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6.4　角
第1課時　角的表示
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1.角的有關概念
(1)有　 　的兩條　 　組成的幾何圖形叫作角.這個公共端點叫作角的　 　,這兩條射線叫作角的　 　.
(2)角也可以看作是由一條射線繞著它的　 　從起始位置　 　到終止位置所形成的圖形.射線旋轉時經過的平面部分是角的　 　.
公共端點
射線
頂點
邊
端點
旋轉
內部
(3)一條射線繞端點旋轉,當終止位置與起始位置成一條直線時,所成的角是　 　角.射線繼續(xù)按原來的方向旋轉,當終止位置與起始位置重合時,所成的角是　 　角.
2.角的表示方法
(1)用符號“∠”和三個大寫英文字母表示;
(2)用符號“∠”和一個大寫英文字母表示;
(3)用符號“∠”和一個阿拉伯數字表示;
(4)用符號“∠”和一個小寫希臘字母表示.
平
周
精講練　新知探究
探究點一　角的有關概念
[典例1]有下列說法:
①由兩條射線組成的圖形叫作角;
②兩條有公共端點的線段組成的圖形叫作角;
③從同一點引出的兩條射線組成的圖形是角;
④一個角的兩邊可以延長;
⑤因為平角的兩邊成一條直線,所以一條直線可以看成一個平角;
⑥周角是一條射線.
其中,正確說法的個數為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
A
探究點二　角的表示方法
[典例2]如圖,有下列說法:①∠1就是∠A;②∠2就是∠B;③∠3就是∠C;④∠4就是∠D.其中正確的是( )
A.① B.①②
C.①②③ D.①②③④
A
[變式]如圖,將圖中的角用不同的方式表示出來,并填寫下表:
∠1 　 　 　 ∠β 　
　 　 ∠ACB ∠BAC 　 　 ∠ABC
∠α
∠2
∠B
∠BCE
∠DAB
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6.3　線段的比較與運算
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1.線段的比較方法有　 　、　 　、　 　.
2.在數學中,只使用　 　的直尺和　 　作圖的方式稱為尺規(guī)作圖.
3.線段AC是a與b的和,記作AC=　 　; 線段AC是a與b的差,記作AC=
　 　.
4.如果點M把線段AB分成　 　的兩條線段AM和BM,那么點M
叫作線段AB的　 　.
度量法
疊合法
截取法
無刻度
圓規(guī)
a+b
a-b
相等
中點
精講練　新知探究
探究點一　線段的比較與和差
[典例1]有不在同一直線上的兩條線段AB和CD,小明很難判斷出它們的長短,因此他借助于圓規(guī),操作如圖,由此可得出( )
A.AB=CD
B.AB>CD
C.ABD.無法確定
B
[典例2]根據如圖的圖形填空:
(1)點A,B,C,D在同一條直線上,則圖中共有　 　條線段;
(2)AB=AD+　 　;
(3)CD=　 　;
(4)AD-AC+BD=　 　=CD+　 　.
[變式1]已知線段AB=5 cm,P,Q是線段AB上的兩點,且AQ=3 cm,BP=4 cm,則PQ=　 　cm.
6
BD
AD-AC(答案不唯一)
BC
BD
2
[變式2]如圖,同一平面上有點A和線段BC.
(1)畫射線AC、直線AB;
(2)使用尺規(guī),比較2AB與線段BC的長短.(要求保留作圖痕跡)
解:(1)如圖,射線AC、直線AB即為所求.
(2)如圖,2AB探究點二　線段的中點
[典例3]已知:如圖,AB=18 cm,點M是線段AB的中點,點C把線段MB分成
MC∶CB=2∶1的兩部分,求線段AC的長.
解:因為M是線段AB的中點,AB=18 cm,
所以AM=MB= 　　AB=　 　cm.
因為MC∶CB=2∶1,
所以MC= 　 MB=　 　cm.
所以AC=AM+　 　=　 　cm.
9
6
MC
15
[變式3]如圖,CB=4 cm,DB=7 cm,點D為AC的中點,則AB的長為( )
A.7 cm B.8 cm
C.9 cm D.10 cm
D
[變式4]如圖,C為線段AB的中點,AC=6,D是線段AB的三等分點,求BD的長.
①
②
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第2課時　度、分、秒的換算
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1.把一個周角　 　等分,每一份叫作1度的角,1度記作　 　,因此,
1周角=　 　.
2.把1°的角　 　等分,每一份叫作1分的角,1分記作　 　,把1′的角　 　等分,每一份叫作1秒的角,1秒記作　 　.
3.歸納:1°=　 　′,1′=　 　″.
4.　 　、　 　、　 　是角的基本度量單位.
360
1°
360°
60
1′
60
1″
60
60
度
分
秒
精講練　新知探究
探究點一　度、分、秒的換算
[典例1]用度、分、秒表示61.34°為　 .
