資源簡介

§2　導數的概念及其幾何意義
2.1　導數的概念　2.2　導數的幾何意義
基礎過關練
題組一　導數的概念
1.汽車在筆直的公路上行駛,如果v(t)表示時刻t的速度,則導數v'(t0)表示(　　)
A.當t=t0時汽車的瞬時加速度
B.當t=t0時汽車的瞬時速度
C.當t=t0時汽車的路程變化率
D.當t=t0時汽車與起點的距離
2.已知f(x)=x2-1,則f'(1)=(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.-1
3.設=-6,則f'(3)=(　　)
A.-12　　　　B.-3　　　　C.3　　　　D.12
4.已知函數y=f(x)=ax+4,若f'(1)=2,則a=　　　　.
5.某正方形鐵板在0 ℃時,邊長為10 cm.當溫度在很小的范圍內變化時,由于熱脹冷縮,鐵板的邊長也會發生變化,而且已知溫度為t ℃時正方形的邊長為10(1+at)cm,其中a為常數.設此時正方形的面積為y cm2,且y=f(t),求f'(0)并解釋其實際意義.
題組二　導數的幾何意義
6.已知函數f(x)和g(x)在區間[a,b]上的圖象如圖所示,則下列說法正確的是(　　)
A.f(x)在a到b之間的平均變化率大于g(x)在a到b之間的平均變化率
B.f(x)在a到b之間的平均變化率小于g(x)在a到b之間的平均變化率
C.對于任意x0∈(a,b),函數f(x)在x=x0處的瞬時變化率總大于函數g(x)在x=x0處的瞬時變化率
D.存在x0∈(a,b),使得函數f(x)在x=x0處的瞬時變化率小于函數g(x)在x=x0處的瞬時變化率
7.(2024福建泉州安溪藍溪中學月考)已知曲線f(x)在x=2處的切線方程為2x+y-1=0,則f '(2)+f(2)=(　　)
A.-5　　　　B.-3　　　　C.3　　　　D.5
8.已知函數f(x)的圖象如圖所示, f '(x)是f(x)的導函數,則下列結論正確的是(　　)
A.0B.0C.0D.09.已知函數f(x)可導,且=1,則曲線y=f(x)在點(1, f(1))處的切線的傾斜角為　　(　　)
A.45°　　　　B.60°　　　　C.120°　　　　D.135°
10.曲線y=x3在點P處的切線方程為(　　)
A.12x-3y-16=0　　　　　B.2x-3y-16=0
C.12x-y-16=0　　　　　D.x-y-1=0
11.若曲線y=f(x)=x2+ax+b在點(1,1)處的切線方程為3x-y-2=0,則(　　)
A.a=-1,b=1　　　　　B.a=1,b=-1
C.a=-2,b=1　　　　　D.a=2,b=-1
12.已知函數y=f(x)=x3.
(1)用導數的定義求函數y=f(x)在x=2處的導數;
(2)過點(2,8)作函數y=f(x)圖象的切線,求切線的方程.
題組三　導數幾何意義的綜合應用
13.曲線y=x+上任意一點P(x0,y0)處的切線斜率為k,則k的取值范圍是(　　)
A.(-∞,-1)　　　　　B.(-1,1)
C.(-∞,1)　　　　　D.(1,+∞)
14.已知f(x)=x2+2x+3,P為曲線C:y=f(x)上的點,且曲線C在點P處的切線的傾斜角α的取值范圍為,則點P的橫坐標的取值范圍為(　　)
A.　　　　　B.[-1,0]
C.[0,1]　　　　　D.
15.(多選題)已知函數f(x)=x3-3x2+1的圖象在點(m, f(m))處的切線為lm,則(　　)
A.lm的斜率的最小值為-2
B.lm的斜率的最小值為-3
C.l0的方程為y=1
D.l-1的方程為y=9x+6
16.若曲線y=f(x)=x3-2x在點P處的切線與直線x-y-2=0平行,則點P的坐標為　　　　.
17.已知函數g(x)與f(x)=x2(x∈[0,+∞))的圖象關于直線y=x對稱,將g(x)的圖象先向右平移2個單位,再向下平移2個單位得到h(x)的圖象,若P,Q分別為函數f(x),h(x)圖象上的點,則這兩點間距離的最小值為　　　　.
18.已知函數f(x)=x3-x.
(1)若點P在曲線y=f(x)上移動,設曲線y=f(x)在點P處的切線的傾斜角為α,求α的取值范圍;
(2)求曲線y=f(x)經過點M(1,0)的切線方程.
