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第2課時　一元一次方程與實際問題(2)
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解決調配問題首先要弄清楚調配對象流動的方向和數量,從調配后的數量關系中找出等量關系.
精講練　新知探究
探究點一　調配問題
[典例1]某學校在藝術節期間,選派志愿者負責藝術節的聯絡服務和文化展示服務工作,負責聯絡服務工作的有15人,負責文化展示服務工作的有8人,因工作需要,又調10人去支援兩服務處,使得負責聯絡服務工作的人數比負責文化展示服務工作的人數的2倍多3人,則應調往聯絡、文化展示兩服務處各多少人
解:設應調往聯絡服務處x人,則調往文化展示服務處(10-x)人.
依題意,得(15+x)-2[8+(10-x)]=3,
解得x=8,
所以10-x=10-8=2.
答:應調往聯絡服務處8人,文化展示服務處2人.
B
[變式2]小芳和小華同時采摘櫻桃,小芳平均每小時比小華多采摘1 kg,兩人半小時共采摘了7.5 kg.
(1)小芳和小華平均每小時各采摘多少千克櫻桃
(2)兩人共同采摘了若干小時后,小芳從她采摘的櫻桃中取出1 kg給了小華,這時兩人的櫻桃一樣多.她們共同采摘了多長時間
解:(2)設她們共同采摘了y小時.
根據題意,得8y-1=7y+1,
解得y=2.
答:她們共同采摘了2小時.
探究點二　配套問題
[典例2]某工廠用硬紙生產圓柱形茶葉筒.已知該工廠有44名工人,每名工人每小時可以制作筒身50個或制作筒底120個.要求一個筒身配兩個筒底,設應該分配x名工人制作筒身,其他工人制作筒底,使每小時制作出的筒身與筒底剛好配套,則可列方程為( )
A.2×120(44-x)=50x
B.2×50(44-x)=120x
C.120(44-x)=2×50x
D.120(44-x)=50x
C
[變式3]某車間有66名工人,每名工人一天能生產甲種零件24個或乙種零件15個,甲種零件3個與乙種零件5個配成一套機件.若合理分配所有工
人,使得每天生產的零件剛好配套,則每天可生產　 　套機件.
144
[變式4]某車間為提高生產總量,在原有16名工人的基礎上,新調入若干名工人,使得調整后車間的總人數比新調入工人人數的3倍多 4名.
(1)新調入多少名工人
解:(1)設新調入x名工人.
根據題意,得16+x=3x+4,
解得x=6,經檢驗,x=6符合題意,所以新調入6名工人.
(2)在(1)的條件下,每名工人每天可以生產240個螺栓或400個螺母,1個螺栓需要2個螺母,為使每天生產的螺栓和螺母剛好配套,應該安排生產螺栓和螺母的工人各多少名
解:(2)由(1),知調入6名工人后,車間有工人16+6=22(名).設安排y名工人生產螺栓,則安排(22-y)名工人生產螺母.
因為每天生產的螺栓和螺母剛好配套,所以240y×2=400(22-y),
解得y=10,經檢驗,y=10符合題意,所以22-y=22-10=12,所以10名工人生產螺栓,12名工人生產螺母,可使每天生產的螺栓和螺母剛好配套.
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第3課時　解一元一次方程(3)
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1.去分母的方法
利用等式的基本性質2,方程兩邊所有的項都要乘各分母的　 　.注意不要漏乘沒有分母的項.
2.解一元一次方程的一般步驟
(1)　 　 ;(2)　 　;(3)移項;(4)合并同類項;(5)系數
化為　 　.
最小公倍數
去分母
去括號
1
精講練　新知探究
探究點一　解含有括號的一元一次方程
[典例1]解方程2(2x-1)=1-(3-x),去括號正確的是( )
A.4x-1=1-3-x
B.4x-1=1-3+x
C.4x-2=1-3+x
D.4x-2=1-3-x
[變式1]解方程3-x=2-5(x-1)時,去括號,得3-x=　 　.
C
2-5x+5
[變式2]解方程:
(1)2(x-3)+1=3x-4;
解:(1)2(x-3)+1=3x-4,
去括號,得2x-6+1=3x-4,
移項,得2x-3x=-4+6-1,
合并同類項,得-x=1,
系數化為1,得x=-1.
