資源簡(jiǎn)介

§5　簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
1.函數(shù)y=(2 024-8x)3的導(dǎo)數(shù)y'=(　　)
A.3(2 024-8x)2　　　　　B.-24x
C.-24(2 024-8x)2　　　　　D.24(2 024-8x)2
2.已知函數(shù)f(x)=ln(ax-1)的導(dǎo)函數(shù)是f'(x),且f'(2)=2,則實(shí)數(shù)a的值為(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.1
3.(多選題)下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是(　　)
A.[ln(2x-1)]'=　　　　　B.=2x-
C.(e2x)'=2xe2x-1　　　　　D.=
4.設(shè)函數(shù)f(x)=xsin 2x,則f'=　　　　.
5.設(shè)函數(shù)f(x)=,若f'(0)=1,則a=　　　　.
6.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):
(1)y=(x2+3x+3)ex+1;(2)y=;
(3)y=ln;(4)y=sin2.
題組二　復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的綜合應(yīng)用
7.已知函數(shù)f(x)=xex-1+x2,則f(x)的圖象在x=1處的切線方程為　(　　)
A.4x-y-2=0　　　　　B.x-4y-2=0
C.4x-y+2=0　　　　　D.x-4y+2=0
8.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,導(dǎo)函數(shù)為f'(x),若f(ln x)=,則=(　　)
A.2　　　　B.-2　　　　C.1　　　　D.e+1
9.已知曲線y=x+kln(1+x)在x=1處的切線與直線x+2y=0垂直,則k的值為(　　)
A.4　　　　B.2　　　　C.-3　　　　D.-6
10.某海灣擁有世界上最大的海潮.假設(shè)在該海灣某一固定點(diǎn)處,大海水深d(單位:m)與午夜后的時(shí)間t(單位:h)之間的關(guān)系為d(t)=10+4cost,則下午5:00時(shí)該固定點(diǎn)的水位變化的速度(單位:m/h)為(　　)
A.　　　　B.　　　　C.-　　　　D.-
11.設(shè)f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與y軸交于點(diǎn)(0,6),試確定a的值.
能力提升練
題組　復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
1.如圖,現(xiàn)有一個(gè)底面直徑為10 cm,高為25 cm的圓錐容器,以2 cm3/s的速度向該容器內(nèi)注入液體,隨著時(shí)間t(單位:s)的增加,圓錐容器內(nèi)的液體高度也跟著增加,忽略容器的厚度,則當(dāng)t=π時(shí),圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率(單位:cm/s)為(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
2.若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則f(x)的解析式可能為(　　)
A. f(x)=3cos x　　　　　B. f(x)=x3+x2
C. f(x)=ex+x　　　　　D. f(x)=1+sin 2x
3.若(x+1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則a1+2a2+3a3+4a4+5a5=(　　)
A.4　　　　B.8　　　　C.80　　　　D.3 125
4.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,設(shè)g(x)=e-xf(x),若函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g'(x)的圖象如圖所示,則(　　)
A.aC.>1,b=c　　　　　D.<1,b=c
5.已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的定義域均為R,記g(x)=f'(x+1),且f(2+x)-f(2-x)=4x,g(3+x)為偶函數(shù),則g'(7)+g(17)=(　　)
A.0　　　　　B.1　　　　
C.2　　　　　D.3
6.已知f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的定義域均為R,且f(1-2x)為奇函數(shù),f(2x-1)為偶函數(shù).若f'(0)=1,則f'(2k)=　　　　.
7.若直線y=kx+b既是曲線y=ln x+2的切線,也是曲線y=ln(x+1)的切線,則b=　　　　.
8.已知函數(shù)f(x)=πl(wèi)n|x-1|-2cos πx,x∈(-2,1)∪(1,4),f(x)的導(dǎo)函數(shù)是f'(x),f'(xi)=0,i=1,2,…,n,n∈N+,求xi的值.
答案與分層梯度式解析
C　y'=3(2 024-8x)2×(2 024-8x)'=3(2 024-8x)2×(-8)=
-24(2 024-8x)2.故選C.
2.B　由f(x)=ln(ax-1),可得f'(x)=,
由f'(2)=2,可得=2,解得a=.故選B.
3.AB　[ln(2x-1)]'=·(2x-1)'=,A正確;
=2=2=2x-,B正確;
(e2x)'=e2x·(2x)'=2e2x,C錯(cuò)誤;
==,D錯(cuò)誤.
故選AB.
4.答案　-π
解析　由已知得 f'(x)=sin 2x+2xcos 2x,
所以f'=sin π+2×cos π=-π.
5.答案　1
解析　由題意可知f'(x)=,由f'(0)=1,得=1,所以a=1.
