資源簡介

(共41張PPT)
第45講　拋物線的幾何性質
第10章　圓錐曲線
　　　能力層級
考試內容　　　 了解 理解 掌握
拋物線的幾何性質 拋物線的簡單應用. 數形結合思想. 拋物線的幾何性質，并能利用拋物線的幾何性質解決問題.
(2024，T60；2022，T37)
復習建議：
1.考情小結：拋物線是高考的高頻考點，要重點復習.
2.備考攻略：
(1)本講知識比較基礎，考查難度適中，但綜合性問題會有些難度，復習時以基礎為主，并能適當提高難度.
(2)本講知識點較多，復習時注意細節，并能挖掘其內涵.
(3)要能熟練掌握拋物線的簡單幾何性質，特別是p的幾何意義.
(4)注意數形結合思想的運用，養成畫草圖的習慣，輔助解題，草圖盡量規范精準.
(5)注意直線在拋物線中的運用，此類問題會有些難度，復習時不能忽略.
考點
拋物線的幾何性質
圖形
標準方程 y2＝2px
(p＞0) y2＝－2px
(p＞0) x2＝2py
(p＞0) x2＝－2py
(p＞0)
焦點位置 x軸正半軸 x軸負半軸 y軸正半軸 y軸負半軸
焦點坐標
準線
方程
范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
對稱軸 x軸 y軸
頂點 拋物線與對稱軸的交點：原點O(0，0)
離心率 e＝1
例1　關于x軸對稱，且經過點(－3，6)的拋物線的標準方程為
(　　　)
A.y2＝12x B.y2＝－12x
C.y2＝24x D.y2＝－24x
【答案】 B
【試題分析】 本題考查拋物線的標準方程和幾何性質.根據拋物線的對稱軸和所經過點的坐標，判斷出焦點位置，進而設出拋物線的標準方程，將點的坐標代入方程，即可求出拋物線的標準方程.
【解題過程】 因為拋物線經過的點(－3，6)在第二象限，且關于x軸對稱，所以該拋物線的焦點在x軸的負半軸上.設該拋物線的標準方程為y2＝－2px(p＞0)，將點(－3，6)代入方程可得36＝6p，解得p＝6，所以該拋物線的標準方程為y2＝－12x，故選B.
跟蹤訓練1　對稱軸為坐標軸，且經過點(8，4)的拋物線的標
準方程為(　　　)
A.x2＝2y或y2＝4x B.x2＝－2y或y2＝－4x
C.x2＝16y或y2＝2x D.x2＝－y或y2＝－2x
C
【試題分析】 本題考查拋物線的標準方程和幾何性質.根據拋物線的對稱軸和所經過點的坐標，判斷出焦點位置，進而設出拋物線的標準方程，將點的坐標代入方程，即可求出拋物線的標準方程.
【解題過程】 因為拋物線所經過的點(8，4)在第一象限，且對稱軸為坐標軸，所以，該拋物線的焦點在x軸的正半軸或y軸的正半軸上.①若拋物線的焦點在x軸的正半軸上，設該拋物線的標準方程為y2＝2px(p＞0)，將點(8，4)坐標代入方程可得16＝16p，所以p＝1，所以該拋物線的標準方程為y2＝2x.②若拋物線的焦點在y軸的正半軸上，設該拋物線的標準方程為x2＝2py(p＞0)，將點(8，4)坐標代入方程可得64＝8p，所以p＝8，所以該拋物線的標準方程為x2＝16y.綜上可知，該拋物線的標準方程為y2＝2x或x2＝16y，故選C.
跟蹤訓練2　已知點A、B是拋物線y2＝8x上的兩點，點F是拋物線的焦點，點A、B到焦點F的距離之和為12，則線段AB的中點
P到y軸的距離為(　　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
C
【試題分析】 本題考查拋物線的定義.解題的關鍵是根據拋物線的定義，將點A、B到焦點的距離轉化為到準線的距離，從而得到點P到準線的距離，進而得出點P到y軸的距離.
【試題分析】 本題考查拋物線的定義和幾何性質.根據拋物線的對稱軸和所經過點P的坐標，判斷出焦點在y軸的負半軸上，根據拋物線的定義，點P到準線的距離與點P到焦點的距離相等，而點P到準線的距離是點P到x軸的距離與準線到x軸的距離之和，從而求出p的值，進而求出拋物線的標準方程，再將點P的坐標代入方程即可求出m的值.
D
【試題分析】 本題考查拋物線的定義.點P到焦點的距離等于點P到準線的距離.點P到準線的距離可表示為點P到y軸的距離與準線到y軸的距離之和，進而可求出點P到y軸的距離，然后可以得到點P的橫坐標，再將橫坐標代入拋物線方程即可求出點P的縱坐標，進而可求出點P的坐標.
D
【試題分析】 本題考查拋物線的標準方程.根據準線方程判斷出焦點位置并求出p的值，進而可求出拋物線的標準方程.
2.若拋物線的焦點在直線x－2y－4＝0上，則該拋物線的標準
方程為(　　　)
A.x2＝－8y或y2＝16x B.x2＝16y或y2＝－8x
C.x2＝8y或y2＝－16x D.x2＝－16y或y2＝8x
A
【試題分析】 本題考查拋物線的標準方程.直線與坐標軸的交點即為拋物線的焦點，需分兩種情況討論.
D
4.關于y軸對稱，且經過點(－2，－4)的拋物線的標準方程為
(　　　)
A.x2＝2y或x2＝－2y B.x2＝2y
C.x2＝y或x2＝－y D.x2＝－y
D
【試題分析】 本題考查拋物線的標準方程和幾何性質.根據拋物線的對稱軸和所經過點的坐標，判斷出焦點位置，進而設出拋物線的標準方程，將點的坐標代入方程，即可求出拋物線的標準方程.
5.拋物線y＝2x2的準線方程為________.
2
【試題分析】 本題考查拋物線的幾何性質.解題時首先求出拋物線焦點F的坐標，即可得到點A，B的橫坐標，然后將A，B的橫坐標代入拋物線方程，即可得到點A，B的縱坐標，進而可求出|2p|.注意，經過拋物線的焦點且與拋物線對稱軸垂直的弦是拋物線的通徑，拋物線通徑長為2p.
7.對稱軸為y軸，且焦點到準線的距離為5的拋物線的標準方程
為____________________.
x2＝10y或x2＝－10y
【試題分析】 本題考查拋物線的標準方程.拋物線焦點到準線的距離即為p.由于拋物線對稱軸為y軸上，所以需分兩種情況討論.
【解題過程】 拋物線焦點到準線的距離為p＝5，因為拋物線的對稱軸為y軸上，所以該拋物線標準方程為x2＝10y或x2＝－10y.
8.已知拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l，點P是拋物線上的一點，PA⊥l，垂足為A，如果AF的斜率為－2，求PF的長.
【試題分析】 本題綜合考查直線與拋物線的知識.解題時首先根據拋物線方程求出拋物線的準線方程和焦點坐標，根據點A在準線上可求出點A的橫坐標，再根據AF斜率為－2可求出點A的縱坐標，進而可得出點P的縱坐標，再將點P的縱坐標代入拋物線方程可求出點P的橫坐標，最后利用兩點間的距離公式即可求出PF的長.

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