資源簡介

(共49張PPT)
第30講　直線與平面的位置關系
第7章　
簡單幾何體與立體幾何
能力層級
考試內容　　　 了解 理解 掌握
直線與平面
的位置關系 空間中直線與平面的位置關系類型. 空間中直線與平面的位置關系. 直線與平面的位置關系表示.
直線與平
面平行 直線與平面平行的定義. 直線與平面平行的判定定理和性質定理.
(2023，T58) 線線平行與線面平行相互轉化.
能力層級
考試內容　　　 了解 理解 掌握
直線與平面垂直 直線與平面垂直的定義.
(2024，T53) 直線與平面垂直的判定定理和性質定理. 線線垂直與線面垂直相互轉化.
直線與平面所
成的角 直線與平面所成角的概念. 斜線與平面所成角的意義. 直線與平面所成角的簡單問題.
(2024，T58)
復習建議：
1.考情小結：空間中直線與平面的位置關系是必考內容，近兩年涉及3次，考查點既有位置關系的判斷，特別是平行和垂直的判斷，也有直線與平面所成角的大小計算.
2.備考攻略：本講內容是直線與直線位置關系及度量延續學習，還是平面與平面位置關系及度量的基礎.
1.直線在平面內
直線與平面有無數個公共點.
如圖1所示，當直線a在平面α內時，
記作a α.
考點1
直線與平面的位置關系
圖1
2.直線在平面外
直線與平面相交或平行，
直線l在平面α外時，記作l α.
(1)直線與平面相交：直線與平面
只有一個公共點.
如圖2所示，當直線b與平面α相交
于點B時，記作b∩α＝B.
圖2
(2)直線與平面平行：直線與平面沒有公共點.
如圖3所示，當直線c與平面α平行時，記作c∥α.
圖3
例1　已知直線l與平面α滿足l∥α，直線m α，則直線l與直線m的位置關系是(　　　)
A.平行 B.異面
C.平行或異面 D.不共面
【答案】 C
【試題分析】 本題考查空間中線面位置關系的判斷、線線位置關系的判斷.利用定義判斷線面和線線位置關系，可以抓住公共點數量來分析.
【解題過程】 因為l∥α得直線l與平面α沒有公共點，所以直線l與平面α內的直線都沒有公共點，所以直線l與直線m是沒有公共點的，所以它們的位置關系是平行或異面，故選C.
跟蹤訓練1　下列位置關系中不是空間中直線與平面的位置關
系的是(　　　)
A.平行 B.異面
C.相交 D.在平面內
B
【試題分析】 本題考查空間中直線與平面的位置關系類型.
【解題過程】 異面直線是空間中兩條直線位置的關系類型.故選B.
1.判定定理
如果平面外的一條直線與這個平面內的一
條直線平行，那么這條平面外直線與這個
平面平行.
如圖所示，已知：m α，n α，且m∥n，則m∥α.
考點2
直線與平面平行
2.性質定理
如果一條直線和一個平面平行，那么經過這條直線的任一平面和這個平面的交線與這條直線平行.
如圖所示，已知：m∥α，m β，α∩β＝n，則m∥n.
例2　如圖所示，已知長方體ABCD－
A1B1C1D1，M，N分別是AA1和A1B1的
中點.
(1)判斷直線MN與平面AB1C的位置關系；
(2)若直線B1C∥平面MNP(點P在直線CD
上)，求證：點P是棱CD的中點.
【試題分析】 本題考查直線與平面平行的判斷和性質.利用線面平行的判斷定理和性質定理解決簡單問題.
【解題過程】 (1)在△AA1B1中，M，N分別是AA1和A1B1的中點，則MN∥AB1，MN 平面AB1C，AB1 平面AB1C，由線面平行的判斷定理得：直線MN∥平面AB1C.
(2)直線B1C 平面B1CPN，平面B1CPN∩平面MNP＝NP，直線B1C∥平面MNP，由線面平行的性質定理得：B1C∥NP.再由B1N∥CP得：B1NPC是平行四邊形，則B1N＝PC，而點N是A1B1的中點，CD＝A1B1，所以P是棱CD的中點.
跟蹤訓練2　如圖所示，已知正方體
ABCD－A1B1C1D1，M、N分別是A1B1
和A1D1的中點.
(1)判斷直線B1D1與平面AMN的位置關系；
(2)若平面ABNH∩平面A1B1C1D1＝NH，
求證：點H是棱B1C1的中點.
【試題分析】 本題考查直線與平面平行的判斷和性質.
【解題過程】 (1)在△A1B1D1中，M、N分別是A1B1和A1D1的中點，則MN//B1D1，B1D1 平面AMN，MN 平面AMN，由線面平行的判斷定理得：直線B1D1//平面AMN.
(2)直線A1B1 平面A1B1C1D1，AB 平面A1B1C1D1，AB//A1B1，則AB//平面A1B1C1D1，而平面ABNH∩平面A1B1C1D1＝NH，由線面平行的性質定理得：AB//NH，因為N是A1D1的中點，故點H是棱B1C1的中點.
1.定義
如果一條直線和一個平面內的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面互相垂直.這條直線稱為這個平面的垂線，這個平面稱為這條直線的垂面，直線與平面的交點稱為垂足.
考點3
直線與平面垂直
如圖所示，直線l與平面α垂直，記作l⊥α.
注意：直線與平面垂直定義常作為結論使用.
2.判定定理
如果一條直線與平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這個平面垂直.
如圖所示，若m、n是平面α內的兩條相交直
線，且直線l⊥m，l⊥n，則l⊥α.
重要結論：如果兩條平行線中有一條垂直于
一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.
3.性質定理
如果兩條直線都垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行.
