資源簡介

2024-2025 學(xué)年福建省廈門三十中八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求
的。
1.下列式子中，表示 是 的正比例函數(shù)的是( )
A. = + 5 B. = 2 C. = 2 2 D. = 2
2.以下列各組數(shù)為三角形的三邊長，能構(gòu)成直角三角形的是( )
A. 1，1，1 B. 1,2, 5 C. 3，4，6 D. 2,3,2 3
3.下列計(jì)算中，正確的是( )
A. 2 + 5 = 7 B. 5 3 3 = 5
C. 18 ÷ 3 = 15 D. 12 × 3 = 6
4.將直線 = 12 1 向下平移 3 個(gè)單位長度得到直線 ，則直線 的解析式為( )
A. = 12 4 B. =
1
2 3 C. =
1
2 + 2 D. =
1
2 3
5.用配方法解方程 2 6 + 2 = 0，下列變形正確的是( )
A. ( 3)2 = 2 B. ( + 3)2 = 2 C. ( 3)2 = 7 D. ( + 3)2 = 7
6.某次演講比賽中，小東同學(xué)在演講內(nèi)容、演講能力、演講效果三個(gè)方面的成績(百分制)如表，若對(duì)演講內(nèi)
容、演講能力、演講效果分別賦權(quán) 5，3，2，則小東同學(xué)此次演講比賽的平均成績(百分制)是( )
演講內(nèi)容 演講能力 演講效果
分?jǐn)?shù) 90 80 85
A. 80 B. 85 C. 86 D. 90
7.下列各命題的逆命題成立的是( )
A.菱形四條邊相等
B.如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等
C.等邊三角形是銳角三角形
D.全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等
8.在平面直角坐標(biāo)系 中，正比例函數(shù) = 的圖象經(jīng)過點(diǎn) 1( 1, 1)， 2(2, 2)，且 1 > 2，則 的值
可能為( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. 1
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9.如圖所示的 4 × 4 正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段 的兩個(gè)端點(diǎn)都在格點(diǎn)上.若線段
為 的一邊， 的四個(gè)頂點(diǎn)都在 4 × 4 正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則這樣的平行四邊形的個(gè)數(shù)為( )
A. 3 個(gè)
B. 4 個(gè)
C. 8 個(gè)
D. 11 個(gè)
10.如圖①，在正方形 中，點(diǎn) 是 的中點(diǎn)，點(diǎn) 是對(duì)角線 上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè) = ， + = ，圖
②是 關(guān)于 的函數(shù)圖象，且圖象上最低點(diǎn) 的坐標(biāo)為( , 2 5)，則正方形 的邊長為( )
A. 2 2 B. 2 5 C. 4 D. 5
二、填空題：本題共 6 小題，每小題 4 分，共 24 分。
11.式子 2 4在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則 的取值范圍是______．
12.已知正比例函數(shù) = 的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，則 的值為______．
13.如圖，在 中，∠ = 70°，若 = ，則∠ 的大小為______．
14.一次函數(shù) = + ( ≠ 0)中兩個(gè)變量 ， 的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示：那么關(guān)于 的不等式 + ≥ 7
的解集是______．
… 4 3 2 1 0 …
… 9 7 5 3 1 …
15.為增強(qiáng)員工身體素質(zhì)，營造“健康生活、快樂工作”的氛圍，某公司開展了健步走計(jì)步打卡活動(dòng).以下統(tǒng)
