資源簡介

*§5　數(shù)學(xué)歸納法
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　用數(shù)學(xué)歸納法證明等式
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明:(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)×(2n+1)(n∈N+)時,從n=k到n=k+1,等式的左邊需要增乘的代數(shù)式是(　　)
A.2k+1　　　　　B.
C.　　　　　D.2(2k+1)
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1-+-+…+-=++…+(n∈N+)時,第一步應(yīng)驗證的等式是　　　　　　.
3.用數(shù)學(xué)歸納法證明…=(n≥2,n∈N+).
題組二　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
4.用數(shù)學(xué)歸納法證明2n≥n2(n≥4)時,第二步應(yīng)假設(shè)(　　)
A.n=k≥2時,2k≥k2
B.n=k≥3時,2k≥k2
C.n=k≥4時,2k≥k2
D.n=k≥5時,2k≥k2
5.某同學(xué)回答“用數(shù)學(xué)歸納法證明①當(dāng)n=1時,顯然命題成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時,由①②可知對于任意n∈N+,命題都成立.
已知以上證法是錯誤的,則錯誤在于(　　)
A.從k到k+1的推理過程沒有使用歸納假設(shè)
B.假設(shè)的寫法不正確
C.從k到k+1的推理不嚴(yán)謹(jǐn)
D.當(dāng)n=1時,驗證過程不具體
6.已知x>-1且x≠0,用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n∈Z且n>1時,(1+x)n>1+nx”,第一步應(yīng)驗證的不等式為　　　　.
7.已知f(n)=1+++…+(n∈N+),用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n)>時, f(2k+1)-f(2k)=　　　　　　　　.
8.用數(shù)學(xué)歸納法證明>對任意n≥n0的正整數(shù)n都成立時,第一步證明中的起始值n0應(yīng)為　　　　.
9.已知數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=(2-)an+3-,n∈N+.
(1)求{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足b1=2,bn+1=,證明:題組三　用數(shù)學(xué)歸納法解決歸納—猜想—證明問題
10.正項數(shù)列{an}中,若a1+a2+a3+…+an=,n∈N+,則a2 023的值是(　　)
A.+　　　　　B.+
C.-　　　　　D.-
11.觀察下列不等式:1>,1++>1,1+++…+>,1+++…+>2,1+++…+>,……,由此猜測第n(n∈N+)個不等式為　　　　　　　　　.
12. 已知數(shù)列{an}滿足a1=,前n項和Sn=an.
(1)求a2,a3,a4的值;
(2)猜想an的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
13.定義在正整數(shù)集上的函數(shù)y=f(n)滿足f(n)·[f(n+1)+1]=2[2-f(n+1)],且f(1)=2.
(1)求證:f(3)-f(2)=;
(2)是否存在實數(shù)a,b,使f(n)=+1對任意正整數(shù)n恒成立 并證明你的結(jié)論.
答案與分層梯度式解析
1.D　從n=k到n=k+1,等式的左邊需要增乘的代數(shù)式是=2(2k+1).
故選D.
2.答案　1-=
解析　因為n∈N+,所以第一步應(yīng)驗證n=1時的等式,此時左邊=1-,右邊=,故填1-=.
3.證明　當(dāng)n=2時,左邊=1-=,右邊==,
左邊=右邊,所以當(dāng)n=2時,等式成立.
假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥2)時等式成立,
即…=,
那么當(dāng)n=k+1時,·…·=·=·==,即當(dāng)n=k+1時,等式也成立.
故對任意n≥2,n∈N+,等式恒成立.
4.C　根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟,可知第二步應(yīng)假設(shè)n=k≥4時,2k≥k2,故選C.
5.A　從n=k(k∈N+)到n=k+1的推理中沒有使用歸納假設(shè),不符合數(shù)學(xué)歸納法的證明要求.
6.答案　(1+x)2>1+2x
解析　因為n∈Z且n>1,所以n的初始值為2,
所以第一步應(yīng)驗證的不等式為(1+x)2>1+2x.
易錯警示　在利用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時,不能誤以為n的初始值只能取1,n的初始值是使命題成立的n的最小正整數(shù).
7.答案　++…+
解析　因為當(dāng)n=k時, f(2k)=1+++…+,
當(dāng)n=k+1時, f(2k+1)=1+++…+++…+,
所以f(2k+1)-f(2k)=1++…+-=++…+.