6.解析　(1)因?yàn)閥=(x2+3x+3)ex+1,
所以y'=(x2+3x+3)'·ex+1+(x2+3x+3)·(ex+1)'
=(2x+3)ex+1+(x2+3x+3)ex+1=ex+1(x2+5x+6).
(2)因?yàn)閥=,
所以y'=
=.
(3)因?yàn)閥=ln,所以y'=·'=·=.
(4)因?yàn)閥=sin2=-cos,
所以y'=sin×4=2sin.
7.A　f'(x)=(x+1)ex-1+2x,則f'(1)=4,又f(1)=2,
所以f(x)的圖象在x=1處的切線方程為y-2=4(x-1),即4x-y-2=0.
8.B　令ln x=t,則x=et,代入f(ln x)=,
得f(t)==1+=1+e-t,
∴f'(t)=-,∴==-2.故選B.
9.B　由y=x+kln(1+x)得y'=1+,所以y'x=1=1+,即曲線y=x+kln(1+x)在x=1處的切線斜率為1+,又直線x+2y=0的斜率為-,所以-×=-1,解得k=2.故選B.
10.A　由d(t)=10+4cost,得d'(t)=-sint,所以下午5:00時(shí)該固定點(diǎn)的水位變化的速度為d'(17)=-sin=-sin=
-×=(m/h).故選A.
11.解析　因?yàn)閒(x)=a(x-5)2+6ln x,
所以f'(x)=2a(x-5)+,則f'(1)=6-8a.
又f(1)=16a,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-16a=(6-8a)(x-1).
由點(diǎn)(0,6)在切線上,可得6-16a=8a-6,
解得a=.
能力提升練
1.C　設(shè)注入液體的時(shí)間為t(單位:s)時(shí),圓錐容器內(nèi)液體的高度為h(單位:cm),
則π··h=2t,得h=,
則h'=,當(dāng)t=π時(shí),h'==,即圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率為 cm/s.
故選C.
2.D　對(duì)于A,易得f'(x)=-3sin x,x∈R,則f'(-x)=-3sin(-x)=3sin x=-f'(x),故f'(x)=-3sin x為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,易得f'(x)=3x2+2x,x∈R,則f'(-x)=3x2-2x≠f'(x),故f'(x)=3x2+2x的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱,B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,易得f'(x)=ex+1,x∈R,則f'(-x)=e-x+1≠f'(x),故f'(x)=ex+1的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱,C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,易得f'(x)=2cos 2x,x∈R,則f'(-x)=2cos(-2x)=2cos 2x=f'(x),故f'(x)=2cos 2x為偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,D正確.
3.C　對(duì)(x+1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5兩邊同時(shí)求導(dǎo),得5(x+1)4=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4.
令x=1,則a1+2a2+3a3+4a4+5a5=5×24=80.故選C.
4.D　易得a≠0,g(x)=e-xf(x)=e-x(ax2+bx+c),
∴g'(x)=-e-x[ax2+(b-2a)x+c-b],
令g'(x)=0,得ax2+(b-2a)x+c-b=0,
設(shè)g'(x)=0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1,x2,且x1由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=,x1x2=,
由題圖可知,x1=0,x2>1,
則x1+x2==2->1,解得<1,
x1x2==0,解得b=c,故選D.
5.C　∵g(3+x)為偶函數(shù),∴g(3+x)=g(3-x),
又g(x)=f'(x+1),∴f'(x+4)=f'(-x+4),
對(duì)f(2+x)-f(2-x)=4x兩邊同時(shí)求導(dǎo),得f'(2+x)+f'(2-x)=4,∴f'(4+x)+f'(-x)=4,即f'(4-x)+f'(-x)=4,∴f'(4+x)+f'(x)=4,則f'(8+x)=f'(x),∴函數(shù)f'(x)的周期為8,
在f'(2+x)+f'(2-x)=4中,令x=0,得f'(2)=2,
∴g(17)=f'(18)=f'(2)=2,∵g(3+x)=g(3-x),
∴g'(3+x)=-g'(3-x),∴g'(7)=-g'(-1)①,
又f'(8+x)=f'(x),∴g(7+x)=g(x-1),∴g'(7+x)=g'(x-1),∴g'(7)=g'(-1)②,
由①②可得g'(7)=0,∴g'(7)+g(17)=2,故選C.
6.答案　0
解析　因?yàn)閒(1-2x)為奇函數(shù),所以f(1+2x)=-f(1-2x),即f(1+x)=-f(1-x),
兩邊同時(shí)求導(dǎo),得f'(1+x)=f'(1-x),所以f'(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.
因?yàn)閒(2x-1)為偶函數(shù),所以f(-2x-1)=f(2x-1),即f(-1-x)=f(-1+x),
兩邊同時(shí)求導(dǎo),得-f'(-1-x)=f'(-1+x),所以函數(shù)f'(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對(duì)稱.