[變式1]已知∠A=20°18′,∠B=20°15′30″,∠C=20.25°,則( )
A.∠A>∠B>∠C B.∠B>∠A>∠C
C.∠A>∠C>∠B D.∠C>∠A>∠B
61°20′24″　
A
探究點二　 角度的計算
[典例2]計算:
(1)16°42′37″+25°31′42″=　 　;
(2)34°-10°15′=　 　.
[變式2](1)27°37′+53°48′=　 　;
(2)90°-51°28′=　 　;
(3)12°25′×3=　 　;
(4)65°24′÷4=　 　.
42°14′19″
23°45′
81°25′
38°32′
37°15′
16°21′
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6.2　線段、射線和直線
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1.線段有　 　個端點;線段向一個方向無限延伸得到　 　,射線只有　 　個端點;線段向兩個方向無限延伸得到　 ,直線　 　端點.射線、線段都是　 　的一部分.
2.線段、射線、直線都可以用　 　或　 .
　表示.
兩
射線
一
直線
沒有
直線
兩個大寫英文字母
一個小寫英文
字母
3.點與直線的位置關系:點在直線　 　,點在直線　 　.
4.基本事實:經過　 　能且只能作一條直線.簡單說成:　 .
　.
5.基本事實:兩點間所有連線中,　 　最短.簡單說成:　 .
　.
6.連接兩點間的　 　,叫作這兩點間的距離.
上
外
兩點
兩點確定
一條直線
線段
兩點之間,
線段最短
線段的長度
精講練　新知探究
探究點一　線段、射線、直線的表示
[典例1]如圖,下列說法不正確的是( )
A.直線AB與直線BA是同一條直線
B.線段AB與線段BA是同一條線段
C.射線OA與射線OB是同一條射線
D.射線OA與射線AB是同一條射線
D
[變式1]下列說法中正確的是( )
A.延長線段AB和延長線段BA的含義是相同的
B.延長直線AB
C.射線CD可表示為射線DC
D.線段AB可表示為線段BA
D
探究點二　點與直線的位置關系
[典例2]如圖.
(1)點B在直線AD　 　,點F在直線　 上;
(2)點C在直線AD　 　,點E是直線　 　和　 　的交點;
(3)經過點C的直線共有　 　條,它們分別是　 　.
上
BC和AE
外
AE
CD
3
直線AC,BC,DC
[變式2]下列說法錯誤的是( )
A. 直線l經過點A
B. 直線a,b相交于點A
C. 點C在線段AB上
D. 射線CD與線段AB有公共點
C
點與直線的位置關系有兩種:
(1)點在直線上,或者說直線經過點;
點睛
(2)點在直線外,或者說直線不經過點.
探究點三　直線、線段的性質
[典例3]有下列日常現象:
①用兩個釘子就可以把一根木條固定在墻上;
②把彎曲的公路改直,就能縮短路程;
③園林工人栽一行樹先栽首尾的兩棵樹;
④建筑工人砌墻時,經常先在兩端立樁拉線然后沿著線砌墻.
其中,可以用“兩點確定一條直線”來解釋的現象是( )
A.①④ B.②③
C.①②④ D.①③④
D
探究點四　兩點間的距離
[典例4]已知點A,B,C在同一條直線上,如果線段AB=7 cm,BC=3 cm,那么A,C兩點間的距離是( )
A.4 cm B.10 cm
C.4 cm或10 cm D.5 cm或10 cm
C
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6.6　余角和補角
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1.余角與補角的概念
(1)如果兩個角的和為　 　,就說這兩個角互為余角,簡稱互余,其中一個角叫作另一個角的余角.
(2)如果兩個角的和為　 　, 就說這兩個角互為補角,簡稱互補,其中一個角叫作另一個角的補角.
2.余角和補角的性質
(1)同角或等角的余角　 　.
(2)同角或等角的補角　 　　.
90°
180°
相等
相等
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探究點一　余角與補角的概念
[典例1]如圖,直線AB與CD相交于點O,射線OE在∠BOC內.
(1)若∠BOD的補角是它的余角的4倍,求∠BOD的度數;
解:(1)依題意,得180°-∠BOD=4(90°-∠BOD),
解得∠BOD=60°.
(2)在(1)的條件下,若∠COE比∠BOE大10°,求∠COE的度數.
解:(2)因為∠BOD=60°,
所以∠BOE+∠COE=180°-∠BOD=120°.
又因為∠COE-∠BOE=10°,
所以∠COE=65°.
[變式1]已知一個角的補角比這個角的余角的3倍大10°,則這個角的度數是　 　度.
[變式2]如圖,點O在直線AB上,∠AOC與∠COD互補,OE平分∠AOC.若∠BOC
=50°,求∠DOE的度數.
50
解:因為點O在直線AB上,∠BOC=50°,
所以∠AOC=130°.
因為∠AOC與∠COD互補,所以∠COD=50°.
因為OE平分∠AOC,所以∠EOC=65°,
所以∠DOE=15°.
探究點二　余角與補角的性質
[典例2](1)如圖①,∠AOB=∠COD=90°,∠1與∠2相等嗎 為什么
解:(1)相等.
理由如下:
因為∠AOB=90°,
所以∠1+∠BOC=90°.
