資源簡介

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2.2 等差數列的前n項和
§2 等差數列
知識點 1 等差數列的前n項和公式
知識 清單破
已知量 首項、末項與項數 首項、公差與項數
求和 公式 Sn= Sn=na1+ d
知識點2　
　　等差數列{an}的前n項和公式可化為關于n的表達式:Sn=na1+ = n2+ n.
(1)該表達式中沒有常數項;
(2)當d≠0時,Sn關于n的表達式是一個常數項為零的二次式,即Sn是關于n的二次函數,它的圖
象是拋物線y= x2+ x上橫坐標為正整數的一系列孤立的點.
知識點 2 等差數列{an}的前n項和公式的函數特性
知識點3　
1.公差為d的等差數列中,每k項之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…組成公差為k2d的等差數列.
2.若等差數列的項數為2n(n∈N+),則S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=nd(d為等差數列的公差), = (S奇
≠0,an≠0);
　　若等差數列的項數為2n-1(n∈N+),則S2n-1=(2n-1)an,S奇-S偶=an, = (S奇≠0).
3.{an}為等差數列 為等差數列(Sn為數列{an}的前n項和).
4.若兩個等差數列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn ,則 = (bn≠0,T2n-1≠0).
知識點 3 等差數列前n項和的性質
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.某一小組6名同學的年齡(單位:歲)構成首項為15,公差為0的等差數列,則這6名同學的年齡
(單位:歲)之和為90. (　 )
2.有編號分別為1~10的10個盒子,在1號盒子中放1粒米,從2號盒子起,每個盒子都比前一個盒
子多放1粒米,則這10個盒子中共有55粒米. (　 )
3.等差數列的前n項和公式一定是常數項為0的關于n的二次函數. (　 )
4.若數列{an}的前n項和Sn=n2+1,則數列{an}是公差為2的等差數列. (　 )
5.已知Sn是等差數列{an}的前n項和,則S2,S4,S6一定成等差數列. (　 )
知識辨析
√
√

提示

提示

提示
公差為0時,等差數列的前n項和公式是關于n的一次函數.
等差數列的前n項和公式是關于n且不含常數項的表達式,而題中Sn=n2+1有常數項,所
以{an}不是等差數列.
若Sn是等差數列{an}的前n項和,則S2,S4-S2,S6-S4一定成等差數列,只有當{an}為常數列時,
S2,S4,S6才成等差數列.
1.求等差數列的前n項和
(1)已知條件與d有關,則運用公式Sn=na1+ d求其前n項和;
(2)已知條件與等差數列的項an有關,則運用公式Sn= 求其前n項和,解題時與等差數列
的性質結合可以起到事半功倍的效果.
2.等差數列問題共涉及五個量:a1,d,n,an及Sn,利用等差數列的通項公式及前n項和公式即可
“知三求二”.其解題通法可以概括為:設出基本量a1,d,構建方程組.因此利用方程思想求出
基本量a1,d是解決等差數列問題的基本途徑.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 等差數列前n項和公式及其應用
在等差數列{an}中,Sn為其前n項和.
(1)若a5+a10=58,a4+a9=50,求S10;
(2)若S7=42,Sn=510,an-3=45,求n的值.
典例
解析 (1)設等差數列{an}的公差為d.
解法一:由已知得
解得 ∴S10=10a1+ d=10×3+ ×4=210.
解法二:由已知得
∴d=4,∴a1+a10=42,
∴S10= =5×42=210.
(2)∵S7= =7a4=42,∴a4=6.
∴Sn= = = =510,
∴n=20.
　　在解決與等差數列前n項和Sn的性質有關的問題時,恰當運用相關性質可以達到化繁為
簡、化難為易、事半功倍的效果.
利用性質解決等差數列前n項和運算有以下兩種思維方法:
(1)整體思想:利用公式Sn= ,設法求出“整體”,即a1+an,再代入求解.
(2)待定系數法:當公差不為0時,利用Sn是關于n的二次函數,設Sn=An2+Bn(A≠0),列方程組求出
A,B的值即可;也可以利用 是關于n的一次函數,設 =an+b(a≠0)進行計算.
疑難 2 等差數列前n項和性質的應用
講解分析
在等差數列{an}中,設其前n項和為Sn.
(1)已知a4=2,求S7;
(2)已知S5=3,S10=7,求S15;
(3)已知S10=100,S100=10,求S110.
典例
解析 (1)S7= ×7×(a1+a7)= ×7×2a4=7a4=7×2=14.
(2)易知數列S5,S10-S5,S15-S10成等差數列,即3,7-3,S15-7成等差數列,所以2×(7-3)=3+S15-7,解得S15=
12.
(3)解法一:設等差數列{an}的公差為d,
則 解得
所以S110=110a1+ d=110× + × =-110.
解法二:易知S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差數列,設其公差為d',由其前10項和為10S10
+ d'=S100=10,得d'=-22,
所以S110-S100=S10+(11-1)d'=100+10×(-22)=-120.
所以S110=-120+S100=-110.
解法三:易知數列{an}是公差不為0的等差數列,所以設其前n項和Sn=An2+Bn(A≠0).
由S10=100,S100=10,得
解得
故Sn=- n2+ n,
故S110=- ×1102+ ×110=-110.
求等差數列{an}(公差d≠0)的前n項和Sn的最值的常用方法
(1)二次函數法:用配方法轉化為求解二次函數的最值問題,解題時要注意n∈N+;
(2)鄰項變號法:可利用 或 來尋找正、負項的分界點.
疑難 3 等差數列前n項和的最值的求法
講解分析
已知{an}為等差數列,設其前n項和為Sn,且a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.
典例
解析 設等差數列{an}的公差為d.
解法一:∵S17=S9,
∴17a1+ d=9a1+ d,
又a1=25,∴d=-2,
∴Sn=25n+ ×(-2)=-(n-13)2+169,
由二次函數的性質知,當n=13時,Sn取得最大值,最大值為169.
解法二:易知Sn= n2+ n(d<0).
由其對應的二次函數y= x2+ x(x>0,d<0)的圖象是開口向下的拋物線,最高點的橫坐標
為x= =13,可得S13最大,同解法一得d=-2,
∴S13=13×25+ ×(-2)=169,
即Sn的最大值為169.
解法三:∵S17=S9,∴a10+a11+…+a17=0,結合等差數列的性質得a13+a14=0,∵a1>0,∴d<0,∴a13>0,a14
<0.當n=13時,Sn取得最大值.由a13+a14=a1+12d+a1+13d=0及a1=25得d=-2,∴S13=13×25+ ×
(-2)=169,即Sn的最大值為169.
導師點睛 在解題時可根據題設情況靈活選用求解方法,在利用二次函數的知識求解等差數
列前n項和的最值問題時要注意項數n為正整數.