所以f'(x)=f'(2-x)=-f'(x-4),
所以f'(x+8)=-f'(x+4)=f'(x),
故函數(shù)f'(x)為周期函數(shù),且周期為8,
則有f'(0)=f'(2)=f'(8)=f'(10)=f'(16)=1,f'(4)=f'(6)=f'(12)=f'(14)=
-1,
所以f'(2k)=f'(2)+f'(4)+…+f'(12)+f'(14)+f'(16)=0.
7.答案　1-ln 2
解析　設(shè)f(x)=ln x+2,g(x)=ln(x+1),
則f'(x)=,g'(x)=.
設(shè)直線y=kx+b與曲線f(x)切于點(diǎn)(x1,y1),與曲線g(x)切于點(diǎn)(x2,y2),則k==,則x2+1=x1.
又y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1)=ln x1,所以k==2,故x1==,y1=ln+2=2-ln 2.
故b=y1-kx1=2-ln 2-1=1-ln 2.
8.解析　當(dāng)x∈(-2,1)時(shí),f(x)=πl(wèi)n(1-x)-2cos πx,則f'(x)=π;
當(dāng)x∈(1,4)時(shí),f(x)=πl(wèi)n(x-1)-2cos πx,則f'(x)=π.
令f'(x)=0,則2sin πx=.
設(shè)g(x)=2sin πx,x∈(-2,1)∪(1,4),h(x)=,x∈(-2,1)∪(1,4),則g(x),h(x)的圖象均關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,作出函數(shù)g(x),h(x)在(-2,1)∪(1,4)上的大致圖象如圖所示.
由圖可知,函數(shù)g(x),h(x)在(-2,1)∪(1,4)上的圖象共有8個(gè)交點(diǎn),這8個(gè)點(diǎn)中每2個(gè)點(diǎn)為一組均關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱分布,所以xi=2×4=8.
14§3　導(dǎo)數(shù)的計(jì)算
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
1.下列運(yùn)算正確的是(　　)
A.=cos　　　　　B.(4x)'=x·4x-1
C.(x-5)'=-x-6　　　　　D.(log2x)'=
2.已知函數(shù)f(x)=xa,若f'(-1)=-4,則a的值等于(　　)
A.4　　　　B.-4　　　　C.5　　　　D.-5
3.設(shè)f0(x)=sin x,f1(x)=f0'(x),f2(x)=f1'(x),……,fn+1(x)=fn'(x),n∈N,則f2 023(x)=(　　)
A.sin x　　　　　B.-sin x
C.cos x　　　　　D.-cos x
4.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):
(1)f(x)=;(2)f(x)=lg x;(3)f(x)=5x;
(4)f(x)=-2sin1-2cos2.
題組二　導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用
5.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)(0,b),且與直線y=2x平行,若l與曲線y=x2相切,則b=(　　)
A.-　　　　　B.-1
C.1　　　　　D.
6.若冪函數(shù)f(x)=xα的圖象過點(diǎn)P(9,27),則曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線方程為(　　)
A.9x-y-54=0　　　　　B.3x+y-54=0
C.9x-2y-27=0　　　　　D.x-3y+18=0
7.若曲線y=在點(diǎn)(m,)處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為18,則m=(　　)
A.64　　　　　B.32　　　　
C.16　　　　　D.8
8.(多選題)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x),若存在實(shí)數(shù)x0,使得f(x0)=f'(x0),則稱x0是f(x)的一個(gè)“巧值點(diǎn)”.下列函數(shù)中,有“巧值點(diǎn)”的是(　　)
A. f(x)=x2　　　　　B. f(x)=e-x
C. f(x)=ln x　　　　　D. f(x)=
9.已知點(diǎn)A(a,a),B(b,eb)(a,b∈R),則A,B兩點(diǎn)間的距離|AB|的最小值為(　　)
A.1　　　　B.　　　　C.　　　　D.2
設(shè)曲線f(x)=xn+1(n∈N+)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn,則x1·x2·x3·x4·…·
x2 021=　　　　.
答案與分層梯度式解析
1.D　'=0,A錯(cuò)誤;(4x)'=4xln 4,B錯(cuò)誤;(x-5)'=-5x-6,C錯(cuò)誤;(log2x)'=,D正確.故選D.
2.A　∵f(x)=xa,∴f '(x)=axa-1,∴f '(-1)=a(-1)a-1=-4,∴a=4.
3.D　f0(x)=sin x,則f1(x)=f'0(x)=(sin x)'=cos x, f2(x)=f'1(x)=
(cos x)'=-sin x,
f3(x)=f '2(x)=(-sin x)'=-cos x,
f4(x)=f '3(x)=(-cos x)'=sin x,
所以fn+4(x)=fn(x),n∈N,
又2 023=4×505+3,所以f2 023(x)=f3(x)=-cos x,故選D.