計(jì)圖反映的是某位員工 6 月 1 日——14 日連續(xù)兩個(gè)星期健步走的步數(shù).根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，有下列三個(gè)
結(jié)論：
①該員工這 14 天健步走的步數(shù)的眾數(shù)和中位數(shù)都是 1.8 萬步；
②該員工兩個(gè)星期健步走的步數(shù)從高到低 2.0 排名，6 月 7 日所走步數(shù)在這 14 天中排名第三；
③若該員工 6 月 1 日——7 日健步走的步數(shù)的方差記作 21，6 月 8 日——14 日健步走的步數(shù)的方差記作 22，
則 21 > 22.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．
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16.如圖，正方形 的邊長為 4，點(diǎn) ， 分別在 ， 上，且 = ， 與
交于點(diǎn) ，若四邊形 的面積為 3，則 = ______．
三、解答題：本題共 9 小題，共 86 分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題 12 分)
(1) 1 1計(jì)算： 2 × 24 + 6 3 3；
(2)解方程： 2 5 + 2 = 0．
18.(本小題 8 分)
如圖，在 中，點(diǎn) ， 分別在 ， 上，且∠ = ∠ .求證： = ．
19.(本小題 8 分)
已知一次函數(shù) = + 2 的圖象經(jīng)過點(diǎn)( 1,0)，求該函數(shù)解析式，并在平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖
象．
20.(本小題 8 分)
如圖，在四邊形 中，∠ = 90°， = = 2， = 3， = 1，求四邊形 的面積．
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21.(本小題 8 分)
為了從甲、乙兩位同學(xué)中選出一人擔(dān)任班長，全班同學(xué)都對(duì)甲、乙兩人進(jìn)行了無記名等級(jí)制投票.為了方便
統(tǒng)計(jì)，大家約定： 表示 95 分， 表示 90 分， 表示 85 分， 表示 80 分；綜合平均得分高的同學(xué)當(dāng)選為
班長.投票結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：
甲同學(xué)得票情況統(tǒng)計(jì)表
等級(jí)
人數(shù) 15 20
根據(jù)以上信息，解決下列問題：
(1) = ______， = ______；
(2)乙同學(xué)說自己 等級(jí)的票數(shù)比甲同學(xué)少，一定能當(dāng)選為班長.你認(rèn)為乙同學(xué)的說法是否正確？若正確，請(qǐng)
說明理由；若不正確，請(qǐng)舉例說明．
22.(本小題 9 分)
如圖，已知矩形 ，點(diǎn) 是 中點(diǎn)，連接 ．
(1)尺規(guī)作圖：求作與△ 關(guān)于直線 對(duì)稱的△ ，點(diǎn) 、 是對(duì)應(yīng)點(diǎn)；(不寫作法，保留作圖痕跡)
(2)在(1)條件下，連接 ， ，延長 交 于 ，當(dāng) 恰為 中點(diǎn)時(shí)，試判斷△ 的形狀，并證明你的
結(jié)論．
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23.(本小題 10 分)
【問題背景】
新能源汽車多數(shù)采用電能作為動(dòng)力來源，不需要燃燒汽油，這樣就減少了二氧化碳等氣體的排放，從而達(dá)
到保護(hù)環(huán)境的目的．
【實(shí)驗(yàn)操作】
為了解汽車電池需要多久能充滿電，以及充滿電量狀態(tài)下電動(dòng)汽車的最大行駛里程，某綜合實(shí)踐小組設(shè)計(jì)
兩組實(shí)驗(yàn)．
實(shí)驗(yàn)一：探究電池充電狀態(tài)下電動(dòng)汽車儀表盤增加的電量 (%)與時(shí)間 (分鐘)的關(guān)系數(shù)據(jù)記錄如表 1：
電池充電狀態(tài)
時(shí)間 (分鐘) 0 10 15 40
增加的電量 (%) 0 20 30 80
實(shí)驗(yàn)二：探究充滿電量狀態(tài)下電動(dòng)汽車行駛過程中儀表盤顯示電量 (%)與行駛里(千米)的關(guān)系，數(shù)據(jù)記錄
如表 2：