疑難4　
　　等差數列的前n項和公式主要應用于求解實際問題中的總數問題,如材料的總數目、行
程問題中的總行程等.只要是等差數列,就可以應用前n項和公式計算總數,求解時注意從實際
問題中抽象出的數學模型要準確,即建模合適.
疑難 4 等差數列前n項和公式在實際問題中的應用
講解分析
某劇場有40排座位,第1排有20個座位,從第2排起,每一排都比它的前一排多2個座位.
(1)求該劇場的座位數;
(2)若該劇場一場演出的票價如下:第1排至第10排每張200元,第11排至第30排每張150元,其
余每張100元,求該劇場滿座時,一場演出的收入.
典例
解析 (1)設該劇場從第1排到第40排,各排的座位數依次排成一列后構成數列{an},其前n項
和為Sn.根據題意,數列{an}是一個首項為20,公差為2的等差數列,
故S40=40×20+ ×2=2 360.
故該劇場的座位數為2 360.
(2)由(1)可得S10=10×20+ ×2=290,
S30=30×20+ ×2=1 470,
故該劇場滿座時,一場演出的收入為200S10+150(S30-S10)+100(S40-S30)=324 000(元).
疑難5　
1.倒序相加法求和
在數列{an}中,如果與首末兩項等距離的兩項之和均等于首末兩項之和,且這些兩項之和均為
同一個常數,那么可把正著寫求和與倒著寫求和的兩個和式相加,通過求常數列的各項和來
求數列{an}的前n項和,這一求和的方法稱為倒序相加法.
2.裂項相消法求和
　　裂項相消法求和就是將數列中的每一項拆成兩項(或多項)差的形式,使求和時的一些項
可有規律抵消,從而達到求和的目的.利用裂項相消法求和時要注意抵消后的剩余項有哪些,
連接剩余項的符號是加號還是減號.常見的裂項技巧有:
(1)若{an}是公差為d(d≠0)的等差數列,則 = ;
講解分析
疑難 5 與等差數列有關的數列的和
(2) = - ;
(3)loga =loga(n+1)-logan,其中a>0,且a≠1,n∈N+.
已知等差數列{an}滿足a8=3a3,a1+a2=4.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設bn= ,求數列{bn}的前n項和Tn.
典例
思路點撥 (1)設等差數列{an}的公差為d,由已知條件求出a1,d,進而求出數列{an}的通項公式.
(2)由(1)得出bn的表達式,利用裂項相消法求出Tn.
解析 (1)設等差數列{an}的公差為d,
∵ ∴
解得
∴an=2n-1.
(2)由(1)知bn=
= - ,
∴Tn= + +…+
=1- = .§2　等差數列
2.1　等差數列的概念及其通項公式
基礎過關練
題組一　等差數列的概念
1.下列數列不是等差數列的是(　　)
A.1,1,1,1,1　　　　　B.4,7,10,13,16
C.,,1,,　　　　　D.-3,-2,-1,1,2
2.已知{an}為等差數列,則“{an}單調遞增”是“a1A.充要條件
B.充分不必要條件
C.必要不充分條件
D.既不充分也不必要條件
題組二　等差中項
3.若2a+1是a-1與4a-2的等差中項,則實數a的值為(　　)
A.-　　　　B.　　　　C.　　　　D.5
4.在等差數列{an}中,a3,a5是方程x2-4x+3=0的兩實數根,則a4的值為(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.±2　　　　D.
5.若5,x,y,z,21成等差數列,則x+y+z=(　　)
A.26　　　　B.29　　　　C.39　　　　D.52
題組三　等差數列的通項公式及其應用
6.在等差數列{an}中,若a4=11,a6=15,則{an}的公差為(　　)
A.-2　　　　B.2　　　　C.-3　　　　D.3
7.已知數列{an}為等差數列,若a3+a4=12,a4-a2=4,則a9=(　　)
A.15　　　　B.16　　　　C.17　　　　D.18
8.在等差數列{an}中,a4=3,a7=9,則a3+a5+a7+a9=　　　　.
9.在-3和6之間插入兩個數a,b,使這四個數成等差數列,則這個數列的公差為　　　　.
10.已知數列{an}是等差數列,且an=an2+n(n∈N+),則實數a=　　　　.
題組四　等差數列的性質及其應用
11.在等差數列{an}中,a3+a7=6,則a2+a8=(　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8
12.在等差數列{an}中,a3=7,a5+a7=32,則{an}的公差d=(　　)
A.5　　　　　B.4　　　　
C.3　　　　　D.2
13.《周髀算經》中有這樣一個問題:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣,自冬至日起,一物的影長(單位:尺)依次成等差數列,若立春當日影長為10.5尺,立夏當日影長為4.5尺,則春分當日影長為(　　)
A.4.5尺　　　　　B.5尺
C.5.5尺　　　　　D.7.5尺
14.已知等差數列{an}是遞減數列,若a1+a2+a3=90,a9>0,則公差d的一個整數取值可以是　　　　.
15.已知數列{an}滿足2an=an-1+an+1(n≥2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,則a3+a4=　　　　.
能力提升練
題組一　等差數列的通項公式及其應用
1.67是等差數列3,11,19,27,…的(　　)
A.第6項　　　　　B.第7項　　　　
C.第8項　　　　　D.第9項
2.南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》中討論過高階等差數列與一般等差數列的不同,高階等差數列前后兩項之差并不相等,而是逐項差數之差或者高次差相等.例如“百層球堆垛”:第一層有1個球(a1=1),第二層有3個球(a2=3),第三層有6個球(a3=6),第四層有10個球(a4=10),第五層有15個球(a5=15),……,各層球數之差{an+1-an}:a2-a1,a3-a2,a4-a3,a5-a4,…即2,3,4,5,…是等差數列.現有一個高階等差數列,其前6項分別為1,3,6,12,23,41,則該數列的第8項為(　　)
A.51　　　　B.68　　　　C.106　　　　D.157
3.已知等差數列{an}的首項為a,公差為1,bn=,若對任意的正整數n都有bn≥b5,則實數a的取值范圍是(　　)
A.(-∞,-4)∪(-3,+∞)
B.(-4,-3)
C.(-∞,-5)∪(-4,+∞)
D.(-5,-4)
4.(多選題)已知數列{an}滿足a1=10,a2=5,an-an+2=2(n∈N+),則下列說法正確的有(　　)
A.數列{an}是等差數列
B.a2k=7-2k(k∈N+)
C.a2k-1=12-2k(k∈N+)
D.an+an+1=18-3n
5.已知數列{an}滿足a1=3,an+1=an+2+1,則a10=(　　)
A.80　　　　B.100　　　　C.120　　　　D.143
6.已知等差數列{an}中,a2=4,a6=16,若在數列{an}每相鄰兩項之間插入三個數,所得新數列也是一個等差數列,則新數列的第41項為　　　　.