4.解析　(1)因?yàn)閒(x)==,
所以f '(x)==.
(2)因?yàn)閒(x)=lg x,所以f '(x)=,x>0.
(3)因?yàn)閒(x)=5x,所以f '(x)=5xln 5.
(4)因?yàn)閒(x)=
-2sin=2sin·=2sincos=sin x,
所以f '(x)=(sin x)'=cos x.
易錯(cuò)警示　熟練掌握常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式是解決導(dǎo)數(shù)問題的基礎(chǔ),本題(3)是指數(shù)函數(shù),不要混淆指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的求導(dǎo)公式,(1)(4)要先化簡(jiǎn)再求導(dǎo).
5.B　設(shè)切點(diǎn)為(m,m2),對(duì)y=x2求導(dǎo),得y'=2x,因?yàn)閘與曲線y=x2相切,且與直線y=2x平行,所以l的斜率k=2m=2,解得m=1,可得切點(diǎn)為(1,1),又l過點(diǎn)(0,b),所以2=,解得b=-1.故選B.
方法總結(jié)　利用導(dǎo)數(shù)解決切線問題時(shí),要知道切點(diǎn)既在直(切)線上,又在曲線上,把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入所求得的導(dǎo)數(shù),可得切線的斜率.簡(jiǎn)記:在直在曲,代橫得k.
6.C　將(9,27)代入f(x)=xα,可得32α=27,∴α=,故f(x)=,則f'(x)=.∴曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線斜率為f'(9)=×=,∴所求切線方程為y-27=(x-9),整理得9x-2y-27=0.
7.A　易得y'=-,所以曲線y=在點(diǎn)(m,)處的切線方程為y-=-(x-m).
令x=0,得y=,令y=0,得x=3m,
則××3m=18,
解得m=64.
8.ACD　在A中, f'(x)=2x,令x2=2x,解得x=0或x=2,故A符合題意;在B中, f'(x)==ln =-e-x,令e-x=-e-x,此方程無解,故B不符合題意;在C中, f'(x)=,令ln x=,由函數(shù)y=ln x與y=的圖象(圖略)知該方程存在實(shí)數(shù)解,故C符合題意;在D中,f'(x)=-,由=-,解得x=-1,故D符合題意.故選ACD.
9.B　易知點(diǎn)A(a,a)在直線y=x上,點(diǎn)B(b,eb)在曲線y=ex上,則A,B兩點(diǎn)間的距離的最小值即為與直線y=x平行的曲線y=ex的切線和直線y=x間的距離,
對(duì)于函數(shù)y=ex,其導(dǎo)數(shù)為y'=ex,令y'=1,則x=0,故切點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1),所以與直線y=x平行的曲線y=ex的切線方程為y=x+1,又直線y=x與y=x+1之間的距離為=,故|AB|的最小值為.
10.答案　
解析　由f(x)=xn+1(n∈N+)得f'(x)=(n+1)xn,所以曲線f(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線的斜率為n+1,
所以切線方程為y-1=(n+1)(x-1),
令y=0,解得x=,即xn=,
所以x1·x2·x3·x4·…·x2 021=×××…×=.
6§4　導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則
4.1　導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則　4.2　導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則
1.已知函數(shù)f(x)=xex+cos x,則=(　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.0　　　　D.2
2.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是(　　)
A.'=
B.(x2+3x)'=2x+3xlg 3
C.(xcos x)'=-sin x
D.'=1+
3.對(duì)于函數(shù)f(x)=+ln x-,若f'(1)=1,則實(shí)數(shù)k等于(　　)
A.　　　　B.　　　　C.-　　　　D.-
4.已知f(x)=2f'(1)ln x+(f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)),則f(e)=(　　)
A.e-1　　　　　B.+1
C.1　　　　　D.-+1
5.已知函數(shù)f(x)=3ln x+6x,則的值為(　　)
A.-18　　　　B.-16　　　　C.10　　　　D.20
6.若函數(shù)f(x)=+cos 2 023,則f'(x)=　　　　.
7.已知函數(shù)f(x),g(x)滿足f(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,若h(x)=,則h'(5)=　　　　.
8.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):
(1)y=log2x-3x;(2)y=(2x2-1)(3x+1);
(3)y=;(4)y=sin4+cos4.
