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第3課時　有理數減法法則
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1.有理數減法法則
減去一個數,等于　 　這個數的　 　,即a-b=a+(-b).
2.有理數減法的運算步驟
(1)改變運算符號:　 　變加號;
(2)改變性質符號:把　 　變為它的相反數;
(3)按照有理數　 　法則進行計算.
加上
相反數
減號
減數
加法
精講練　新知探究
探究點一　有理數的減法法則
[典例1]計算下列各題:
(1)2-7=　 　;
(2)9-(-7)=　 　;
(3)(-4)-(-6)=　 　;
(4)(-7.3)-(+7.3)=　 　.
[變式1]下列各式中,計算正確的是( )
A.6-(-11)=-5　 B.-6-11=-17
C.6-11=5 D.(-6)-(-11)=17
-5
16
2
-14.6
B
[變式2]計算:
(1)16-(-12)-24-(-18);
解:(1)16-(-12)-24-(-18)
=16+12+(-24)+18
=28+(-24)+18
=4+18
=22.
點睛
有理數減法的方法指引
(1)在進行減法運算時,首先弄清減數的符號.
(2)轉化為加法時,要同時改變兩個符號:一是運算符號(減號變加號); 二是減數的性質符號(減數變相反數).
探究點二　有理數減法的應用
[典例2]如果有理數a,b滿足|a|=9,|b|=5,且a+b<0,那么a-b的值是( )
A.-4或14 B.4或-14
C.4或14 D.-4或-14
D
易錯
沒有分類討論導致漏解.
[典例3]某地氣象站測得某天的四個時刻氣溫分別為:早晨6時為零下
3 ℃,中午12時為零上1 ℃,下午4時為0 ℃,晚上12時為零下9 ℃.(規
定:零上為“+”,零下為“-”)
(1)早晨6時比晚上12時高多少
(2)下午4時比晚上12時高多少
解:(1)-3-(-9)=6(℃),
所以早晨6時比晚上12時高6 ℃.
(2)0-(-9)=9(℃),
所以下午4時比晚上12時高9 ℃.
[變式3]數軸上線段的長度可以將線段端點表示的數進行減法運算得到.如圖,線段AB=0-(-1)=1;線段BC=2-0=2;線段AC=2-(-1)=3.
(1)數軸上點M,N表示的數分別為-9和1,求線段MN的長;
(2)數軸上點E,F表示的數分別為-6和-3,求線段EF的長;
(3)數軸上的兩個點之間的距離為5,其中一個點表示的數為2,求另一個點表示的數m.
解:(1)由題意,得線段MN=1-(-9)=1+9=10.
(2)由題意,得線段EF=-3-(-6)=-3+6=3.
(3)由題意得m-2=5或2-m=5,
解得m=7或m=-3.
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第2課時　有理數的乘法運算律
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1.乘法交換律
兩個數相乘,交換因數的位置,積　 　,即a×b=　 　.
2.乘法結合律
三個數相乘,先把前兩個數相乘,或者先把后兩個數相乘,積　 　,即(a×b)×c=a×(b×c).
不變
b×a
不變
3.乘法對加法的分配律
一個數與兩個數的和相乘,等于把這個數分別與這兩個加數　 　,再把積　 　,即a×(b+c)=a×b+a×c.
4.幾個非零數相乘,積的符號取決于　 　因數的個數.當負因數的個數為奇數時,積為　 　;當負因數的個數為偶數時,積為　 　.幾個有理數相乘,如果其中有一個因數為0,積就為　 　.
相乘
相加
負
負
正
0
精講練　新知探究
探究點一　多個因數相乘時積的符號的確定
[典例1]確定下列積的符號:
(1)(-5)×4×(-1)×3,答:　 　號;
(2)(-4)×6×(-7)×(-3),答:　 　號;
(3)(-1)×(-1)×(-1),答:　 　號;
(4)(-2)×(-2)×(-2)×(-2),答:　 　號.
