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3.2 等比數(shù)列的前n項和
§3 等比數(shù)列
知識點 1 等比數(shù)列的前n項和公式
知識 清單破
已知量 求和公式
首項、公比 與項數(shù) Sn=
首項、末項 與公比 Sn=
知識點2　
1.當公比q>0且q≠1時,設(shè)A= ,則等比數(shù)列的前n項和公式是Sn=A(qn-1),即Sn是關(guān)于n的指數(shù)
型函數(shù).
2.當公比q=1時,因為a1≠0,所以Sn=na1,即Sn是關(guān)于n的正比例函數(shù).
知識點 2 等比數(shù)列{an}的前n項和公式的函數(shù)特性
知識點3　
　　已知等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項和為Sn,則利用等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公
式可推得Sn有如下性質(zhì):
(1)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm,m,n∈N+.
(2)當q≠-1(或q=-1且k為奇數(shù))時,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比數(shù)列.
(3)設(shè)S偶與S奇分別是偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和.若項數(shù)為2n,則 =q;若項數(shù)為2n+1,則 =
q.
(4)當q=1時, = ;當q≠±1時, = .
知識點 3 等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.一架無人機放置在地面上,每分鐘上升的高度(單位:m)構(gòu)成以20為首項,2為公比的等比數(shù)
列,則5分鐘后這架無人機離地的高度不超過600 m. (　 )
2.10位同學(xué)的身高(單位:cm)構(gòu)成等比數(shù)列,若第1位同學(xué)與第10位同學(xué)的身高均為160 cm,則
這10位同學(xué)的身高之和為16 m.(　 )
3.n個工廠的生產(chǎn)總值(單位:千萬元)構(gòu)成一個數(shù)列,且其總和Sn=3×2n-3,則這個數(shù)列是等比數(shù)
列. (　 )
4.已知數(shù)列{an}的通項公式是an=an,則其前n項和Sn= . (　 )
知識辨析

√
√
當a=1時,Sn=n,題中結(jié)論不成立.
提示

5.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,其前n項和為Sn,則S10,S20-S10,S30-S20,…仍構(gòu)成等比數(shù)列.(　 )
6.已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,其前n項和為Sn,則{Sn}也是遞增數(shù)列. (　 )

提示

提示
當公比為-1時不成立.
當a1<0,01.等比數(shù)列的前n項和公式中分了公比q=1和q≠1兩種情況,因此當公比未知時,要先對公比
進行分類討論,再求和.
2.若已知a1,q(q≠1)和n,則用Sn= 求Sn較簡便;若已知a1,q(q≠1)和an,則用Sn= 求Sn
較簡便.
3.在等比數(shù)列{an}中,對于a1,an,n,q,Sn這五個量,已知其中三個量就可利用通項公式和前n項和
公式求出另外兩個量.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用
設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,已知S4=1,S8=17,求Sn.
典例1
思路點撥 思路一:設(shè)Sn=Aqn-A(A≠0) 由S4=1,S8=17求出A,q 求出Sn;
思路二:將S4=1,S8=17代入Sn= (q≠1),求出a1,q 求出Sn.
解析 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.
解法一:由S4=1,S8=17,知q≠±1,故設(shè)Sn=Aqn-A(A≠0),∴ 兩式相除并化簡,得q4=16,
∴q=±2,A= .
當q=2時,Sn= (2n-1);
當q=-2時,Sn= [(-2)n-1].
解法二:由S4=1,S8=17,知q≠±1,
∴
兩式相除并化簡,得q4=16,∴q=±2.
當q=2時,a1= ,Sn= = (2n-1);
當q=-2時,a1=- ,Sn= = [(-2)n-1].
我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題:“今有蒲(水生植物名)生一日,長三尺;
莞(植物名,俗稱水蔥、席子草)生一日,長一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.問幾何日而長等 ”
意思是:今有蒲生長一日,長為3尺;莞生長一日,長為1尺.蒲的生長逐日減半,莞的生長逐日增
加1倍.若蒲、莞長度相等,則所需的時間約為(結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù):lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
(　 )
A.1日　 B.2日　 C.3日　 D.4日
典例2
C
解析 設(shè)蒲每天生長的尺數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列{an},
則其首項a1=3,公比為 ,
設(shè)其前n項和為An,則An= .
設(shè)莞每天生長的尺數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列{bn},
則其首項b1=1,公比為2,
設(shè)其前n項和為Bn,則Bn= .
令 = ,即2n+ =7,
∴2n=6或2n=1(舍去),
∴n= =1+ ≈3,
∴大約3日蒲、莞長度相等,故選C.
疑難2　
　　根據(jù)等比數(shù)列的概念和前n項和公式,可推導(dǎo)出等比數(shù)列前n項和的若干性質(zhì),在等比數(shù)
列前n項和的有關(guān)問題中,恰當運用性質(zhì)能簡化運算,快速解題.
講解分析
疑難 2 等比數(shù)列前n項和性質(zhì)的應(yīng)用
(1)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sn=2,S3n=14,則S4n=　　　 ;
(2)一個等比數(shù)列的首項為1,項數(shù)是偶數(shù),其奇數(shù)項的和為85,偶數(shù)項的和為170,則此數(shù)列的公
比為　　　 ,項數(shù)為　　　 ;
(3)若{an}是等比數(shù)列,且其前n項和Sn=3n-1+t,則t=　　　 .
典例
思路點撥 (1)應(yīng)用當q≠-1時,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比數(shù)列求解.
(2)根據(jù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)求解.
(3)利用等比數(shù)列前n項和的函數(shù)特性求解.
30
2
8
-
解析 (1)易知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比數(shù)列,設(shè)公比為q1(q1>0),則S3n=Sn+(S2n-Sn)+(S3n-S2n)=2×
(1+q1+ )=14,
解得q1=2(負值舍去),
所以S4n-S3n=2 =2×8=16,
所以S4n=S3n+16=14+16=30.
(2)設(shè)該數(shù)列的公比為q2,項數(shù)為2n,奇數(shù)項的和為T奇,偶數(shù)項的和為T偶,
則q2= = =2.
則該數(shù)列的奇數(shù)項構(gòu)成以1為首項, =4為公比,n為項數(shù)的等比數(shù)列,
所以 =85,所以4n=256,解得n=4.
所以原數(shù)列的項數(shù)為8.
(3)Sn=3n-1+t= ·3n+t,
由等比數(shù)列前n項和的函數(shù)特性知t=- .
解后反思 本例中各小題均可列出關(guān)于首項和公比的方程組來求解,但靈活運用性質(zhì)往往能
簡化運算,且思路清晰.
1.分組求和法
一般地,若{an},{bn}中一個是等差數(shù)列,一個是等比數(shù)列,則常用分組求和法求數(shù)列{an±bn}的
前n項和,即先分別求{an},{bn}的前n項和,再將兩個和式合在一起.
