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第一章 集合與常用邏輯
1.4.1充分條件與必要條件
教學(xué)目標(biāo)
1.理解充分條件、必要條件的含義.
2.會求某些簡單問題成立的充分條件、必要條件.
3.能夠利用命題之間的關(guān)系判定充分、必要關(guān)系.
4.體會數(shù)學(xué)抽象和推理的過程,提升邏輯推理的素養(yǎng).
溫故知新
復(fù)習(xí)回顧
問題1：在初中，我們學(xué)習(xí)過命題.什么是命題？命題通常寫成什么形式？什么是真命題和假命題？你能舉一些例子嗎？
把用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句稱為命題.
判斷為真的語句是真命題，判斷為假的語句是假命題.
命題的形式：“若 p ，則 q ”的形式是數(shù)學(xué)命題的一般形式，其中稱 p 為命題的條件, 稱 q 為命題的結(jié)論.
新知導(dǎo)入
下列“若p,則q”形式的命題中，哪些是真命題？哪些是假命題
（1）若兩個角為對頂角，則這兩個角相等；（對頂角相等）
（2）若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形全等;
（3）若x2-4x+3=0,則x=1;
（4）若平面內(nèi)兩條直線a和b均垂直于直線l，則a//b.
在命題⑴⑷中，由條件p通過推理可以得出結(jié)論q,所以它們是真命題.
在命題⑵⑶中，由條件p不能得出結(jié)論q,所以它們是假命題.
新知講解
一般地,“若p則q”為真命題,是指由p通過推理可以得出q，這時，我們就說，由p推出q.記作：p q.
一般地,如果p q,那么稱 p是q的充分條件（cufficient condition),
并且稱 q是p的必要條件(necessary condition).
一般地,如果p q,那么稱p不是q的充分條件,
并且稱q不是p的必要條件.
充分條件和必要條件的定義:
如果“若p，則q”為假命題，那么由條件p不能推出結(jié)論q，記作“p q”.此時，我們就說p不是q的充分條件，q不是p的必要條件.
上述命題⑴⑷中，p是q的充分條件，q是p的必要條件，而命題⑵⑶中，p不是q的充分條件，q不是p的必要條件.
新知講解
【例1】下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？
（1）若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；
（2）若兩個三角形的三邊成比例，則這兩個三角形相似；
（3）若四邊形為菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直；
（4）若x2=1,則x=1；
（5）若a=b,則ac=bc；
（6）若x,y為無理數(shù)，則xy為無理數(shù).
新知講解
解：
⑴這是一條平行四邊形的判定定理，p q，所以p是q的充分條件.
⑵這是一條相似三角形的判定定理，p q，所以p是q的充分條件.
⑶這是一條菱形的性質(zhì)定理，p q，所以p是q的充分條件.
⑷由于（-1）2=1，但-1≠1，p q，所以p不是q的充分條件.
⑸由等式的性質(zhì)知，p q，所以p是q的充分條件.
⑹是無理數(shù)，而=2為有理數(shù)，p q，所以p不是q的充分條件.
新知講解
例1中命題（1）給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件，即“四邊形的兩組對角相等”.這樣的充分條件唯一嗎？若不唯一，那么你能再給出不同的充分條件嗎？
我們說p是q的充分條件，是指由條件p可以推出結(jié)論q,但并不意味著只能由條件p才能推出結(jié)論q.一般來說，對給定結(jié)論q，使得q成立的條件p是不唯一的.
例如，下列命題均為真命題：
①若四邊形的兩組對邊分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；
②若四邊形的一組對邊平行且相等，則這個四邊形是平行四邊形；
③若四邊形的兩條對角線互相平分，則這個四邊形是平行四邊形.
所以，“四邊形的兩組對邊分別相等”“四邊形的一組對邊平行且相等”“四邊形的兩條對角線互相平分”都是“四邊形是平行四邊形”的充分條件.
新知講解
例1中命題（1）給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件，即“四邊形的兩組對角相等”.這樣的充分條件唯一嗎？若不唯一，那么你能再給出不同的充分條件嗎？
事實上，例1中命題⑴以及上述命題①②③均是平行四邊形的判定定理.所以，平行四邊形的每一條判定定理都給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件，即這個條件能充分保證四邊形是平行四邊形.類似地，平行線的每一條判定定理都給出了“兩條直線平行”的一個充分條件.例如“內(nèi)錯角相等”這個條件就充分保證了“兩條直線平行”.
一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個充分條件.
新知講解
【例2】 下列“若p則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？
（1）若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的兩組對角分別相等；
（2）若兩個三角形相似，則這兩個三角形的三邊成比例；
（3）若四邊形的對角線互相垂直，則這個四邊形是菱形；
（4）若x=1,則x2=1；
（5）若ac=bc,則a=b；
（6）若xy為無理數(shù)，則x,y為無理數(shù).
