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§6　用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)
6.1　函數(shù)的單調(diào)性
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象變化
1.已知函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象如圖所示,那么函數(shù)y=f(x)(　　)
A.在(-∞,-1)上單調(diào)遞增
B.在(1,+∞)上單調(diào)遞減
C.在(-∞,2)上單調(diào)遞增
D.在(2,+∞)上單調(diào)遞減
2.已知f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),y=f'(x)的圖象如圖所示,則y=f(x)的圖象可能是(　　)
A B C D
3.已知函數(shù)y=f(x)在其定義域內(nèi)可導(dǎo),其圖象如圖所示,則其導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象可能是(　　)
A B C D
4.已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)的圖象如圖所示,則不等式xf'(x)<0的解集為(　　)
A.(-∞,0)∪　　　　　B.∪
C.∪(2,+∞)　　　　　D.(-1,0)∪(1,3)
題組二　利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間
5.函數(shù)f(x)=(x-3)·ex的單調(diào)遞減區(qū)間是(　　)
A.(-∞,2)　　　　　B.(0,3)　　　　
C.(1,4)　　　　　D.(2,+∞)
6.下列函數(shù)在其定義域內(nèi)不是增函數(shù)的是(　　)
A.y=x3+x　　　　　B.y=+log2x
C.y=xln x　　　　　D.y=ln(x-1)+(x-1)2
7.函數(shù)f(x)=x+sin x在區(qū)間(0,π)內(nèi)的單調(diào)性為　(　　)
A.單調(diào)遞增
B.單調(diào)遞減
C.在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減
D.在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增
8.(多選題)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)上先減后增的是(　　)
A.y=xln x　　　　　B.y=
C.y=xex　　　　　D.y=
9.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(1)f(x)=3x2-2ln x;(2)f(x)=x2e-x;(3)f(x)=x+.
10.設(shè)函數(shù)f(x)=x(k-ln x)(k為常數(shù)),g(x)=-f(x).曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行.
(1)求k的值;
(2)求g(x)的單調(diào)區(qū)間.
題組三　利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題
11.已知函數(shù)g(x)=x2-2aln x-2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)
A.(-∞,0)　　　　　B.[0,+∞)
C.　　　　　D.
12.已知函數(shù)f(x)=++ax+1存在三個單調(diào)區(qū)間,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.(0,4)
B.[0,4]
C.(-∞,0)∪(4,+∞)
D.(-∞,0]∪[4,+∞)
13.若函數(shù)f(x)=ax3-12x+a的單調(diào)遞減區(qū)間為(-2,2),則a=　　　　.
14.已知函數(shù)f(x)滿足下列條件:①f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)為偶函數(shù);②f(x)在區(qū)間(-∞,-2),(2,+∞)上單調(diào)遞增,則函數(shù)f(x)的一個解析式為f(x)=　　　　　　　.
15.已知f '(x)為函數(shù)f(x)=(x+a)ln(x+1)的導(dǎo)函數(shù),討論f '(x)的單調(diào)性.
能力提升練
題組一　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象變化
1.已知函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示,則原函數(shù)y=f(x)的圖象是(　　)
A B C D
2.已知函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的解析式可以為(　　)
A. f(x)=　　　　
B. f(x)=
C. f(x)=　　　　
D. f(x)=
3.已知定義在(-3,3)上的奇函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)是f'(x),當(dāng)0≤x<3時,y=f(x)的圖象如圖所示,則關(guān)于x的不等式>0的解集為　　　　.
題組二　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題
4.已知函數(shù)f(x)=lg(|x|-1)+2x+2-x,則滿足不等式f(x+1)A.(-2,-1) B.(1,2)
C.∪(1,+∞) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
5.已知a=-,b=ln 2,c=1-,則(　　)
A.b>c>a　　　　　B.b>a>c
C.a>b>c　　　　　D.c>b>a
6.(多選題)若函數(shù)y=exf(x)在f(x)的定義域上單調(diào)遞增,則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì).下列函數(shù)中具有M性質(zhì)的是(　　)
A.f(x)=x2　　　　　B.f(x)=sin x
C.f(x)=2-x　　　　　D.f(x)=ln x
7.若函數(shù)f(x)=x3-12x在區(qū)間(k-1,k+1)上不單調(diào),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　)
A.(-∞,-3]∪[-1,1]∪[3,+∞)
B.(-3,-1)∪(1,3)
C.(-2,2)
D.
8.已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且滿足f(x)+f'(x)>0,f(3)=1,則ex·f(x)>e3的解集為(　　)
A.(-∞,1)　　　　　B.(1,+∞)　　　　
C.(-∞,3)　　　　　D.(3,+∞)
9.(多選題)素?cái)?shù)分布問題是研究素?cái)?shù)性質(zhì)的重要課題,德國數(shù)學(xué)家高斯提出了一個猜想:φ(x)≈,其中φ(x)表示不大于x的素?cái)?shù)的個數(shù),即隨著x的增大,φ(x)的值近似等于的值.從猜想出發(fā),下列推斷正確的是(　　)
A.當(dāng)x很大時,隨著x的增大,φ(x)的增長速度變慢
B.當(dāng)x很大時,隨著x的增大,φ(x)的值減小
C.當(dāng)x很大時,在區(qū)間(x,x+n)(n是一個較大常數(shù))內(nèi),素?cái)?shù)的個數(shù)隨x的增大而減少
D.因?yàn)棣?4)=2,所以φ(4)>
10.已知函數(shù)y=f(x)在R上連續(xù)且可導(dǎo),y=f(x+1)為偶函數(shù)且f(2)=0,其導(dǎo)函數(shù)滿足(x-1)f'(x)>0,則不等式f(x+1)>f(3x-1)的解集為　　　　.
題組三　利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題
11.已知函數(shù)f(x)=ax2-4ax-ln x,則f(x)在(1,3)上不單調(diào)的一個充分不必要條件是(　　)
A.a∈　　　　　B.a∈
C.a∈　　　　　D.a∈
12.若函數(shù)f(x)=cos 2x+3a(sin x+
cos x)+(2a-1)x在上單調(diào)遞減,則a的取值范圍為(　　)
A.
B.
C.∪[1,+∞)
D.(-∞,-1]∪
13.已知函數(shù)f(x)=ln x,g(x)=ax2+2x,a≠0.
(1)若函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
14.已知函數(shù)f(x)=.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若≤f(x)+2x,求a的取值范圍.
答案與分層梯度式解析
D　由題圖可知,當(dāng)x<-1或x>2時,f'(x)<0,當(dāng)-1(-1,2)上單調(diào)遞增.故選D.
2.C　由題中導(dǎo)函數(shù)的圖象可得當(dāng)x<0時, f'(x)>0, f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)02時, f'(x)>0, f(x)單調(diào)遞增,故C中圖象符合.故選C.
3.C　由題中函數(shù)y=f(x)的圖象可知,當(dāng)x<0時,f(x)單調(diào)遞增,其導(dǎo)數(shù)值始終為正;當(dāng)x>0時,f(x)先增后減再增,其導(dǎo)數(shù)值先正后負(fù)再正,結(jié)合選項(xiàng)知選C.
4.A　由題圖知,f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,所以在上f'(x)>0,在上f'(x)<0,在(2,+∞)上f'(x)>0.
不等式xf'(x)<0可化為或
則故原不等式的解集為(-∞,0)∪.
故選A.
5.A　f'(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex,
令f'(x)<0,得x<2,
所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,2).