題組二　導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用
9.函數(shù)f(x)=x3-4x+3的圖象在點(diǎn)(-2,f(-2))處的切線方程為(　　)
A.2x+y+11=0　　　　　B.2x+y-11=0
C.2x-y+11=0　　　　　D.2x-y-11=0
10.已知曲線f(x)=x3-x+3在點(diǎn)P處的切線與直線x+2y-1=0垂直,則P點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　)
A.(1,3)　　　　　B.(-1,3)
C.(1,3)或(-1,3)　　　　　D.(1,-3)
11.函數(shù)f(x)=xsin x的導(dǎo)函數(shù)f'(x)在定義域[-π,π]上的圖象大致為　(　　)
A　 B　 C　 D　
12.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+x(a,b∈R),若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=x+1,則f'(-1)=　　　　.
13.已知點(diǎn)P是曲線x2=4y上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到直線x+y+4=0的距離的最小值是　　　　.
14.已知曲線y=x3+3x2+6x-10,求該曲線的所有切線中,斜率最小的切線方程.
15.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+ax-2b,其圖象過點(diǎn)(2,-4),且f'(1)=-3.
(1)求a,b的值;
(2)設(shè)函數(shù)h(x)=xln x+f(x),求曲線h(x)在x=1處的切線方程.
16.已知函數(shù)f(x)=+b的圖象在x=1處的切線方程為2x-y-2=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)f(x)圖象上的點(diǎn)到直線2x-y+3=0的距離的最小值.
能力提升練
題組　導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及其應(yīng)用
1.函數(shù)f(x)=x(x-1)(x-2)(x-4)(x-9)(x-12)的圖象在x=4處的切線的斜率為(　　)
A.-900　　　　B.-960　　　　C.900　　　　D.960
2.已知函數(shù)f(x)=x3+f'(1)x2+2,且其圖象在x=3處的切線的傾斜角為α,則sincos的值為(　　)
A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.-
3.(多選題)已知直線y=kx是曲線f(x)=xsin x的一條切線,則實(shí)數(shù)k的值可以為(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.　　　　D.-1
4.已知將函數(shù)f(x)=xex+1的圖象繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到曲線y=g(x).若g(x)≥m,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)
A.　　　　　B.(-∞,0] C.(-∞,]　　　　　D.(-∞,1]
5.對(duì)于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,a≠0),給出定義:設(shè)f '(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),f ″(x)是f '(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f ″(x)=0有實(shí)數(shù)解x0,則稱點(diǎn)(x0, f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”,任何一個(gè)三次函數(shù)的圖象都有對(duì)稱中心,且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-x2+3x-,則f(x)的拐點(diǎn)為　　　　, f+f+f+…+f=　　　　.
6.已知函數(shù)f(x)=(1-x)ex.
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;
(2)過點(diǎn)A(a,0)作曲線f(x)的切線,若這樣的切線有且僅有1條,求實(shí)數(shù)a的值.
7.已知函數(shù)f(x)(x∈(0,+∞))的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且xf'(x)-2f(x)=x3ex,f(1)=e-1,求曲線f(x)在點(diǎn)(2, f(2))處的切線方程.
答案與分層梯度式解析
1.A　由f(x)=xex+cos x得f '(x)=ex+xex-sin x, f(0)=1,
∴==f '(0)=1.故選A.
2.D　'==,故A錯(cuò)誤;
(x2+3x)'=(x2)'+(3x)'=2x+3xln 3,故B錯(cuò)誤;
(xcos x)'=x'·cos x+x·(cos x)'=cos x-xsin x,故C錯(cuò)誤;
'=x'-'=1-=1+,故D正確.故選D.
A　因?yàn)閒(x)=+ln x-,所以f'(x)=++,所以f'(1)=
-e+1+2k,由f'(1)=1,解得k=,故選A.
D　易得f'(x)=+,故f'(1)=2f'(1)+,解得f'(1)=-,所以f(x)=
-+,
所以f(e)=-+=-+1.
5.A　=-2=-2f'(1),易得f'(x)=+6,所以f'(1)=9,
則=-2f'(1)=-18.
6.答案　
解析　f'(x)==.
7.答案　
解析　由題意得,
h'(x)=,
由f(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,
得h'(5)=
==.
8.解析　(1)由y=log2x-3x,可得y'=-3xln 3.
(2)解法一:因?yàn)閥=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1,
所以y'=(6x3+2x2-3x-1)'=(6x3)'+(2x2)'-(3x)'-1'=18x2+4x-3.
解法二:y'=(2x2-1)'(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)'=4x·(3x+1)+3(2x2-1)=12x2+4x+6x2-3=18x2+4x-3.
(3)因?yàn)閥===1-,
所以y'=-=.
(4)因?yàn)閥=sin4+cos4
=-2sin2·cos2
=1-sin2=1-×=+cos x,
所以y'==-sin x.
C　因?yàn)閒(x)=x3-4x+3,所以f(-2)=×(-8)-4×
(-2)+3=7,f'(x)=x2-4,則f'(-2)=2,
故所求切線方程為y-7=2(x+2),即2x-y+11=0.