新知講解
解：
⑴這是一條平行四邊形的性質(zhì)定理，p q，所以q是p的必要條件.
⑵這是一條相似三角形的性質(zhì)定理，p q，所以q是p的必要條件.
⑶如圖，四邊形ABCD的對角線互相垂直，但它不是菱形，p q，所以q不是p的必要條件.
⑷顯然，p q，所以q是p的必要條件.
⑸由于(-1)×0=1×0，但(-1)≠1，p q，所以q不是p的必要條件.
⑹由于為無理數(shù)，但1，不全是無理數(shù)，p q，所以q不是p的必要條件.
A
B
C
D
一般地，要判斷“若p，則q”形式的命題中q是否為p的必要條件，只需判斷是否有“p q”，即“若p，則q”是否為真命題.
新知講解
例2中命題（1）給出了“四邊形是平行四邊形”的一個必要條件，即“這個四邊形的兩組對角分別相等”.這樣的必要條件唯一嗎？若不唯一，你能給出“四邊形是平行四邊形”的幾個其他必要條件嗎？
我們說q是p的必要條件，是指以p為條件可以推出結(jié)論q,但這并不意味著由條件p只能推出結(jié)論q.一般來說，給定條件p，由p可以推出的結(jié)論q是不唯一的.
例如，下列命題均為真命題：
①若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的兩組對邊分別相等；
②若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的一組對邊平行且相等；
③若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的兩條對角線互相平分.
這表明，“四邊形的兩組對邊分別相等”“四邊形的一組對邊平行且相等”“四邊形的兩條對角線互相平分”都是“四邊形是平行四邊形”的必要條件.
新知講解
例2中命題（1）給出了“四邊形是平行四邊形”的一個必要條件，即“這個四邊形的兩組對角分別相等”.這樣的必要條件唯一嗎？若不唯一，你能給出“四邊形是平行四邊形”的幾個其他必要條件嗎？
我們知道，例2中命題⑴以及上述命題①②③均是平行四邊形的性質(zhì)定理.所以，平行四邊形的每條性質(zhì)定理都給出了“四邊形是平行四邊形”的一個必要條件.類似地，平行線的每條性質(zhì)定理都給出了“兩條直線平行”的一個必要條件.例如“同位角相等”是“兩條直線平行”的必要條件.也就是說，如果同位角不相等，那么就不可能有“兩條直線平行”.
一般地，數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個必要條件.
新知講解
根據(jù)例1，例2我們確定命題p,q的遞推關(guān)系：
（3）p：四邊形為菱形，q：四邊形的對角線互相垂直；
（5）p:a=b,q:ac=bc;
（4）p:x2=1,q:x=1;
②p q,且q p,則稱q是p的必要不充分條件.
①p q,且q p,則稱p是q的充分不必要條件.
明辨是非
√
√
【思考辨析】
判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.
(1)當(dāng)p是q的必要條件時,也可以說成q成立則必有p成立.( )
(2)若p是q的充分條件,則p成立,一定有q成立.( )
(3)若p q,則p一定不是q的充分條件.( )
(4)“兩角不相等”是“兩角不是對頂角”的必要條件.( )
×
√
新知講解
【例3】 判斷下列命題中p是q的什么條件？
(1)p:m<-2,q:方程x2-x-m=0無實根;
(2)p:m是有理數(shù),q:m是實數(shù);
(3)p:平行四邊形對角線相等,q:四邊形是矩形.
解:
⑴“p:m<-2”是“q:方程x2-x-m=0無實根”的充分條件.
⑵“p:m是有理數(shù)”是“q:m是實數(shù)”的充分條件.
⑶“p:平行四邊形對角線相等”是“q：四邊形是矩形”的充分條件.
小結(jié)歸納
1.充分條件、必要條件的概念.
2.判斷充分、必要條件的基本步驟：
①認(rèn)清條件和結(jié)論；
②考察 p q 和 q p 的真假．
3.判別技巧：①可先化簡命題；
②否定一個命題只要舉出一個反例即可.
初試身手
P20練習(xí)1-3
作業(yè)布置
作業(yè)：
1.下列“若p,則q”形式的命題中,p是q的充分條件的命題個數(shù)為(　　)
①若f(x)是二次函數(shù),則f(x)=x2;②若x>5,則x>2;
③若x2-9=0,則x=3.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.“x<0,或x>4”的一個必要條件是(　　)
A.x<0 B.x>4 C.x<0,或x>2 D.x<-1,或x>5
3.“x2=4”是“x=m”的必要條件,則m的一個值可以是(　　)
A.0 B.2 C.4 D.16
4.下面四個條件中,使“a>b”成立的充分條件是　　　　　. (填寫序號)
①a>b-1;②a>b+1;③a2>b2;④a3>b3.
盡情享受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂！
我們下節(jié)課再見！
謝謝
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