答案與分層梯度式解析
1.A　由導數的概念可知,v'(t0)表示當t=t0時汽車的瞬時加速度,故選A.
2.C　由f(x)=x2-1,
得f'(1)==(2+Δx)=2.
故選C.
B　=2=2f'(3)=-6,所以f'(3)=
-3.
4.答案　2
解析　由題意得,Δy=f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)+4-a-4=aΔx,∴=a,∴f '(1)=a=2.
5.解析　依題意可知f(t)=[10(1+at)]2=100(1+at)2.
設t=0時溫度的改變量為Δt ℃,面積的改變量為Δy cm2,則=
=
=200a+100a2Δt.
當Δt→0時,→200a,即f'(0)=200a.
這表示在0 ℃時,鐵板面積關于溫度的瞬時變化率為200a.
6.D　∵f(x)在a到b之間的平均變化率是,g(x)在a到b之間的平均變化率是, f(b)=g(b),f(a)=g(a),∴=,∴A,B錯誤;
易知函數f(x)在x=x0處的瞬時變化率是函數f(x)在x=x0處的導數,即函數f(x)的圖象在x=x0處的切線的斜率,
同理,函數g(x)在x=x0處的瞬時變化率是函數g(x)在x=x0處的導數,即函數g(x)的圖象在x=x0處的切線的斜率,由題中圖象知C錯誤,D正確.故選D.
7.A　因為曲線f(x)在x=2處的切線方程為2x+y-1=0,
所以f '(2)=-2,且2×2+f(2)-1=0,所以f(2)=-3,
所以f '(2)+f(2)=-2-3=-5.故選A.
8.B　f '(1)表示曲線y=f(x)在x=1處切線的斜率, f '(3)表示曲線y=f(x)在x=3處切線的斜率,
=表示割線AB的斜率,
由題圖可知0故選B.
9.A　由=1,可得f'(1)=1,則曲線y=f(x)在(1, f(1))處的切線的斜率為1,
設曲線y=f(x)在(1, f(1))處的切線的傾斜角為θ(0°≤θ<180°),
則tan θ=1,可得θ=45°.故選A.
10.A　=
==4,
所以曲線y=x3在點P處的切線方程為y-=4(x-2),即12x-3y-16=0.
11.B　由題意得f'(1)=
=
==2+a.
∵曲線f(x)=x2+ax+b在點(1,1)處的切線方程為3x-y-2=0,∴2+a=3,解得a=1.
∵點(1,1)在曲線y=x2+ax+b上,
∴1+a+b=1,∴b=-1.故選B.
12.解析　(1)由已知得=
==(Δx)2+6Δx+12,
所以=[(Δx)2+6Δx+12]=12,則f'(2)=12.
(2)設切點為(x0,),則切線的斜率k=f'(x0)==[3+3x0Δx+(Δx)2]=3,
故切線方程為y-=3(x-x0),
將(2,8)代入得8-=3(2-x0),即-3+4=0,得(x0+1)(x0-2)2=0,
所以x0=-1或x0=2,
所以切線方程為3x-y+2=0或12x-y-16=0.
13.C　曲線y=x+上任意一點P(x0,y0)處的切線斜率k=y'=
==1-<1,即k<1.
故選C.
14.D　設點P的橫坐標為x0,
=
==Δx+2x0+2,
當Δx→0時,→2x0+2,所以曲線C在點P處的切線的斜率為2x0+2,所以曲線C在點P處的切線的傾斜角α滿足tan α=2x0+2.
因為α∈,所以tan α∈[1,+∞),
所以2x0+2≥1,即x0≥-,
所以點P的橫坐標的取值范圍為.
15.BCD　f'(m)=
=[3m2-6m+3mΔx-3Δx+(Δx)2]=3m2-6m=3(m-1)2-3≥-3,所以lm的斜率的最小值為-3.
因為f'(0)=0, f(0)=1,所以l0的方程為y=1.
因為f'(-1)=9, f(-1)=-3,所以l-1的方程為y+3=9(x+1),即y=9x+6.故選BCD.
16.答案　(-1,1)
解析　設點P的坐標為(x0,-2x0),
則曲線y=f(x)在點P處的切線的斜率為
f'(x0)=
=
=
=[3+3x0Δx-2+(Δx)2]
=3-2.
因為曲線y=f(x)在點P處的切線與直線x-y-2=0平行,所以f'(x0)=1,即3-2=1,解得x0=±1.