2.錯位相減法
已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,數(shù)列{bn}為公比不為1的等比數(shù)列,由這兩個數(shù)列中序號相同的項
的乘積組成的新數(shù)列為{anbn},在求該數(shù)列的前n項和時,常常將{anbn}和式中的各項乘{bn}的
公比q,并向后錯位一項,與{anbn}和式中q的同次項對應(yīng)相減,即可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和,這
種求數(shù)列前n項和的方法稱為錯位相減法.若公比不確定,則需對其進行分類討論.
講解分析
疑難 3 與等比數(shù)列有關(guān)的數(shù)列求和
已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+1,bn=an+1.
(1)證明:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列　　　 的前n項和Sn.
從條件①{bn+log2bn},② ,③{nbn}中任選一個補充在橫線中,并解答.
典例
解析 (1)證明:由an+1=2an+1,得an+1+1=2(an+1),
因為a1+1=2≠0,
所以 =2,即 =2,
所以數(shù)列{bn}是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列.
(2)由(1)知,數(shù)列{bn}的通項公式為bn=2·2n-1=2n.
選①.bn+log2bn=2n+n,
則Sn=(21+1)+(22+2)+(23+3)+…+(2n+n)
=(21+22+…+2n)+(1+2+…+n)
= +
=2n+1+ .
選②. = = - ,
則Sn= + + +…+ =1- = .
選③.nbn=n·2n,
則Sn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n,
2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1,
兩式相減得,Sn=-(2+22+…+2n)+n·2n+1
=- +n·2n+1=(n-1)·2n+1+2.§3　等比數(shù)列
3.1　等比數(shù)列的概念及其通項公式
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　等比數(shù)列的概念
1.下列三個數(shù)依次成等比數(shù)列的是(　　)
A.1,4,8　　　　　B.-1,2,4
C.9,6,4　　　　　D.4,6,8
2.下列說法正確的是(　　)
A.等比數(shù)列中的某一項可以為0
B.等比數(shù)列中公比的取值范圍是(-∞,+∞)
C.若一個常數(shù)列是等比數(shù)列,則這個常數(shù)列的公比為1
D.若b2=ac,則a,b,c成等比數(shù)列
3.(1)已知數(shù)列{an}滿足a1=,且an+1=an+,求證:是等比數(shù)列;
(2)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=(an-1),證明:數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
題組二　等比中項
4.-1與+1的等差中項和等比中項分別是(　　)
A.,±　　　　　B.,
C.,-　　　　　D.,±2
5.在等比數(shù)列{an}中,a1=1,a5=16,則a3=(　　)
A.-4　　　　　B.4　　　　C.±4　　　　　D.±2
6.“G=”是“G是a,b的等比中項”的(　　)
A.既不充分也不必要條件
B.充分不必要條件
C.必要不充分條件
D.充要條件
7.已知正項等比數(shù)列{an}中,a4,3a3,a5成等差數(shù)列,若數(shù)列{an}中存在兩項am,an,使得a1為它們的等比中項,則m+n的值為(　　)
A.1　　　　B.3　　　　C.6　　　　D.9
題組三　等比數(shù)列的通項公式
8.已知數(shù)列{an}是首項和公比均為3的等比數(shù)列,若am=32 023,則m=(　　)
A.2 020　　　　　B.2 021　　　　
C.2 022　　　　　D.2 023
9.一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an},從第3項起,每一項都等于它前面的相鄰兩項之和,則公比q=(　　)
A.　　　　　B.
C.　　　　　D.
10.在等比數(shù)列{an}中,a2=2,a4=4,則a8=(　　)
A.8　　　　B.16　　　　C.32　　　　D.36
11.通過測驗知道,溫度每降低6 ℃,某電子元件的電子數(shù)量就減少一半.已知在零下34 ℃時,該電子元件的電子數(shù)量為3個,則溫度為26 ℃時,該電子元件的電子數(shù)量為(　　)
A.860個　　　　　B.1 730個
C.3 072個　　　　　D.3 900個
12.已知{an}是等比數(shù)列,若a3=2,a2+a4=,求數(shù)列{an}的通項公式.
13.在數(shù)列{an}中,a1=2,a2=-1,且an+2+an+1-6an=0.
(1)證明:{an+1+3an}為等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式.
題組四　等比數(shù)列的性質(zhì)及其綜合運用
14.在正項等比數(shù)列{an}中,a2a9=8,a5=2,則公比q為　(　　)
A.　　　　B.2　　　　
C.　　　　D.4
15.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且a3+a5=3,則a2a4+2+a4a6的值為(　　)
A.3　　　　B.6　　　　
C.9　　　　D.36
16.(多選題)已知數(shù)列{an}是首項為1,公比為3的等比數(shù)列,則(　　)
A.是等差數(shù)列
B.{an+1-an}是等差數(shù)列
C.{log3an}是等比數(shù)列
D.{anan+1}是等比數(shù)列
17.在正項等比數(shù)列{an}中,若a3,a7是關(guān)于x的方程x2-mx+4=0的兩實根,則log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9=(　　)
A.8　　　　B.9　　　　C.16　　　　D.18
18.(1)已知等比數(shù)列{an}滿足a1=,a3a5=4(a4-1),求a2的值;
(2)已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,若a1>0,且2(a4+a6)=5a5,求數(shù)列{an}的公比q.
能力提升練
題組一　等比數(shù)列的概念、通項公式及其應(yīng)用
1.設(shè){an}是首項為正數(shù)的等比數(shù)列,公比為q,則“q<0”是“對任意正整數(shù)n,a2n-1>a2n”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
2.音樂與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系,我國春秋時期有個著名的“三分損益法”:若以“宮”為基本音,“宮”經(jīng)過一次“損”,頻率變?yōu)樵瓉淼?得到“徵”;“徵”經(jīng)過一次“益”,頻率變?yōu)樵瓉淼?得到“商”;……,依次損益交替變化,獲得了“宮”“徵”“商”“羽”“角”五個音階.則(　　)
A.“徵”“商”“羽”的頻率成等比數(shù)列
B.“宮”“徵”“商”的頻率成等比數(shù)列
C.“商”“羽”“角”的頻率成等比數(shù)列
D.“宮”“商”“角”的頻率成等比數(shù)列
3.(多選題)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則下列結(jié)論正確的有　(　　)
A.若a2 021>0,則a1a2>0
B.若a1a2>0,則a2a3>0
C.若a2>a1>0,則a1+a3>2a2
D.若a1a2<0,則(a2-a1)(a2-a3)<0
4.標準對數(shù)視力表的一部分如圖所示.最左邊一列“五分記錄”為標準對數(shù)視力記錄,這組數(shù)據(jù)從上至下為等差數(shù)列,公差為0.1;最右邊一列“小數(shù)記錄”為國際標準視力記錄的近似值,這組數(shù)據(jù)從上至下為等比數(shù)列,公比為.已知標準對數(shù)視力5.0對應(yīng)的國際標準視力準確值為1.0,則標準對數(shù)視力4.8對應(yīng)的國際標準視力精確到小數(shù)點后兩位為(　　)
(參考數(shù)據(jù):≈1.58,≈1.26)
A.0.57　　　　　B.0.59　　　　
C.0.61　　　　　D.0.63
5.在△ABC中,若sin A,sin B,sin C成公比為的等比數(shù)列,則cos B=　　　　.