8.答案　3
解析　不等式>即1->1-,即3n>6n+1,當(dāng)n=1時,3<7,不等式不成立;當(dāng)n=2時,32<13,不等式不成立;當(dāng)n=3時,33>19,不等式成立;當(dāng)n=4時,34>25,不等式成立;當(dāng)n≥5時,根據(jù)指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)可得3n>6n+1.所以第一步證明中的起始值n0應(yīng)為3.
9.解析　(1)因為an+1=(2-)an+3-,
所以an+1-=(2-)an+3-2,
即an+1-=(2-)an+(-2),
即an+1-=(2-)(an-),
所以數(shù)列{an-}是首項為2-,公比為2-的等比數(shù)列,
故an-=(2-)(2-)n-1=(2-)n,即{an}的通項公式為an=(2-)n+.
(2)證明:(i)當(dāng)n=1時,因為<2,b1=a1=2,所以(ii)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥1)時,結(jié)論成立,即當(dāng)n=k+1時,bk+1-=-==>0,
又<=2-,所以bk+1-=<(bk-)≤(2-)2·(a2k-1-)=a2k+1-,所以當(dāng)n=k+1時,結(jié)論也成立.
根據(jù)(i)和(ii)知10.C　∵a1+a2+a3+…+an=,
∴當(dāng)n=1時,a1=,
又{an}為正項數(shù)列,∴a1=1,
當(dāng)n=2時,1+a2=,∴a2=-1,
同理可得a3=-,a4=2-,……,
故猜想an=-.
證明:當(dāng)n=1時,顯然成立;
假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥1)時猜想成立,即ak=-,
則當(dāng)n=k+1時,a1+a2+a3+…+ak+ak+1==+ak+1
=+ak+1,
∴-ak+1=2 ak+1=-.
故當(dāng)n=k+1時,猜想也成立.
故an=-,∴a2 023=-.
故選C.
11.答案　1+++…+>
解析　由1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,31=25-1,可猜測第n個不等式的左邊為1+++…+;由,1,,2,,可猜測第n個不等式的右邊為.
因此猜測第n個不等式為1+++…+>.
12.解析　(1)令n=2,得a1+a2=3a2,∴a2=a1=.
令n=3,得a1+a2+a3=6a3,∴a3=.
令n=4,得a1+a2+a3+a4=10a4,∴a4=.
(2)猜想an=,n∈N+,下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.
①當(dāng)n=1時,顯然結(jié)論成立;
②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥1)時,結(jié)論成立,即ak=,
則當(dāng)n=k+1時,Sk=ak=,
Sk+1=ak+1,
即Sk+ak+1=ak+1,
∴+ak+1=ak+1,
∴ak+1=,∴ak+1=,
∴當(dāng)n=k+1時結(jié)論也成立.
由①②可知,對一切n∈N+都有an=成立.
13.解析　(1)證明:由f(n)[f(n+1)+1]=2[2-f(n+1)],得f(n+1)=,
則f(2)===, f(3)==,
所以f(3)-f(2)=-=.
(2)存在.
由f(1)=2, f(2)=,得a=-,b=.
故猜想存在實數(shù)a=-,b=,使f(n)=+1對任意正整數(shù)n恒成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:
①當(dāng)n=1時,顯然成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時,猜想成立,
即f(k)=+1,
則當(dāng)n=k+1時, f(k+1)=
==
=1+=+1,
即當(dāng)n=k+1時, f(k+1)=+1成立.
由①②可知,存在實數(shù)a=-,b=,使f(n)=
+1對任意正整數(shù)n恒成立.
6(共14張PPT)
數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法.它的基本步驟是:
(1)證明:當(dāng)n取第一個值n0(n0是一個確定的正整數(shù),如n0=1或2等)時,命題成立;
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥n0)時命題成立,證明當(dāng)n=k+1時,命題也成立.
根據(jù)(1)(2)可以斷定命題對一切從n0開始的正整數(shù)n都成立.
*§5 數(shù)學(xué)歸納法
知識 清單破
知識點 數(shù)學(xué)歸納法
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法. (　 )
2.數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟缺一不可. (　 )
3.用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時,第一步是驗證當(dāng)n=1時結(jié)論成立. (　 )
4.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時,由n=k到n=k+1,等式左邊(或右邊)增加的項不一定只有一項. (　 )
知識辨析

√

提示
√
提示
有的證明問題第一步并不是驗證當(dāng)n=1時結(jié)論成立,如證明凸n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·
180°,第一步要驗證當(dāng)n=3時結(jié)論成立.