當x0=1時,點P的坐標為(1,-1),則切線方程為y+1=x-1,即x-y-2=0,與已知直線重合,不符合題意;當x0=-1時,點P的坐標為(-1,1),則切線方程為y-1=x+1,即x-y+2=0,與已知直線平行.
綜上所述,點P的坐標為(-1,1).
易錯警示　本題容易忽視對所得直線是否與給定直線重合進行檢驗這一步驟.
17.答案　
解析　將直線y=x先向右平移1個單位,再向下平移1個單位可得函數f(x)和h(x)圖象的對稱軸,即直線y=x-1-1,即直線y=x-2,
所以P,Q兩點之間距離的最小值等于P到直線y=x-2距離的最小值的2倍,易知當點P到直線y=x-2的距離最小時, f(x)的圖象在點P處的切線平行于直線y=x-2,設P(x0,y0),
則===Δx+2x0,當Δx→0時,→2x0,故函數f(x)=x2的圖象在點P處的切線斜率為2x0,故2x0=1,解得x0=,則y0=,
所以點P到直線y=x-2的距離的最小值為=,
所以P,Q兩點之間距離的最小值為2×=.
方法技巧　曲線上的點到直線距離的最小值即為曲線上與該直線平行的切線的切點到該直線的距離.
18.解析　(1)設點P的坐標為(x0,-x0),
=
=(Δx)2+3x0Δx+3-1,
當Δx→0時,→3-1,
所以曲線y=f(x)在點P處的切線的斜率為3-1,即tan α=3-1.
由α∈[0,π)且tan α=3-1≥-1,
可得0≤α<或≤α<π,
故α的取值范圍為∪.
(2)設切點為Q(m,m3-m),則由(1)可知曲線y=f(x)在點Q處的切線的斜率為3m2-1,因此切線方程為y-(m3-m)=(3m2-1)(x-m),
又切線過點M(1,0),所以-(m3-m)=(3m2-1)·(1-m),即(2m+1)(m-1)2=0,所以m=1或m=-.
當m=1時,所求切線方程為y=2x-2;
當m=-時,所求切線方程為y=-x+.
故曲線y=f(x)經過點M(1,0)的切線方程為y=2x-2或y=-x+.
8(共19張PPT)
1.概念
設函數y=f(x),當自變量x從x0變到x1時,函數值y從f(x0)變到f(x1),函數值y關于x的平均變化率為
= = .
當x1趨于x0,即Δx趨于0時,如果平均變化率趨于一個固定的值,那么這個值就是函數y=f(x)在點
x0處的瞬時變化率.在數學中,稱瞬時變化率為函數y=f(x)在點x0處的導數.
2.記法
函數y=f(x)在點x0處的導數通常用符號f'(x0)表示,記作f'(x0)= = .
§2 導數的概念及其幾何意義
知識點 1 導數的概念
知識 清單破
1.割線與切線的概念
設函數y=f(x)的圖象是一條光滑的曲線,且函數y=f(x)在區間[x0,x0+Δx]上的平均變化率為 ,
它是經過A(x0,f(x0))和B(x0+Δx,f(x0+Δx))兩點的直線的斜率.這條直線稱為曲線y=f(x)在點A處
的一條割線.
當Δx趨于0時,點B將沿著曲線y=f(x)趨于點A,割線AB將繞點A轉動趨于直線l.稱直線l為曲線y
=f(x)在點A處的切線,或稱直線l和曲線y=f(x)在點A處相切.
2.導數的幾何意義
函數y=f(x)在x0處的導數f'(x0),是曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線的斜率.函數y=f(x)在x0處切線
的斜率反映了導數的幾何意義.
對應地,曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線方程為y-f(x0)= f'(x0)(x-x0).
知識點 2 導數的幾何意義
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1. 中,若Δx,Δy都趨于0,則它們的比值為0. (　 )
2.函數f(x)在x=x0處的導數是Δx趨于0時函數值的平均變化率. (　 )
3.若函數y=f(x)在x=x0處有導數,則函數y=f(x)的圖象在x=x0處有唯一一條切線. (　 )
4.函數在某一點處的導數與Δx的正負無關. (　 )
知識辨析

提示
Δx,Δy都趨于0時,它們的比值是一個固定的值,不一定為0.
√
√
√
　　將原油精煉為汽油、柴油等各種不同的產品,需要對原油進行加熱和冷卻.已知在第x h
原油的溫度(單位:℃)為y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).
情境探究
疑難 情境破
疑難 1 導數概念的理解及應用
　計算第2 h末和第6 h末時,原油溫度的瞬時變化率,并說明它們的意義.