7.已知數列{an}滿足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n,n∈N+.
(1)求a2,a3的值;
(2)證明數列是等差數列,并求{an}的通項公式.
題組二　等差數列的性質及其應用
8.等差數列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,則3a9-a11=(　　)
A.42　　　　B.45　　　　C.48　　　　D.51
9.已知函數f(x)是定義在R上的連續函數,且f(1)=5, f(3)=9,若 a,b∈R,都有f=[f(a)+f(b)],則f(2 023)=(　　)
A.5　　　　B.9　　　　C.4 023　　　　D.4 049
10.(多選題)已知等差數列{an}為遞增數列,且滿足a1+a2+a3+…+a101=0,則下列各式一定成立的有(　　)
A.a1+a101>0　　　　　B.a2+a100=0　　　　
C.a3+a100≤0　　　　　D.a51=0
11.(多選題)已知數列{an},{bn}均為公差大于零的等差數列,則下列說法正確的有(　　)
A.數列{an+bn}是遞增數列
B.數列{anbn}是遞增數列
C.數列{an+bn}是等差數列
D.數列{anbn}不可能是等差數列
12.數列{an}滿足a1=1,an+1=(n∈N+),實數k為常數.
①數列{an}可能是常數列;
②k=1時,數列為等差數列;
③若a3>a1,則k的取值范圍是(-2,0);
④k>0時,數列{an}為遞減數列.
則以上正確說法的序號是　　　　.
題組三　等差數列的綜合應用
13.南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式,書中所討論的高階等差數列與一般的等差數列不同,其前后兩項之差并不相等,但是逐項差數之差或者高次差成等差數列.對這類高階等差數列的研究,在楊輝之后一般稱為“垛積術”.現有一高階等差數列,其前7項分別為1,5,11,21,37,61,95,則該數列的第8項為(　　)
A.99　　　　B.131　　　　C.139　　　　D.141
14.在等差數列{an}中,an>0,且a1+a2+a2 022+a2 023=40,則+的最小值為　　　　.
15.已知a,b,c分別是Rt△ABC的內角A,B,C的對邊,lg a,lg b,lg c成等差數列,且公差d<0,則sin C=　　　.
16.已知一個正實數的小數部分的2倍、整數部分和自身構成等差數列,則這個正實數是　　　　.
17.在數列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N+).
(1)證明:數列是等差數列;
(2)求數列{an}的通項公式;
(3)若λan+≥λ對任意的n≥2,n∈N+恒成立,求實數λ的取值范圍.
答案與分層梯度式解析
1.D　根據等差數列的定義可知,選項D中的數列不是等差數列.故選D.
2.A　設等差數列{an}的公差為d,若{an}單調遞增,則d>0,∴a1+d>a1,即a2>a1;
反之,若a2>a1,則a1+d>a1,∴d>0,∴{an}單調遞增.
故“{an}單調遞增”是“a13.D　因為2a+1是a-1與4a-2的等差中項,所以2(2a+1)=a-1+4a-2,解得a=5.
4.A　由根與系數的關系可得a3+a5=4,由題意得a4是a3,a5的等差中項,所以a4==2.
5.C　∵5,x,y,z,21成等差數列,
∴y既是5和21的等差中項,也是x和z的等差中項,∴5+21=2y,x+z=2y,
∴y=13,x+z=26,∴x+y+z=39.
6.B　設等差數列{an}的公差為d,則a4=a1+3d=11,a6=a1+5d=15,所以d=2.故選B.
7.C　設等差數列{an}的公差為d,
則解得
所以a9=a1+8d=17,故選C.
8.答案　28
解析　設等差數列{an}的公差為d,
則解得
所以an=a1+(n-1)d=2n-5,
所以a3+a5+a7+a9=1+5+9+13=28.
9.答案　3
解析　設該等差數列為{an},其公差為d,
由題意知,解得d=3.
10.答案　0
解析　∵{an}是等差數列,
∴an是常數函數或關于n的一次函數,
又an=an2+n,∴a=0.
11.C　由等差數列的性質知a2+a8=a3+a7=6.故選C.
12.C　由等差數列的性質及已知得a5+a7=2a6=32,
∴a6=16,∴d==3.
13.D　設這十二節氣自冬至日起該物的影長尺數構成的等差數列為{an},由題意得a4=10.5,a10=4.5,則a7=(a4+a10)=7.5.故選D.
14.答案　-3(答案不唯一)
解析　a1+a2+a3=3a2=90,∴a2=30,
∴a9=a2+7d=30+7d>0,即d>-,
又{an}是遞減數列,所以-15.答案　7
解析　因為2an=an-1+an+1(n≥2),所以{an}是等差數列,
由等差數列的性質可得a2+a4+a6=3a4=12,a1+a3+a5=3a3=9,解得a4=4,a3=3.
所以a3+a4=7.
能力提升練
1.D　記此等差數列為{an},其公差為d,
則a1=3,d=11-3=8,所以an=3+8(n-1)=8n-5.
令an=67,則8n-5=67,解得n=9.
2.C　由題意得后一項與前一項之差{an+1-an}:a2-a1,a3-a2,a4-a3,a5-a4,a6-a5,…,即2,3,6,11,18,…,
3-2,6-3,11-6,18-11,…即1,3,5,7,…是等差數列,
所以a7=41+(18+9)=68,a8=68+(18+9+11)=106.故選C.
3.D　解法一:依題意得,an=a+(n-1)×1=n+a-1,
∴bn==1+.
畫出函數y=+1的圖象,如圖.
結合題意知5<1-a<6,解得-5解法二:∵等差數列{an}的首項為a,公差為1,
∴an=a+n-1,∴bn==1+=1+,
若對任意的正整數n都有bn≥b5,
則(bn)min=b5=1+,
結合數列{bn}的增減性可知,
即
解得-54.BC　由an-an+2=2,a1=10得a3=a1-2=8,由于2a2≠a1+a3,所以{an}不是等差數列,故A不正確;
由an-an+2=2,知{an}的偶數項、奇數項分別構成等差數列,公差都為-2,當n=2k(k∈N+)時,a2k=a2+(k-1)×(-2)=7-2k,當n=2k-1(k∈N+)時,a2k-1=a1+(k-1)×(-2)=12-2k,故B,C都正確;a2+a3=5+8=13,不滿足an+an+1=18-3n,故D錯誤.故選BC.