6.C　對于A,y=x3+x的定義域?yàn)镽,且y'=3x2+1≥1,故該函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù),故A不符合;
對于B,y=+log2x的定義域?yàn)?0,+∞),且y'=+>0,故該函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù),故B不符合;
對于C,y=xln x的定義域?yàn)?0,+∞),且y'=ln x+1,當(dāng)0時,y'>0,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故該函數(shù)在其定義域內(nèi)不是增函數(shù),故C符合;
對于D,y=ln(x-1)+(x-1)2的定義域?yàn)?1,+∞),且y'=+2(x-1)>0,所以該函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù),故D不符合.故選C.
一題多解　本題還可由增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)得A,B,D中函數(shù)為增函數(shù),從而排除A,B,D,故選C.
7.A　∵f(x)=x+sin x,∴f'(x)=1+cos x,
當(dāng)x∈(0,π)時,-10,
∴f(x)在(0,π)內(nèi)單調(diào)遞增.故選A.
8.AD　對于A,y'=1+ln x,當(dāng)0時,y'>0,因此函數(shù)y=xln x在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,A符合;
對于B,y'=,當(dāng)00,當(dāng)x>e時,y'<0,因此函數(shù)y=在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減,B不符合;
對于C,y'=(x+1)ex,當(dāng)x>0時,y'>0,因此函數(shù)y=xex在(0,+∞)上單調(diào)遞增,C不符合;
對于D,y'=,當(dāng)01時,y'>0,因此函數(shù)y=在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,D符合.故選AD.
9.解析　(1)易知函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=6x-.令f'(x)=0,解得x=或x=-(舍去).
當(dāng)0時,f'(x)>0,則f(x)在上單調(diào)遞增.故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2)易知函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞),
f'(x)=(x2)'e-x+x2(e-x)'=2xe-x-x2e-x=e-x(2x-x2),令f'(x)=0,得x=0或x=2.
當(dāng)x<0時,f'(x)<0,則f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減;當(dāng)00,則f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增;當(dāng)x>2時,f'(x)<0,則f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞減.故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0)和(2,+∞),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2).
(3)易知函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),
f'(x)=1-,令f'(x)=0,得x=-1或x=1.
當(dāng)x<-1時,f'(x)>0,則f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞增;當(dāng)-11時,f'(x)>0,則f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0)和(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)和(1,+∞).
易錯警示　要注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集,故利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,要先確定其定義域.
10.解析　(1)易得f'(x)=k-ln x-1,
因?yàn)榍€y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行,
所以f'(1)=0,即k-1=0,解得k=1.
(2)由(1)可得g(x)=-f(x)=-1+ln x,其定義域?yàn)?0,+∞),
則g'(x)=-+=,
令g'(x)>0,得x>1,令g'(x)<0,得0所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).
11.D　由題意得g'(x)=x--2≥0在(0,+∞)上恒成立,即2a≤x2-2x在(0,+∞)上恒成立.
易得函數(shù)y=x2-2x=(x-1)2-1在x=1處取得最小值,且最小值為-1,
所以2a≤-1,解得a≤-.故選D.
12.C　由f(x)=++ax+1,可得f '(x)=x2+ax+a,
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)存在三個單調(diào)區(qū)間,所以f '(x)=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,
則Δ=a2-4a>0,解得a<0或a>4,
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,0)∪(4,+∞).故選C.
13.答案　1
解析　易得f'(x)=3ax2-12.
∵f(x)=ax3-12x+a的單調(diào)遞減區(qū)間為(-2,2),
∴-2和2為方程f'(x)=0的兩個實(shí)數(shù)根,
∴12a-12=0,∴a=1.
14.答案　x3-4x(答案不唯一)
解析　因?yàn)閒(x)在區(qū)間(-∞,-2),(2,+∞)上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)時,f'(x)>0,
又f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)為偶函數(shù),
所以可令f'(x)=x2-4,
則f(x)的解析式可以為f(x)=x3-4x.
15.解析　由已知得f '(x)=ln(x+1)+,x>-1,
令g(x)=f '(x),
則g'(x)=+=,
若a≤1,則x+2-a>1-a≥0,從而g'(x)>0,所以g(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,即f '(x)單調(diào)遞增.
若a>1,則當(dāng)-1當(dāng)x>a-2時,g'(x)>0,所以g(x)單調(diào)遞增,即f '(x)單調(diào)遞增.
綜上所述,若a≤1,則f '(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增;若a>1,則f '(x)在(-1,a-2)上單調(diào)遞減,在(a-2,+∞)上單調(diào)遞增.
能力提升練
1.B　由題圖可知,當(dāng)-10,則f(x)在(-1,1)上為增函數(shù),
當(dāng)-1當(dāng)0只有選項(xiàng)B中的圖象滿足題意.故選B.
2.D　對于A,要使函數(shù)f(x)有意義,則即得x<-3或-3-1,
所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,-3)∪(-3,-2)∪(-2,-1)∪(-1,+∞),故A不正確;
對于B,由題圖知函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn),而f(0)=≠0,故B不正確;
對于C, f(x)的定義域?yàn)?-∞,-1)∪(-1,+∞),且f(0)=0, f'(x)=,當(dāng)x∈(0,+∞)時, f'(x)>0, f(x)單調(diào)遞增,與題圖不符,故C不正確;
對于D, f(x)的定義域?yàn)?-∞,-1)∪(-1,+∞),且f(0)=0,f'(x)=,當(dāng)x<-1時, f'(x)<0,當(dāng)-10,當(dāng)x>1時, f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上單調(diào)遞減,在(-1,1)上單調(diào)遞增,與題圖相符,故D正確.故選D.
3.答案　(-3,-1)∪(0,1)
解析　因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,
結(jié)合題圖可知,f(x)在區(qū)間(-3,-1),(1,3)上單調(diào)遞減,此時f'(x)<0;
f(x)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞增,此時f'(x)>0.
所以>0的解集為(-3,-1)∪(0,1).
4.D　由|x|-1>0,得x<-1或x>1,故f(x)的定義域?yàn)?-∞,-1)∪(1,+∞),
因?yàn)閒(-x)=lg(|x|-1)+2-x+2x=f(x),所以f(x)為偶函數(shù).
當(dāng)x>1時,易知y=lg(|x|-1)=lg(x-1)單調(diào)遞增,
y=2x+2-x的導(dǎo)數(shù)為y'=2xln 2+2-xln=(2x-2-x)·ln 2,易知2x-
2-x>2-2-1=>0,故y'>0在(1,+∞)上恒成立,所以y=2x+2-x在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
故f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
則由f(x+1)1或x<-2.故選D.
5.C　易知a,b,c>0,a2=-2+=-2+=-2=,c2=1-+=-令g(x)=ln x-+(x>1),則g'(x)=--=,
令f(x)=2-x-1(x>1),則f'(x)=-1<0在(1,+∞)上恒成立,∴f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
∴f(x)∴g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,即g(x)∴當(dāng)x>1時,ln x<-,則ln <-,即b6.CD　對于A,令g(x)=ex·x2,則g'(x)=ex·x2+2xex=ex(x2+2x),令g'(x)>0,得x<-2或x>0,所以g(x)=ex·x2在(-∞,-2)和(0,+∞)上單調(diào)遞增,而函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,所以f(x)=x2不具有M性質(zhì),所以A不滿足題意;
對于B,令g(x)=exsin x,則g'(x)=exsin x+excos x=ex(sin x+
cos x)=exsin,顯然g(x)不單調(diào),所以B不滿足題意;
對于C,令g(x)=ex·2-x,則g'(x)=ex·=ex·2-x,顯然g'(x)>0恒成立,所以g(x)在R上單調(diào)遞增,又f(x)的定義域?yàn)镽,所以f(x)=2-x具有M性質(zhì),所以C滿足題意;
對于D,令g(x)=ex·ln x(x>0),則g'(x)=ex(x>0),令y=
ln x+(x>0),則y'=-=(x>0),當(dāng)01時,y'>0,所以y=ln x+在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以y=
ln x+≥1,所以g'(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),所以f(x)=ln x具有M性質(zhì),所以D滿足題意.故選CD.