10.C　直線x+2y-1=0的斜率為-,故曲線f(x)=x3-x+3在點(diǎn)P處的切線斜率為2,而f '(x)=3x2-1,
所以f '(xP)=3-1=2,解得xP=±1,故P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,3)或(-1,3).
故選C.
C　導(dǎo)函數(shù)f'(x)的定義域?yàn)閇-π,π],關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
又f'(x)=sin x+xcos x,∴f'(-x)=-sin x-xcos x=-f'(x),∴f'(x)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,排除A、B;f'(π)=0-π=-π<0,排除D.故選C.
12.答案　-11
解析　∵f(x)=ax3+bx2+x,∴f'(x)=3ax2+2bx+1,
∴f'(1)=3a+2b+1,由題意可知f'(1)=1,∴3a+2b=0,①
∵f(1)=a+b+1,∴切點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,a+b+1),
∵切點(diǎn)在直線y=x+1上,∴a+b+1=1+1,②
由①②得a=-2,b=3,∴f'(x)=-6x2+6x+1,
∴f'(-1)=-6-6+1=-11.
13.答案　
解析　設(shè)直線l與直線x+y+4=0平行且與曲線y=x2相切,切點(diǎn)為(x0,y0),
由y=x2,得y'=x,所以y'=x0=-1,
則x0=-2,故切點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)(-2,1),
所以點(diǎn)P到直線x+y+4=0的距離的最小值即為點(diǎn)(-2,1)到直線x+y+4=0的距離,即=.
14.解析　∵y=x3+3x2+6x-10,
∴y'=3x2+6x+6=3(x2+2x+2)=3(x+1)2+3,顯然y'≥3,∴當(dāng)x=-1時(shí),y'的值最小,即切線的斜率最小,此時(shí)斜率為3,切點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-14),
∴所求切線方程為y+14=3(x+1),即3x-y-11=0.
15.解析　(1)易得f'(x)=2ax+a,
由題意,得解得
(2)由(1)可得f(x)=-x2-x+2,
則h(x)=xln x+f(x)=xln x-x2-x+2,
故h'(x)=ln x+1-2x-1=ln x-2x,
所以h'(1)=ln 1-2=-2,
又h(1)=ln 1-1-1+2=0,
所以曲線h(x)在x=1處的切線方程為y-0=-2(x-1),即2x+y-2=0.
16.解析　(1)易得函數(shù)f(x)=+b的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=,
∵函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線方程為2x-y-2=0,
∴函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線斜率為f'(1)=a=2,切點(diǎn)為(1,0),又切點(diǎn)也在函數(shù)f(x)的圖象上,
∴f(1)=aln 1+b=0,解得b=0,
∴f(x)的解析式為f(x)=.
(2)∵直線2x-y-2=0與直線2x-y+3=0平行,直線2x-y-2=0與函數(shù)f(x)=的圖象在點(diǎn)(1,0)處相切,∴函數(shù)f(x)圖象上的點(diǎn)中,點(diǎn)(1,0)到直線2x-y+3=0的距離最小,最小值為=,∴函數(shù)f(x)圖象上的點(diǎn)到直線2x-y+3=0的距離的最小值為.
能力提升練
1.D　令g(x)=x(x-1)(x-2)(x-9)(x-12),則f(x)=(x-4)g(x),
則f '(x)=g(x)+(x-4)g'(x),
所以f '(4)=g(4)=4×3×2×(-5)×(-8)=960,
所以函數(shù)f(x)的圖象在x=4處的切線的斜率為960.故選D.
2.B　易得f'(x)=x2+2f'(1)x,
所以f'(1)=12+2f'(1)×1,解得f'(1)=-1,
所以f'(x)=x2-2x,
則tan α=f'(3)=32-2×3=3,
所以sincos=cos α·(-sin α)
====-.
3.ABD　設(shè)直線y=kx與曲線f(x)相切于點(diǎn)(t,tsin t),
易得f'(x)=sin x+xcos x,則f'(t)=sin t+tcos t,
所以曲線f(x)在點(diǎn)(t,tsin t)處的切線方程為y-tsin t=(sin t+tcos t)(x-t),即y=(sin t+tcos t)x-t2cos t,
故解得或或n∈Z.故選ABD.
4.A　因?yàn)閒(x)=xex+1,所以f'(x)=(x+1)ex.
由題意知g(x)的最小值為f(x)=xex+1圖象上的點(diǎn)到直線y=x的距離的最小值.
設(shè)直線l與直線y=x平行,且與曲線y=f(x)切于點(diǎn)P(x0,y0),則直線l的斜率為f'(x0)=(x0+1)=1,解得x0=0,從而P(0,1),
因此f(x)=xex+1圖象上的點(diǎn)到直線y=x的距離的最小值為點(diǎn)(0,1)到直線y=x的距離,即為,因此m≤.故選A.