汽車行駛過程
已行駛里程 (千米) 160 200 280
顯示電量 (%) 100 60 50 30
【建立模型】
(1)觀察表 1、表 2 發(fā)現(xiàn)都是一次函數(shù)模型請(qǐng)結(jié)合表 1、表 2 的數(shù)據(jù)，求出 關(guān)于 的函數(shù)表達(dá)式及 關(guān)于 的
函數(shù)表達(dá)式．
【解決問題】
(2)某電動(dòng)汽車在充滿電量的狀態(tài)下出發(fā)，前往距離出發(fā)點(diǎn) 560 千米處的目的地，若電動(dòng)汽車行駛 300 千米
后，在途中的服務(wù)區(qū)充電，一次性充電若干時(shí)間后繼續(xù)行駛，且到達(dá)目的地后電動(dòng)汽車儀表盤顯示電量為
10%，則電動(dòng)汽車在服務(wù)區(qū)充電多長時(shí)間？
24.(本小題 11 分)
在平面直角坐標(biāo)系 中，已知矩形 ，其中點(diǎn) (5,0)， (5,4)， (0,4).給出如下定義：若點(diǎn) 關(guān)于直線
： = 的對(duì)稱點(diǎn) ′在矩形 的內(nèi)部或邊上，則稱點(diǎn) 為矩形 關(guān)于直線 的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．
例如，圖 1 中的點(diǎn) ，點(diǎn) 都是矩形 關(guān)于直線 ： = 3 的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．
(1)如圖 2，在點(diǎn) 1(4,1)， 2( 3,3)， 3( 2,0)， 4( 6, 2)中，是矩形 關(guān)于直線 ： = 1 的“關(guān)
聯(lián)點(diǎn)”的為______；
(2)如圖 2，點(diǎn) ( + 1, 1)是矩形 關(guān)于直線 ： = 1 的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求 的取值范圍；
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(3) 1 1如圖 3，若在直線 = 2 + 上存在點(diǎn) ，使得點(diǎn) 是矩形 關(guān)于直線 ： = 2的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，請(qǐng)直
接寫出 的取值范圍______. (不寫過程)
25.(本小題 12 分)
在等邊△ 中，點(diǎn) 、 、 分別為 、 、 中點(diǎn)．
(1)連接 、 ．
①如圖 1，求證：四邊形 為菱形；
②如圖 2，若點(diǎn) 、 分別在邊 、 上，且滿足 = = 4，∠ = 2∠ .求 的長；
(2)如圖 3，點(diǎn) 、 、 分別為線段 、 、 上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足 = ，∠ = 120°，連接 、 ，
試探究 2、 2與 2之間的數(shù)量關(guān)系．
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參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. ≥ 2
12.2
13.40°
14. ≤ 3
15.③
16.2
17.(1) 3原式= 12 + 6 × 3 3，
= 2 3 + 2 3 3，
= 3 3；
(2) ∵ = 1， = 5， = 2，
∴ = 2 4 = 25 8 = 17，
∵ = ± 2 ，
∴ = 5+ 17 5 171 2 ， 2 = 2 ．
18.證明：∵四邊形 是平行四邊形，
∴ ∠ = ∠ ， = ， = ．
在△ 和△ 中，
∠ = ∠
∠ = ∠ ，
=
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∴△ ≌△ ( )；
∴ = ，
∵ = ，
∴ = ，
即 = ．
19.解：將( 1,0)代入 = + 2 得 0 = + 2，
解得 = 2，
∴一次函數(shù)的解析式為： = 2 + 2．
令 = 0，則 = 2
一次函數(shù)與 軸的交點(diǎn)為(0,2)
根據(jù)( 1,0)和(0,2)畫出函數(shù)圖象如下：
20.解：連結(jié) ，
在△ 中，∠ = 90°， = = 2，
∴ 2 = 2 + 2 = 22 + 22 = 8，
∵ = 3， = 1，