如圖所示，若m⊥α，n⊥α，則m∥n.
重要結論：在空間中經過一點有且只有一條直線與已知平面
垂直.
例3　(1)(真題)如圖1，已知正方體ABCD－A1B1C1D1，求證：AC⊥平面D1DBB1；
圖1
(2)如圖2，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，
N是B1C1上一點，M是BD1上一點，MN⊥
平面A1BD1，求證：MN∥AB1.
圖2
【試題分析】 本題考查直線與平面垂直.判斷線面是否垂直，判定定理是非常重要的依據；線面垂直性質定理反映了垂直轉化為平行思想.
【解題過程】 (1)由正方體知識可知：B1B⊥平面ABCD，而AC 平面ABCD，則B1B⊥AC，由ABCD是正方形得：BD⊥AC，再由B1B∩BD＝B，B1B 平面D1DBB1，BD 平面D1DBB1得：AC⊥平面D1DBB1.
(2)由正方體知識可知：A1D1⊥平面ABB1A1，而AB1 平面ABB1A1，則A1D1⊥AB1，由ABB1A1是正方形得：A1B⊥AB1，再由A1D1∩A1B＝A1，A1D1 平面A1BD1，A1B 平面A1BD1得：AB1⊥平面A1BD1，因為MN⊥平面A1BD1，故MN∥AB1.
跟蹤訓練3　如圖所示，已知ABCD是菱
形，PA⊥AD，PA⊥AB，點E在PC上.
(1)求證：BD⊥平面PAC；
(2)若EO⊥平面ABCD，求證：點E是線
段PC的中點.
【試題分析】 本題考查直線與平面所成的角.
【解題過程】 (1)由PA⊥AD，PA⊥AB，AD∩AB＝A，AD 平面ABCD，AB 平面ABCD，由線面垂直的判定定理得：PA⊥平面ABCD，而BD 平面ABCD，則PA⊥BD，因ABCD是菱形，故AC⊥BD，而PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，故BD⊥平面PAC.
(2)由(1)可知：PA⊥平面ABCD，而EO⊥平面ABCD，由線面垂直的性質定理得：PA//EO，由點O是AC的中點，故點E是線段PC的中點.
1.定義
如果直線與平面相交但不垂直，就稱直線是平面的斜線.斜線與平面的交點稱為斜足，經過斜線上不是斜足的一點作平面的垂線，連接垂足與斜足的直線稱為斜線在這個平面上的射影.
考點4
直線與平面所成的角
如圖1所示，直線m是平面α的斜線，點P為斜足，A∈m且AB⊥α，垂足為B，則BP是斜線m在平面α內的射影.
圖1
一般地，平面的一條斜線與它在該平面上的射影所成的角，稱為這條斜線與這個平面所成的角.
如圖2所示，斜線m與平面α所成的角是θ.
圖2
【試題分析】 本題考查直線與平面垂直、直線與平面所成角的有關知識點.解答此題，取CD的中點為F，連接EF、AF，易知EF⊥平面 ABCD，所以∠EAF為直線AE與平面 ABCD所成的角，然后利用解三角形的知識求出正切值即可.
【答案】 B
C
1.直線與平面的垂直判斷體現的是“線面垂直轉化為線線垂直”的思想；直線與平面的平行轉化為線線平行”的思想.
2.直線與平面所成的角主要是求平面的斜線與平面所成角，通過定義把線面所成角轉化為三線構成的直角三角形中的銳角.
1.(原創)空間中某線段與平面沒有交點，則該線段所在直線與
平面的位置關系不可能是(　　　)
A.平行 B.相交
C.在平面內 D.在平面外
C
【試題分析】 本題考查直線與平面的位置關系.
【解題過程】 若直線在平面內，則直線上所有點都在平面內，不可能有點在平面外，故選C.
C
3.直線m與平面α所成的角是0，則(　　　)
A.直線m與平面α垂直
B.直線m不在平面α內
C.直線m在平面α外
D.直線m與平面α平行或直線m在平面α內
D
【試題分析】 本題考查直線與平面所成的角.
【解題過程】 直線m與平面α所成的角是0，則直線m與平面α平行或直線m在平面α內，故選D.
D
【試題分析】 本題考查直線與平面垂直.
【解題過程】 PA⊥平面ABC，AB 平面ABC，AC 平面ABC，BC 平面ABC，則PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，因為AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA 平面PAB，AB 平面PAB，則BC⊥平面PAB，故選D.
B
【試題分析】 本題考查直線與平面所成的角的計算.
6.(原創)如圖所示，在長方體ABCD－
A1B1C1D1中，∠BAB1＝35°，則直線
AB1與平面BB1C1C所成的角的大小是
________.
55°
【試題分析】 本題考查直線與平面所成的角的計算.
【解題過程】 直線AB1與平面BB1C1C所成的角是∠AB1B，因為∠BAB1＝35°，所以∠AB1B＝55°.
7.如圖所示，PA垂直于以AB為直徑的
圓所在的平面，C為圓上異于點A，B的
任一點，則下列關系中：
①AC⊥BC；②AC⊥平面PBC；③BC⊥
平面PAC；④AC⊥PC.
正確關系的序號是________.
①③
【試題分析】 本題考查直線與平面垂直.
【解題過程】 圓的直徑所對的圓周角大小是90°，則AC⊥BC，由PA⊥圓O得：PA⊥BC，因為PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，則BC⊥平面PAC.
8.(真題)如圖所示，PC⊥平面PAB，
PA＝PC＝AB，AB⊥AC.
(1)求證：AB⊥平面PAC；(2)求PB與
平面ABC所成的角的大小.
【試題分析】 本題考查直線與平面垂直和直線與平面所成的角的計算.

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