5.C　因為an+1=an+2+1,所以an+1+1=()2+2+1,即an+1+1=(+1)2,
等式兩邊開方可得=+1,即-=1,所以數列{}是首項為=2,公差為1的等差數列,
所以=2+(n-1)×1=n+1,所以an=n2+2n,
所以a10=102+20=120.故選C.
6.答案　31
解析　設等差數列{an}的公差為d,則d===3,
設在數列{an}每相鄰兩項之間插入三個數后所得等差數列為{bn},則數列{bn}的公差為=,
又b1=a1=4-3=1,所以bn=1+(n-1)=n+,
所以b41=×41+=31.
7.解析　(1)由nan+1-(n+1)an=2n2+2n,得a2-2a1=4,
則a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6,
同理可得2a3-3a2=12,則2a3=12+3a2,所以a3=15.
(2)由nan+1-(n+1)an=2n2+2n=2n(n+1),
得=2,即-=2,
所以數列是首項為=1,公差為2的等差數列,
所以=1+2(n-1)=2n-1,所以an=2n2-n.
8.C　因為a4+a6+a8+a10+a12=5a8=120,所以a8=24,
所以3a9-a11=a9+2a9-a11=a9+a7+a11-a11=2a8=48,
故選C.
9.D　令a=n-1,b=n+1,n∈N+,
由f =[f(a)+f(b)]
可得f =,
即2f(n)=f(n-1)+f(n+1)(n∈N+),
所以數列{f(n)}為等差數列,又f(1)=5,f(3)=9,
所以公差為 =2,
所以f(2 023)=5+2×(2 023-1)=4 049.故選D.
10.BD　∵等差數列{an}滿足a1+a2+a3+…+a101=0,
且a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,
∴a1+a2+a3+…+a101=(a1+a101)+(a2+a100)+…+(a50+a52)+a51=101a51=0,
∴a51=0,a1+a101=a2+a100=2a51=0,
故B,D正確,A錯誤.
設等差數列{an}的公差為d,易知d>0,
∵a51=a1+50d=0,∴a1=-50d,
∴a3+a100=(a1+2d)+(a1+99d)=2a1+101d=2×(-50d)+101d=d>0,故C錯誤.
故選BD.
11.ACD　∵數列{an},{bn}均為公差大于零的等差數列,
∴設an=p1n+q1(p1>0),bn=p2n+q2(p2>0),其中p1,q1,p2,q2為常數,∴an+bn=(p1+p2)n+q1+q2,
∴an+1+bn+1-(an+bn)=p1+p2>0,
∴數列{an+bn}是等差數列,且為遞增數列,故A,C正確;
anbn=(p1n+q1)(p2n+q2)=p1p2n2+(p1q2+p2q1)n+q1q2,
∴an+1bn+1-anbn=p1p2(n+1)2+(p1q2+p2q1)(n+1)+q1q2-[p1p2n2+(p1q2+p2q1)n+q1q2]=p1p2(2n+1)+p1q2+p2q1,
由題可知p1p2>0,∴an+1bn+1-anbn=p1p2(2n+1)+p1q2+p2q1不可能為常數,∴數列{anbn}不可能是等差數列,故D正確;
不妨令an=n-2,bn=n-3,則a1b1=2,a2b2=0,a3b3=0,∴數列{anbn}不是遞增數列,故B錯誤.
故選ACD.
12.答案　①②④
解析　當k=0時,數列{an}是常數列,故①正確;當k=1時,an+1=,整理得-=1,所以數列為等差數列,故②正確;a3====,若a3>a1,則>1,解得-10得an+113.D　設該高階等差數列的第8項為x,
根據所給定義,用數列的后一項減去前一項得到一個新數列,得到的新數列也用后一項減去前一項再得到一個新數列,此時便得到了一個等差數列,記x與95的差為y,如圖:
由圖可得則
故選D.
解題模板　解數列的新定義問題,關鍵是準確把握新定義的含義,再依題意利用數列的有關性質求解.
14.答案　
解析　a1+a2+a2 022+a2 023=2(a1+a2 023)=40,∴a1+a2 023=20,已知an>0,
由基本不等式得+==≥=,
當且僅當a1=a2 023=10時取等號.
15.答案　
解析　由lg a,lg b,lg c成等差數列,且公差d<0,可得lg a-lg b=lg b-lg c>0,所以a>b>c,且=,所以b2=ac,角A是Rt△ABC的直角,故b2+c2=a2,即ac+c2=a2,即+=1,所以sin C+sin 2C=1,解得sin C=或sin C=(不符合題意,舍去).
16.答案　或
解析　設這個正實數的小數部分是x(0≤x<1),整數部分是y(y∈N),則這個正實數為x+y.
由已知得2y=2x+x+y,所以y=3x,
當y=0時,x=0,x+y=0,不符合要求;當y=1時,x=,x+y=;當y=2時,x=,x+y=;當y≥3時,x=≥1,不符合要求.
綜上所述,這個正實數是或.
17.解析　(1)證明:由3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N+),得-=3(n≥2,n∈N+).
因為=1,所以數列是以1為首項,3為公差的等差數列.
(2)由(1)可得=1+3(n-1)=3n-2,
所以an=(n∈N+).
(3)因為λan+≥λ對任意的n≥2,n∈N+恒成立,所以+3n-2≥λ,即λ≤對任意的n≥2,n∈N+恒成立.
令f(n)=(n≥2,n∈N+),則只需滿足λ≤f(n)min即可.
因為f(n+1)-f(n)=-
==3-,
所以當n≥2時, f(n+1)-f(n)>0,
即f(2)又因為f(2)=,所以λ≤.
所以實數λ的取值范圍為.
22.2　等差數列的前n項和
基礎過關練
題組一　等差數列前n項和的有關計算
1.已知等差數列{an}滿足a2+a8=10,若Sn為{an}的前n項和,則S9=(　　)
A.45　　　　B.54　　　　C.63　　　　D.90
2.已知等差數列{an}的前n項和為Sn,若a1=2,a4+a7=22,則S19=(　　)
A.380　　　　B.200　　　　C.190　　　　D.100
3.設Sn是等差數列{an}的前n項和,若=,S5=5S3-5,則a9=(　　)
A.2　　　　B.-2　　　　C.3　　　　D.-1
4.《萊因德紙草書》是世界上最古老的數學著作之一.書中有一道這樣的題目:把100個面包分給5個人,使5人所得面包個數成等差數列,則最大一份與最小一份的和為(　　)
A.30　　　　B.35　　　　C.40　　　　D.60
5.設等差數列{an}滿足a2+a5=19,a6-a3=9.
(1)求{an}的通項公式;
(2)記Sn為{an}的前n項和,若S11+Sk=Sk+2,求k的值.