7.B　f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令f'(x)=0,解得x=-2或x=2,所以當(dāng)x<-2或x>2時,f'(x)>0,
當(dāng)-2(-2,2)上單調(diào)遞減.
若函數(shù)f(x)=x3-12x在區(qū)間(k-1,k+1)上不單調(diào),則-2∈(k-1,k+1)或2∈(k-1,k+1),
所以或
解得-38.D　令F(x)=ex·f(x),則F'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0,
所以F(x)在R上單調(diào)遞增,
又f(3)=1,所以ex·f(x)>e3即F(x)>F(3),
所以x>3,故ex·f(x)>e3的解集為(3,+∞).
方法技巧　利用導(dǎo)數(shù)解抽象不等式,其實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性,而對應(yīng)函數(shù)常常需要進(jìn)行構(gòu)造.下面是四種常見的構(gòu)造函數(shù)的方法:
　　(1)對于不等式f'(x)+g'(x)>0和f'(x)+g'(x)<0,可構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)+g(x).
　　(2)對于不等式f'(x)-g'(x)>0和f'(x)-g'(x)<0,可構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x).
　　(3)對于不等式f'(x)+f(x)>0和f'(x)+f(x)<0,可構(gòu)造函數(shù)F(x)=exf(x).
　　(4)對于不等式f'(x)-f(x)>0和f'(x)-f(x)<0,可構(gòu)造函數(shù)F(x)=.
9.AC　設(shè)函數(shù)f(x)=,x>0且x≠1,
則f'(x)==-,x>0且x≠1,
令g(x)=f'(x),
則g'(x)=,x>0且x≠1,
當(dāng)x很大時,g'(x)<0,此時f'(x)單調(diào)遞減,且f'(x)>0,故當(dāng)x很大時,隨著x的增大,φ(x)的值增大,且增長速度變慢,故A正確,B錯誤;
當(dāng)x很大時,在區(qū)間(x,x+n)(n是一個較大常數(shù))內(nèi),函數(shù)φ(x)的值增長得慢,素?cái)?shù)的個數(shù)隨x的增大而減少,故C正確;≈2.89>2,故D錯誤.
故選AC.
10.答案　
解析　因?yàn)閥=f(x+1)為偶函數(shù),
所以y=f(x+1)的圖象關(guān)于y軸對稱,
所以y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.
因?yàn)?x-1)f'(x)>0,
所以當(dāng)x>1時,f'(x)>0,當(dāng)x<1時,f'(x)<0,
所以y=f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(-∞,1)上單調(diào)遞減,
由f(x+1)>f(3x-1),
得或或
或所以所以原不等式的解集為.
11.B　由已知得f '(x)=(x>0),
令g(x)=2ax2-4ax-1,
因?yàn)閒(x)在(1,3)上不單調(diào),所以f '(x)在(1,3)上有變號零點(diǎn),即g(x)在(1,3)上有變號零點(diǎn).
當(dāng)a=0時,g(x)=-1,不成立;
當(dāng)a≠0時,只需g(1)·g(3)<0,即(-2a-1)(6a-1)<0,解得a<-或a>,
所以f(x)在(1,3)上不單調(diào)的充要條件是a<-或a>,結(jié)合選項(xiàng)知f(x)在(1,3)上不單調(diào)的一個充分不必要條件可以是a>.故選B.
12.A　由已知得f '(x)=-sin 2x+3a(cos x-sin x)+2a-1,∵f(x)在上單調(diào)遞減,
∴f '(x)≤0在上恒成立,
設(shè)t=cos x-sin x,則t=-sin,
當(dāng)x∈時,x-∈,則t∈[-1,1],
∴sin 2x=1-t2∈[0,1],
∴t2+3at+2a-2≤0在t∈[-1,1]上恒成立,
令g(t)=t2+3at+2a-2,t∈[-1,1].
只需滿足
解得-1≤a≤,故選A.
13.解析　(1)易得h(x)=ln x-ax2-2x,則h'(x)=-ax-2(x>0).
因?yàn)閔(x)在[1,4]上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)x∈[1,4]時,h'(x)=-ax-2≤0恒成立,即a≥-恒成立,
令G(x)=-,x∈[1,4],則a≥G(x)max,
而G(x)=-1,
因?yàn)閤∈[1,4],所以∈,
所以G(x)max=-,所以a≥-.
又a≠0,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是∪(0,+∞).
(2)易知h(x)的定義域?yàn)?0,+∞),h'(x)=-ax-2.
因?yàn)閔(x)在(0,+∞)上存在單調(diào)遞減區(qū)間,
所以當(dāng)x∈(0,+∞)時,-ax-2<0有解,即a>-有解.
設(shè)φ(x)=-,x>0,則a>φ(x)min,
而φ(x)=-1≥-1,
所以φ(x)min=-1,所以a>-1.
又a≠0,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-1,0)∪(0,+∞).
易錯警示　若f(x)在區(qū)間I上存在單調(diào)遞減區(qū)間,則f'(x)<0在區(qū)間I上有解,此處注意不能錯寫成f'(x)≤0在區(qū)間I上有解,理由如下:若僅僅是x的有限個取值使得f'(x)=0成立,而其他取值使得f'(x)>0,則顯然f'(x)≤0在區(qū)間I上有解,但f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增,不符合題意.
14.解析　(1)f'(x)==,a≠0,
若a<0,則當(dāng)x∈(-∞,1-a)時, f'(x)<0, f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(1-a,+∞)時, f'(x)>0, f(x)單調(diào)遞增;
若a>0,則當(dāng)x∈(1-a,+∞)時, f'(x)<0, f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(-∞,1-a)時, f'(x)>0, f(x)單調(diào)遞增.
綜上,當(dāng)a<0時, f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,1-a),單調(diào)遞增區(qū)間為(1-a,+∞);當(dāng)a>0時,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1-a,+∞),單調(diào)遞增區(qū)間為
(-∞,1-a).
(2)原不等式為≤+2x,即x≥2+2ln x-2xex.
因?yàn)閤>0,所以≥==.
令t=x+ln x,則其在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,
令x=,則t=<0;令x=1,則t=1>0,
所以存在唯一的x0∈,使得t=x0+ln x0=0,
令g(t)=et-t-1(t∈R),則g'(t)=et-1.
當(dāng)t<0時,g'(t)<0,g(t)單調(diào)遞減;當(dāng)t>0時,g'(t)>0,g(t)單調(diào)遞增,
所以g(t)≥g(0)=0,即et-t-1≥0,即et≥t+1.故ex+ln x≥x+ln x+1.
故x+ln x-ex+ln x≤x+ln x-(x+ln x+1)=-1,
所以≤=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x+ln x=0,即x=x0時,等號成立,
故≥-2,解得a≤-或a>0,
即a的取值范圍為∪(0,+∞).