6.已知等差數(shù)列{an}的公差d>0,等比數(shù)列{bn}的公比q為正整數(shù).若a1=d,b1=d2,且是正整數(shù),則q=　　　　.
7.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,數(shù)列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且an+Sn=n.
(1)設(shè)cn=an-1,求證:{cn}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{bn}的通項公式.
8.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且2Sn=3an-1.
(1)證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列并求其通項公式;
(2)若bn=,設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,對任意n∈N+,Tn<都成立,求正整數(shù)m的最小值.
題組二　等比數(shù)列的性質(zhì)及其綜合運用
9.已知等比數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,若a7a14=6,a4+a17=5,則=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.6
10.已知正項等比數(shù)列{an}滿足log2a1+log2a2+…+log2a2 022=2 022,則log2(a1+a2 022)的最小值為(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.1 011　　　　D.2 022
11.已知數(shù)列{an}滿足a1=,an+1=an(n∈N+).設(shè)bn=,n∈N+,且數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列,則實數(shù)λ的取值范圍是(　　)
A.(-∞,1)　　　　　B.
C.　　　　　D.(-1,2)
12.已知三個數(shù)成等比數(shù)列,且公比大于1,它們的和等于14,它們的積等于64,則這三個數(shù)從小到大依次是　　　　　　.
13.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}的各項均為正數(shù),公比是q,且滿足a1=3,b1=1,b2+S2=12,S2=b2q.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式;
(2)設(shè)cn=3bn-λ·,若數(shù)列{cn}是遞增數(shù)列,求實數(shù)λ的取值范圍.
14.正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=a,2Sn=anan+1.
(1)若{an}是等差數(shù)列,求{an}的通項公式;
(2)是否存在實數(shù)a,使得{an}是等比數(shù)列 若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.
答案與分層梯度式解析
1.C
2.C　對于A,因為等比數(shù)列中的各項都不為0,所以A不正確;對于B,因為等比數(shù)列的公比不為0,所以B不正確;對于C,若一個常數(shù)列是等比數(shù)列,則這個常數(shù)不為0,根據(jù)等比數(shù)列的概念知此數(shù)列的公比為1,所以C正確;對于D,只有當a,b,c都不為0時,a,b,c才成等比數(shù)列,所以D不正確.故選C.
3.證明　(1)∵an+1=an+,
∴an+1-=an+-=,
又a1-=-=≠0,
∴是首項為,公比為的等比數(shù)列.
(2)∵Sn=(an-1),∴Sn+1=(an+1-1),
兩式相減得,an+1=an+1-an,
即an+1=-an,
∵a1=S1=(a1-1),∴a1=-.
∴數(shù)列{an}是首項為-,公比為-的等比數(shù)列.
4.A　-1與+1的等差中項是=,
-1與+1的等比中項是±=±.
5.B　在等比數(shù)列{an}中,=a1a5=16,因為a1,a3,a5同號,所以a3=4.
易錯警示　在等比數(shù)列中,奇數(shù)項與奇數(shù)項一定同號,偶數(shù)項與偶數(shù)項一定同號,故本題中a3不能取-4.
6.A　當G=a=b=0時,滿足G=,但G不是a,b的等比中項,故充分性不成立;當G是a,b的等比中項時,如a=1,b=4,G=-2,不滿足G=,故必要性不成立.故“G=”是“G是a,b的等比中項”的既不充分也不必要條件.
7.B　設(shè)正項等比數(shù)列{an}的公比為q,q>0.由a4,3a3,a5成等差數(shù)列,得6a3=a4+a5,即6a3=a3q+a3q2,即q2+q-6=0,解得q=2(q=-3舍去).
若數(shù)列{an}中存在兩項am,an,使得a1為它們的等比中項,
則(a1)2=am·an,即2=a1qm-1·a1qn-1,即2m+n-2=2,則m+n=3.
故選B.
8.D　根據(jù)題意可得{an}的通項公式為an=3n,故am=3m=32 023,則m=2 023.
9.D　由題意得an+2=an+an+1,所以q2=1+q,即q2-q-1=0,解得q=或q=(舍去),故選D.
10.B　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則所以q2=2,故a8=a4q4=4×4=16.
11.C　由題意可得溫度每降低6 ℃時的該電子元件的電子數(shù)量(單位:個)可構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,
設(shè)溫度為26 ℃時,該電子元件的電子數(shù)量為x個,則由=10,可得x=3,解得x=3 072.
12.解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則q≠0.
由題意得a2==,a4=a3q=2q,
∵a2+a4=,
∴+2q=,解得q=或q=3.
當q=時,a1=18,
∴an=18×=2×33-n.
當q=3時,a1=,
∴an=×3n-1=2×3n-3.
綜上,當q=時,an=2×33-n;
當q=3時,an=2×3n-3.
13.解析　(1)證明:由an+2+an+1-6an=0,可得an+2+3an+1=2(an+1+3an),
又a2+3a1=5,∴數(shù)列{an+1+3an}是以5為首項,2為公比的等比數(shù)列.
(2)由(1)可得an+1+3an=5·2n-1,∴an+1-2n=-3(an-2n-1),
又a1-20=2-1=1,∴數(shù)列{an-2n-1}是首項為1,公比為-3的等比數(shù)列,
∴an-2n-1=1×(-3)n-1,∴an=2n-1+(-3)n-1.
14.B　因為數(shù)列{an}為正項等比數(shù)列,a2a9=8,所以a2a9=a5a6=8,又a5=2,所以a6=4,所以公比q=2,故選B.
15.C　由等比數(shù)列的性質(zhì),得a2a4=,=a3a5,a4a6=,
所以a2a4+2+a4a6=+2a3a5+=(a3+a5)2,
又a3+a5=3,所以a2a4+2+a4a6=9.故選C.
16.AD　由題意得=3,所以數(shù)列是常數(shù)列,也是等差數(shù)列,故A正確;數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-1,則an+1-an=3n-3n-1=2×3n-1,所以數(shù)列{an+1-an}是以2為首項,3為公比的等比數(shù)列,故B錯誤;log3an=log33n-1=n-1,所以數(shù)列{log3an}是以0為首項,1為公差的等差數(shù)列,故C錯誤;anan+1=3n-1·3n=32n-1,所以數(shù)列{anan+1}是以3為首項,9為公比的等比數(shù)列,故D正確.故選AD.
17.B　由題意得a3a7=4,
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得=a3a7=4,
又數(shù)列{an}為正項等比數(shù)列,
所以a5=2,故a1a2a3…a9==29,
故log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9=log2(a1a2a3…a9)=log229=9.
