資源簡介

(共47張PPT)
第37講　平面向量的基本概念及線性運算
第9章　平面向量
　　能力層級
考試內(nèi)容　　　 了解 理解 掌握
平面向量的
相關概念 向量的實際背景. 向量、零向量、單位向量、共線向量(平行向量)的概念. 向量的幾何表示；兩個非零向量共線、相等、相反的條件.
平面向量的
加、減法運算 平面向量加法的運算律.
(2024，T48；2022，T36) 平面向量加、減法的關系. 平面向量加法的三角形法則、平行四邊形法則.
　　能力層級
考試內(nèi)容　　　 了解 理解 掌握
數(shù)乘向量及平面向量的基本定理 數(shù)乘向量的運算律. 平面向量的基本定理. 數(shù)乘向量的運算；平面向量的線性運算；平行或共線向量定理.
復習建議：
1.考情小結：本講知識近三年涉及2次，2024年高考考查了向量的加法運算，難度中等，分值4分.從考查范圍看：平面向量的線性運算
(借助平面幾何圖形，選定基底，利用三角形法則或平行四邊形法則表示其他向量)，平面向量的數(shù)乘運算會是考查重點，平時要落實基礎知識和基本技能的掌握，多練熱點、高頻點.
2.備考攻略：在復習此部分知識的時候，對表中這一部分每個知識點進行系統(tǒng)整理，形成知識網(wǎng)絡，完善認知結構.定時對公式、定理、概念回顧，該記住的一定要記準、記牢，不能模棱兩可，再通過必要的強化訓練，提高運算能力.
考點1
平面向量的相關概念
1.向量的定義
(1)既有大小又有方向的量，稱為向量.只有大小而沒有方向的量，稱為數(shù)量.
(2)向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量可以比較大小，向量不能比較大小.
圖1
特殊向量 定義 備注
零向量 模為0的向量. 記作0，其方向是不確定的.
單位向量 模為1的向量. 單位向量的模均為1.
特殊向量 定義 備注
平行向量 方向相同或相反的兩個非零向量
(也稱為共線向量). 規(guī)定：0與任何向量平行.
相等向量 模相等且方向相同的向量. 相等向量一定是平行向量，
平行向量不一定是相等向量.
相反向量 模相等且方向相反的向量. 若a和b為相反向量，則a＝－b.
例1　下列物理量中是向量的是(　　　)
A.質(zhì)量 B.速度
C.體積 D.溫度
【答案】 B
【試題分析】 本題考查向量的概念.解題時首先要理解向量的定義：既有大小又有方向的量稱為向量.
【解題過程】 速度是既有大小又有方向的量，而質(zhì)量、體積、溫度只有大小而沒有方向，故選B.
跟蹤訓練1　(改編)下列物理量中，不屬于向量的是(　　　)
A.位移 B.力
C.時間 D.加速度
C
【試題分析】 本題考查向量的概念，解題時首先要理解向量的定義：既有大小又有方向的量稱為向量.依次判斷四個選項是向量還是數(shù)量.
【解題過程】 位移、力、加速度是既有大小又有方向的量，屬于向量，而時間只有大小沒有方向，故選C.
例2　給出下列六個命題：①若a∥b，則a＝b；②單位向量都相等；③相反向量的模一定相等；④若a∥b，b∥c，則a∥c；
⑤“a＝b”是“|a|＝|b|”的必要不充分條件；⑥零向量與任一向量平行.其中真命題的個數(shù)是(　　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
【答案】 B
【試題分析】 本題考查向量的相關概念，相等向量、平行向量、單位向量、相反向量、零向量等，需要梳理清楚各自的定義，明白它們之間的聯(lián)系，同時也考查了命題條件的知識，要能分辨必要不充分條件和充分不必要條件.
【解題過程】 ①錯誤，理由：相等的向量是長度相等且方向相同的兩個向量；
②錯誤，理由：單位向量只是模相等；
③正確，理由：相反向量雖然方向相反，但長度相等；
④錯誤，理由：考慮b＝0這種特殊情況即可判斷；
⑤錯誤，理由：a＝b能推出|a|＝|b|，但|a|＝|b|不能推出a＝b，所以“a＝b”是“|a|＝|b|”的充分不必要條件；
⑥正確，理由：規(guī)定零向量與任一向量平行，故選B.
(3)
【試題分析】 本題考查向量的相關概念以及模長的定義，解題時根據(jù)所學向量的概念，分辨四個命題中概念的準確性.
【解題過程】 (1)錯誤.兩向量方向相同或相反都視為平行向量；(2)錯誤.|0|＝0；(3)正確.對于一個向量只要不改變其大小和方向，是可以任意移動的；(4)錯誤.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量，必須在同一直線上.故填(3).
考點2
平面向量的加、減法運算
特征：首尾相接，第一個向量的起點指向第二個向量的終點.