(2)(x+2)-2(x-1)=2-3x;
解:(2)(x+2)-2(x-1)=2-3x,
去括號,得x+2-2x+2=2-3x,
移項,得x-2x+3x=2-2-2,
合并同類項,得2x=-2,
系數化為1,得x=-1.
(3)4x+2(4x-3)=2-3(x+1).
探究點二　解含有分母的一元一次方程
B
解:(2)去分母,得2(x+2)-6=3(x-1),
去括號,得2x+4-6=3x-3,
移項,得2x-3x=-3-4+6,
合并同類項,得-x=-1,
系數化為1,得x=1.
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第3課時　一元一次方程與實際問題(3)
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1.路程問題基本公式
路程=　 　,速度=　 　,時間=　 　 .
2.常見的題型
(1)相遇問題;(2)追及問題;(3)航行問題.
速度×時間
精講練　新知探究
探究點一　相遇問題
[典例1]甲、乙兩地相距270千米,從甲地開出一輛快車,速度為120千米/時,從乙地開出一輛慢車,速度為75千米/時.如果兩車相向而行,慢車先開出1小時后,快車開出,那么再經過多長時間兩車相遇 若設再經過x小時兩車相遇,則根據題意可列方程為( )
A.75+(120-75)x=270
B.75+(120+75)x=270
C.120(x-1)+75x=270
D.120+(120+75)x=270
B
[變式1]A地到B地的距離約是300 km,一輛貨車從A地出發開往B地,另一輛轎車從B地出發開往A地,轎車的平均速度為90 km/h,貨車的平均速度為60 km/h.
(1)若兩車同時出發,則它們經過多少小時相遇
解:(1)設它們經過x h相遇,
由題意,得90x+60x=300,
解得x=2.
答:它們經過2 h相遇.
(2)若貨車先行駛60 km,則轎車要開出多少小時才能與貨車相遇
探究點二　追及問題
[典例2]甲、乙兩人練習賽跑,甲每秒跑7 m,乙每秒跑5 m,甲讓乙先跑
8 m,設甲出發x s可追上乙,則可列方程為( )
C
[變式2]一輛客車和一輛卡車都從A地出發沿同一條公路勻速駛向B地,客車的行駛速度為70千米/時,卡車的行駛速度為60千米/時,已知卡車提前1小時出發,結果兩車同時到達B地.
(1)求A,B兩地的距離.
(2)客車出發多少小時后,兩車第一次相距20千米
解:(2)設客車出發y小時后,兩車第一次相距20千米.
依題意,得70y+20=60(y+1),
解得y=4.
答:客車出發4小時后,兩車第一次相距20千米.
探究點三　航行問題
[典例3]某人駕駛一艘小船航行在甲、乙兩碼頭之間,順水航行需6 h,逆水航行比順水航行多用2 h,若水流速度是每小時2 km,求甲、乙兩碼頭之間的距離.
解:設船在靜水中的速度為x km/h.
根據題意,得6(x+2)=(6+2)(x-2),
解得x=14,
6×(14+2)=96(km).
答:甲、乙兩碼頭之間的距離為96 km.
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5.3　一元一次方程的解法
第1課時　解一元一次方程(1)
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1.求方程的　 　的過程,叫作解方程.
2.解一個以x為未知數的方程,就是把方程轉化為　 　(c為常數)的形式.
3.系數化為1是運用等式的　 　將方程的兩邊都除以未知數的系數.
解
x=c
基本性質2
精講練　新知探究
探究點一　解一元一次方程——系數化為1
A
B
解:(1)系數化為1,得x=-12.
(3)系數化為1,得x=-15.
(4)系數化為1,得x=2.
探究點二　解一元一次方程——合并同類項
[典例2]解下列方程:
(1)8x-3x=-5+7.5;
[變式3]下列各方程合并同類項不正確的是( )
A.由3x-2x=3合并同類項,得x=3
B.由3x-4x=3合并同類項,得-x=3
C.由6x-2x+3x=12合并同類項,得x=12
D.由-3x+2x=5合并同類項,得-x=5
C
[變式4]解方程:
(1)5x-2x=9;
(2)-6x+3x=-1-8;
解:(1)合并同類項,得3x=9,
系數化為1,得x=3.