18.解析　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由a3a5=4(a4-1),得=4(a4-1),∴a4=2,∴q3==8,
∴q=2,∴a2=a1q=.
(2)由2(a4+a6)=5a5,得2(a4+a4q2)=5a4q,易知a4≠0,所以2+2q2=5q,即(2q-1)(q-2)=0,解得q=2或q=.
因為等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,且a1>0,
所以q>1,所以q=2.
能力提升練
1.A　若公比q<0,則數(shù)列{an}中的奇數(shù)項為正,偶數(shù)項為負,一定有a2n-1>a2n,充分性成立;
當0所以“q<0”是“對任意正整數(shù)n,a2n-1>a2n”的充分不必要條件.故選A.
2.D　不妨設(shè)“宮”的頻率為1,則“徵”的頻率為,“商”的頻率為,“羽”的頻率為,“角”的頻率為,
所以“宮”“商”“角”的頻率成等比數(shù)列,公比為.
3.BC　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.
對于A,a2 021=a1q2 020>0,則a1>0,q>0或q<0.當q>0時,a1a2=q>0;當q<0時,a1a2=q<0,A中結(jié)論錯誤.
對于B,a1a2=q>0,則q>0,則a2a3=q3>0,B中結(jié)論正確.
對于C,a2>a1>0,即a1q>a1>0,所以q>1,所以a1+a3-2a2=a1+a1q2-2a1q=a1(q-1)2>0,所以a1+a3>2a2,C中結(jié)論正確.
對于D,a1a2=q<0,則q<0,所以(a2-a1)(a2-a3)=a1(q-1)·a2(1-q)=-a1a2(q-1)2>0,D中結(jié)論錯誤.故選BC.
4.D　設(shè)左側(cè)數(shù)據(jù)從上至下構(gòu)成等差數(shù)列{an},公差d=0.1,右側(cè)數(shù)據(jù)從上至下構(gòu)成等比數(shù)列{bn},公比q=,設(shè)5.0為數(shù)列{an}中的第m項,則1.0為數(shù)列{bn}中的第m項,即am=5.0,bm=1.0,
易得4.8=5.0-2×0.1=am-2d=am-2,
故標準對數(shù)視力4.8對應(yīng)的國際標準視力為數(shù)列{bn}中的第(m-2)項,
bm-2===≈≈0.63.
5.答案　
解析　由sin A,sin B,sin C成公比為的等比數(shù)列,得sin B=sin A,sin C=2sin A,
所以由正弦定理可知b=a,c=2a,
所以cos B===.
6.答案　2
解析　設(shè)m=,則m===,所以1+q+q2=,因為m,q均為正整數(shù),所以1+q+q2∈{7,14}.
當1+q+q2=7時,q=2或q=-3(舍去).
當1+q+q2=14時,q=(舍去).
綜上,q=2.
7.解析　(1)證明:∵an+Sn=n,①
∴an+1+Sn+1=n+1,②
②-①得an+1-an+an+1=1,
∴2an+1=an+1,
∴2(an+1-1)=an-1,
∴an+1-1=(an-1),即cn+1=cn.
又a1+a1=1,∴a1=,∴c1=a1-1=-≠0,
∴{cn}是以-為首項,為公比的等比數(shù)列.
(2)由(1)可知,cn=·=-,
∴an=cn+1=1-.
當n≥2時,bn=an-an-1=1--
=-=.
又當n=1時,b1=a1=,符合上式,
∴bn=(n∈N+).
8.解析　(1)∵2Sn=3an-1,
∴當n≥2時,2Sn-1=3an-1-1,
兩式相減得2an=3an-3an-1(n≥2),
即an=3an-1(n≥2),
當n=1時,2S1=3a1-1,即a1=1,
∴數(shù)列{an}是首項為1,公比為3的等比數(shù)列,
∴an=3n-1.
(2)bn===-,
∴Tn=1-+-+…+-=1-<1,
∴≥1,即m≥2 021,
∴正整數(shù)m的最小值為2 021.
9.A　∵a7a14=a4a17=6,a4+a17=5,
∴a4與a17為方程x2-5x+6=0的兩個實數(shù)根,
易知x1=2,x2=3,∴a4=2,a17=3或a4=3,a17=2.
∵等比數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,∴a4=3,a17=2,
設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,
則==q13=,
∴===,故選A.
10.B　log2a1+log2a2+…+log2a2 022=log2(a1a2…a2 022)=2 022,所以a1a2…a2 022=22 022,又數(shù)列{an}是正項等比數(shù)列,所以a1a2 022=a2a2 021=a3a2 020=…=a1 011·a1 012=22=4,所以log2(a1+a2 022)≥log2(2)=log24=2,當且僅當a1=a2 022=2時,等號成立.
11.C　由an+1=an(n∈N+)可知數(shù)列{an}是公比為的等比數(shù)列,又a1=,
∴an=×=,∴bn==(n-2λ)2n.
∵數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列,
∴bn+1>bn對于任意的n∈N+恒成立,
即(n+1-2λ)2n+1>(n-2λ)2n對于任意的n∈N+恒成立,
∴λ<對于任意的n∈N+恒成立,
∴λ<,故選C.
12.答案　2,4,8
解析　設(shè)這三個數(shù)分別為a,b,c,且a由等比數(shù)列的性質(zhì)可得abc=b3=64,即b=4,
又a+b+c=14,所以a+c=10,又ac=b2=16,
所以a=2,c=8,
故這三個數(shù)從小到大依次是2,4,8.
13.解析　(1)由已知得b2=b1q=q(q>0),
S2=a1+a2=3+a2,
∴
解得或(舍去),
∴a2-a1=3,an=3+(n-1)×3=3n,bn=b1qn-1=3n-1.
(2)由(1)知,cn=3bn-λ·=3n-λ·2n.
由題意知cn+1>cn對任意n∈N+恒成立,
即3n+1-λ·2n+1>3n-λ·2n對任意n∈N+恒成立,
即λ·2n<2·3n對任意n∈N+恒成立,
即λ<2·對任意n∈N+恒成立,
∴λ<.
∵函數(shù)y=(n∈N+)是增函數(shù),
∴=2×=3,∴λ<3,
∴實數(shù)λ的取值范圍為(-∞,3).
14.解析　(1)當n=1時,2S1=2a1=a1a2,又a1>0,所以a2=2.
當n≥2時,2an=2Sn-2Sn-1=anan+1-an-1an,又an>0,所以an+1-an-1=2,
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則an+1-an-1=2d=2,解得d=1,
所以a1=a2-d=1,故{an}的通項公式為an=n.
(2)假設(shè)存在實數(shù)a,使得{an}是等比數(shù)列.
由(1)可知,a2=2,當n≥2時,an+1-an-1=2,故a3=a1+2=2+a,a4=a2+2=4.
若{an}是等比數(shù)列,則a2a3=a1a4,即2(2+a)=4a,解得a=2,故a3=4,
所以≠,所以{an}不是等比數(shù)列,
故不存在實數(shù)a,使得{an}是等比數(shù)列.