正
負
負
正
[變式1]下列各式中積為正數的是( )
A.2×3×5×(-4)
B.2×(-3)×(-4)×(-3)
C.(-2)×0×(-4)×(-5)
D.(-2)×(-3)×(-4)×(-5)
D
A
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第2課時　科學記數法與近似數
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1.把一個絕對值大于　 　的數記作a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n是
　 　,這種記數方法叫作科學記數法.
2.與實際完全符合的數是　 　;由四舍五入得到的與實際相近的數是　 　.
3.一個近似數　 　到哪一位 ,就說這個近似數　 　到哪
一位.
10
正整數
準確數
近似數
精確
四舍五入
精講練　新知探究
探究點一　用科學記數法表示絕對值較大的數
[典例1]據共青團中央2023年5月3日發布的中國共青團團內統計公報顯示,截至2022年12月底,全國共有共青團員7 358萬.數據7 358萬用科學記數法表示為( )
A.7.358×107 B.7.358×103
C.7.358×104 D.7.358×106
A
[變式1](2024淄博)我國大力發展新質生產力,推動了新能源汽車產業
的快速發展.據中國汽車工業協會發布的消息顯示,2024年1月至3月,我國新能源汽車完成出口30.7萬輛.將30.7萬用科學記數法表示為3.07×
10n,則n的值是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
[變式2]數據“41.5億”用科學記數法表示為( )
A.415×107 B.41.5×108
C.4.15×109 D.4.15×1010
B
C
點睛
(1)科學記數法的書寫形式:a×10n,其中1≤|a|<10,n為正整數.
(2)指數n比原來的整數位數小1.
(3)絕對值大于10的負數同樣可用此法表示,只是前面多一個負號.
探究點二　準確數與近似數
[典例2](濰坊中考)第七次全國人口普查數據顯示,山東省常住人口約為10 152.7萬人.將101 527 000用科學記數法(精確到十萬位)表示為( )
A.1.02×108
B.0.102×109
C.1.015×108
D.0.101 5×109
C
[變式3]用四舍五入法得到的近似數0.13萬精確到了( )
A.十分位
B.百分位
C.十位
D.百位
[變式4]近似數3.06×105精確到了　 　位.
D
千
易錯
沒把數還原,直接確定精確到的數位導致出錯.
[變式5]將640 000精確到十萬位為　 　,4.10×106精確到了　　位.
6×105
萬
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第4課時　有理數的加減混合運算
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有理數的加減混合運算的基本步驟
(1)將有理數加減混合運算統一成　 　運算;
(2)根據需要寫成省略　 　和　 　的和的形式;
(3)恰當運用　 　　和　 　簡化計算.
加法
加號
括號
加法結合律
加法交換律
精講練　新知探究
探究點一　有理數的加減混合運算
[典例1]將6-(+3)-(-7)+(-2)改寫成省略加號和括號的和的形式是( )
A.-6-3+7-2 B.6-3-7-2
C.6-3+7-2 D.6+3-7-2
C
[變式1]式子-2-1+6-9有下面兩種讀法:
讀法一:負2、負1、正6、負9的和;
讀法二:負2減1加6減9.
關于這兩種讀法,下列說法正確的是( )
A.只有讀法一正確
B.只有讀法二正確
C.兩種讀法都不正確
D.兩種讀法都正確
D
[變式2]計算:
(1)-18+(-14)-(-18)-13;
(2)-17.2+(-33.8)-(-8)+42;
解:(1)原式=-18-14+18-13
=(-18+18)-14-13
=-27.
(2)原式=-17.2-33.8+8+42
=-51+8+42
=-1.
點睛
有理數加減混合運算的方法指引
(1)在一個式子里,有加法也有減法,根據有理數減法法則,把減法都轉化成加法,并寫成省略括號和加號的和的形式.
(2)適當運用加法交換律和結合律,使計算簡化.
探究點二　有理數加減混合運算的應用
[典例2]一天早晨的氣溫是-7 ℃,中午上升了12 ℃,半夜又下降了8 ℃,則半夜的氣溫是　 　℃.