5.答案　;2 022
解析　f '(x)=x2-x+3,則f ″(x)=2x-1,
令f ″(x)=0,解得x=,又f=1,故f(x)的拐點(diǎn)為,即函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱中心為,
∴f(1-x)+f(x)=2.
∴f+f+f+…+f
=f+f+f+f+…+f+f=×(2×2 022)=2 022.
6.解析　(1)f'(x)=(1-x)ex-ex=-xex,則f'(1)=-e,又f(1)=0,
所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=-e(x-1),
當(dāng)x=0時(shí),y=e,當(dāng)y=0時(shí),x=1,
故所求三角形的面積為×1×e=.
(2)設(shè)過點(diǎn)A(a,0)的曲線f(x)的切線的切點(diǎn)為(x0,(1-x0)),由(1)知f'(x)=-xex,
則該切線的斜率為-x0,故該切線的方程為y-(1-x0)=-x0(x-x0),
因?yàn)榇饲芯€過點(diǎn)A(a,0),所以-(1-x0)=-x0(a-x0),化簡(jiǎn)得-(a+1)x0+1=0,
因?yàn)檫@樣的切線有且僅有1條,所以Δ=[-(a+1)]2-4=0,解得a=-3或a=1.
7.解析　∵xf'(x)-2f(x)=x3ex,x∈(0,+∞),
∴=ex.
令g(x)=,則g'(x)==ex,
∴g(x)==ex+c(c為常數(shù)),∴f(x)=x2(ex+c).
又f(1)=e+c=e-1,∴c=-1,∴f(x)=x2(ex-1),
∴f'(x)=2x(ex-1)+x2ex=(x2+2x)ex-2x,
∴f'(2)=8e2-4.
又f(2)=4(e2-1),
∴所求切線方程為y-4(e2-1)=(8e2-4)(x-2),
即y=(8e2-4)x-12e2+4.
13(共19張PPT)
　　一般地,如果一個(gè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)x處都有導(dǎo)數(shù)f'(x)=
,那么f'(x)是關(guān)于x的函數(shù),稱f'(x)為y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),也簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù).
§3 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 §4 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則
§5 簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
知識(shí)點(diǎn) 1 導(dǎo)函數(shù)的概念
知識(shí) 清單破
溫馨提示 f'(x0)是函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),是一個(gè)確定的數(shù).f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),是關(guān)于x
的函數(shù),f'(x0)是f'(x)在x=x0處的函數(shù)值.
知識(shí)點(diǎn) 2 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
函數(shù) 導(dǎo)數(shù)
y=c(c是常數(shù)) y'=0
y=xα(α是實(shí)數(shù)) y'=αxα-1
y=ax(a>0,a≠1) y'=axln a,特別地(ex)'=ex
y=logax(a>0,a≠1) y'= ,特別地(ln x)'=
y=sin x y'=cos x
y=cos x y'=-sin x
y=tan x y'=
1.導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則
　　兩個(gè)函數(shù)和(或差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的和(或差),即[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x),[f(x)-
g(x)]'=f'(x)-g'(x).
2.導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則
　　一般地,若兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)的導(dǎo)數(shù)分別是f'(x)和g'(x),則[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),
= ,g(x)≠0.
特別地,[kf(x)]'=kf'(x),k∈R.
知識(shí)點(diǎn) 3 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則
1.復(fù)合函數(shù)的概念
一般地,對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,如果給定x的一個(gè)值,就得到了u的值,進(jìn)而確定了y
的值,那么y可以表示成x的函數(shù),稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=φ(x)的復(fù)合函數(shù),記作y=f(φ(x)),
其中u為中間變量.
2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
復(fù)合函數(shù)y=f(φ(x))對(duì)x的導(dǎo)數(shù)為y'x=[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x),其中u=φ(x).
知識(shí)點(diǎn) 4 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
判斷正誤,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“ ”.
1.f'(x0)=[f(x0)]'. (　 )
2.若f(x)=5x ,則f '(x)=5xlog5e. (　 )
3.若函數(shù)f(x)=ex +cos ,則f '(x)=ex-sin . (　 )
知識(shí)辨析

提示


提示
提示
f'(x0)是函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),不一定為0,而[f(x0)]'是函數(shù)值f(x0)的導(dǎo)數(shù),它一定為0.
∵f(x)=5x ,∴f '(x)=5xln 5.
f'(x)= '=ex,故錯(cuò)誤.
4. = =1. (　 )
5.函數(shù)f(x)=ln(1-x)的導(dǎo)數(shù)是f'(x)= . (　 )
= = .
f'(x)= (1-x)'=- ,故錯(cuò)誤.