263.2　等比數(shù)列的前n項和
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　等比數(shù)列的前n項和的有關(guān)計算
1.在等比數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,則其前5項和為(　　)
A.32　　　　B.31　　　　
C.64　　　　D.63
2.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若=3,則=(　　)
A.1　　　　B.2　　　　
C.3　　　　D.4
3.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題:“今有女子善織,日自倍,五日織五尺,問日織幾何 ”其大意為:“有一位善于織布的女子,每天織出的布都是前一天的2倍,5天共織了5尺布,問這名女子每天分別織布多少 ”在該問題中,該女子第一天織布的尺數(shù)為(　　)
A.　　　　B.　　　　
C.　　　　D.
4.在各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1=1,a9=4a7.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,若Sm=31,求正整數(shù)m的值.
題組二　等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)
5.已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足S5=10,S10=40,則S20=　(　　)
A.130　　　　B.160　　　　C.390　　　　D.400
6.已知一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列{an},它的所有項之和為所有偶數(shù)項之和的4倍,前3項之積為64,則a1=(　　)
A.1　　　　B.4　　　　C.12　　　　D.36
7.等比數(shù)列{an}中, Sn為其前n項和,若Sn=3×2n+a,則a=　　　.
8.在等比數(shù)列{an}中,公比q=,前100項和S100=150,則a2+a4+a6+…+a100=　　　　.
題組三　與等比數(shù)列有關(guān)的數(shù)列求和
9.數(shù)列1,2,3,4,…的前n(n∈N+)項和為　　　　.
10.已知數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,且a5=256,a3+a4=20a2.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=an+log2an,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
11.已知{an}為正項等比數(shù)列,a6=a1a5=64.
(1)求{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{(3n-2)an}的前n項和Tn.
12.求數(shù)列1,3a,5a2,7a3,…,(2n-1)an-1(a≠0)的前n項和.
題組四　等比數(shù)列前n項和的綜合應(yīng)用
13.已知數(shù)列{an}滿足a1=0,a2=1.若數(shù)列{an+an+1}是公比為2的等比數(shù)列,則a2 024=(　　)
A.　　　　　B.　　　　
C.　　　　　D.
14.已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,a1>0,S5<3a1+a2+a4,則公比q的取值范圍是(　　)
A.(-1,0)　　　　　B.(0,1)
C.(-1,1)　　　　　D.(-1,0)∪(0,1)
15.已知數(shù)列{an}是公比大于1的等比數(shù)列,其前n項和為Sn,且a1,a3是方程x2-5x+4=0的兩個實根,則S3=　　　　.
16.設(shè)正項等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=12,a3+a4=3,則a1a2…an的最大值為　　　　.
17.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1-a3=3,S1,S3,S2成等差數(shù)列,則Sn的最大值為　　　　.
18.已知數(shù)列{an}是正項等比數(shù)列,其前n項和為Sn,且a2a4=16,S5=S3+24.
(1)求{an}的通項公式;
(2)記{an+log2an}的前n項和為Tn,求滿足Tn<2 024的最大正整數(shù)n的值.
19.已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
(1)求{an}的通項公式;
(2)設(shè)cn=an+(-1)nbn(n∈N+),求數(shù)列{cn}的前2n項和.
能力提升練
題組一　等比數(shù)列的前n項和的有關(guān)計算
1.已知數(shù)列{an}中,an=2×3n-1,則數(shù)列{}的前n項和為(　　)
A.-1　　　　B.　　　　C.　　　　D.-1
2.已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,a3與S2分別為方程x2+3x-4=0的兩個實根,則S4=(　　)
A.5　　　　B.8　　　　C.15　　　　D.-15
3.數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=2an,若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,則k=(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5
4.有一塔形幾何體由若干個正方體構(gòu)成,構(gòu)成方式如圖所示,上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點,已知最底層正方體的棱長為4,若該塔形幾何體由7個正方體構(gòu)成,則該塔形幾何體的表面積(含最底層正方體的底面積)為(　　)
A.127　　　　B.127　　　　C.143　　　　D.159
題組二　等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)及其應(yīng)用
5.若數(shù)列{xn}滿足lg xn+1=1+lg xn(n∈N+),且x1+x2+…+x100=100,則lg(x101+x102+…+x200)的值為(　　)
A.200　　　　B.120　　　　C.110　　　　D.102
6.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1+a2+a3=2,S6=9S3,則S9=(　　)
A.50　　　　B.100　　　　C.146　　　　D.128
7.設(shè)正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且210S30-(210+1)S20+S10=0,則公比q=　　　　.
題組三　與等比數(shù)列有關(guān)的數(shù)列求和
8.若數(shù)列{an}滿足a1=0,a2=1,an=則數(shù)列{an}的前10項和為(　　)
A.60　　　　B.61　　　　C.62　　　　D.63
9.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+=0.
(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列,并求{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列的前n項和Sn.
10.已知數(shù)列{an}滿足++…+=n-1+.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若bn=an+n,求數(shù)列{bn}的前(n+1)項和Tn+1.
題組四　等比數(shù)列前n項和的綜合應(yīng)用
11.如圖,已知每行的數(shù)字之和構(gòu)成的數(shù)列為等比數(shù)列,記該數(shù)列的前n項和為Sn,且bn=,將數(shù)列{bn}中的整數(shù)項依次取出組成新的數(shù)列{cn},則c20=(　　)
A.545　　　　B.51　　　　C.560　　　　D.48
12.如圖,P1是一塊半徑為2a的半圓形紙板,在P1的左下端剪去一個半徑為a的半圓后得到紙板P2,然后依次剪去一個更小的半圓(其直徑為前一個被剪掉半圓的半徑)得紙板P3,P4,…,Pn,記第n塊紙板Pn的面積為Sn,則S3=　　　　,如果 n∈N+,Sn>恒成立,那么a的取值范圍是　　　　.
13.數(shù)列{an}滿足+++…+=.
(1)求{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=,數(shù)列{bn}的前n項和為Sn.若對任意正整數(shù)n,(3n+4)m≥(2n-5)××2n恒成立,求m的最小值.
答案與分層梯度式解析
1.B　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則q===2,
所以{an}的前5項和為==31.故選B.
2.D　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,
則==3,則q3=3,
所以====4,故選D.
3.B　設(shè)該女子第n天織布an尺,則{an}是公比為2的等比數(shù)列,設(shè)其前n項和為Sn,
則S5==5,解得a1=.
故選B.
4.解析　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則q>0,
由a9=4a7得a7q2=4a7,易知a7≠0,所以q=2,
又a1=1,所以an=a1qn-1=2n-1.
(2)Sm==2m-1=31,解得m=5.
5.D　由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,S5,S10-S5,S15-S10,S20-S15成等比數(shù)列,
則S5(S15-S10)=,即10(S15-40)=(40-10)2,解得S15=130,
又S5(S20-S15)=(S10-S5)(S15-S10),所以10(S20-130)=30×90,解得S20=400.