-3
[變式3]某口罩加工廠計劃每天生產5 000個口罩,但實際每天生產量與計劃相比有出入,下表是某一周的生產情況.(超產為正,減產為負,單位:個)
星期 一 二 三 四 五 六 日
與計劃 量相比 +100 -200 +400 -100 -100 +350 +150
(1)產量最多的一天比產量最少的一天多生產多少個口罩
解:(1)(+400)-(-200)=600(個).
故產量最多的一天比產量最少的一天多生產600個口罩.
(2)該口罩加工廠實行計件工資制,每生產一個口罩工人可獲得0.2元,本周口罩加工廠應支付工人的工資總額是多少元
解:(2)5 000×7+(100-200+400-100-100+350+150)=35 600(個),
0.2×35 600=7 120(元).
故本周口罩加工廠應支付工人的工資總額是7 120元.
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2.4　有理數的混合運算
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有理數的混合運算
先算　 　,再算乘除,最后算　 　;同級運算,按從　 　到　 　的順序進行;如果有括號,先算　 　里面的,并按　 　括號、　 　括號、
　 　括號的順序進行.
乘方
加減
左
右
括號
小
中
大
精講練　新知探究
點睛
在進行有理數的混合運算時,一要注意乘方運算中括號的作用,二要注意運算順序和符號的確定,三要注意運算律的合理使用.
探究點二　有理數混合運算的應用
[典例2]按照如圖的操作步驟,若輸入x的值為-5,則輸出的值為( )
A.26.5 B.23.5
C.14 D.-11
C
[變式2]小夏和爸爸玩“24點”游戲:爸爸從一副撲克牌(去掉大王、小王)中抽取了黑桃Q、紅桃Q、梅花3(黑色)、方塊A(紅色)四張牌(A代表1,J,Q,K分別代表11,12,13),若規定黑色代表正數,紅色代表負數,用加、減、乘、除、乘方把牌面上的數湊成24,每張牌必須且只能用一次.請列出一個含有乘方運算的算式,將該牌面上的數湊成24:　 .
　.
12+(-12)×(-1)3
(答案不唯一)
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2.2　有理數的乘法與除法
第1課時　有理數乘法法則
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1.有理數乘法法則
兩數相乘,同號得　 　,異號得　 　,并把　 　相乘;任何數與0相乘,積仍得　 　.
2.有理數相乘,先根據因數的符號確定　 　,再根據因數的絕對值確定　 　的絕對值.
3.倒數
　 　的兩個數互為倒數.
正
負
絕對值
0
積的符號
積
乘積是1
精講練　新知探究
-8
4
-3
-8
-3
10
[變式1]下列計算不正確的是( )
A.-1.5×(-3)=4.5
B.(-1.2)×(-7)=-8.4
C.-8×(-1.3)=10.4
D.0×(-1.6)=0
B
探究點二　有理數乘法的應用
[典例2]規定:水位上升為正,水位下降為負;幾天后為正,幾天前為負.若水位每天下降3 cm,今天的水位記為0 cm,則2天前的水位用算式表示正確的是( )
A.(+3)×(+2)
B.(+3)×(-2)
C.(-3)×(+2)
D.(-3)×(-2)
D
[變式3]如圖,小明有5張寫著不同數的卡片,從中取出2張不同的卡片,把卡片中的數相乘,則最大的乘積是　 　.
24
探究點三　倒數
[典例3](1)-0.5的倒數是　 　.
(2)若a,b互為倒數,則-a×b-2 022的值為　 　.
-2
-2 023
[變式4]下列說法中,正確的是( )
A.任何數都有倒數
B.互為倒數的兩個數的積為1
C.一個數的倒數一定比這個數小
D.互為倒數的兩個數的和為零
B
[變式5]在-5,1,-3,5,-2中,任意兩個數相乘,最大的積為m,最小的積為n.
(1)求m,n的值;
(2)若|x+n|=m,求x的值.
解:(1)最大的積為(-5)×(-3)=15,
最小的積為(-5)×5=-25,
所以m,n的值分別為15,-25.