因為∠COD=90°,
所以∠2+∠BOC=90°.
所以∠1=∠2.
①
(2)如圖②,直線MN與直線PQ相交于點E,∠1與∠2相等嗎 為什么
解:(2)相等.理由如下:
因為∠MEN=180°,
所以∠1+∠MEQ=180°.
因為∠PEQ=180°,
所以∠2+∠MEQ =180°.
所以∠1 =∠2.
②
[變式3]如圖,將一副三角板的兩個直角頂點重合擺放到桌面上,若∠BOC
=34°29′,則∠AOD=　 　.
145°31′
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6.5　角的比較與運算
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1.角的大小比較
(1)　 　:用量角器分別量出兩個角的度數,再根據度數的大小來比較.
(2)　 　:將兩個角的頂點及一邊重合,把兩個角的另一邊放在重合邊的同側比較.
度量法
疊合法
2.角的平分線
(1)定義:從一個角的頂點引出的一條射線,把這個角分成兩個　 　的角,這條射線叫作這個角的平分線.
相等
∠AOC
∠AOB
∠BOC
精講練　新知探究
探究點一　角的大小比較
[典例1]如圖,射線OC,OD分別在∠AOB的內部、外部,下列各式錯誤的是
( )
A.∠AOB<∠AOD
B.∠BOC<∠AOB
C.∠COD<∠AOD
D.∠AOB<∠AOC
D
[變式1]如圖,如果∠AOB=∠COD,那么( )
A.∠1>∠2
B.∠1=∠2
C.∠1<∠2
D.∠1與∠2的大小不能確定
B
探究點二　角的和差
[典例2]如圖,按圖填空:
(1)∠AOC=∠AOB+　 　;
(2)∠BOD=∠AOD-　 　;
(3)∠BOC=　 　-　 　-∠COD;
(4)∠BOC=∠AOC+∠BOD-　 　.
∠BOC
∠AOB
∠AOD
∠AOB
∠AOD
[變式2]已知∠AOB=80°,∠BOC=30°,則∠AOC的度數為( )
A.50° B.110°
C.50°或110° D.無法確定
C
探究點三　角的平分線
[典例3]如圖,點O在直線AB上,過點O作射線OC,射線OD平分∠AOC.如果
∠BOC=80°,那么∠AOD的度數為( )
A.80° B.50° C.65° D.70°
B
[變式3]如圖,∠AOB是平角,∠AOC=30°,∠BOD=60°,OM,ON分別是
∠AOC,∠BOD的平分線.
(1)求∠COD的度數.
解:(1)因為∠AOC+∠COD+∠DOB=180°,
∠AOC=30°,∠BOD=60°,
所以∠COD=90°.
(2)求∠MON的度數.
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6.1　圖形的認識
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第6章　基本的幾何圖形
1. 長方體、正方體、球、圓柱、圓錐等都是　 　,又簡稱為體.幾何體是由　 　圍成的.
2.一般而言,兩個面的交接處是一條　 　, 線可以是直的,也可以是
　 　的.線與線的交接處是一個　 　,點一般用一個　 　 .
表示.
幾何體
面
線
曲
點
大寫英文字母
3. 在長方體中,相鄰兩個面的交接處是一條線段,我們把它叫作　 　,棱與棱的公共點叫作　 　.　 　是構成圖形的基本元素.
4.點動成　 　,線動成　 　,面動成　 　.
5.如果幾何圖形上的點不都在同一個平面內,那么這樣的幾何圖形叫作
　 　.
6.如果幾何圖形上的點都在同一個平面內,那么這樣的幾何圖形叫作
　 　.
棱
頂點
點
線
面
體
立體圖形
平面圖形
精講練　新知探究
探究點一　基本幾何體的認識與分類
[典例1]下列四個幾何體中,是四棱錐的是( )
A
A B C D
[變式1]下面的幾何體中,屬于柱體的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
[變式2]下列標注的圖形名稱與圖形不相符的是( )
D
D
A.四棱錐 B.圓柱 C.正方體 D.三棱錐
[變式3]下列幾何體中,屬于棱錐的是( )
D
A B C D
探究點二　點、線、面、體
[典例2]中華武術是中國傳統文化之一,是獨具民族風貌的武術文化體
系.“槍挑一條線,棍掃一大片”,從數學的角度解釋為( )
A.點動成線,線動成面
B.線動成面,面動成體
C.點動成線,面動成體
D.點動成面,面動成線
A
[典例3]如圖.(1)該幾何體是一個　 　.
(2)該幾何體由　 　個三角形和　 　個四邊形圍成.
(3)該幾何體有　 　條棱,　 　個頂點.
四棱錐
4
1
8
5
[變式4]下面給出的圖形中,繞虛線旋轉一周能形成圓錐的是( )
D
A B C D
[變式5](1)七棱柱有　 　個頂點,　 　條棱,　 　個面;
(2)一個棱柱有10個面,則這個棱柱有　 　條棱;
(3)一個棱柱有16個頂點,則這個棱柱是　 　.
14
21
9
24
八棱柱
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