(2)合并同類項,得-3x=-9,
系數化為1,得x=3.
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5.4　一元一次方程與實際問題
第1課時　一元一次方程與實際問題(1)
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1.和、差、倍、分問題
此類題要結合題意,特別注意題目中的關鍵詞語的含義,如相等、和、差、幾倍、幾分之幾、多、少、快、慢等.
2.比賽積分問題
比賽總場數=勝場數+負場數+平場數;比賽總積分=　 　積分+
　 　積分+　 　積分.
勝場
負場
平場
精講練　新知探究
探究點一　和、差、倍、分問題
[典例1]某新能源汽車公司的產值連續三年增長,第二年的產值比第一年的產值多60億元,第三年的產值是第一年的產值的2倍,已知該公司這三年的總產值是460億元.如果設第一年的產值為x億元,那么根據題意,可列方程為( )
A.x+60+2x=460
B.x+x+60+2(x+60)=460
C.x+x+60+2x=460
D.x+x-60+2x=460
C
[變式1]《增刪算法統宗》記載:“有個學生資性好,一部孟子三日了,每日增添一倍多,問君每日讀多少 ”其大意是:有個學生天資聰慧,三天讀完一部《孟子》,每天閱讀的字數是前一天的兩倍,問他每天各讀多少個字 已知《孟子》一書共約有35 000個字,設他第一天讀x個字,則下面所列方程正確的是( )
B
[變式2]我國古代《孫子算經》記載“多人共車”問題:“今有三人共
車,二車空;二人共車,九人步,問人與車各幾何 ”意思是說:“每三人共乘一輛車,最終剩余2輛車;每2人共乘一輛車,最終有9人無車可乘,問人和車的數量各是多少 ”
設共有y輛車,根據題意列方程得　 　;
設共有x人,根據題意列方程得 　.
3(y-2)=2y+9
探究點二　比賽積分問題
[典例2]某中學七(1)班足球隊參加比賽(每場必分勝負),勝一場得2分,負一場得1分,該隊共賽了9場,共得15分,該隊勝了多少場 設該足球隊勝了x場,根據題意所列方程正確的是( )
A.2(9-x)+x=15 B.2(9+x)+x=15
C.2x+(9-x)=15 D.2x+(9+x)=15
[變式3]甲、乙兩個足球隊進行比賽,規定勝一場得3分,平一場得1分,負一場得0分,共賽10場,甲隊保持不敗,得22分,那么甲隊勝了　　場.
C
6
[變式4]某校七年級舉行“數學知識應用能力”測試,測試卷由20道題組成,答對一道題得5分,不答或答錯一道題扣1分,某考生的成績為70分,則他答對了多少道題
解:設他答對了x道題.
根據題意,得5x-(20-x)=70,
解得x=15,
經檢驗,x=15符合題意,
所以他答對了15道題.
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第4課時　一元一次方程與實際問題(4)
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工程問題
(1)基本關系式:
工作總量=　 　;
工作時間=　 　;
工作效率=　 　.
(2)常用等量關系:工作總量=各部分工作量之和.
工作效率×工作時間
精講練　新知探究
探究點　工程問題
(2)若甲先單獨修5天,之后甲、乙合作修完這條公路,求甲、乙還需合作幾天才能修完這條路.
[變式1]一項工程,甲單獨做需10天完成,乙單獨做需12天完成,丙單獨做需15天完成,甲、乙合作3天后,甲因事離開,丙加入工作,則該工程還需幾天完成 設還需x天完成,依題意可列一元一次方程為　 　.
解:(1)甲隊整治河道的天數　甲隊整治河道的長度
(2)選擇小李、小張的方法中的一種,補全方程,并求甲、乙兩隊分別整治河道的長度.(寫出完整的解答過程)
解:(2)選擇小李:設甲隊整治的天數為x天,則乙隊整治的天數為(80-
x)天.
由題意,得32x+24(80-x)=2 400,
解得x=60,
甲隊整治河道的長度為32×60=1 920(m),
乙隊整治河道的長度為2 400-1 920=480(m).
答:甲隊整治河道1 920 m,乙隊整治河道480 m.
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第2課時　解一元一次方程(2)
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1.把方程中的某一項改變　 　后,從方程的一邊移到另一邊,這種變形叫作移項.