30(共15張PPT)
1.函數(shù)最值與最值點(diǎn)的概念
函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值點(diǎn)x0指的是:函數(shù)f(x)在這個區(qū)間上所有點(diǎn)處的函數(shù)值都
不超過f(x0),如圖(1)、圖(2)、圖(3)所示.

6.3 函數(shù)的最值
§6 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)
知識點(diǎn) 函數(shù)的最值與最值點(diǎn)
知識 清單破
類似地,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最小值點(diǎn)x0指的是:函數(shù)f(x)在這個區(qū)間上所有點(diǎn)處的函數(shù)
值都不小于f(x0).
函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為最值.
2.函數(shù)的最值與極值點(diǎn)的關(guān)系
一般地,如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大值和最
小值,由上頁的圖(1)、圖(2)、圖(3)可以看出,y=f(x)的最大值或者在極大值點(diǎn)(也是導(dǎo)函數(shù)的
零點(diǎn))處取得,或者在區(qū)間的端點(diǎn)處取得.類似地,y=f(x)的最小值或者在極小值點(diǎn)(也是導(dǎo)函數(shù)
的零點(diǎn))處取得,或者在區(qū)間的端點(diǎn)處取得.
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.若函數(shù)的最大值為a,則其值域?yàn)?-∞,a].(　 )
2.函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得. (　 )
3.開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最大(小)值. (　 )
4.在定義域內(nèi),若函數(shù)有最大(小)值與極大(小)值,則極大(小)值就是最大(小)值. (　 )
5.若函數(shù)在給定區(qū)間上有最值,則最大值最多有一個,最小值也最多有一個;若有極值,則極大
值和極小值均可有多個.(　 )
知識辨析
√
√
提示
提示
函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值可以分別是極大值和極小值,不一定在區(qū)間
端點(diǎn)處取得.



由最大(小)值的概念知,y最大值≥y極大值,y最小值≤y極小值,故結(jié)論錯誤.
1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在固定區(qū)間上的最值的步驟
(1)對函數(shù)求導(dǎo),求出導(dǎo)數(shù)值為0的所有實(shí)根,并檢驗(yàn)使導(dǎo)數(shù)值為0的實(shí)根是否在給定區(qū)間內(nèi).
(2)研究函數(shù)的單調(diào)性,確定極值和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值.
(3)比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小,其中最大的值即為函數(shù)的最大值,最小的值即為函數(shù)的最
小值.
2.含參函數(shù)的最值問題,一般有兩類:一類是求含有參數(shù)的函數(shù)的最值;另一類是由最值求參
數(shù)的值或取值范圍.在解題時,先分清類型,再通過分類討論思想逐步求解.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題
已知函數(shù)f(x)= ax2-2ln x+(2a-3)x,求f(x)在(0,1]上的最小值.
典例1
思路點(diǎn)撥 求f'(x) 對a分類討論 確定f(x)的單調(diào)性與極值 求得f(x)的最小值.
解析 f'(x)= = (x>0).
若a≤0,則f'(x)<0,f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減,f(x)min=f(1)= a-3;
若0f(1)= a-3;
若a>1,則當(dāng)x∈ 時,f'(x)<0,當(dāng)x∈ 時,f'(x)>0,所以f(x)在 上單調(diào)遞減,在 上單
調(diào)遞增,f(x)min=f =- +2ln a+2.
綜上,當(dāng)a≤1時,f(x)min= a-3;當(dāng)a>1時,f(x)min=- +2ln a+2.
解題模板 此類題目中,對參數(shù)進(jìn)行討論,其實(shí)質(zhì)是討論導(dǎo)函數(shù)f'(x)的值與0的大小關(guān)系.若導(dǎo)
函數(shù)f'(x)≥0或f'(x)≤0恒成立,且只在有限個點(diǎn)處為0,則原函數(shù)f(x)在已知區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),
最值只能在區(qū)間端點(diǎn)處取得;否則需分類討論,求出極值點(diǎn)后確定極值,再與端點(diǎn)函數(shù)值比較
后確定最值.
已知f(x)=ax3-6ax2+b,問是否存在實(shí)數(shù)a,b,使f(x)在[-1,2]上的最大值為3,最小值為-29 若
存在,求出a,b的值;若不存在,請說明理由.
典例2
解析 由題意知a≠0.∵f(x)=ax3-6ax2+b,
∴f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),
令f'(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).
①當(dāng)a>0時,隨著x在[-1,2]上的變化,f'(x),f(x)的變化情況如表:
x (-1,0) 0 (0,2)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 極大值 ↘
由表可知,當(dāng)x=0時,f(x)取得極大值,也是函數(shù)f(x)在[-1,2]上的最大值,
∴f(0)=3,∴b=3.
又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3,a>0,
∴f(2)∴f(2)=-16a+3=-29,∴a=2.
②當(dāng)a<0時,同理可得,當(dāng)x=0時,f(x)取得極小值,也是函數(shù)f(x)在[-1,2]上的最小值,
∴f(0)=-29,∴b=-29.
又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29,a<0,
∴f(2)>f(-1),
∴f(2)=-16a-29=3,∴a=-2.
綜上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29.
方法總結(jié) 由函數(shù)的最值來確定參數(shù)的值或取值范圍是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的逆向運(yùn)用,這
類問題的解題步驟是:①求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x),并求極值;②利用單調(diào)性,將極值與端點(diǎn)處的函
數(shù)值進(jìn)行比較,確定函數(shù)的最值,若參數(shù)變化影響函數(shù)的單調(diào)性,則需對參數(shù)進(jìn)行分類討論;③
利用最值列關(guān)于參數(shù)的方程(組),解方程(組)即可.
1.利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大(小)值,可以解決有關(guān)函數(shù)圖象、不等式等綜合問題,特別是
有關(guān)不等式恒成立問題.
2.解決不等式恒成立問題的方法
(1)取主元(給定范圍內(nèi)任意取值的變量),結(jié)合參數(shù)分類,利用最大(小)值或數(shù)形結(jié)合解決有關(guān)
不等式恒成立問題.
(2)將主元與參數(shù)分離,將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最大(小)值問題來解決.在定義域內(nèi),對于
任意的x,都有f(x)≥a成立,轉(zhuǎn)化為f(x)min≥a;對于任意的x,都有f(x)≤a成立,轉(zhuǎn)化為f(x)max≤a.
3.證明不等式問題,可以將不等式問題轉(zhuǎn)化為最大(小)值問題,利用函數(shù)的單調(diào)性及最大(小)
值加以證明,必要時要進(jìn)行放縮.
講解分析
疑難 2 利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)最值有關(guān)的綜合問題
設(shè)函數(shù)f(x)=x- -tln x,其中t為正實(shí)數(shù).
(1)若不等式f(x)<0在(0,1)上恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(2)證明:當(dāng)x∈(0,1)時,恒有x2+x- -1典例
解析 (1)由題意得f'(x)=1+ - = .
設(shè)h(x)=x2-tx+1(0則Δ=t2-4(t>0).
