關系及應用
第6章　直線與圓的方程
能力層級
考試內容　　　 了解 理解 掌握
直線與圓的
位置關系 直線與圓的位
置關系及判定方法.(2023，T54) 直線與圓相交時弦長的求法及圓的切線方程的求法.
直線與圓的
方程應用 直線方程與圓的方程解決實際問題的方法.
復習建議：
1.考情小結：直線與圓的位置關系，直線與圓的方程應用近三年涉及1次，屬于低頻考點，主要考查參數的取值范圍，題目難度較高，分值4分左右.
2.備考攻略：弦長的代數求法運用了數形結合的思想，也可請學有余力的同學掌握.
1.直線與圓的位置關系
直線與圓的位置關系有三種：相交、相切、相離.
考點1
直線與圓的位置關系
2.判斷直線與圓的位置關系的方法
(1)幾何法：比較圓心到直線的距離d與半徑r的大小關系.
①當d＜r時，直線與圓相交；
②當d＝r時，直線與圓相切；
③當d＞r時，直線與圓相離.
(2)代數法：聯立直線與圓的方程組，化簡得一元二次方程，計算判別式Δ＝b2－4ac與0的關系.
①當Δ＞0時，直線與圓相交；
②當Δ＝0時，直線與圓相切；
③當Δ＜0時，直線與圓相離.
例1　(原創)直線x－3y＋3＝0與圓(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置關系為(　　　)
A.相離 B.相交但不過圓心 　　
C.相切 D.相交且過圓心
【答案】 B
【試題分析】 本題考查直線與圓的位置關系.通過比較d與r的大小關系，即可判斷位置關系.
跟蹤訓練1　(2023·安徽職教高考真題)若直線y＝x＋b與圓x2
＋y2－2y－1＝0相交，則b的取值范圍是(　　　)
A.－1＜b＜3 B.－1≤b≤3
C.－3＜b＜1 D.－3≤b≤1
A
考點2
弦長公式
例2　(原創)求圓x2＋y2－4x＋2y－5＝0被直線x＋2y－5＝0截得的弦長.
【試題分析】 本題考查圓被直線截得的弦長.
B
【試題分析】 本題考查圓被直線所截的弦長.
求圓切線方程的步驟
1.判定圓的切線的情況：根據點與圓的位置來判定圓的切線情況.點在圓外，有兩條切線，這兩條切線關于點與圓心所在直線對稱；點在圓上，有一條切線；點在圓內，沒有切線.
考點3
圓的切線
2.幾何法：
點在圓上時，利用切線的性質定理，圓的切線垂直于過切點的半徑，先求出過切點和圓心的直線斜率，再由垂直關系求出切線的斜率，然后由點斜式求出切線的方程.點在圓外時，利用待定系數法設出切線方程，再由圓心到切線的距離等于半徑，得到關于斜率k的方程，求出斜率k.
代數法：
設出切線方程，聯立直線方程與圓的方程組成的方程組，化簡得一元二次方程.由Δ＝0得到關于斜率k的方程，求出斜率k.
3.要注意斜率k不存在的情況.
例3　(原創)過點(1，2)作圓(x－2)2＋(y＋1)2＝10的切線，求切線方程.
【試題分析】 本題考查圓的切線方程.首先判斷點與圓的位置關系，根據(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2可知點在圓上，則切線有一條.利用切線的性質定理，圓的切線垂直于過切點的半徑，可以求得切線的斜率，再由點斜式得切線方程.
跟蹤訓練3　過點P(4，2)作圓O：x2＋y2＝4的切線，并求切線方程.
根據實際問題進行數學抽象，提煉出相關的數學問題，并把它們放在平面直角坐標系中，利用直線與圓的方程知識，解決直線與圓的問題.
考點4
直線與圓的方程的應用
例4　(原創)在平面直角坐標系中，從點P(8，4)射出一條光線，經過x軸反射后經過點Q(－1，2)，求反射點M的坐標.
【試題分析】 本題考查直線的方程的應用.根據光的反射定律，反射光線經過的點Q關于x軸的對稱點、反射點、發光點三點共線，求出入射光線所在直線方程，入射光線與反射面(即x軸)的交點就是反射點.