題組二　等差數列前n項和的性質
6.一個等差數列共有10項,其奇數項之和是12.5,偶數項之和是15,則它的首項與公差分別是(　　)
A.0.5,0.5　　　　　B.0.5,1
C.1,0.5　　　　　D.0.5,2
7.已知Sn是等差數列{an}的前n項和,若S2=15,S6=75,則S4=(　　)
A.40　　　　B.45　　　　C.50　　　　D.55
8.在等差數列{an}的前(2m+1)(m∈N+)項中,奇數項的和與偶數項的和的比值為(　　)
A.　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.
9.已知等差數列{an}的前n項和為Sn.若
S2 023=2 023,且-=2 001,則a1=(　　)
A.-2 021　　　　B.-2 020　　　　C.-2 019　　　　D.-2 018
10.有兩個等差數列{an}、{bn},其前n項和分別為Sn、Tn.
(1)若=,則=　　　　;
(2)若=,則=　　　　;
(3)若=,則=　　　　.
題組三　等差數列前n項和的函數特性
11.等差數列{an}中,a1>0,公差d<0,Sn為其前n項和,對任意正整數n,若點(n,Sn)在以下4條曲線中的某條上,則這條曲線是(　　)
A B C D
12.若數列{an}滿足a1=19,an+1=an-3(n∈N+),則數列{an}的前n項和最大時,n的值為(　　)
A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9
13.已知等差數列{an}的前n項和為Sn,且Sn有最小值,若<-1,則使Sn<0成立的n的最大值為(　　)
A.17　　　　B.16　　　　C.15　　　　D.14
14.設等差數列{an}的前n項和為Sn,若S2 020>0,S2 021<0,則當n=　　　　時,Sn最大.
15.設等差數列{an}的前n項和為Sn,a2=
-12,S5=-50.
(1)求{an}的通項公式;
(2)求Sn的最小值及此時n的值.
題組四　數列前n項和的求解
16.已知函數f(x)=x+3sin+,數列{an}滿足an=,則f(a1)+f(a2)+…+f(a2 022)=(　　)
A.2 022　　　　B.2 023　　　　C.4 044　　　　D.4 046
17.已知數列{an}的前n項和為Sn,若an=,Sn=10,則n等于(　　)
A.90　　　　B.119　　　　C.120　　　　D.121
18.已知數列{an}的通項公式為an=lg,則其前99項和S99=　　　　.
19.已知數列{an}的前n項和為Sn,若an=,則S2 023=　　　　.
20.已知等差數列{an}的前n項和為Sn,S3=15,S12=222.
(1)求{an}的通項公式;
(2)若bn=,求數列{bn}的前n項和Tn.
能力提升練
題組一　等差數列的前n項和的有關計算
1.已知函數f(x)=x3+4x,記等差數列{an}的前n項和為Sn,若f(a3+2)=100, f(a2 020+2)=-100,則S2 022=(　　)
A.2 022　　　　B.-2 022　　　　C.4 044　　　　D.-4 044
2.若[x]表示不超過x的最大整數(例如:[0.1]=0,[-0.1]=-1),數列{an}滿足a1=3,an+1-an=2n+2(n∈N+),則[]+[]+…+[]=(　　)
A.1 010×2 021　　　　　B.1 010×2 020
C.1 009×2 021　　　　　D.1 009×2 020
3.下圖是一個3層六邊形,圖中所有點的個數S3為28,按此規律畫下去,可以得到n層六邊形,則Sn=(　　)
A.4n+1
B.4n+2
C.2n2+3n
D.2n2+3n+1
4.(多選題)我國古代數學著作《算法統宗》中有如下問題:“今有善走者,日增等里,首日行走一百里,九日共行一千二百六十里,問日增幾何 ”其大意是:現有一位善于步行的人,第一天行走了一百里,以后每天比前一天多走d里,九天他共行走了一千二百六十里,求d的值.關于該問題,下列結論正確的是(　　)
A.d=15
B.此人第三天行走了一百二十里
C.此人前七天共行走了九百一十里
D.此人有連續的三天共行走了三百九十里
5.在數列{an}中,a1=,an+1=.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)若(4n+2)bn=an,求數列{bn}的前n項和Sn.
題組二　等差數列前n項和的性質
6.設Sn是等差數列{an}的前n項和,若=,則=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
7.設等差數列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,若對任意的n∈N+,都有=,則+的值為　(　　)
A.　　　　B.　　　
C.　　　　D.
8.設等差數列{an}的前n項和為Sn,且Sm=-2,Sm+1=0,Sm+2=3,則m=　　　　.
9.在等差數列{an}中,前m(m為奇數)項的和為135,其中偶數項之和為63,且am-a1=14,則a100=　　　　.
題組三　等差數列前n項和的函數特性
10.已知數列{an}的前n項和Sn=an2+bn+c(a,b,c∈R),則“c=0”是“{an}為等差數列”的(　　)
A.充要條件
B.充分不必要條件
C.必要不充分條件
D.既不充分也不必要條件
11.設Sn為等差數列{an}的前n項和,且 n∈N+,都有<.若<-1,則(　　)
A.Sn的最小值是S17　　　　　B.Sn的最小值是S18
C.Sn的最大值是S17　　　　　D.Sn的最大值是S18
12.(多選題)設數列{an}的前n項和為Sn,下列說法正確的是(　　)
A.若Sn=n2+2n-1,則an=2n+1
B.若an=3n-23,則Sn的最小值為-77
C.若an=4n-3,則數列{(-1)nan}的前17項和為-33
D.若數列{an}為等差數列,且a1 011+a1 012<0,a1 000+a1 024>0,則當Sn<0時,n的最大值為2 023
題組四　等差數列前n項和的應用
13.蚊香(如圖1)具有悠久的歷史,我國蚊香的發明與古人端午節的習俗有關.某校數學社團用數學軟件制作的“蚊香”如圖2所示.畫法如下:在水平直線上取長度為1的線段AB,以AB為一邊作等邊三角形ABC,然后以點B為圓心,AB為半徑逆時針畫圓弧,交線段CB的延長線于點D,此段圓弧為第一段圓弧,再以點C為圓心,CD為半徑逆時針畫圓弧,交線段AC的延長線于點E,再以點A為圓心,AE為半徑逆時針畫圓弧……以此類推,當得到的“蚊香”恰好有15段圓弧時,“蚊香”的長度為(　　)
A.44π　　　　B.64π　　　　C.70π　　　　D.80π
14.已知等差數列{an}的前n項和為Sn,公差為d,且滿足a3>0,a3+a4<0,則的取值范圍是　 　 　,的取值范圍是　　　　.
15.已知數列{an}的前n項和Sn=n2-14n+2.
(1)求{an}的通項公式;
(2)求數列{|an|}的前n項和Tn.