特征：起點相同，以這兩個向量作為一組鄰邊作一個平行四邊形，和向量是從公共起點指向?qū)堑亩它c，對角線長即為和向量的模.
(3)向量加法的運算律：
①交換律：a＋b＝b＋a；
②結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
2.向量的減法
(1)相反向量：與向量a的長度相等，且方向相反的向量，叫作a的相反向量，記作－a.零向量的相反向量仍是零向量.
(2)向量減法：求兩個向量的差的運算稱為向量的減法，向量a－b稱為向量a與b的差，也稱為向量a與b的差向量.
特征：首首相接，差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點.
A
【試題分析】 本題考查利用已知向量表示其他向量，解題時首先要看清已知條件，再運用向量的相關線性運算進行變換解答，要熟練向量的加、減法運算.
1.數(shù)乘向量及其線性運算
(1)求一個數(shù)λ與向量a的乘法運算稱為數(shù)與向量的乘法運算，簡稱數(shù)乘運算，記為λa，λa仍是一個向量.λa的長度和方向規(guī)定如下：
①大小：|λa|＝|λ||a|，即λa的模長是a的模長的|λ|倍；
②方向：當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＝0時，λa＝0；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反.
考點3
數(shù)乘向量及平面向量的基本定理
(2)對于任意的向量a、b及任意的實數(shù)λ、μ，向量的數(shù)乘運算滿足如下運算律：
①(λμ)a＝λ(μa)＝μ(λa)；
②(λ＋μ)a＝λa＋μa；
③λ(a＋b)＝λa＋λb.
(3)向量的加法、減法、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.
2.平行或共線向量定理
已知a、b是兩個非零向量，a∥b 存在唯一一個實數(shù)λ，使得a＝λb.
例6　化簡：(1)5(a－b)－2(a＋3b)； (2)3[2(a＋2b)－a].
【試題分析】 本題主要考查數(shù)乘向量的運算律及學生的計算能力.
【解題過程】 (1)原式＝5a－5b－2a－6b＝3a－11b；
(2)(解法一)原式＝6(a＋2b)－3a＝6a＋12b－3a＝3a＋12b；
(解法二)原式＝3(2a＋4b－a)＝3(a＋4b)＝3a＋12b.
跟蹤訓練7 (改編)已知非零向量x與y不共線，若向量a＝mx＋y，
b＝2x－3y，且a∥b，則m＝________.
【試題分析】 本題考查向量的共線問題，關鍵是能否找到一個實數(shù)λ，使得b＝λa，再利用已知條件進行求解.
1.把握向量的大小與方向是解決有關向量概念題的關鍵，同時要注意零向量方向的不確定性，還要注意區(qū)分共線向量、同向向量、相等向量、相反向量等.
2.用已知向量表示未知向量問題的解題技巧：(1)觀察已知向量與未知向量的位置；(2)尋找相應的三角形或多邊形；(3)靈活運用運算法則找關系.
3.平面向量的加、減法和數(shù)乘運算：主要運用法則和運算律求解，可類比實數(shù)的運算，遵循括號內(nèi)的運算優(yōu)先原則，結果仍是一個向量.
4.一般地，解決向量共線問題，利用向量共線定理b＝λa(a≠0)，建立方程組求解即可.
B
【試題分析】 本題考查向量的一些相關概念.
【解題過程】 單位向量只是模相等，A項錯誤；|a|＝|b|，不一定a＝－b，也可以a＝b，C項錯誤；共線向量方向可能相同也可能相反，D項錯誤，故選B.
A
【試題分析】 本題考查正方形中一些相等的邊以及模長的概念.
D
【試題分析】 本題考查向量的加減運算以及相反向量的概念.
C
【試題分析】 本題考查平行四邊形法則和三角形中位線的應用.
5.(改編)向量a、b均為非零向量，且a＝－2b，則下列說法錯誤
的是(　　　)
A.a∥b B.a與b方向相反
C.a＞b D.|a|＝|2b|
C
【試題分析】 本題考查相反向量之間的區(qū)別與聯(lián)系，兩個向量互為相反向量必須模長相同但方向相反.
【解題過程】 向量是無法比較大小，C選項錯誤，故選C.
0
【試題分析】 本題考查向量的加、減法運算，利用三角形法則或平行四邊形法則求出即可.
7.(改編)已知非零向量a與b不共線，且2a＋kb與ka＋b共線，則
實數(shù)k等于________.
【試題分析】 本題考查向量的共線，利用向量共線定理求出k即可.
8.(原創(chuàng))化簡：3(2a＋b)－2(a－2b).
【試題分析】 本題考查向量的線性運算，利用向量的加減運算律求出即可.
【解題過程】 原式＝6a＋3b－2a＋4b＝4a＋7b.

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