6.C　設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn則由題意可得S奇+S偶=4S偶,故S偶=S奇,
設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,共有2k(k∈N+)項,
則S偶=a2+a4+…+a2k=q(a1+a3+…+a2k-1)=qS奇=S奇,所以q=,
由a1a2a3==64,可得a2=4,因此a1==12.故選C.
7.答案　-3
解析　解法一:∵Sn=3×2n+a,
∴當n=1時,a1=S1=6+a;
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(3×2n+a)-(3×2n-1+a)=3×2n-1,∴a2=6,a3=12.
又{an}是等比數(shù)列,∴=a1a3,
∴62=(6+a)×12,解得a=-3,
此時a1=3,符合an=3×2n-1,且{an}是等比數(shù)列.
∴a=-3.
解法二:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,易知q≠1,
∵Sn==-qn,
∴設(shè)=A,則Sn=-Aqn+A,
又Sn=3×2n+a,∴a=-3.
8.答案　50
解析　設(shè)T1=a1+a3+a5+…+a99,T2=a2+a4+a6+…+a100,則=q=,
所以S100=T1+T2=2T2+T2=3T2=150,所以T2=50.
故答案為50.
9.答案　-++1
解析　記該數(shù)列為{an},其前n項和為Sn,易得an=n+,
所以Sn=(1+2+3+…+n)+=+=-++1.
10.解析　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,
由a3+a4=20a2,得a1q2+a1q3=20a1q,
∵{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,∴a1>0,q>0,
∴q2+q-20=0,解得q=4或q=-5(舍去),
又a5=256,所以a1q4=256,解得a1=1,
∴an=a1qn-1=4n-1.
(2)由(1)可得bn=an+log2an=4n-1+log24n-1=4n-1+2n-2,
∴Tn=(1+0)+(4+2)+(16+4)+…+(4n-1+2n-2)
=(1+4+16+…+4n-1)+(0+2+4+…+2n-2)
=+=+n2-n-.
11.解析　(1)因為{an}為正項等比數(shù)列,且a1a5==64,所以a3=8.
設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則q3==8,
解得q=2.
故an=a6qn-6=64×2n-6=2n.
(2)由(1)可得(3n-2)an=(3n-2)×2n,
所以Tn=1×21+4×22+7×23+…+(3n-2)×2n,
則2Tn=1×22+4×23+…+(3n-5)×2n+(3n-2)×2n+1,
兩式相減,可得-Tn=2+3(22+23+…+2n)-(3n-2)×2n+1=2+3×-(3n-2)×2n+1=(5-3n)·2n+1-10.
故Tn=(3n-5)·2n+1+10.
12.解析　設(shè)該數(shù)列的前n項和為Sn.
當a=1時,數(shù)列為1,3,5,7,…,2n-1,
則Sn==n2;
當a≠0且a≠1時,
Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an-1,①
aSn=a+3a2+5a3+…+(2n-3)an-1+(2n-1)an,②
①-②,得Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)an,
即(1-a)Sn=1-(2n-1)an+2(a+a2+a3+…+an-1)=1-(2n-1)an+2×=1-(2n-1)an+,
∴Sn=+.
綜上,Sn=
13.A　依題意得a1+a2=1,所以an+an+1=2n-1,
當n≥2時,an-1+an=2n-2,則an+1-an-1=2n-2,
所以a2 024=a2+(a4-a2)+(a6-a4)+…+(a2 024-a2 022)
=1+2+23+25+…+22 021=1+=,
故選A.
14.D　因為S5=a1+a2+a3+a4+a5=a1(1+q+q2+q3+q4),3a1+a2+a4=a1(3+q+q3),且a1>0,S5<3a1+a2+a4,所以1+q+q2+q3+q4<3+q+q3,即q4+q2-2<0,
所以015.答案　7
解析　因為x2-5x+4=0,所以(x-1)(x-4)=0,解得x=1或x=4,因為數(shù)列{an}是公比大于1的等比數(shù)列,所以a1=1,a3=4,設(shè)公比為q(q>1),則q2==4,則q=2,所以S3===7.
16.答案　64
解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0),
由可得
所以所以a1a2…an=q1+2+…+(n-1)=8n×=,
于是當n=3或n=4時,a1a2…an取得最大值,為26=64.
17.答案　4
解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,
由已知得S3-S1=S2-S3,即a2+a3=-a3,
∴a3=-a2,∴q=-,
又a1-a3=a1-a1q2=3,∴a1=4.
當n為奇數(shù)時,Sn=×≤×=4;
當n為偶數(shù)時,Sn=×<.
綜上,Sn的最大值為4.
18.解析　(1)設(shè){an}的公比為q,則an=a1qn-1,
因為an>0,所以q>0,
依題意可得即
故q2+q-6=0,解得q=2或q=-3(舍去),
所以an=a3qn-3=2n-1.
(2)由(1)可知an+log2an=2n-1+n-1,
故Tn=(20+21+22+…+2n-1)+(0+1+2+…+n-1)
=2n-1+,
顯然,Tn隨著n的增大而增大,
又T10=210-1+45=1 068<2 024,
T11=211-1+55=2 102>2 024,
所以滿足Tn<2 024的最大正整數(shù)n的值為10.
19.解析　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q,
則q==3,a1=b1==1,a14=b4=b3q=27,
故a14=a1+13d=1+13d=27,所以d=2,
所以an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.
(2)由(1)可得bn=3n-1,故(-1)nbn=-(-3)n-1,
所以cn=2n-1-(-3)n-1,
所以數(shù)列{cn}的前2n項和為(a1+a2+…+a2n)-[1+(-3)+…+(-3)2n-1]=-=4n2+-.
能力提升練
1.B　因為===9,且=4,
所以{}是首項為4,公比為9的等比數(shù)列,
所以{}的前n項和為=.
2.A　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由x2+3x-4=0,可得x1=-4,x2=1,
因為a3與S2分別為方程x2+3x-4=0的兩個實根,
所以或
若則解得
若則無實數(shù)解.
所以S4==5.
3.C　∵an+1=2an,∴=2,
∴數(shù)列{an}是以a1=2為首項,2為公比的等比數(shù)列,
∴an=2×2n-1=2n,∴ak+1+ak+2+…+ak+10=2k+1+2k+2+…+2k+10==2k+1×(210-1),
又ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25=25×(210-1),
∴2k+1=25,∴k+1=5,解得k=4.故選C.
4.答案　D　
信息提取　①該塔形幾何體是由7個正方體構(gòu)成的,且從下到上各正方體的棱長構(gòu)成首項為4,公比為的等比數(shù)列;②該塔形幾何體的表面積=2×最底層正方體的下底面面積+4×各層正方體的下底面面積之和.
數(shù)學(xué)建模　本題以立體圖形的表面積計算為背景,建立等比數(shù)列模型,利用等比數(shù)列的前n項和公式求解.