①當(dāng)t2-4≤0(t>0),即0則f'(x)≥0 (只在有限個點(diǎn)處為0),
所以函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,
則f(x)②易得y=x2-tx+1的圖象是連續(xù)不間斷的,且對稱軸為直線x= ,
當(dāng)t2-4>0(t>0),即t>2時, >1,
因?yàn)閔(0)=1,h(1)=2-t<0,
所以h(x)=0在(0,1)上存在唯一實(shí)數(shù)根,設(shè)為x1,
則當(dāng)x∈(0,x1)時,h(x)>0,f'(x)>0,
當(dāng)x∈(x1,1)時,h(x)<0,f'(x)<0,
所以f(x)在(0,x1)上單調(diào)遞增,在(x1,1)上單調(diào)遞減,
此時f(x)max=f(x1)>f(1)=0,不符合題意.
綜上,實(shí)數(shù)t的取值范圍是(0,2].
(2)證明:x2+x- -1因?yàn)閤∈(0,1),所以x+1>0,ln x<0,
所以原不等式等價(jià)于 > .
由(1)知當(dāng)t=2時,x- -2ln x<0在(0,1)上恒成立,整理得 >2.
令m(x)= (0則m'(x)= ,
因?yàn)閤∈(0,1),所以m'(x)>0,
所以函數(shù)m(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,
所以m(x)即 > 在(0,1)上恒成立.
所以當(dāng)x∈(0,1)時,恒有x2+x- -1解后反思 對于不等式恒成立問題,常分離參數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題;對于不等式
的證明問題,常利用函數(shù)的單調(diào)性及放縮法進(jìn)行不斷轉(zhuǎn)化.6.2　函數(shù)的極值
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　函數(shù)極值的概念及其求解
1.(多選題)下列關(guān)于函數(shù)極值的說法正確的是(　　)
A.導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)
B.函數(shù)的極小值可能大于它的極大值
C.函數(shù)在定義域內(nèi)必有一個極小值和一個極大值
D.若f(x)在區(qū)間(a,b)上有極值,則f(x)在區(qū)間(a,b)上不單調(diào)
2.下列函數(shù)中,存在極值的是(　　)
A.y=ex　　　　　B.y=ln x
C.y=　　　　　D.y=x2-2x
3.已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且函數(shù)g(x)=xf'(x)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論一定成立的是(　　)
A.f(x)有兩個極值點(diǎn)
B.f(x)有兩個極小值
C.f(0)為f(x)的極小值
D.f(-1)為f(x)的極小值
4.函數(shù)f(x)=sin在區(qū)間(0,5)上有(　　)
A.1個極大值點(diǎn)和1個極小值點(diǎn)
B.1個極大值點(diǎn)和2個極小值點(diǎn)
C.2個極大值點(diǎn)和1個極小值點(diǎn)
D.2個極大值點(diǎn)和2個極小值點(diǎn)
5.一個矩形鐵皮的長為8 cm,寬為5 cm,在四個角上截去四個相同的小正方形,制成一個無蓋的小盒子,若記小正方形的邊長為x cm,小盒子的容積為V cm3,則(　　)
A.當(dāng)x=1時,V取得極小值
B.當(dāng)x=1時,V取得極大值
C.當(dāng)x=時,V取得極小值
D.當(dāng)x=時,V取得極大值
6.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+2,曲線y=f(x)在x=1處的切線方程是8x-y-2=0.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的極值.
題組二　含參函數(shù)的極值問題
7.設(shè)a∈R,若函數(shù)y=eax+3x,x∈R有大于零的極值點(diǎn),則(　　)
A.a>-3　　　　　B.a<-3　　　　
C.a>-　　　　　D.a<-
8.若函數(shù)f(x)=x2-x+aln x有兩個不同的極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)
A.　　　　　B.
C.　　　　　D.
9.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=a(x+1)(x-a),且f(x)在x=a處取得極大值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.a>-1　　　　　B.-1C.01
10.若函數(shù)f(x)=x3+ax2+ax(x∈R)不存在極值點(diǎn),則a的取值范圍是　　　　.
11.已知函數(shù)f(x)=x3-ax+a,a∈R,討論f(x)的極值點(diǎn)的個數(shù).
題組三　函數(shù)極值的綜合應(yīng)用
12.已知函數(shù)f(x)=x3-ax2-bx+a2,則“a+b=7”是“函數(shù)f(x)在x=1處有極值10”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
13.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2+k+(n∈N+),則f(x)=x3-kx2-2x+1的極大值為(　　)
A.　　　　B.3　　　　C.　　　　D.2
14.已知三次函數(shù)f(x)=mx3+nx2+px+2q的圖象如圖所示,則 =　　　　.
15.已知函數(shù)f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex(a≠0).
(1)若a=1,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
(2)若f(x)在x=2處取得極小值,求a的取值范圍.
16.已知函數(shù)f(x)=x3-3kx+q(k,q∈R)在x=2處有極小值4.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)=a有三個不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
能力提升練
題組一　函數(shù)極值的求解
1.(多選題)設(shè)函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為y=f'(x),且函數(shù)g(x)=(1-x)f'(x)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論中一定成立的是(　　)
A.函數(shù)y=f(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞減
B.函數(shù)y=f(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞增
C.函數(shù)y=f(x)有極大值f(2)和極小值f(-2)
D.函數(shù)y=f(x)有極大值f(-2)和極小值f(2)
2.在①f(-1)=-4,f'(1)=0;②f(1)=0,f'(0)=1;③f(x)的圖象在點(diǎn)(-1,f(-1))處的切線方程為y=8x+4這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在下面的問題中并作答.
已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx,且　　　　.
(1)求a,b的值;
(2)求函數(shù)f(x)的極小值.
題組二　含參函數(shù)的極值問題
3.已知函數(shù)f(x)=x(x-m)2在x=-1處取得極小值,則實(shí)數(shù)m的值為(　　)
A.3　　　　B.1　　　　C.-1　　　　D.-3
4.設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-ax2-bx,若x=1是f(x)的極大值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)
A.(-1,0) B.(-1,+∞)
C.(0,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,+∞)
5.若函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4x在區(qū)間(0,2)上只有一個極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)
A.(4,+∞)　　　　　B.[4,+∞)
C.(4,+∞)∪{2}　　　　　D.[4,+∞)∪{2}
6.若函數(shù)f(x)=(x-1)ex-ax有小于0的極值點(diǎn),則a的取值范圍是　　　.
7.已知函數(shù)f(x)=aln x+x2-3x(a≠0).
(1)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)的極值;
(2)若f(x)有唯一極值點(diǎn)x0,解關(guān)于x0的不等式a>f(2x0).
8.已知函數(shù)f(x)=(1-x)2-3aln(2+x).
(1)若a=-1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)有兩個極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
題組三　函數(shù)極值的綜合應(yīng)用
9.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且函數(shù)f(x)在x=-3處取得極大值,則函數(shù)y=xf'(x)的圖象可能是(　　)
A B C D
10.記p:“方程(m-1)x2+(3-m)y2=1表示橢圓”,q:“函數(shù)f(x)=x3+(m-2)x2+x無極值”,則p是q的(　　)
A.充要條件
B.充分不必要條件
C.必要不充分條件
D.既不充分也不必要條件
11.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+x+1(a∈R)有兩個極值點(diǎn)x1,x2(x1A.a<-或a>
B.x1是f(x)的極小值點(diǎn)
C.x1+x2=
D.x1x2=-
12.(多選題)已知函數(shù)f(x)=xln x+x2,x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.0
C. f(x0)+2x0<0　　　　　D. f(x0)+2x0>0
13.已知函數(shù)f(x)=ln x+-2a(a∈R).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)有兩個極值點(diǎn)x1,x2,且x1∈[e,e2],求f(x1)-f(x2)的取值范圍.