16.近幾年,電動汽車領域有了長足的發展.某公司今年年初用196萬元引進一條永磁電機生產線,第一年需要安裝、人工等費用24萬元,從第二年起,每年所需的人工、維修等費用比上一年增加8萬元,該生產線每年年產值保持在100萬元.
(1)引進該生產線幾年后總盈利最大 最大是多少萬元
(2)引進該生產線幾年后年平均盈利最大 最大是多少萬元
答案與分層梯度式解析
1.A　由等差數列的性質可知a1+a9=a2+a8=10,所以S9===45.
2.A　設等差數列{an}的公差為d,則a4+a7=2a1+9d=22,又a1=2,所以d=2,所以S19=19×2+×2=380.
3.A　記等差數列{an}的公差為d,
由S5=5S3-5可得5a1+10d=5(3a1+3d)-5,整理得2a1+d-1=0,①
因為=,所以S6=3S3,即6a1+15d=3(3a1+3d),整理可得a1=2d,②
聯立①②可得a1=,d=,
故a9=a1+8d=2.故選A.
4.C　設5人分到的面包個數從小到大依次為a1,a2,a3,a4,a5,由題意得該數列為等差數列,則a1+a2+a3+a4+a5==100,所以a1+a5=40,故選C.
5.解析　(1)設等差數列{an}的公差為d,由得解得故an=a1+(n-1)d=3n-1.
(2)由(1)可知Sn==,
因為S11+Sk=Sk+2,所以+=,整理得6k=180,解得k=30.
6.A　設此等差數列為{an},公差為d,前n項和為Sn,則S偶-S奇=5d=15-12.5=2.5,得d=0.5.
故S10=10a1+×0.5=15+12.5=27.5,解得a1=0.5.
7.A　由題意可得數列S2,S4-S2,S6-S4成等差數列,
所以S2+(S6-S4)=2(S4-S2),即15+(75-S4)=2(S4-15),解得S4=40.
8.B　設等差數列{an}的前n項和為Sn,
則前(2m+1)項中,S奇=,S偶=,∵a1+a2m+1=a2+a2m,∴=.
9.A　設等差數列{an}的公差為d,易得=a1+d,
則是以a1為首項,為公差的等差數列.
因為-=2 001,所以2 001×=2 001,
解得d=2,則S2 023=2 023a1+×2=2 023,
所以a1=-2 021,故選A.
10.答案　(1)　(2)　(3)
解析　(1)=====.
(2)=====.
(3)因為{an},{bn}為等差數列,且=,
所以可設Sn=kn(2n+3),Tn=kn(n+1)(易錯點:Sn,Tn均為關于n的不含常數項的二次函數),
則a5=S5-S4=65k-44k=21k,b10=T10-T9=10k×11-9k×10=20k,所以=.
規律總結　若等差數列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,則=,=·(bn≠0,T2n-1≠0).
11.C　由等差數列的前n項和公式可知Sn=na1+=n2+n,設f(x)=x2+x,當a1>0,d<0時,f(x)的圖象開口向下,對稱軸在y軸右側,C符合要求.
故選C.
12.B　解法一:由題意得an+1-an=-3,所以數列{an}是以19為首項,-3為公差的等差數列,
所以Sn=19n+×(-3)=-n2+n=-+,
因為n∈N+,≈6.8,所以當n=7時,Sn取得最大值,故選B.
解法二:由題意得an+1-an=-3,所以數列{an}是以19為首項,-3為公差的等差數列,
所以an=19+(n-1)×(-3)=22-3n,要使{an}的前n項和最大,則需即
所以≤n≤,又n∈N+,所以n=7,故選B.
13.C　因為Sn有最小值,所以d>0,所以a9>a8,因為<-1,所以a8<0,a9>0,且a9+a8>0,所以S16==>0,S15==15a8<0,所以當1≤n≤15時,Sn<0,所以使Sn<0成立的n的最大值為15.故選C.
14.答案　1 010
解析　因為S2 020=
=>0,
S2 021===2 021a1 011<0,所以a1 010>0,a1 011<0,所以當n=1 010時,Sn最大.
15.解析　(1)設等差數列{an}的公差為d,
則解得
∴an=-14+(n-1)×2=2n-16.
(2)由(1)可得Sn=-14n+×2=n2-15n=-,
所以當n=7或n=8時,Sn取得最小值,Sn的最小值為S7=S8=-56.
16.A　∵f(1-x)=1-x+3sin+,
∴f(x)+f(1-x)=2.
∵an+a2 023-n=+=1,∴f(an)+f(a2 023-n)=2.令S=f(a1)+f(a2)+…+f(a2 022),
則S=f(a2 022)+f(a2 021)+…+f(a1),兩式相加得2S=2×2 022,∴S=
2 022.故選A.
17.C　∵an==-,∴Sn=(-1)+(-)+…+(-)=-1,
令-1=10,則n+1=121,∴n=120.
18.答案　2
解析　an=lg=lg(n+1)-lg n,所以S99=lg 2-lg 1+lg 3-
lg 2+…+lg 100-lg 99=2.
19.答案　
解析　因為an==-,
所以S2 023=a1+a2+a3+…+a2 023
=+++…+
=1-=.
20.解析　(1)設等差數列{an}的公差為d,
則解得
所以an=2+3(n-1)=3n-1.
(2)由(1)得an=3n-1,
所以bn===,
所以Tn=
==,
所以數列{bn}的前n項和Tn=.
能力提升練
1.D　易知函數f(x)=x3+4x的定義域為R,關于原點對稱,
∵f(-x)+f(x)=(-x)3+4(-x)+x3+4x=0,
∴f(x)是R上的奇函數.
∵f(a3+2)=100, f(a2 020+2)=-100,
∴f(a3+2)+f(a2 020+2)=0,
∴a3+2+a2 020+2=0,
∴a3+a2 020=-4=a1+a2 022,
∴S2 022==1 011×(-4)=-4 044.
故選D.
2.A　∵an+1-an=2n+2,
∴an-an-1=2(n-1)+2=2n,an-1-an-2=2n-2,……,a3-a2=6,a2-a1=4,
累加可得an-a1=4+6+…+(2n-2)+2n==n2+n-2,
又a1=3,∴an=n2+n+1,
∵n2故[]+[]+…+[]=1+2+…+2 020==
1 010×2 021.
故選A.
3.D　設除公共頂點外,第n層上的點的個數為an,由題意得a1=5,a2=5+4×1=9,a3=5+4×2=13,……,所以{an}是以5為首項,4為公差的等差數列,所以Sn=a1+a2+a3+…+an+1=5n+×4+1=2n2+3n+1.故選D.