提示

提示
利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的策略
(1)分析待求導(dǎo)的函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),若符合導(dǎo)數(shù)公式表中的某一形式,則直接用導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)
算法則求導(dǎo).
(2)若不符合導(dǎo)數(shù)公式表中的任一形式,一般遵循“先化簡(jiǎn),再求導(dǎo)”的原則,如把乘積的形式
展開,分式變?yōu)楹突虿畹男问?根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式等.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且f(x)=3xf'(2)-2ln x,則f(1)=　　 .
典例1
解析 由題意得f'(x)=3f'(2)- ,
∴f'(2)=3f'(2)-1,解得f'(2)= ,
∴f(x)= x-2ln x,∴f(1)= .
求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(1)y=x-2+x2;
(2)y=3xex-2x+e;
(3)y= ;
(4)y=x2-sin cos .
典例2
解析 (1)y'=2x-2x-3.
(2)y'=(ln 3+1)(3e)x-2xln 2.
(3)y'= .
(4)∵y=x2-sin cos =x2- sin x,
∴y'=2x- cos x.
1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的步驟

疑難 2 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
講解分析
2.求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的注意點(diǎn)
(1)分解出的函數(shù)通常為基本初等函數(shù).
(2)求導(dǎo)時(shí)分清是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo).
(3)使計(jì)算結(jié)果盡量簡(jiǎn)單.
求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(1)y=e2x+1;(2)y= ;
(3)y=5log2(1-x);(4)y=sin3x+sin 3x.
典例
解析 (1)函數(shù)y=e2x+1可看作函數(shù)y=eu和u=2x+1的復(fù)合函數(shù),
∴y'x=y'u·u'x=(eu)'(2x+1)'=2eu=2e2x+1.
(2)函數(shù)y= 可看作函數(shù)y=u-3和u=2x-1 的復(fù)合函數(shù),
∴y'x=y'u·u'x=(u-3)'(2x-1)'=-6u-4
=-6(2x-1)-4=- .
(3)函數(shù)y=5log2(1-x)可看作函數(shù)y=5log2u和u=1-x(x<1)的復(fù)合函數(shù),
∴y'x=y'u·u'x=(5log2u)'(1-x)'
= = .
(4)函數(shù)y=sin3x可看作函數(shù)y=u3和u=sin x的復(fù)合函數(shù),函數(shù)y=sin 3x可看作函數(shù)y=sin v和v=3x的
復(fù)合函數(shù),
∴y'x=(u3)'(sin x)'+(sin v)'(3x)'
=3u2cos x+3cos v=3sin2xcos x+3cos 3x.
方法技巧 求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次,一般是從最外層開始,由外
及內(nèi),一層一層地分析,把復(fù)合函數(shù)分解成若干個(gè)基本初等函數(shù),逐步確定復(fù)合過程.
切線問題的處理思路
(1)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo);
(2)若已知切點(diǎn),則可直接求出切線斜率和切線方程;若切點(diǎn)未知,則先設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo),用其表
示切線斜率,再根據(jù)條件求出切點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求出切線方程.
在解決此類問題時(shí),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是基礎(chǔ),找出切點(diǎn)是關(guān)鍵.
疑難 3 利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算解決切線問題
講解分析
(1)若直線y=ex+m(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))是曲線y=ln x的一條切線,則實(shí)數(shù)m的值是　　 ;
(2)曲線y=ln(2x-1)上的點(diǎn)到直線2x-y+3=0的距離的最小值是　　　 .
典例
-2
解析 (1)設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0),由y=ln x得y'= ,∵直線y=ex+m(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))是曲線y
=ln x的一條切線,
∴切線斜率k=e= ,因此x0= ,
∴y0=ln x0=-1,即切點(diǎn)的坐標(biāo)為 ,
又切點(diǎn)在直線y=ex+m上,
∴-1=e× +m,解得m=-2.
(2)∵y=ln(2x-1),∴y'= ,由題意知當(dāng)曲線的切線與直線2x-y+3=0平行時(shí),切點(diǎn)到直線2x-y+
3=0的距離即為所求,設(shè)該切線的方程為2x-y+m=0(m≠3),切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1),
則 =2,解得x1=1,
∴y1=ln(2x1-1)=0,∴切點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),
∴切點(diǎn)(1,0)到直線2x-y+3=0的距離為 = ,
即曲線y=ln(2x-1)上的點(diǎn)到直線2x-y+3=0的距離的最小值是 .
導(dǎo)師點(diǎn)睛 (1)本題涉及切點(diǎn)、切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、切線方程三個(gè)主要元素,其他的條件可以轉(zhuǎn)
化為這三個(gè)元素間的關(guān)系.
(2)準(zhǔn)確利用求導(dǎo)法則求出導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵,務(wù)必做到準(zhǔn)確無誤.

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