答案與分層梯度式解析
1.BD
2.D　函數(shù)y=ex是實(shí)數(shù)集R上的增函數(shù),不存在極值;
函數(shù)y=ln x是(0,+∞)上的增函數(shù),不存在極值;
函數(shù)y=在區(qū)間(0,+∞),(-∞,0)上單調(diào)遞減,不存在極值;
y=x2-2x=(x-1)2-1在(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(-∞,1)上單調(diào)遞減,因此x=1是函數(shù)的極小值點(diǎn),符合題意.故選D.
3.B　由題圖可得當(dāng)x∈(-∞,-2)時,xf'(x)>0,
所以f'(x)<0, f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(-2,0)時,xf'(x)<0,
所以f'(x)>0, f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(0,1)時,xf'(x)<0,
所以f'(x)<0, f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(1,+∞)時,xf'(x)>0,
所以f'(x)>0, f(x)單調(diào)遞增,
所以當(dāng)x=-2時, f(x)有極小值;當(dāng)x=0時, f(x)有極大值;當(dāng)x=1時, f(x)有極小值,故B正確.故選B.
4.C　由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)f(x)取極大值時,2x+=+2kπ,k∈Z,即極大值點(diǎn)為x=kπ+,k∈Z,
又x∈(0,5),∴x=或x=;
當(dāng)f(x)取極小值時,2x+=+2k'π,k'∈Z,即極小值點(diǎn)為x=k'π+,k'∈Z,又x∈(0,5),∴x=,
故f(x)在區(qū)間(0,5)上有2個極大值點(diǎn)和1個極小值點(diǎn).故選C.
5.B　小盒子的容積為V=x(8-2x)(5-2x)=4x3-26x2+40x,
所以V'=12x2-52x+40,令V'=0,得x=1或x=(舍去),
當(dāng)00,當(dāng)1所以函數(shù)V=4x3-26x2+40x在(0,1)上遞增,在上遞減,
所以當(dāng)x=1時,V取得極大值,無極小值.
故選B.
6.解析　(1)f'(x)=3x2+2ax+b,所以曲線y=f(x)在x=1處的切線斜率為f'(1)=3+2a+b,
又f(1)=a+b+3,所以解得a=2,b=1.
(2)由(1)知f(x)=x3+2x2+x+2, f'(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1),令f'(x)=0,得x=-或x=-1,
當(dāng)x∈(-∞,-1)時, f'(x)>0, f(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈時, f'(x)<0, f(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈時, f'(x)>0, f(x)單調(diào)遞增,
所以f(x)極大值 =f(-1)=2, f(x)極小值 =f=.
7.B　設(shè)f(x)=eax+3x,則f'(x)=3+aeax.
由題意得f'(x)=3+aeax=0有正根,則a<0,此時x=ln.由x>0,得a<-3.故選B.
8.A　因?yàn)閒(x)=x2-x+aln x有兩個不同的極值點(diǎn),所以f'(x)=x-1+==0有兩個不同的正根,
即x2-x+a=0有兩個不同正根,所以解得09.B　當(dāng)a>0時,方程a(x+1)(x-a)=0的較小的實(shí)數(shù)根為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),故無解;當(dāng)a=0時, f'(x)=0恒成立, f(x)無極值點(diǎn),不符合題意;當(dāng)a<0時,方程a(x+1)(x-a)=0的較大的實(shí)數(shù)根為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),故即-110.答案　[0,3]
解析　由f(x)=x3+ax2+ax(x∈R),得f'(x)=3x2+2ax+a.∵函數(shù)f(x)=x3+ax2+ax(x∈R)不存在極值點(diǎn),且f'(x)的圖象開口向上,∴f'(x)≥0對任意x∈R恒成立,∴Δ=4a2-12a≤0,解得0≤a≤3,∴a的取值范圍是[0,3].
11.解析　易得f'(x)=x2-a,
當(dāng)a≤0時,f'(x)≥0恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)a=0,且x=0時為0,故f(x)在R上單調(diào)遞增,不存在極值點(diǎn).
當(dāng)a>0時,令f'(x)>0,即x2-a>0,解得x<-或x>,令f'(x)<0,即x2-a<0,解得-故f(x)在(-∞,-),(,+∞)上單調(diào)遞增,在(-,)上單調(diào)遞減,
所以f(x)在x=-處取得極大值,在x=處取得極小值,此時極值點(diǎn)的個數(shù)為2.
綜上所述,當(dāng)a≤0時,f(x)無極值點(diǎn),當(dāng)a>0時,f(x)有2個極值點(diǎn).
12.B　因?yàn)閒(x)=x3-ax2-bx+a2,所以f'(x)=3x2-2ax-b,若f(x)在x=1處有極值10,則解得或當(dāng)時,f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,且不恒為0,故f(x)單調(diào)遞增,無極值點(diǎn),舍去;當(dāng)時,f'(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1),當(dāng)x>1或x<-時,f'(x)>0,當(dāng)-所以由“函數(shù)f(x)在x=1處有極值10”能推出“a+b=7”,即必要性成立,顯然由“a+b=7”不能推出“函數(shù)f(x)在x=1處有極值10”,即充分性不成立,故“a+b=7”是“函數(shù)f(x)在x=1處有極值10”的必要不充分條件.
13.A　由于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式中常數(shù)項(xiàng)為0,所以k+=0,所以k=-,所以f(x)=x3+x2-2x+1,所以f'(x)=3x2+x-2=(3x-2)(x+1),故函數(shù)f(x)在(-∞,-1)和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故當(dāng)x=-1時,f(x)取得極大值,極大值為f(-1)=.故選A.
14.答案　1
解析　由題意得m≠0,且f'(x)=3mx2+2nx+p,
由題圖可知x=2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),x=-1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),即2,-1是f'(x)=0的兩個實(shí)數(shù)根,由得2n=-3m,
∵f'(0)=p, f'(1)=3m+2n+p=p,∴=1.
15.解析　(1)若a=1,則f(x)=(x2-5x+7)ex,
所以f'(x)=(x2-3x+2)ex,所以f'(0)=2,
又f(0)=7,因此曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=2x+7.
(2)易得f'(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-1)(x-2)ex(a≠0),
令f'(x)=0,得x=或x=2,
若0<<2,即a>,則當(dāng)x∈時,f'(x)<0,
當(dāng)x∈或x∈(2,+∞)時,f'(x)>0,
所以f(x)在x=2處取得極小值,滿足題意.
若a≤,且a≠0,則當(dāng)x∈(0,2)時,ax≤x<1,所以ax-1<0,又x-2<0,ex>0,所以f'(x)>0,所以f(x)在x=2處取不到極小值,不滿足題意.
綜上可知,a的取值范圍是.
16.解析　(1)由f(x)=x3-3kx+q,得f'(x)=3x2-3k,
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=2處有極小值4,所以即解得經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意,
故f(x)=x3-12x+20.
(2)關(guān)于x的方程f(x)=a有三個不相等的實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)f(x)的圖象與直線y=a有三個不同的交點(diǎn),
由(1)可知f(x)=x3-12x+20,f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),
令f'(x)=0,解得x=±2,當(dāng)x<-2或x>2時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)-2∴f(x)在x=-2處取得極大值,且極大值為36,在x=2處取得極小值,且極小值為4.