4.BCD　設此人第n天走an里,則數列{an}是公差為d的等差數列,記{an}的前n項和為Sn,
由題意可得a1=100,S9=9a1+36d=900+36d=1 260,解得d=10,所以A錯誤;
a3=a1+2d=100+20=120,所以B正確;
S7=7a1+21d=910,所以C正確;
a3+a4+a5=3a4=390,所以D正確.故選BCD.
5.解析　(1)由an+1=得-=4,又=2,
所以數列是以2為首項,4為公差的等差數列,
所以=2+4(n-1)=4n-2,則an=.
(2)因為(4n+2)bn=an,
所以bn===,
所以Sn=
==.
6.A　由等差數列的性質可知S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差數列,
∵=,∴S6=3S3,故(S6-S3)-S3=S3,
∴S9-S6=3S3,S12-S9=4S3,
∴S9=6S3,S12=10S3,
∴==.
7.D　由等差數列的性質可得b2+b10=b5+b7=b1+b11,a3+a9=a1+a11,
∴+=====.
8.答案　4
解析　因為Sn是等差數列{an}的前n項和,所以數列是等差數列,所以+=,即+=0,解得m=4.
9.答案　101
解析　設等差數列{an}的公差為d,前n項和為Sn,由題意可知,Sm=135,前m項中偶數項之和S偶=63,∴前m項中奇數項之和S奇=135-63=72,∴S奇-S偶=a1+===72-63=9.
∵Sm==135,∴m=15,
又∵am-a1=14,am=a1+(m-1)d,
∴d=1,則a1=2,
∴a100=a1+99d=101.
10.A　若數列{an}為等差數列,設其公差為d,則Sn=na1+=n2+n,
記a=,b=a1-,則Sn=an2+bn,
故“c=0”是“{an}為等差數列”的充要條件.
11.A　由<得<,即an∵<-1,∴a17<0,a18>0,∴當n≤17且n∈N+時,an<0,當n≥18且n∈N+時,an>0,
∴Sn有最小值,最小值為S17.故選A.
12.BC　對于A,由Sn=n2+2n-1知,當n=1時,a1=S1=2,由an=2n+1知,當n=1時,a1=3,故A錯誤;
對于B,易知{an}為等差數列,公差d=3>0,所以{an}是遞增數列,令an<0,得n<,故a7<0,a8>0,
所以當n=7時,Sn取得最小值,為7×(3-23)+×3=-77,故B正確;
對于C,設數列{(-1)nan}的前n項和為Tn,則T17=-a1+a2-a3+a4-…-a15+a16-a17=(-1+5)+(-9+13)+…+(-57+61)-65=4×8-65=-33,故C正確;
對于D,a1 011+a1 012=a1+a2 022<0,a1 000+a1 024=a1+a2 023>0,所以S2 022=<0,S2 023=>0,故當Sn<0時,n的最大值為2 022,故D錯誤.
故選BC.
13.D　由題意可知每段圓弧所對的圓心角都是,且每段圓弧的半徑依次增加1,
則第n段圓弧的半徑為n,記第n段圓弧的長為an,則an=·n,
所以這15段“蚊香”的長度為×(1+2+3+…+15)=×=80π.
故選D.
14.答案　;
解析　∵a3>0,a3+a4<0,∴a4<0,d<0.
由得
又d<0,∴-<<-2.
∴的取值范圍為.
===
=2+.∵-<<-2,∴-4<2×+1<-3,
∴-<<-1,∴<2+<1,即<<1.∴的取值范圍為.
15.解析　(1)當n=1時,S1=1-14+2=-11,即a1=-11,
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-14n+2-[(n-1)2-14×(n-1)+2]=2n-15,
a1=-11不滿足上式,所以an=
(2)令an≤0,得n≤,所以當1≤n≤7時,an<0,當n≥8時,an>0.
當1≤n≤7時,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an)=-Sn=
-n2+14n-2,
當n≥8時,Tn=|a1|+|a2|+…+|a7|+|a8|+…+|an|
=-(a1+a2+…+a7)+a8+…+an=-S7+(Sn-S7)=Sn-2S7=n2-14n+96,
所以Tn=
易錯警示　①該問題中數列{an}不是等差數列,只是從第2項起成等差數列,故它的通項公式需寫成分段的形式;
　　②求數列{|an|}的前n項和時,要對an的正負情況進行分類討論,前n項和也要寫成分段的形式.
16.解析　(1)設n年后的總盈利為Sn萬元,
根據條件可知,每年的人工、維修等費用(單位:萬元)是首項為24,公差為8的等差數列,
則Sn=100n--196
=-4n2+80n-196=-4(n-10)2+204,
所以當n=10時,Sn取得最大值204,故引進該生產線10年后總盈利最大,最大是204萬元.
(2)設引進該生產線n年后年平均盈利為Tn萬元,
則Tn==-4n-+80=-+80≤-2+80=24,
當且僅當4n=,即n=7時,等號成立,
所以引進該生產線7年后年平均盈利最大,最大為24萬元.
17(共19張PPT)
§2 等差數列
知識點 1 等差數列的概念
知識 清單破
2.1 等差數列的概念及其通項公式
文字語言 對于一個數列,如果從第2項起,每一項與它的前一項的差都是同一個常數,那么稱這樣的數列為等差數列,稱這個常數為等差數列的公差,通常用字母d表示
數學符號 在數列{an}中,若an+1-an=d(n∈N+)或an-an-1=d(n≥2,n∈N+)成立,則稱數列{an}為等差數列,常數d稱為等差數列的公差
遞推關系 an+1-an=d(n∈N+)或an-an-1=d(n≥2,n∈N+)
　　若首項是a1,公差是d,則等差數列{an}的通項公式為an=a1+(n-1)d.
知識點 2 等差數列的通項公式
　　如果在a與b之間插入一個數A,使a,A,b成等差數列,那么A叫作a與b的等差中項.如果A是a
與b的等差中項,那么A-a=b-A,所以A= .
顯然,在一個等差數列中,從第2項起,每一項(有窮等差數列的末項除外)都是它的前一項與后
一項的等差中項.
知識點 3 等差中項
　
　　對于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),可將an記作f(n),它是定義在正整數集(或其子集)上的函數.其
圖象是直線y=dx+(a1-d)上的一些等間隔的點,這些點的橫坐標是正整數,其中公差d是該直線
的斜率,即自變量每增加1,函數值增加d.
當d>0時,數列{an}為遞增數列(如圖(1));
當d<0時,數列{an}為遞減數列(如圖(2));
當d=0時,數列{an}為常數列(如圖(3)).
知識點 4 等差數列與一次函數的關系

知識點5　
1.通項公式的推廣:an=am+(n-m)d(n,m∈N+).
2.若{an}為等差數列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),則ak+al=am+an.
3.若{an}是等差數列,公差為d,則{a2n}也是等差數列,公差為2d.