例5　(改編)某圓形拱橋的水面跨度為18米，拱高3米，現有一船，頂部寬12米，水面以上部分1.8米，這條船能否從橋下通過
【試題分析】 本題考查圓的方程的應用.根據題意建立圓的方程，求出船體頂部剛好能通過所對應的拱橋上的高度，比較船在水上部分與這一高度的大小，判斷船是否通過.
跟蹤訓練4　(改編)臺風“貝碧嘉”于2024年9月16日在上海登陸.“貝碧嘉”從A地以20 km/h的速度向北偏西60°方向移動，離臺風中心50 km以內的地區都需要做好防風減災準備，城市B在A地正西60 km，求城市B需要做好防風減災準備的時間.
【試題分析】 本題考查直線與圓的位置關系.以臺風中心為圓心50 km為半徑的圓形區域內都會受到臺風影響，計算出城市B到臺風行經所在直線的最近距離，從臺風中心到城市B距離50 km的M點開始，城市B開始受到影響，到臺風中心到城市B最近距離的C點，臺風影響逐漸增強，之后臺風中心距離城市B逐漸變遠，直至距離城市B超過50 km的N點，臺風影響結束，計算MN的距離，除以臺風運行的速度，可求出影響B城市的時間.
2.圓上一點到直線的最小距離與最大距離
已知圓C：(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2和直線Ax＋By＋c＝0，圓心C(x0，y0)到直線的距離為d.圓上一點到直線的最小距離為|d－r|，最大距離為d＋r.
1.(改編)直線2x＋y＋5＝0與圓x2＋y2－10x－20＝0的位置關系
為(　　　)
A.相離 B.相交但不過圓心
C.相切 D.相交且過圓心
C
【試題分析】 本題考查直線與圓的位置關系.比較d與r的大小關系，可判斷位置關系.
2.(改編)過點(2，6)能作圓(x＋1)2＋(y－3)2＝10的幾條切線
(　　　)
A.不存在 B.一條
C.兩條 D.不能確定
C
3.(改編)過點P(5，4)且與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9相切的直線方程
是(　　　)
A.x＝5 B.y＝4
C.x＝5或y＝4 D.5x－4y＋3＝0
C
【解題過程】 把點P(5，4)代入圓的方程左側得32＋32＝18＞r2，可知點在圓外，所以有兩條切線.結合圖像觀察，過點P(5，4)與圓相切的兩條直線恰為特殊情況，一條是斜率為0，y＝4.另一條斜率不存在x＝5.故過點P(5，4)且與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9相切的直線方程為x＝5或y＝4，故選C.
B
【試題分析】 本題考查直線與圓的位置關系.圓上一點到直線的最小距離是圓心到直線的距離減去半徑.
5.(改編)直線x－y＋1＝0與(x－1)2＋(y＋2)2＝16相交于P、Q兩
點，則弦|PQ|的長度為________.
6.光線從點M(4，－3)射到點P(－1，0)，然后被x軸反射，則反
射光線所在的直線方程是_________________.
3x－5y＋3＝0
【試題分析】 本題考查直線方程的應用.根據光的反射定律，反射光線經過發光點的對稱點、反射點.
【解題過程】 根據光的反射定律，反射光線經過發光點的對稱點、反射點.發光點M(4，－3)關于x軸的對稱點為M'(4，3)，則經過M'(4，3)，P(－1，0)的直線方程為3x－5y＋3＝0.所以反射光線所在的直線方程是3x－5y＋3＝0.
7.(原創)求圓心在直線x＋y＋1＝0上，過點(0，3)且與直線x－y＋7＝0相切的圓的方程.
【試題分析】 本題考查利用直線與圓的位置關系求圓的方程.根據圓心在直線x＋y＋1＝0上，設出圓心坐標.由于圓過點(0，3)且與直線x－y＋7＝0相切，所以圓心到點(0，3)的距離與其到直線x－y＋7＝0的距離相等，都等于半徑.由此建立方程，求出圓心坐標，得到圓的方程.
8.(改編)某小島的周圍有環島暗礁，暗礁分布在以小島的中心為圓心，20 km為半徑的圓形區域內.已知某輪船位于小島中心正東40 km處，港口位于小島中心正北30 km處，如果輪船沿直線返港，那么輪船是否有觸礁的危險
【試題分析】 本題考查直線與圓的位置關系.當直線與圓相離時，輪船沒有危險；否則存在危險.

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