提示 在第2 h末和第6 h末時,原油溫度的瞬時變化率分別是f'(2)和f'(6).
根據導數的概念,在第2 h末時,
=
=
= =Δx-3,
所以 f'(2)= = (Δx-3)=-3.
同理, f'(6)=5.
故在第2 h末和第6 h末時,原油溫度的瞬時變化率分別為-3 ℃/h與5 ℃/h.這說明在第2 h末附
近,原油溫度大約以3 ℃/h的速度下降;在第6 h末附近,原油溫度大約以5 ℃/h的速度上升.
　瞬時變化率與對應函數的導數有何關系
提示 瞬時變化率實際上就是對應函數在某點處的導數.
講解分析
1.導數的概念是高中數學中的重要概念之一,需從以下幾個方面加以理解:
(1)函數y=f(x)在x0處有導數,必須滿足兩個條件:
①f(x)在x0處及其附近有定義;
②當Δx趨于0時, 的極限存在.
(2)Δx是自變量x的改變量,且Δx≠0;Δy是函數值的改變量,可以為0.
(3)導數概念的變形:
f'(x0)=
=
=
=
= .
注意:自變量的改變量與函數值的改變量要相互對應.
2.求函數y=f(x)在x=x0處的導數的步驟
(1)求函數值的改變量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均變化率 = ;
(3)求極限 ,得導數f'(x0).
(1)已知函數y=f(x)=x- 在x=1處的導數f'(1)=2,求a的值;
(2)已知f(x)=3x2,f'(x0)=6,求x0的值.
典例
解析 (1)∵Δy=(1+Δx)- -
=Δx+a- =Δx+ ,
∴ = =1+ ,
∴f'(1)= = =1+a=2,
∴a=1.
(2)∵f'(x0)=
=
= (6x0+3Δx)=6x0=6,
∴x0=1.
　　如圖所示,當點Pn沿著曲線C:y=f(x)無限趨近于點P時,割線PPn趨近于確定的位置,這個確
定位置的直線PT稱為曲線在點P處的切線.

疑難 2 求曲線的切線方程
情境探究
　 當直線l與曲線C有唯一公共點時,直線l一定是曲線C的切線嗎
提示 當直線l與曲線C有唯一公共點時,直線l不一定是曲線C的切線,如下圖中的直線l1.

　如果直線l是曲線C的切線,那么直線l與曲線C一定只有一個公共點嗎
提示 當直線l與曲線C有不止一個公共點時,直線l也可能是曲線C的切線,如下圖中的直線l2,
N是切點.

1.曲線y=f(x)在點P(x0, f(x0))處的切線方程
(1)點(x0, f(x0))為切點;
(2)切線斜率k=f'(x0);
(3)切線方程為y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
講解分析
2.曲線y=f(x)過點P(x0, f(x0))的切線方程
(1)該點可能是切點,也可能不是切點;
(2)如果點P不是切點,則切線可能不止一條,切線條數與切點個數有關;
(3)求曲線y=f(x)過點P(x0,f(x0))的切線方程及切點的步驟:
①設出切點坐標(x1, f(x1));
②求出函數y=f(x)在x=x1處的導數f'(x1);
③寫出曲線y=f(x)的切線方程:y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),將(x0,f(x0))代入,求得x1的值,從而確定切點坐
標;
④將切點坐標代入切線方程,化簡得切線方程.
已知曲線C:y=x3.
(1)求曲線C在x=1處的切線方程;
(2)求曲線C過點(1,1)的切線方程.
典例
解析 (1)將x=1代入曲線C的方程得y=1,
∴切點坐標為(1,1).
函數y=x3在x=1處的導數為
=
= [3+3Δx+(Δx)2]=3,
∴曲線C在x=1處的切線的斜率為3,
∴切線方程為y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.
(2)設切點坐標為(x0, ).
函數y=x3在x=x0處的導數為
=
=
= [(Δx)2+3x0Δx+3 ]=3 ,
∴曲線C在x=x0處的切線的斜率為3 ,
∴切線方程為y- =3 (x-x0),
即3 x-y-2 =0,
∵點(1,1)在切線上,∴3 -1-2 =0,
即2 -3 +1=0,
即(x0-1)2(2x0+1)=0,
解得x0=1(二重根)或x0=- .
當x0=1時,切點坐標為(1,1),3 =3,則相應的切線方程為y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.
當x0=- 時,切點坐標為 ,3 = ,則相應的切線方程為y+ = ,即3x-4y+1=0.
綜上,曲線C過點(1,1)的切線方程為3x-y-2=0或3x-4y+1=0.

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