(2)因為|x+n|=m,
所以|x-25|=15,即x-25=±15,
所以x=10或x=40.
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有理數加法法則
(1)同號兩數相加,取　 　的符號 ,并把　 　相加.
(2)絕對值　 　的異號兩數相加,取絕對值較大的加數的　 　,并用較大的絕對值　 　較小的絕對值.互為　 　的兩個數相加得0.
(3)一個數與　 　相加,仍得這個數.
2.1　有理數的加法與減法
第1課時　有理數加法法則
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第2章　有理數的運算
相同
絕對值
不相等
符號
減去
相反數
0
精講練　新知探究
76
-4
[變式1]有理數a,b在數軸上的對應點的位置如圖,則a+b　 　0.(填“>”
“<”或“=”)
<
解:(1)15+(-3)=12.
(2)(-12)+(-23)=-35.
點睛
有理數加法運算的順序
(1)判斷加數的符號是同號還是異號,是否有0;
(2)確定用哪一條法則.
探究點二　有理數加法法則的應用
[典例2]一只青蛙從某點O出發在一條直線上來回跳躍了7次,假定向右跳的路程記為正數,跳躍的各段路程(單位:cm) 依次為+5,-3,+10,-8,-6,
+12,-10.
(1)青蛙最后在哪個位置上
解:(1)+5+(-3)+10+(-8)+(-6)+12+(-10)=0(cm),
即青蛙最后在出發點O的位置上.
(2)在跳躍過程中,如果每跳躍 1 cm給青蛙記1分,那么青蛙一共得到多少分
解:(2)|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|=54(cm),
54×1=54(分).
所以青蛙一共得到54分.
[變式3]把筆尖放在數軸的原點,沿數軸先向左(負方向)移動6個單位長度,再向右移動3個單位長度,用算式表示上述過程與結果,正確的是( )
A.6+3=9 B.-6-3=-9
C.6-3=3 D.-6+3=-3
D
[變式4]已知|a|=4,|b|=3,當a,b異號時,求a+b的值.
解:因為|a|=4,|b|=3,
所以a=±4,b=±3.
因為a,b異號,所以a+b=4+(-3)=1,
或a+b=-4+3=-1,所以a+b=±1.
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第2課時　有理數的加法運算律
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1.加法交換律
兩個數相加,交換加數的　 　　,和　 　,即a+b=　 　.
2.加法結合律
三個數相加,先把　 　兩個數相加,或者先把　 　兩個數相加,　 　不變,即(a+b)+c=a+(b+c).
位置
不變
b+a
前
后
和
3.互為相反數的兩個數先相加——“　 　結合法”;符號相同的數先相加——“　 　結合法”;分母相同(或分母成倍數關系易化成同分母)的數先相加——“　 　結合法”;整數與整數、分數與分數先相加——“　 　結合法”.
4.幾個數相加得到整數的先相加——“　 　”;帶分數相加時,可先拆成整數與分數的和,再分別相加——“　 　”.
相反數
同號
同分母
同形
湊整法
拆分法
精講練　新知探究
C
-10
[變式2]計算:
(1)25+(-18)+4+(-10);
解:(1)25+(-18)+4+(-10)
=(25+4)+[(-18)+(-10)]
=29+(-28)=1.
探究點二　有理數加法的實際應用
[典例2]下表記錄的是今年某水域某一周內的水位變化情況,這一周的上周日的水位已達到警戒水位33 m(正號表示水位比前一天上升,負號表示水位比前一天下降).
星期 一 二 三 四 五 六
水位變化/m +0.2 +0.8 -0.4 +0.2 +0.3 -0.2
(1)本周哪一天的水位最高 位于警戒水位之上還是之下
(2)與上周周日相比,本周周六水位是上升了還是下降了 請通過計算說明理由.
解:(1)周一:+0.2 m,
周二:(+0.2)+0.8=+1(m),
周三:(+1)-0.4=+0.6(m),
周四:(+0.6)+0.2=+0.8(m),
周五:(+0.8)+0.3=+1.1(m),
周六:(+1.1)-0.2=+0.9(m).
