資源簡介

(共11張PPT)
以符號P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金與利息之和(即本利和).
1.單利:單利的計算是僅在原有本金上計算利息,對本金所產(chǎn)生的利息不再計算利息.單利的
計算公式是S=P(1+nr).
2.復(fù)利:復(fù)利是指一筆資金除本金產(chǎn)生利息外,在下一個計息周期內(nèi),以前各計息周期內(nèi)產(chǎn)生
的利息也計算利息的計息方法.復(fù)利的計算公式是S=P(1+r)n.
§4 數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用
知識點(diǎn) 1 銀行的兩種計息方式
知識 清單破
知識點(diǎn) 2 兩種存款模型
零存整取模型 每月定時存入一筆相同數(shù)目的現(xiàn)金,這是零存;到約定日期,可以取出全部本利和,這是整取.規(guī)定每次存入的錢不計復(fù)利.若每月存入金額為x元,月利率r保持不變,存期為n個月,則到期整取時本利和S=nx+ x=x 元
定期自動轉(zhuǎn)存模型 儲戶某日存入一筆1年期定期存款,1年后,如果儲戶不取出本利和,則銀行按存款到期時的1年期定期存款利率自動辦理轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù),第2年的本金就是第1年的本利和.假定無利率變化調(diào)整因素,若儲戶存入定期為1年的P元存款,定期年利率為r,連存n年后再取出本利和,則儲戶所得本利和an=P(1+r)n元
知識點(diǎn)3　
1.分期付款模型
(1)分期付款中,一般規(guī)定每期付款金額相同,每期付款的時間間隔相同.
(2)分期付款中,利息按復(fù)利計算,即上期的利息要計入下期的本金中.
(3)分期付款中,貸款(或商品價值)在其付清之前,會隨時間推移而不斷增值,即分期付款的總
額高于一次性付款的總額.
2.兩種分期付款的月還款數(shù)額
知識點(diǎn) 3 分期付款
等額本息 每月還款金額=[貸款本金×月利率×(1+月利率)^還款月數(shù)]÷[(1+月利率)^還款月數(shù)-1]
等額本金 每月還款金額=(貸款本金÷還款月數(shù))+(本金-已歸還本金累計額)×每月利率
　　注:a^b表示ab.
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.同一筆錢用單利和復(fù)利計算的收益相同. (　 )
2.定期自動轉(zhuǎn)存儲蓄業(yè)務(wù)的數(shù)學(xué)模型是等比數(shù)列. (　 )
3.零存整取儲蓄業(yè)務(wù)的數(shù)學(xué)模型是等差數(shù)列.(　 )
4.分期付款是一種常見的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象,其涉及指數(shù)函數(shù)和數(shù)列的知識. (　 )
知識辨析

√
√
√
　　等差數(shù)列、等比數(shù)列是日常經(jīng)濟(jì)生活中的重要數(shù)學(xué)模型.例如,存款、貸款、購物(房、
車等)分期付款、保險、資產(chǎn)折舊等問題都與其相關(guān).遇到此類問題,準(zhǔn)確理解題意,構(gòu)建等差
或等比數(shù)列模型是解題的關(guān)鍵.
疑難 情境破
疑難 數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用
講解分析
小明今年上高中,小明的爸爸為他辦理了“教育儲蓄”.從8月1日開始,每個月的1日都
存入1 000元,共存三年.(“教育儲蓄”“零存整取”均不按復(fù)利計算)
(1)已知當(dāng)年“教育儲蓄”存款的月利率為2.7‰,則3年后小明考上大學(xué)的時候,小明的爸爸
可從銀行一次性支取多少元
(2)已知當(dāng)年同檔次的“零存整取”儲蓄的月利率是1.725‰,則小明的爸爸辦理“教育儲
蓄”比“零存整取”多收益多少元
典例1
解析 (1)每1 000元“教育儲蓄”存一個月得到的利息是1 000×2.7‰=2.7(元),
第1個1 000元存36個月,得利息2.7×36元,
第2個1 000元存35個月,得利息2.7×35元,
……
第36個1 000元存1個月,得利息2.7×1元,
因此,3年后小明的爸爸將獲得利息2.7×36+2.7×35+…+2.7×1=2.7×(36+35+…+1)=2.7×
=1 798.2(元),
所以3年后小明的爸爸可從銀行一次性支取1 000×36+1 798.2=37 798.2(元).