如用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+…+a2n+1= (a≠1)”時,由n=k到n=k+1,等式左邊
增加了兩項.
1.利用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的一些等式問題時,關(guān)鍵是看清等式兩邊的項,弄清等
式兩邊項的構(gòu)成規(guī)律,進(jìn)而利用當(dāng)n=k(k≥n0,k∈N+)時的假設(shè)進(jìn)行證明.證明等式的一個重要
技巧就是兩邊“湊”.
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的一般步驟
(1)弄清n取第一個值n0時等式兩邊項的情況,驗證兩邊相等.
(2)弄清從n=k到n=k+1時等式兩邊的項是如何變化的,即增加了哪些項,減少了哪些項,利用這
些變化規(guī)律,設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系,并向n=k+1時證明目標(biāo)的表達(dá)式進(jìn)行變形,
證明n=k+1時結(jié)論也成立.
(3)由數(shù)學(xué)歸納法原理得到等式成立.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式
用數(shù)學(xué)歸納法證明:1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)= n(n+1)(n+2).
典例
證明 ①當(dāng)n=1時,左邊=2,右邊= ×1×2×3=2,等式成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥1)時,等式成立,
即1×2+2×3+3×4+…+k(k+1)= k(k+1)(k+2),
則當(dāng)n=k+1時,
左邊=1×2+2×3+3×4+…+k(k+1)+(k+1)(k+2)= k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)
=(k+1)(k+2)
= (k+1)(k+2)(k+3)=右邊,
即n=k+1時,等式也成立.
根據(jù)①②可知,1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)= n(n+1)(n+2)對任意正整數(shù)n都成立.
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式和證明與正整數(shù)有關(guān)的等式的方法類似.
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時需注意:在推證“當(dāng)n=k+1時不等式也成立”的過程中,常常要
將表達(dá)式進(jìn)行適當(dāng)放縮變形,便于應(yīng)用歸納假設(shè),變換出要證明的結(jié)論.
疑難 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
講解分析
用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+ + +…+ ≤ +n(n∈N+).
典例1
證明 (1)當(dāng)n=1時,左邊=1+ = ,右邊= +1= ,不等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥1)時,不等式成立,
即1+ + +…+ ≤ +k,
則當(dāng)n=k+1時,1+ + +…+ + + +…+ < +k+2k· = +(k+1),
即當(dāng)n=k+1時,不等式成立.
由(1)和(2)可知,不等式對任意n∈N+都成立.
用數(shù)學(xué)歸納法證明: + +…+ > (n≥2,n∈N+).
典例2
證明 ①當(dāng)n=2時,左邊= + = , > ,不等式成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N+)時不等式成立,
即 + +…+ > ,
那么,當(dāng)n=k+1時, + +…+
= + +…+ + + + -
= + + -
> + + -
= + -
= + > ,
即當(dāng)n=k+1時,不等式也成立.
根據(jù)①和②可知,原不等式對任意大于或等于2的正整數(shù)都成立.
　　在給出了已知數(shù)列的遞推公式的情況下,可根據(jù)已知寫出數(shù)列的前幾項,猜想出結(jié)論,然
后用數(shù)學(xué)歸納法證明該結(jié)論.正確計算是歸納的前提,常見的等差、等比數(shù)列的有關(guān)結(jié)論是
歸納的橋梁,而運用數(shù)學(xué)歸納法證明才是歸納的最終歸宿.
疑難 3 歸納—猜想—證明,解決與遞推公式有關(guān)的數(shù)列問題
講解分析
已知數(shù)列{an}滿足a1=a(a>0),an= (n≥2,n∈N+).
(1)用a表示a2,a3,a4;
(2)猜想an的表達(dá)式(用a和n表示),并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
典例
解析 (1)由已知得,a2= = ,
a3= = = ,
a4= = = .
(2)因為a1=a= ,
a2= ,
a3= ,
a4= ,
……
所以猜想an= ,n∈N+.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)n=1時,因為a1=a= ,
所以當(dāng)n=1時,猜想成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥1)時猜想成立,
即ak= ,
所以當(dāng)n=k+1時,
ak+1= =
= =
= ,
所以當(dāng)n=k+1時,猜想也成立.
根據(jù)①與②可知,猜想對任意n∈N+都成立.
解題模板 “歸納—猜想—證明”的解題步驟:

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