易知當(dāng)x→-∞時,f(x)→-∞,當(dāng)x→+∞時,f(x)→+∞,
作出函數(shù)f(x)的大致圖象,如圖所示,
由圖可知4能力提升練
1.BD　由題圖可知,當(dāng)x<-2時,g(x)>0,此時1-x>0,則f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞增;
當(dāng)-20,則f'(x)<0,故f(x)在(-2,1)上單調(diào)遞減;
當(dāng)10,此時1-x<0,則f'(x)<0,故f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減;
當(dāng)x>2時,g(x)<0,此時1-x<0,則f'(x)>0,故f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增.
故函數(shù)f(x)在x=-2處取得極大值,在x=2處取得極小值,
即函數(shù)y=f(x)有極大值f(-2)和極小值f(2).
故選BD.
2.解析　(1)選擇①,∵f(x)=x3+ax2+bx,
∴f'(x)=3x2+2ax+b,
由已知可得解得
選擇②,∵f(x)=x3+ax2+bx,
∴f'(x)=3x2+2ax+b,
由已知可得解得
選擇③,∵f(x)=x3+ax2+bx,
∴f'(x)=3x2+2ax+b,
∵函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(-1,f(-1))處的切線方程為y=8x+4,
∴解得
(2)由(1)得f(x)=x3-2x2+x,
f'(x)=3x2-4x+1,
令f'(x)=0,得x1=,x2=1,列表如下:
x 1 (1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
∴函數(shù)f(x)的極小值為f(1)=0.
3.D　∵f(x)=x(x-m)2,∴f'(x)=3x2-4mx+m2,
∵f(x)在x=-1處取得極小值,
∴f'(-1)=0,即3+4m+m2=0,
解得m=-1或m=-3.
當(dāng)m=-1時,f'(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1),
當(dāng)x<-1時,f'(x)>0,
當(dāng)-1所以f(x)在x=-1處取得極大值,不滿足題意,舍去;
當(dāng)m=-3時,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+3)(x+1),
當(dāng)-3當(dāng)x>-1時,f'(x)>0,
所以f(x)在x=-1處取得極小值,滿足題意.
綜上,m=-3.故選D.
4.B　因?yàn)閒(x)=ln x-ax2-bx,
所以f'(x)=-ax-b,x>0,
由題意得f'(1)=0,則b=1-a,
則f'(x)=-ax+a-1=-,x>0.
若a≥0,則由f'(x)=0,得x=1.
當(dāng)00,f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x>1 時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
所以x=1是f(x)的極大值點(diǎn),滿足題意.
若a<0,則由f'(x)=0,得x=1或x=-.
因?yàn)閤=1是f(x)的極大值點(diǎn),
所以->1,所以-1綜上,a的取值范圍是a>-1,故選B.
5.B　易得f'(x)=-3x2+2ax-4,若f(x)在區(qū)間(0,2)上只有一個極值點(diǎn),則f'(x)=0在(0,2)上有且僅有一個實(shí)數(shù)根,且Δ=4a2-4×(-3)×(-4)>0,即a>2或a<-2.
令-3x2+2ax-4=0,x∈(0,2),則a=x+,
令g(x)=x+,x∈(0,2),
則g(x)的圖象與直線y=a僅有一個交點(diǎn),易得g(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且g=2,g(2)=4,畫出y=g(x)的圖象如圖所示,
由圖可知a≥4或a=2,又a>2或a<-2,故a≥4.
6.答案　
解析　若函數(shù)f(x)=(x-1)ex-ax有小于0的極值點(diǎn),則f'(x)有小于0的零點(diǎn),且零點(diǎn)左右兩側(cè)附近的函數(shù)值的符號不同,易得f'(x)=xex-a,
令g(x)=xex-a,則g'(x)=(x+1)ex,
當(dāng)x<-1時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x>-1時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,
故g(x)min=g(-1)=--a,當(dāng)x→-∞時,g(x)→-a,且g(0)=-a,
畫出函數(shù)g(x)的大致圖象如圖所示:
由圖可得解得-故a的取值范圍為.
7.解析　由題意可知,f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=+2x-3=.
(1)當(dāng)a=1時,f(x)=ln x+x2-3x,f'(x)==,x∈(0,+∞),
令f'(x)>0,得01,令f'(x)<0,得故f(x)在和(1,+∞)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
故f(x)的極大值為f=-ln 2-,極小值為f(1)=-2.
(2)由題意可知,f'(x)==0有唯一的正數(shù)根x0,故a=3x0-2,
結(jié)合極值點(diǎn)的定義可知,二次函數(shù)y=2x2-3x+a有兩個不同的零點(diǎn),其中一個為x0,另一個設(shè)為x1,則x0>0,x1<0,
則x0x1=<0,故a<0,即a=x0(3-2x0)<0,解得x0>,
不等式a>f(2x0)即a>aln(2x0)+4-6x0,即3(3x0-2)>(3x0-2)ln(2x0),
因?yàn)閍=3x0-2<0,所以ln(2x0)>3,解得x0>,
故關(guān)于x0的不等式a>f(2x0)的解集為.
8.解析　(1)當(dāng)a=-1時,f(x)=(1-x)2+3ln(2+x)(x>-2),f'(x)=2x-2+=(x>-2).
令f'(x)>0,得-2,此時f(x)單調(diào)遞增,
令f'(x)<0,得則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)易得函數(shù)f(x)=(1-x)2-3aln(2+x)的定義域?yàn)閧x|x>-2},f'(x)=2x-2-3a·=.
若函數(shù)f(x)有兩個極值點(diǎn),
則f'(x)=0在(-2,+∞)上有兩個不等實(shí)根,
即方程2x2+2x-3a-4=0在(-2,+∞)上有兩個不等實(shí)根.
設(shè)g(x)=2x2+2x-3a-4,
結(jié)合g(x)的圖象(圖略)可得
解得-故實(shí)數(shù)a的取值范圍為-9.D　由題意得,在-3左側(cè)附近,f'(x)>0;當(dāng)x=-3時,f'(x)=0;在-3右側(cè)附近,f'(x)<0.
所以在-3左側(cè)附近,xf'(x)<0;當(dāng)x=-3時,xf'(x)=0;在-3右側(cè)附近,xf'(x)>0.故選D.
10.B　由方程(m-1)x2+(3-m)y2=1表示橢圓,可得解得1由函數(shù)f(x)=x3+(m-2)x2+x無極值,可得f'(x)=x2+2(m-2)x+1的圖象至多與x軸有一個交點(diǎn),
所以Δ=4(m-2)2-4≤0,解得1≤m≤3.
因?yàn)閧m|1所以p是q的充分不必要條件.
11.A　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x3+ax2+x+1(a∈R)有兩個極值點(diǎn)x1,x2(x1所以f'(x)=3x2+2ax+1=0有兩個實(shí)數(shù)根x1,x2,
所以x1+x2=-,x1x2=,Δ=(2a)2-4×3×1>0,所以a<-或a>,故A正確,C,D錯誤;
因?yàn)閒'(x)=3x2+2ax+1=0有兩個實(shí)數(shù)根x1,x2(x10,在(x1,x2)上,f'(x)<0,
所以f(x)在(-∞,x1)上單調(diào)遞增,在(x1,x2)上單調(diào)遞減,所以x1是f(x)的極大值點(diǎn),故B錯誤.故選A.
12.AD　∵f(x)=xln x+x2(x>0),
∴f'(x)=ln x+1+2x(x>0),
易得函數(shù)f'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,f'=>0,∵當(dāng)x→0時, f'(x)→
-∞,∴0∴A正確,B錯誤.