∴ 2 2 = 32 12 = 8 = 2，
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∴ ⊥ ，
∴ 1四邊形 = △ + △ = 2 ( + ) =
1
2 (2 × 2 + 2 2 × 1) = 2 + 2．
答：四邊形 的面積為 2 + 2．
21.(1)甲同學(xué)得票總數(shù)：20 ÷ 40% = 50(票)，
∴ = 50 × 10% = 5，
= 50 15 20 5 = 10，
故答案為：10，5；
(2)乙同學(xué)的說法不正確，
假設(shè)乙 等級(jí)的票數(shù)為 4 票，則乙 等級(jí)的票數(shù)為 50 20 15 4 = 11(票)，

∴ = 15×95+20×90+10×85+5×80甲 50 = 89.5，
11 × 95+ 20 × 90+ 15 × 85+ 4 × 80
乙 = 50 = 88.8
∵ 89.5 > 88.8，
∴甲當(dāng)選為班長，
∴乙同學(xué)的說法不正確．
22.解：(1)如圖，過點(diǎn) 作 的垂線，交 于點(diǎn) ，以點(diǎn) 為圓心， 的長為半徑畫弧，交 的延長線于
點(diǎn) ，連接 ， ，
則△ 即為所求．
(2) △ 為直角三角形．
理由：∵△ 與△ 關(guān)于直線 對(duì)稱，
∴ ∠ = 90°， = ，
∴ ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°．
∵點(diǎn) 是 中點(diǎn)，
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∴ = ，
∴ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ = 90°．
∵四邊形 為矩形，
∴ ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ = ．
∵點(diǎn) 為 中點(diǎn)，
∴ = ，
∴ = ，
∴ ∠ = ∠ ．
∵ ∠ + ∠ + ∠ = ∠ + ∠ + ∠ + ∠ = 2∠ + 2∠ = 2∠ = 180°，
∴ ∠ = 90°，
∴△ 為直角三角形．
23.解：(1)設(shè) 關(guān)于 的函數(shù)表達(dá)式為 = 1 ( 1為常數(shù)，且 1 ≠ 0)，
將 = 10， = 20 代入 = 1 ，
得 10 1 = 20，
解得 1 = 2，
∴ 關(guān)于 的函數(shù)表達(dá)式為 = 2 ．
設(shè) 關(guān)于 的函數(shù)表達(dá)式為 = 2 + ( 2、 為常數(shù)，且 2 ≠ 0)，
將 = 160， = 60 和 = 200， = 50 分別代入 = 2 + ，
160 2 + = 60得 200 2 + = 50
，
= 1
解得 2 4，
= 100
∴ 1關(guān)于 的函數(shù)表達(dá)式為 = 4 + 100．
(2)當(dāng) = 300 時(shí)， = 14 × 300 + 100 = 25，
∴行駛 300 千米后，電動(dòng)汽車儀表盤顯示電量為 25，
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充電 分鐘后，增加的電量為 = 2 ，
∴充電 分鐘后，電動(dòng)汽車儀表盤顯示電量為(25 + 2 )，
1
若在充滿電的情況下，行駛完剩余的路程，電動(dòng)汽車儀表盤顯示電量為 4 × (560 300) + 100 = 35，
∴行駛完剩余的路程消耗的電量為 100 35 = 65，
∴ 25 + 2 10 = 65，
∴ = 25．
答：電動(dòng)汽車在服務(wù)區(qū)充電 25 分鐘．
24.(1)畫出點(diǎn) 1(4,1)， 2( 3,3)， 3( 2,0)， 4( 6, 2)關(guān)于直線 ： = 1 的對(duì)稱點(diǎn)，如圖 2，
由圖可知，只有點(diǎn) 2， 3的對(duì)稱點(diǎn)在矩形 的邊上或內(nèi)部，
故答案為： 2， 3；
(2)設(shè)點(diǎn) ( + 1, 1)關(guān)于直線 ： = 1 的對(duì)稱點(diǎn)為 ′( , 1)，
∴ +1+ 2 = 1，
解得： = 3，
∴ ′( 3, 1)，
∵點(diǎn) ( + 1, 1)是矩形 關(guān)于直線 ： = 1 的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，