2.移項的依據是　 　.
符號
等式的基本性質1
精講練　新知探究
探究點一　移項
[典例1]將方程9-x=4x-2移項,正確的是( )
A.-x+4x=9-2
B.-x-4x=-2+9
C.-x-4x=-2-9
D.-x-4x=2-9
C
[變式1]下列方程的變形正確的是( )
A.由3x-5=2x+6,移項得3x+2x=6+5
B.由-8x+3=-13x-7,移項得13x-8x=-3-7
C.由7x+3=3x+4,移項得7x-3x=4+3
D.由-5x-7=2x-11,移項得11-7=2x-5x
B
A
探究點二　解簡單的一元一次方程
[典例2]解方程:
(1)3x+7=32-2x;
解:(1)移項,得 3x+2x=32-7,
合并同類項,得5x=25,
系數化為1,得 x=5.
[變式3]方程4x-6=2x+4的解是( )
A.x=-1 B.x=1
C.x=5 D.x=-5
[變式4]若關于x的方程x+2a=0的解與方程x-1=2x-4的解相同,則a=
　 　.
C
-1.5
[變式5]解方程:
(1)5x-4=3x;
(2)3x-2=4+2x;
解:(1)移項,得5x-3x=4,
合并同類項,得2x=4,
系數化為1,得x=2.
(2)移項,得3x-2x=4+2,
合并同類項,得x=6.
解:(3)移項,得9x-6x=7+8,
合并同類項,得3x=15,
系數化為1,得x=5.
解簡單的一元一次方程
(1)先移項,將含有未知數的項移到方程左邊,將常數項移到方程右邊;
點睛
(2)合并同類項,使方程逐漸轉化為ax=b(a≠0)的形式;
(3)將ax=b(a≠0)的系數化為1,求出方程的解.
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第5課時　一元一次方程與實際問題(5)
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1.銷售問題
等量關系:利潤=售價-成本;
利潤率=　　 ×100%;
售價=成本+　 　=成本×(1+　 　).
2.本息問題
利息=本金×　 　×　 　;本息和=本金+利息.
利潤
利潤率
利率
期數
精講練　新知探究
探究點一　銷售問題
[典例1]一商店以每件75元的價格賣出兩件不同的商品,其中一件盈利25%,另一件虧損25%,則該商店賣出這兩件商品總的盈虧情況是( )
A.虧損10元 B.盈利10元
C.虧損20元 D.不盈不虧
A
[變式1]某種商品每件的進價為80元,標價為120元,為了拓展銷路,商店準備打折銷售,若使利潤率為20%,設商店打x折銷售,則依題意列方程正確的是( )
C
[變式2]學校為開展“課后延時服務”,計劃購買一批乒乓球拍和羽毛球拍,已知一副羽毛球拍的單價比乒乓球拍貴20元,購買12副乒乓球拍和8副羽毛球拍共1 360元.
(1)乒乓球拍和羽毛球拍的單價各是多少元
解:(1)設乒乓球拍的單價為x元,則羽毛球拍的單價為(x+20)元.
由題意,得12x+8(x+20)=1 360,
解得x=60,
所以x+20=60+20=80.
答:乒乓球拍和羽毛球拍的單價分別為60元、80元.
(2)在“雙十一”促銷活動中,某商店有以下優惠方案:
方案一:商品按原價打9折優惠;
方案二:商品按原價購買,超過2 000元的部分打7折優惠.
現計劃購買30副乒乓球拍和20副羽毛球拍,請通過計算說明按照哪種方案購買較為合算.
解:(2)方案一:(30×60+20×80)×0.9=3 060(元);
方案二:2 000+(30×60+20×80-2 000)×0.7=2 980(元).
因為3 060>2 980,
所以按照方案二購買較為合算.
探究點二　本息問題
[典例2]某銀行一年定期存款的年利率為1.75%,小麗的媽媽取出一年到期的本息和為20 350元,求小麗的媽媽存入的本金.
解:設小麗的媽媽存入的本金為x元.
根據題意,得(1+1.75%)x=20 350,
解得x=20 000,
經檢驗,x=20 000符合題意,
所以小麗的媽媽存入的本金為20 000元.
[變式3]某人將20 000元存入銀行,存期3年,到期后共得21 440元,求三年期的年利率.