(2)每1 000元“零存整取”存一個月得到的利息是1 000×1.725‰=1.725(元),
因此,若是“零存整取”,3年后,小明的爸爸獲得的利息為1.725×36+1.725×35+…+1.725×1=
1.725× =1 148.85(元),
1 798.2-1 148.85=649.35(元).
所以小明的爸爸辦理“教育儲蓄”比“零存整取”多收益649.35元.
隨著農(nóng)村經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,農(nóng)民進(jìn)城購房已成為時尚,某房地產(chǎn)公司為了鼓勵農(nóng)民購買自己
的商品房,采取了較為靈活的付款方式,對購買100萬元一套的住房在一年內(nèi)將款全部付清的
前提下,可以選擇以下兩種分期付款方式購房.
方案一:分3次付清,購買后第4個月末第1次付款,再過4個月第2次付款,購買后第12個月末第3
次付款;
方案二:分12次付清,購買后第1個月末第1次付款,再過1個月第2次付款,然后過1個月第3次付
款,……,購買后第12個月末第12次付款.
規(guī)定分期付款中,每期付款金額相同,月利率為0.8%,每月利息按復(fù)利計算,即指上月利息要記
入下月本金.
試比較以上兩種方案中哪一種方案付款總額較少.
典例2
解析 對于方案一,設(shè)每次付款金額為x1萬元,
則x1+1.0084x1+1.0088x1=100×1.00812,
解得x1= ≈35.52,
所以付款總額為35.52×3=106.56(萬元).
對于方案二,設(shè)每次付款金額為x2萬元,
則x2+1.008x2+1.0082x2+…+1.00811x2=100×1.00812,
則x2· =100×1.00812,
解得x2= ≈8.77,
所以付款總額為12×8.77=105.24(萬元).
因?yàn)?05.24<106.56,
所以方案二付款總額較少.
方法總結(jié) 分期付款問題求解的關(guān)鍵是將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題.在建立數(shù)學(xué)模型時,應(yīng)
抓住數(shù)量關(guān)系,聯(lián)想數(shù)學(xué)方法,適當(dāng)引入?yún)⒆兞?將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言,將數(shù)量關(guān)系用數(shù)
學(xué)式子表示.§4　數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　等差數(shù)列模型
1.某人在一年12個月中,每月10日向銀行存入1 000元,假設(shè)銀行的月利率為5‰(按單利計算),則到第二年的1月10日,此項(xiàng)存款一年的利息和是(　　)
A.5×(1+2+3+…+12)元
B.5×(1+2+3+…+11)元
C.1 000×[1+5‰+(5‰)2+…+(5‰)11]元
D.1 000×[1+5‰+(5‰)2+…+(5‰)12]元
2.2021年9月1日,小王開始讀小學(xué)一年級,小王父母決定給他開一張銀行卡,每月的16號存錢至該銀行卡(假設(shè)當(dāng)天存錢當(dāng)天到賬),用于小王今后的教育開支.2021年9月16日小王父母往卡上首次存入500元,以后每月存的錢數(shù)比上個月多100,則他這張銀行卡賬上存款總額(不含銀行利息)首次達(dá)到100 000元的時間為(　　)
A.2024年11月16日　　　　　B.2024年12月16日
C.2025年1月16日　　　　　D.2025年2月16日
3.某單位用分期付款方式為職工購買40套住房,總房價為1 150萬元.約定:2021年7月1日先付款150萬元,以后每月1日都交付50萬元,并加付此前欠款利息,月利率為1%,當(dāng)付清全部房款時,各次付款的總和(單位:萬元)為(　　)
A.1 205　　　　B.1 255　　　　C.1 305　　　　D.1 360
題組二　等比數(shù)列模型
4.某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造,方案如下:一次性貸款10萬元并投入生產(chǎn),貸款期限為10年,銀行貸款利息均以年息10%的復(fù)利計算,到期一次性歸還本息.企業(yè)第一年便可獲得利潤1萬元,以后每年的利潤都比前一年增加40%,則按此方案執(zhí)行,10年后可獲得凈利潤　　　　萬元.(結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù):1.110≈2.594,1.410≈28.925)
5.小李在2022年1月1日采用分期付款的方式購買了一臺價值a元的家電,在購買1個月后的2月1日第一次還款,且以后每月的1日等額還款一次,2022年12月1日最后一次還款,月利率為r.按復(fù)利計算,則小李每月償還的金額為　　　　元.
6.某商店采用分期付款的方式對一款單價為6 000元的電腦進(jìn)行促銷.商店規(guī)定,購買時先支付貨款的,剩余部分在三年內(nèi)按每月底等額還款的方式支付欠款,且結(jié)算欠款的利息,已知欠款的月利率為0.5%.