4.若{an},{bn}分別是以d1,d2為公差的等差數列,則{pan+qbn}是以pd1+qd2為公差的等差數列.
5.若{an}是等差數列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)組成公差為md的等差數列.
知識點 5 等差數列的常用性質
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.若一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的差都是常數,則這個數列一定是等差數列.
(　 )
2.若5位同學的年齡(單位:歲)相等,則他們的年齡不構成等差數列. (　 )
3.甲、乙的月收入(單位:萬元)分別為1,2,則甲、乙月收入(單位:萬元)的等差中項為1.5. ( )
4.若數列{an}為等差數列,則其通項公式為關于n的一次函數. (　 )
5.若數列{an}的通項公式為an=kn+b,則{an}是公差為k的等差數列. (　 )
知識辨析

提示

提示

提示
差是同一個常數時才是等差數列.
該數列為常數列.
當公差為0時,其通項公式為常數函數,不是一次函數.
√
√
提示
∵ -an=k(n+1)+b-(kn+b)=k,∴{an}是公差為k的等差數列.
判定一個數列是等差數列的常用方法
(1)定義法:an+1-an=d(d為常數,n∈N+) {an}為等差數列.
(2)通項公式法:an的通項公式是關于n的一次函數 {an}是公差不為0的等差數列.
(3)等差中項法:2an+1=an+an+2(n∈N+) {an}為等差數列.特別地,對于三個數a,b,c,2b=a+c a,b,c
(或c,b,a)成等差數列.
其中定義法和等差中項法是證明一個數列為等差數列的方法和直接依據.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 等差數列的判定(證明)
已知各項均不為0的數列{an}滿足an= (n≥2,n∈N+),且a2=-1.求證:數列 為等
差數列.
典例
證明 將an= (n≥2,n∈N+)兩邊同時取倒數,可得 = +3(n≥2,n∈N+),
所以 - =3(n≥2,n∈N+),
因為a2=-1,所以 - =3,所以 =-4.
所以數列 是首項為-4,公差為3的等差數列.
1.求等差數列通項公式的一般思路
(1)方程思想:設出基本量a1與d,利用已知條件構建方程組,求出a1與d,即可寫出數列的通項公
式.
(2)利用等差數列通項公式的推廣:已知等差數列中的兩項an與am時,可利用an=am+(n-m)d(n,m
∈N+)求出公差d,進而寫出等差數列的通項公式.
2.利用遞推關系式構造等差數列求通項公式
將遞推關系式進行轉化,可構造出等差數列,常見的轉化形式如下:
(1)轉化為“(an+2-an+1)-(an+1-an)=常數”的形式,則數列{an+1-an}是等差數列.
(2)轉化為“ - =常數”的形式,則數列 是等差數列.
疑難 2 求等差數列的通項公式
講解分析
(3)轉化為“ - =常數”的形式,則數列 是等差數列,其中c為實數.
(4)轉化為“ - =常數”的形式,則數列{ }是等差數列.
(5)轉化為“ - =常數”的形式,則數列{ }是等差數列.
(1)已知在公差為d的等差數列{an}中,a6=12,a18=36,則數列{an}的通項公式為an=　　　
　 ;
(2)已知數列{an}滿足an+1=3an+3n,且a1=1,求數列{an}的通項公式.
典例
解析 (1)解法一:由題意可得 解得
∴an=2+(n-1)×2=2n.
解法二:∵a18=a6+(18-6)d,
∴d= =2,
∴an=a6+(n-6)d=12+(n-6)×2=2n.
(2)將an+1=3an+3n兩邊同時除以3n+1,得 = + ,即 - = .
由等差數列的定義知,數列 是以 = 為首項, 為公差的等差數列,
∴ = +(n-1)× = ,
故an=n·3n-1.
答案 (1)2n
　　借助等差數列的性質解決有關項的問題,可以簡化計算,但不一定每道題都適用,能應用
性質的此類題都應具有一定的特征,所以解決等差數列的有關問題時,可先考慮應用等差數
列的性質,若不能應用性質,則考慮將其轉化成與首項和公差有關的式子進行求解.
講解分析
疑難 3 等差數列性質的應用
在等差數列{an}中,已知a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此數列的通項公式.
典例
解析 設等差數列{an}的公差為d.
解法一:易知a1+a7=2a4,
∴a1+a4+a7=3a4=15,
∴a4=5.
∵a2a4a6=45,∴a2a6=9,
∴(a4-2d)(a4+2d)=9,
即(5-2d)(5+2d)=9,解得d=±2.
當d=2時,an=a4+(n-4)d=2n-3;
當d=-2時,an=a4+(n-4)d=-2n+13.
∴an=2n-3或an=-2n+13.
解法二:同解法一得a4=5,a2a6=9,
又∵a1+a7=a2+a6=2a4=10,
∴ 解得 或
當a2=1,a6=9時,a6=a2+4d=1+4d=9,
解得d=2,
∴an=a4+(n-4)d=2n-3;
當a2=9,a6=1時,a6=a2+4d=9+4d=1,
解得d=-2,
∴an=a4+(n-4)d=-2n+13.
∴an=2n-3或an=-2n+13.
解決有關等差數列實際問題的基本步驟
(1)審題:仔細閱讀材料,認真理解題意;
(2)建模:將已知信息翻譯成數學語言,將實際問題轉化為數學中有關數列的問題;
(3)判型:分析該數列是不是等差數列;
(4)求解:求出該有關數列問題的解;
(5)還原:將所得結果還原到實際問題中.
講解分析
疑難 4 等差數列的實際應用
《九章算術》是我國古代的數學名著,書中有一關于等差數列的問題:“今有五人分五
錢,令上二人所得與下三人等.問各得幾何 ”可理解為:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5
錢,甲、乙兩人所得錢數之和與丙、丁、戊三人所得錢數之和相等.問五人各得多少錢 ”
(“錢”是古代的一種質量單位)這個問題中五人所得錢數依次成等差數列,則戊所得為 ( )
A. 錢　 B. 錢　 C. 錢　 D. 錢
典例
信息提取 ①甲、乙、丙、丁、戊所得錢數依次成等差數列;②甲、乙兩人所得錢數之和與
丙、丁、戊三人所得錢數之和相等.
數學建模 以五人分五錢為背景建立等差數列模型,這五人所得錢數可視為等差數列的5項,
故可設第3項為a,再以d為公差向兩邊分別設項進行求解.
B
解析 依題意設甲、乙、丙、丁、戊所得錢數分別為a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,
由甲、乙兩人所得錢數之和與丙、丁、戊三人所得錢數之和相等,得a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,
得a=-6d,
又五人分五錢,所以a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5,所以a=1,
則a+2d=a+2× = = .

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