解:設三年期的年利率為x.
根據題意,得20 000+20 000x×3=21 440,
解得x=0.024,0.024×100%=2.4%.
答:三年期的年利率為2.4%.
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5.1　認識方程
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第5章　一元一次方程
1.含有未知數的　 　叫作方程.使方程的等號兩邊　 　的未知數的值叫作方程的解.
2.只含有一個未知數的　 　也叫作方程的根.
3.方程中只含有　 　未知數,并且未知數的次數都是　 　,等號兩邊都是　 　,這樣的方程叫作一元一次方程.
等式
相等
方程的解
一個
1
整式
精講練　新知探究
探究點一　(一元一次)方程的概念及其解
[典例1]下列各式是方程的有( )
①2x-3=7;②8+5=13;③2m-3n=0;④2+5x;⑤x+2>3.
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
C
C
[典例3]下列方程中,x=3是其解的是( )
A.3x=6 B.(x-3)(x+1)=0
C.x+3=0 D.x(x-1)=4
[變式1]下列各數,是方程x3+2x=-3的解的是( )
A.0 B.1
C.-1 D.-2
B
C
(1)要判斷一個方程是不是一元一次方程,要同時滿足:①方程的等號兩邊都是整式;②未知數的次數都是1;③只含有一個未知數,含未知數的項的系數不為0.
點睛
(2)給出方程的解求其中的字母系數,或者判斷某數是不是方程的解,都可以直接代入求解 .
探究點二　根據題意列方程
[典例4]根據題意列方程:
(1)用一根長為16 m的鐵絲圍成一個長方形,已知長方形的長比寬長2 m,設這個長方形的寬是x m,則根據題意可列方程為　 　.
(2)在愛心捐款活動中,甲班學生共捐款266元,捐款數額比乙班的2倍還多30元.設乙班學生捐了x元,根據題意列方程為　 　.
(3)甲、乙兩人共同加工零件270個,甲每小時加工10個零件,乙每小時加工15個零件,甲比乙多用2小時,求甲用了幾小時.若設甲用了x小時,
則可列出方程為　 　.
2(x+x+2)=16
2x+30=266
10x+15(x-2)=270
[變式2]根據下列題干設未知數建立方程模型,并判斷它是不是一元一次方程.
(1)小紅對小敏說:“我是6月份出生的,我的年齡的2倍加上10天,正好是我出生的那個月的總天數,你猜我有幾歲 ”
解:(1)設小紅的歲數為x.
由題意,得2x+10=30.
它是一元一次方程.
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5.2　等式的基本性質
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1.等式的基本性質1
等式兩邊都加上(或減去)　 　代數式,結果仍是　 　,即如果a=b,那么a+c=b+c,a-c=b-c.
2.等式的基本性質2
同一個
等式
不為零
等式
c≠0
精講練　新知探究
探究點一　等式的基本性質1
[典例1]若a=b,根據等式的基本性質,下列變形不成立的是( )
A.2+a=2+b B.a-5=b-5
C.a+m=b+m D.a+1=b-1
[變式1]若a+3=2b-5,則下列等式不一定成立的是( )
A.a+8=2b B.a+5=2b+3
C.a-2b=-8 D.a-b=b-8
D
B
[變式2](1)如果5x+3=-7,那么5x=-7+　 　.
(2)如果3x=2x+6,那么3x　 　=6.
(3)如果2m-3=3n+1, 那么2m-3n=　 　.
(4)如果1-a=2,那么a=　 　.
(-3)
-2x
4
-1
探究點二　等式的基本性質2
C
D
C
[變式5]填空:
(1)如果5x=4x+9,那么x=　 　,依據:　 　;
(2)如果3x=7,那么x= 　 ,依據:　 　;
(3)如果x+3=1-2x,那么x+2x=　 　,依據:　 　;
9
等式的基本性質1
等式的基本性質2
-2
等式的基本性質1
等式的基本性質2
[變式6]回答下列問題:
(1)怎樣從等式3x=2x+7得到x=7
(2)怎樣從等式5x=-15得到x=-3
解:(1)等式兩邊同時減去2x,得
3x-2x=2x+7-2x,所以x=7.
(4)等式兩邊同時減去3,得2a=2b,
兩邊再同時除以2,得a=b.
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