解析　設(shè)由下到上各層正方體的棱長構(gòu)成數(shù)列{an},
由題意可得,{an}是首項為4,公比為的等比數(shù)列,
所以an=4×,
則各層正方體的下底面面積為=16×=,
該塔形幾何體由7個正方體構(gòu)成,則該塔形幾何體的表面積為2×42+4×=32+4×=159.
5.D　因為lg xn+1=1+lg xn,
所以lg xn+1-lg xn=lg=1,所以=10,
所以數(shù)列{xn}是以10為公比的等比數(shù)列,
所以lg(x101+x102+…+x200)=lg[(x1+x2+…+x100)×10100]=lg(100×10100)=102.故選D.
6.C　由題意得S3=a1+a2+a3=2,所以S6=9S3=18,所以S6-S3=18-2=16,
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知,S3,S6-S3,S9-S6為等比數(shù)列,
故=S3(S9-S6),即162=2(S9-18),
故S9=146.
7.答案　
解析　由210S30-(210+1)S20+S10=0,得210(S30-S20)=S20-S10.
又Sn為正項等比數(shù)列{an}的前n項和,故S20-S10≠0,∴=,
∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列,其公比為q,
∴==q10,
故q10=,解得q=±,
∵{an}為正項等比數(shù)列,∴q>0,故q=.
方法技巧　已知公比為q(q≠0)的等比數(shù)列的前n項和為Sn,涉及Sn,S2n,S3n,…的關(guān)系或Sn與Sm的關(guān)系時考慮應(yīng)用以下兩個性質(zhì):
　　①Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比數(shù)列,其公比為qn(q≠-1).
　　②Sn+m=Sn+qnSm.
8.B　當n≥3且n為奇數(shù)時,an-an-2=3,
又a1=0,所以a1+a3+a5+a7+a9==30,
當n≥3且n為偶數(shù)時,an=2an-2,
又a2=1,所以a2+a4+a6+a8+a10==25-1=31,
所以數(shù)列{an}的前10項和為(a1+a3+a5+a7+a9)+(a2+a4+a6+a8+a10)=30+31=61.故選B.
9.解析　(1)若an+1=0,則an=0,這與a1=1矛盾,∴an+1≠0,an+=0可變形為2anan+1-an+an+1=0,
整理可得-=2,∴數(shù)列是以=1為首項,2為公差的等差數(shù)列,∴=1+2(n-1)=2n-1,
∴an=.
(2)由(1)得===,
所以Sn=+++…+,
Sn=++…++,
兩式相減,得Sn=+++…+-=-=1-,
所以Sn=2-.
10.解析　(1)由題意知++…+=n-1+①,
當n=1時,=1,所以a1=2;
當n≥2時,++…+=n-2+②,
①-②,得=n-1+-=1-(n≥2),
所以an=2n-2(n≥2).
因為a1=2不滿足上式,
所以數(shù)列{an}的通項公式為an=
(2)由(1)可得,bn=an+n=
所以Tn+1=b1+b2+b3+…+bn+bn+1
=3+(22+23+…+2n+1)+(0+1+2+…+n-1)
=3++
=3+2n+2-4+=2n+2-1+,
所以Tn+1=2n+2-1+.
11.B　由題圖知,每行的數(shù)字之和構(gòu)成的等比數(shù)列的各項依次為20,21,22,23,…,易知其公比為2,
∴Sn==2n-1,∴bn=,
則數(shù)列{bn}的整數(shù)項依次為4,6,9,11,14,16,…,
∴數(shù)列{cn}的偶數(shù)項是以6為首項,5為公差的等差數(shù)列,
∴c2n=6+5(n-1)=5n+1,∴c20=5×10+1=51.故選B.
12.答案　a2;[,+∞)
解析　第一塊紙板的面積S1=π(2a)2=2πa2,
第二塊紙板的面積S2=2πa2-πa2=πa2,
第三塊紙板的面積S3=πa2-π=πa2,
……
第n塊紙板的面積Sn=2πa2
-=2πa2-2πa2
=2πa2-2πa2×=2πa2,
要使得 n∈N+,Sn>恒成立,只需≥,解得a2≥506,故a∈[,+∞).
13.解析　(1)因為+++…+=①,
所以當n=1時,=,解得a1=1;
當n≥2時,++…+=②,
①-②得=-(n≥2),整理得an=2n-1(n≥2),
又a1=1適合上式,所以an=2n-1(n∈N+).
(2)由(1)可得bn==,
所以Sn=1+++…+,
Sn=++…++,
兩式相減得Sn=1+++…+-=-=-×-,
整理得Sn=-.
因為對任意正整數(shù)n,(3n+4)m≥(2n-5)××2n恒成立,
所以(3n+4)m≥×2n,即m≥×恒成立.
設(shè)Tn=,則Tn+1-Tn=-=,
當n≤3時,Tn+1-Tn>0,即Tn+1>Tn;
當n≥4時,Tn+1-Tn<0,即Tn+1故Tn的最大值為T4=,
所以m≥×=,故m的最小值是.
29(共16張PPT)
3.1 等比數(shù)列的概念及其通項公式
§3 等比數(shù)列
知識點 1 等比數(shù)列的概念
知識 清單破
文字語言 如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比值都是同一個常數(shù),那么稱這樣的數(shù)列為等比數(shù)列,稱這個常數(shù)為等比數(shù)列的公比,通常用字母q表示(q≠0)
數(shù)學(xué)符號 在數(shù)列{an}中,如果 =q(n∈N+)或 =q(n≥2,n∈N+)成立,那么稱該數(shù)列為等比數(shù)列,稱常數(shù)q為等比數(shù)列的公比
遞推關(guān)系 =q(n∈N+)或 =q(n≥2,n∈N+)
知識點2　
　　若等比數(shù)列{an}的首項是a1,公比是q,則其通項公式為an=a1qn-1(a1≠0,q≠0).
當q>0且q≠1,a1≠0時,an=f(n)= ·qn為指數(shù)型函數(shù).
知識點 2 等比數(shù)列的通項公式
知識點3　
如果在a與b之間插入一個數(shù)G,使得a,G,b成等比數(shù)列,那么根據(jù)等比數(shù)列的定義, = ,G2=
ab,G=± .我們稱G為a,b的等比中項.
顯然,在一個等比數(shù)列中,從第2項起,每一項(有窮等比數(shù)列的末項除外)都是它的前一項與后
一項的等比中項.
知識點 3 等比中項
a1的正負 q的范圍 數(shù)列{an}的增減性
a1>0 0q>1 遞增數(shù)列
a1<0 0q>1 遞減數(shù)列
知識點 4 等比數(shù)列的增減性
　　當q<0或q=1時,數(shù)列{an}不具有增減性.
知識點5　
1.通項公式的推廣:an=am·qn-m(m,n∈N+).
2.若{an}是等比數(shù)列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),則akal=aman;特別地,若m+n=2r(m,n,r∈N+),則aman=
.
3.公比為q的等比數(shù)列{an}中,相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是
等比數(shù)列,公比為qm,其中k,m∈N+.