(1)到第一個月月底,貨主在第一次還款之前,他欠商店多少元
(2)假設(shè)貨主每個月還商店a元,寫出在第i(i=1,2,…,36)個月月末還款后,貨主欠商店的錢數(shù)的表達(dá)式.
題組三　數(shù)列的綜合應(yīng)用
7.“現(xiàn)值”與“終值”是利息計算中的兩個基本概念,終值是現(xiàn)在的一筆錢按給定的利息率計算所得到的在未來某個時間點(diǎn)的價值.現(xiàn)值是未來的一筆錢按給定的利息率計算所得到的現(xiàn)在的價值.例如,在復(fù)利計息的情況下,設(shè)本金為A,每期利率為r,期數(shù)為n,到期末的本利和為S,則S=A(1+r)n,其中,S稱為n期末的終值,A稱為n期后終值S的現(xiàn)值,即n期后的S元現(xiàn)在的價值為A=.現(xiàn)有如下問題:小明想買一套房子,有如下兩個方案.
方案一:一次性付全款50萬元;
方案二:分期付款,每年初付款6萬元,第十年年初付完.
(1)已知一年期存款的年利率為4%,試討論兩種方案哪一種更好;
(2)若小明把房子租出去,租戶第一年年初需付租金2萬元,此后每年年初多付租金1 000元,假設(shè)存款的年利率為4%,試估計第十年末租房到期后小明所獲得全部租金的終值.
參考數(shù)據(jù):(1+4%)10≈1.48,(1+4%)11≈1.54.
教育儲蓄是指個人按國家有關(guān)規(guī)定在指定銀行開戶、存入規(guī)定數(shù)額資金、用于教育目的的專項(xiàng)儲蓄,是一種專門用來為學(xué)生支付非義務(wù)教育所需教育金的專項(xiàng)儲蓄,儲蓄存款享受免征利息稅的政策.若你的父母在你12歲生日當(dāng)天向你的銀行教育儲蓄賬戶存入2 000元,并且在你每年的生日當(dāng)天存入
2 000元,連續(xù)存6年,在你十八歲生日當(dāng)天一次性取出,假設(shè)教育儲蓄存款的年利率為10%.
(1)在你十八歲生日當(dāng)天時,一次性取出的金額總數(shù)為多少 (參考數(shù)據(jù):1.17≈1.95)
(2)高考畢業(yè)后,為了增加自己的教育儲蓄,你利用暑假時間到一家商場勤工儉學(xué),該商場向你提供了三種付酬方案:
第一種,每天支付38元;
第二種,第1天支付4元,從第2天起,每一天都比前一天多支付4元;
第三種,第1天支付0.4元,以后每一天都比前一天翻一番(即增加1倍).
你會選擇哪種方式領(lǐng)取報酬
答案與分層梯度式解析
1.A　此項(xiàng)存款每月的利息(單位:元)構(gòu)成以5為首項(xiàng),5為公差的等差數(shù)列,則12個月的存款利息和為5×(1+2+3+…+12)元,故選A.
2.C　由題可知,小王父母從2021年9月開始,每月所存錢數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為500,公差為100的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為500n+=50n2+450n.
令50n2+450n≥100 000,則n2+9n≥2 000.因?yàn)?02+9×40=
1 960<2 000,412+9×41=2 050>2 000,所以第41個月的16號存完錢后,他這張銀行卡賬上存款總額首次達(dá)到100 000元,即2025年1月16日他這張銀行卡賬上存款總額首次達(dá)到100 000元.故選C.
B　由題意可得,付款150萬元后,還需付款的次數(shù)為(1 150-150)÷50=20,每次付款時本金均為50萬元,應(yīng)付利息(單位:萬元)依次為1 000×1%,950×1%,…,50×1%,所以所還欠款利息總額為
(1 000+950+…+50)×1%=×1%=105(萬元),故付清全部房款時,各次付款的總和為1 150+105=1 255(萬元).
4.答案　43.9
解析　由題意可知,10年后共需還貸款10×(1+10%)10=10×1.110≈25.94(萬元),
10年后共獲利潤1+1×1.4+1×1.42+…+1×1.49==≈69.812 5(萬元).
所以按此方案執(zhí)行,10年后可獲得的凈利潤為69.812 5-25.94=43.872 5(萬元)≈43.9(萬元).