故本周五水位最高,位于警戒水位之上1.1 m.
(2)上升了.理由如下:+0.2+0.8-0.4+0.2+0.3-0.2=0.9(m),故與上周
周日相比,本周周六水位上升了0.9 m.
[變式3]某市交警駕駛汽車在一條東西方向的公路上巡邏,約定向東為正方向,從出發點A開始所走的路程如下(單位:千米):+14,-9,+8,-7,+13,-6,+12,-5.
(1)請你確定交警最后所在地相對于A地的方位.
(2)汽車每千米耗油0.2升,如果隊長命令他馬上返回出發點,那么這次巡邏(含返回)共耗油多少升
解:(1)+14+(-9)+(+8)+(-7)+(+13)+(-6)+(+12)+(-5)=20(千米).
答:交警最后所在地在A地的東方20千米處.
(2)14+|-9|+8+|-7|+13+|-6|+12+|-5|+20=94(千米),
94×0.2=18.8(升).
答:這次巡邏(含返回)共耗油18.8升.
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第3課時　有理數除法法則
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1.有理數除法法則
(1)兩數相除,同號得　 　,異號得　 　,并把絕對值　 　.0除以任何一個　 　的數都得0.0　 　作除數.
(2)除以一個不為0的數,等于乘這個數的　 　.
2.有理數的乘除混合運算
有理數的乘除混合運算,先把除法轉化為乘法,運用乘法法則確
定積的　 　,再按照　 　的順序進行計算.
正
負
相除
不等于0
不能
倒數
符號
從左到右
精講練　新知探究
4
-3
0
[變式1]某同學在計算-16÷a時,誤將“÷”看成“+”,結果是
-12,則-16÷a的正確結果是　 　.
-4
點睛
有理數除法的方法指引
(1)兩數相除,同號得正,異號得負,并把絕對值相除.0除以任何一個不等于0的數,都得0.
(2)有理數的除法要分情況靈活選擇法則,若是整數與整數相除,一般采用“同號得正,異號得負,并把絕對值相除”;若有分數,則采用“除以一個不等于0的數,等于乘這個數的倒數”.
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2.3　有理數的乘方
第1課時　有理數的乘方
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2.正數的任何次冪都是　 　;負數的　 　是正數,負
數的　 　是負數;0的任何　 　次冪都是0.
相同因數
積
冪
底數
指數
冪
正數
偶次冪
奇次冪
正整數
精講練　新知探究
探究點一　有理數的乘方
[典例1]對于算式(-3)4,正確的說法是( )
A.3是底數,4是指數
B.3是底數,4是冪
C.-3是底數,4是冪
D.-3是底數,4是指數
D
-9
8
72
[變式1]有下列各數:(-3)3,-(-3),(-3)4,-|-3|,-33.其中負數有( )
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
[變式2]下列各對數中,數值相等的是( )
A.-3×23與-32×2
B.-32與(-3)2
C.-(-3)2與-(-2)3
D. -25與(-2)5
B
D
D
[變式3]細菌是靠分裂進行繁殖的,也就是1個細菌分裂成2個細菌,分裂完的細菌長大以后又能進行分裂,例如,圖中所示為某種細菌分裂的電鏡照片,顯示這種細菌每20 min就能分裂一次,1個這種細菌經過3 h可以分裂成　 　個細菌.
512
探究點三　偶次冪的非負性
[典例4]已知(b+3)2與|a-2|互為相反數,則ba等于( )
A.9 B.-9 C.-6 D.6
[變式4]若(a-3)4+|b+7|=0,則a+b的值為　 　.
[變式5]已知有理數a,b滿足(a+1)2+|b-1|=0,求a2 025+b2 025的值.
A
-4
解:因為(a+1)2+|b-1|=0,
(a+1)2≥0,|b-1|≥0,
所以a+1=0,b-1=0,所以a=-1,b=1,
所以a2 025+b2 025=(-1)2 025+12 025=0.
謝謝觀賞！

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