4.若{an},{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列,則{λan}(λ≠0), ,{ },{anbn}, 仍是等比數(shù)列.
5.若數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)且公比為q(q>0)的等比數(shù)列,則數(shù)列{logaan}(a>0且a≠1)是公差
為logaq的等差數(shù)列.
知識點 5 等比數(shù)列的簡單性質(zhì)
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.站成一排的10名學(xué)生中,若從左數(shù)的第2名學(xué)生起,每一名學(xué)生與其左邊的學(xué)生的年齡(單
位:歲)的比值都是常數(shù),則這排從左至右排列的學(xué)生的年齡(單位:歲)構(gòu)成一個等比數(shù)列. (　 )
2.已知三個人的體重(單位:千克)依次構(gòu)成等比數(shù)列,且第一、三個人的體重(單位:千克)分別
為20,80,則第二個人的體重(單位:千克)為40. (　 )
3.若an+1=qan,n∈N+,且q≠0,則{an}是等比數(shù)列. (　 )
4.任何兩個數(shù)都有等比中項. (　 )
5.常數(shù)列既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列. (　 )
知識辨析

提示

提示

提示

提示
比值都是同一個常數(shù)才構(gòu)成等比數(shù)列.
當a1=0時,an=0(n∈N+),{an}不是等比數(shù)列.
當兩個數(shù)a,b異號時,ab<0,G2=ab<0,無實數(shù)解,此時a與b沒有等比中項.
常數(shù)列0,0,0,…是等差數(shù)列,但不是等比數(shù)列.而非零常數(shù)列既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列.
√
　　判定或證明一個數(shù)列是等比數(shù)列時,常用的方法有:
(1)定義法: =q(an≠0,q≠0,n∈N+) {an}為等比數(shù)列;
(2)等比中項法: =anan+2(n∈N+且an≠0) {an}為等比數(shù)列;
(3)通項公式法:an=a1qn-1(a1≠0且q≠0) {an}為等比數(shù)列.
注意:證明一個數(shù)列是等比數(shù)列只能從兩個方面入手,一是利用定義,二是利用等比中項.而判
定一個數(shù)列是等比數(shù)列,除這兩種證明方法可作為判定依據(jù)外,還可以利用等比數(shù)列的通項
公式進行判定.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 等比數(shù)列的判定(證明)
已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和,且滿足4Sn-2an=2n(n∈N+),設(shè)bn=an+an+1,證明:數(shù)列{bn}是等比
數(shù)列.
典例
證明 因為4Sn-2an=2n,
所以4Sn+1-2an+1=2n+1,
兩式相減得4an+1-2an+1+2an=2n+1-2n,
整理可得an+1+an=2n-1,即bn=2n-1,
故 = =2,所以數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.
1.等比數(shù)列{an}的通項公式an=a1qn-1(a1≠0,q≠0)中含有四個量:a1,q,n,an,可知三求一,進行適當
的變形以便于靈活應(yīng)用.
2.當數(shù)列{an}不是等比數(shù)列時,往往需要利用待定系數(shù)法構(gòu)造與之相關(guān)的等比數(shù)列.利用等比
數(shù)列的通項公式求出包含an的關(guān)系式,進而求出an.常見類型有:
(1)an+1=can+d(c≠1,cd≠0)可化為an+1- =c ,當a1- ≠0時,數(shù)列 為等比
數(shù)列;也可消去常數(shù)項,由an+1=can+d,an=can-1+d(n≥2,n∈N+),兩式相減,得an+1-an=c(an-an-1)(n≥2,n
∈N+),當a2-a1≠0時,數(shù)列{an+1-an}是公比為c的等比數(shù)列.
(2)an+1=can+dn(cd≠0,c≠d)可化為an+1- =c 或?qū)⑦f推公式兩邊同除以dn+1化為(1)
講解分析
疑難 2 等比數(shù)列的求解及應(yīng)用
中類型;也可將遞推公式兩邊同除以cn+1,然后利用累加法求通項公式.
(3)an+1=can+dn+t(cdt≠0,c≠1)可化為an+1- =c +dn,即(2)中類型.
在數(shù)列{an}中,已知a1=1,an+1=3an+2,求數(shù)列{an}的通項公式.
典例
思路點撥 思路一:引入?yún)?shù)λ,使an+1+λ=3(an+λ),利用數(shù)列{an+λ}為等比數(shù)列求解.
思路二:通過觀察遞推公式的特征,直接消去常數(shù)項,利用等比數(shù)列求通項公式.
解析 解法一:令an+1+λ=3(an+λ),
即an+1=3an+2λ,
又an+1=3an+2,∴λ=1,
∴an+1+1=3(an+1).
∵a1+1=2,∴數(shù)列{an+1}是以2為首項,3為公比的等比數(shù)列,
∴an+1=2×3n-1,即an=2×3n-1-1.
解法二:∵an+1=3an+2,
∴an=3an-1+2(n≥2),
兩式相減,得an+1-an=3(an-an-1)(n≥2).
∵a2-a1=3a1+2-a1=2a1+2=4,
∴數(shù)列{an+1-an}是首項為4,公比為3的等比數(shù)列,
∴an+1-an=4×3n-1.
∴3an+2-an=4×3n-1,
∴an=2×3n-1-1.
疑難3
1.解決與等比數(shù)列有關(guān)的問題時,若按常規(guī)的解題方法,則需建立關(guān)于首項和公比的方程(組)
求解,常常涉及次數(shù)較高的指數(shù)運算,運算量比較大,解題煩瑣,如果結(jié)合等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)
來求解,那么會起到化繁為簡的效果.
2.在應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)解題時,需時刻注意等比數(shù)列性質(zhì)成立的前提條件.
講解分析
疑難 3 等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用
(1)在等比數(shù)列{an}中,an>0,若a3a5=4,則a1a2a3a4a5a6a7=　　　 ;
(2)設(shè){an}為公比q>1的等比數(shù)列,若a2 021和a2 022是方程4x2-8x+3=0的兩實根,則a2 033+a2 034=　　 ;
(3)在等比數(shù)列{an}中,已知a4a7=-512,a3+a8=124,且公比q為整數(shù),則an=　　　 .
典例
128
2×312
-(-2)n-1
解析 (1)a3a5= =4,
又an>0,所以a4=2,
所以a1a2a3a4a5a6a7=(a1a7)(a2a6)(a3a5)a4= a4= =27=128.
(2)解方程4x2-8x+3=0得x1= ,x2= ,
因為q>1,所以a2 021= ,a2 022= ,故q=3,
所以a2 033+a2 034=a2 021q12+a2 022q12=(a2 021+a2 022)q12=2×312.
(3)由a4a7=-512得a3a8=-512,
又a3+a8=124,所以a3=-4,a8=128或a3=128,a8=-4,
因為公比q為整數(shù),所以a3=-4,a8=128,
所以q= =- =-2,
故an=a3qn-3=-4×(-2)n-3=-(-2)n-1.

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