5.答案　
解析　設(shè)小李每月償還的金額為x元,第k個還款月還款后的本利欠款數(shù)為Ak元,
則A1=a(1+r)-x;A2=A1(1+r)-x=a(1+r)2-(1+r)x-x;
……
A11=a(1+r)11-[(1+r)10+(1+r)9+…+1]x,
由題意知11個月后還清,所以A11=0,
所以x==.
6.解析　(1)購買電腦時,貨主欠商店的貨款,
即6 000×=4 000(元),
因?yàn)樵吕蕿?.5%,所以到第一個月月底,貨主在第一次還款之前,他欠商店4 000×(1+0.5%)=4 020(元).
(2)設(shè)第i(i=1,2,…,36)個月月末還款后的欠款錢數(shù)為yi,
則y1=4 000×(1+0.5%)-a,
y2=(1+0.5%)y1-a=4 000×(1+0.5%)2-(1+0.5%)×a-a,
y3=(1+0.5%)y2-a=4 000×(1+0.5%)3-(1+0.5%)2×a-(1+0.5%)a-a,……yi=(1+0.5%)yi-1-a=4 000×(1+0.5%)i-(1+0.5%)i-1a-(1+0.5%)i-2a-…-a,
所以yi=4 000×(1+0.5%)i-a×(i=1,2,…,36).
7.解析　(1)若采用分期付款的方案,
設(shè)十年末該套房子的終值為R,
則R=6(1+4%)10+6(1+4%)9+…+6(1+4%)=6×1.04×≈74.88(萬元).
若采用一次性付全款50萬的方案,
設(shè)該套房子十年末的終值為S,
則S=50(1+4%)10≈74(萬元),
因?yàn)?4<74.88,所以方案一更好.
(2)設(shè)第十年末租房到期后小明所獲得全部租金的終值為T萬元,
則T=2(1+4%)10+2.1(1+4%)9+…+2.9(1+4%),
記q=1+4%,an=3-0.1n,
則T=a1q+a2q2+…+a10q10,
所以qT=a1q2+a2q3+…+a9q10+a10q11,
兩式相減,得(1-q)T=2.9q-0.1(q2+q3+…+q10)-2q11=3q-0.1(q+q2+q3+…+q10)-2q11,
所以T=3×-0.1×-2×≈30.2,
則估計第十年末房租到期后小明所獲得全部租金的終值為30.2萬元.
8.解析　(1)由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得,
2 000×(1+10%)6+2 000×(1+10%)5+…+2 000×(1+10%)=
2 000×≈17 000,
即在十八歲生日當(dāng)天時,一次性取出的金額總數(shù)為17 000元.
(2)設(shè)到商場勤工儉學(xué)的天數(shù)為n(n∈N+).
若選擇第一種方案,則領(lǐng)取的總報酬為38n元,記An=38n;
若選擇第二種方案,則每天領(lǐng)取的報酬元數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為4,公差為4的等差數(shù)列,利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得,
領(lǐng)取的總報酬為4n+×4=(2n2+2n)元,記Bn=2n2+2n;
若選擇第三種方案,則每天領(lǐng)取的報酬元數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為0.4,公比為2的等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得,
領(lǐng)取的總報酬為=(2n-1)元,記Cn=(2n-1).
Bn-An=2n2+2n-38n=2n2-36n=2n(n-18),
則當(dāng)n>18時,Bn>An;當(dāng)n=18時,Bn=An;當(dāng)n<18時,Bn令xn=Cn-An=(2n-1)-38n,
則xn+1-xn=(2n+1-1)-38(n+1)-(2n-1)-38n=-38=(2n-95),
當(dāng)n≤6時,x2>…>x7;
當(dāng)n≥7時,>xn,此時數(shù)列{xn}為遞增數(shù)列,則x7∵x1<0,∴x7又∵x9<0,x10>0,
∴當(dāng)n≥10時,xn>0,即Cn>An,
當(dāng)n≤9時,xn<0,即Cn令yn=Cn-Bn=(2n-1)-2n(n+1),其中n≥10,
則yn+1-yn=-=-4(n+1),
令tn=-4(n+1),n≥10,
則tn+1-tn=-=-4,
當(dāng)n≥10時,tn+1>tn,此時數(shù)列{tn}為遞增數(shù)列,則tn≥t10>0,則yn+1>yn.
綜上所述,當(dāng)n≤9時,max{An,Bn,Cn}=An,應(yīng)選擇第一種方案;當(dāng)n≥10時,max{An,Bn,Cn}=Cn,應(yīng)選擇第三種方案.
4

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