∴ ′( 3, 1)在矩形 的邊上或內(nèi)部，
0 ≤ 3 ≤ 5
依題意得： 0 ≤ 1 ≤ 4，
解得：3 ≤ ≤ 5；
(3) 1的取值范圍為2 ≤ ≤ 7；理由如下：
1
如圖 3，畫出矩形 關(guān)于直線 ： = 2的對(duì)稱矩形 ′ ′ ′ ′，
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∵在直線 = 12 + 上存在點(diǎn) ，使得點(diǎn) 是矩形
1
關(guān)于直線 ： = 2的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，
∴ 1直線 = 2 + 與矩形 ′ ′ ′ ′必有交點(diǎn)，
= 1當(dāng) 2 +
1
過點(diǎn) ′( 1,0)時(shí)，得： 2 + = 0，
= 1解得： 2；
當(dāng) = 12 + 過點(diǎn) ′( 6,4)時(shí)，得：
12 × 6 + = 4，
解得： = 7，
∴ 1的取值范圍為2 ≤ ≤ 7，
25.(1)①證明：∵等邊△ 中，點(diǎn) 、 、 分別為 、 、 中點(diǎn)，
∴ = 1 1，∠ = 60°， = 2 = 2 = ， 為△ 的中位線，
∴ // , = 12 = ，
∴四邊形 為平行四邊形，
∵ = ，
∴平行四邊形 為菱形；
②解：延長 ， 交于點(diǎn) ，作 ⊥ 于點(diǎn) ，如圖 2，
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∵四邊形 為菱形， = = 4，
∴ = = = = + = 8， / / ，
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ = 60°，∠ = ∠ ，
在△ 和△ 中，
∠ = ∠
∠ = ∠ ，
=
∴△ ≌△ ( )，
∴ = = 8，
∵ ∠ = ∠ = 2∠ ，
∴ 平分∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ = ，
設(shè) = ，則： = = + = 8 + ， = = 8 ，
在 △ 中，∠ = 60°，
∴ ∠ = 30°，
∴ = 12 =
1
2 (8 )， = 3 =
3
2 (8 )，
∴ = + = 12 12 ，
在 △ 中，由勾股定理，得： 2 = 2 + 2，
∴ (12 1 )2 + [ 32 2 (8 )]
2 = (8 + )2，
解得： = 165，
∴ = 165；
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(2)解： 2 2 = 2 2.理由如下：
∵△ 為等邊三角形，
∴ ∠ = ∠ = 60°， = ，
∵ // ，
∴ ∠ + ∠ = 180°，∠ + ∠ = 180°，∠ = ∠ = 60°，
∴ ∠ = ∠ = 120°，
∴ ∠ + ∠ = 180° ∠ = 60°，
∵ ∠ = 120°，
∴ ∠ + ∠ = 180° ∠ = 60°，
∴ ∠ = ∠ ，
在△ 和△ 中，
∠ = ∠
∠ = ∠ ，
=
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ， = ，
∴ ∠ = ∠ = 12 (180° ∠ ) = 30°，
設(shè) = = ， = = ，則： = + ，
作 ⊥ 交 的延長線于點(diǎn) ，作 ⊥ 于點(diǎn) ，如圖 3，
在 △ 中，∠ = ∠ = 60°，
∴ ∠ = 30°，
∴ = 12 =
1
2 ， = 3 =
3
2 ，
∴ = + = + 32 ， = + =
1
2 + ，
在 △ 中，由勾股定理，得： 2 = 2 + 2 = ( 32 )
2 + ( + 3 2 2 22 ) = + 3 + 3 ，
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在 △ 3 1中，由勾股定理，得： 2 = 2 + 2 = 2 = ( 2 2 2 22 ) + ( + 2 ) = + + ，
∵ = ， ⊥ ，
∴ = 2 ，
∵ ∠ = 30°，
∴ = 12 , = 3 =
3
2 ，
∴ = 2 = 3 ，
∴ 2 = 3 2 = 3( 2 + + 2) = 3 2 + 3 + 3 2，
∴ 2 2 = 2 2 = 2 2；
故 2 2 = 2 2．
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