∵f'(x0)=ln x0+1+2x0=0,∴f(x0)+2x0=x0ln x0++2x0=x0(ln x0+x0+2)=x0(1-x0)>0,
∴C錯誤,D正確.故選AD.
13.解析　(1)易得f'(x)=-=,x∈(0,+∞).
當(dāng)a≤2時,x2+(2-a)x+1>0,則f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
當(dāng)a>2時,對于方程x2+(2-a)x+1=0,Δ=a2-4a=a(a-4),
①當(dāng)2②當(dāng)a>4時,Δ>0,解方程x2+(2-a)x+1=0,得x=或x=,
則當(dāng)x∈∪時,f'(x)>0,
當(dāng)x∈時,f'(x)<0,
所以f(x)在上單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增.
綜上所述,當(dāng)a≤4時,f(x)在(0+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)a>4時,f(x)在上單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增.
(2)由(1)可知,若f(x)有兩個極值點(diǎn)x1,x2,
則a>4,且x1+x2=a-2,x1x2=1,即a=x1+x2+2,x2=,
故f(x1)-f(x2)=ln x1+-2a-
=ln x1+-ln x2-=ln+-
=2ln x1+-x1,x1∈[e,e2],
令g(x)=2ln x+-x,x∈[e,e2],
則g'(x)=--1=-<0,所以g(x)在[e,e2]上單調(diào)遞減,
故g(e2)≤g(x)≤g(e),即4+-e2≤g(x)≤2+-e,
所以f(x1)-f(x2)的取值范圍為.
32(共16張PPT)
1.導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系
(1)若在某個區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)>0,則在這個區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增;
(2)若在某個區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)<0,則在這個區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞減.
特別地,若在某個區(qū)間上恒有f'(x)=0,則f(x)為常數(shù)函數(shù).
注意:若在某個區(qū)間上,f'(x)≥(≤)0,且只在有限個點(diǎn)處為0,則在這個區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞
增(減).
2.函數(shù)的單調(diào)性決定了函數(shù)圖象的大致形狀.因此,當(dāng)確定了函數(shù)的單調(diào)性后,再通過描出一
些特殊的點(diǎn),就可以畫出函數(shù)的大致圖象.
6.1 函數(shù)的單調(diào)性
§6 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)
知識點(diǎn) 函數(shù)的單調(diào)性
知識 清單破
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.記質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動方程為v=v(t),若v'(t)=0恒成立,則質(zhì)點(diǎn)M在做勻速運(yùn)動. (　 )
2.記質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動方程為s=s(t),若函數(shù)s(t)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,則s'(t)>0. (　 )
3.記運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)M的速度與時間的函數(shù)為v=v(t),若在區(qū)間(a,b)上都有v'(t)<0,則質(zhì)點(diǎn)M在(a,b)
內(nèi)速度遞減. (　 )
4.函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)越大,函數(shù)圖象在該點(diǎn)處的切線越“陡峭”. (　 )
5.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2),(3,4)上都有f'(x)>0,則f(x)在(1,2)∪(3,4)上單調(diào)遞增. (　 )
知識辨析
√
√
提示
提示
提示
若v'(t)=0,則函數(shù)v(t)為常數(shù)函數(shù),質(zhì)點(diǎn)M的速度不變.
可能存在實(shí)數(shù)t,使s'(t)=0.
切線的“陡峭”程度與|f'(x)|的大小有關(guān),故錯誤.



1.利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)研究原函數(shù)圖象的變化時,要遵循“導(dǎo)函數(shù)為正數(shù),原函數(shù)圖象上升;導(dǎo)
函數(shù)為負(fù)數(shù),原函數(shù)圖象下降”的原則.導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)可由其圖象與x軸的位置關(guān)系判斷.解決
問題時,一定要分清原函數(shù)圖象和導(dǎo)函數(shù)圖象.
2.“導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)看(原函數(shù))增減;絕對值大小定快慢.”一般地,如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)
的導(dǎo)數(shù)的絕對值較大,那么函數(shù)值在這個范圍內(nèi)變化得較快,這時函數(shù)的圖象就比較“陡
峭”(向上或向下);反之,函數(shù)的圖象就比較“平緩”.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象的關(guān)系
(1)f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),y=f'(x)的圖象如圖所示,則y=f(x)的圖象最有可能是 (　 )

　
　
典例
C
(2)已知y=xf'(x)的圖象如圖所示(其中f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)),則所給四個選項(xiàng)中,y=f(x)的圖
象大致是 (　 )
C
解析 (1)當(dāng)x∈(-∞,0)時,導(dǎo)函數(shù)圖象在x軸的上方,表示在此區(qū)間上原函數(shù)的圖象呈上升趨
勢,可排除B,D.當(dāng)x∈(0,2)時,導(dǎo)函數(shù)圖象在x軸的下方,表示在此區(qū)間上原函數(shù)的圖象呈下降
趨勢,可排除A.故選C.
(2)當(dāng)0∴y=f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,∴A,B錯誤;
當(dāng)x>1時,xf'(x)>0,∴f'(x)>0,
∴y=f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,∴D錯誤.
故選C.
1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間的步驟
(1)確定函數(shù)f(x)的定義域;
(2)求導(dǎo)數(shù)f'(x);
(3)解不等式f'(x)>0,結(jié)合函數(shù)f(x)的定義域確定函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(4)解不等式f'(x)<0,結(jié)合函數(shù)f(x)的定義域確定函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
2.含參函數(shù)的單調(diào)性問題
含參函數(shù)的單調(diào)性問題主要以兩種形式呈現(xiàn),一是判斷含參函數(shù)的單調(diào)性,二是求含參函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間,這兩種形式實(shí)質(zhì)上是一致的.求解時,通常將此類問題轉(zhuǎn)化為含參不等式的解集
問題,而對含有參數(shù)的不等式要針對具體情況進(jìn)行分類討論,但要注意定義域及分類討論的標(biāo)準(zhǔn).
講解分析
疑難 情境破
疑難 2 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
已知函數(shù)f(x)=(a-3)ln x-3ax- (a∈R),試討論f(x)的單調(diào)性.
典例
思路點(diǎn)撥 求f(x)的定義域及f'(x) 對a進(jìn)行分類討論 確定f'(x)的符號 得到f(x)的單
調(diào)性.
解析 由題意知,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),
f'(x)= -3a+ = .
①當(dāng)a≥0時,ax+1>0恒成立,令f'(x)=0,得x= ,
當(dāng)00;當(dāng)x> 時,f'(x)<0,
所以f(x)在 上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減.
②當(dāng)a=-3時,f'(x)= ,f'(x)≥0恒成立,且僅在個別點(diǎn)處有f'(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)
遞增.
③當(dāng)-3當(dāng)0- 時,f'(x)>0;當(dāng) 所以f(x)在 , 上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減.
④當(dāng)a<-3時,令f'(x)=0,得x= 或x=- ,
當(dāng)0 時,f'(x)>0;當(dāng)- 所以f(x)在 , 上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減.
綜上所述,當(dāng)a≥0時,f(x)在 上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減;
當(dāng)-3當(dāng)a=-3時,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)a<-3時,f(x)在 , 上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減.
導(dǎo)師點(diǎn)睛 對于含參函數(shù)的單調(diào)性問題,常常需要利用分類討論思想對參數(shù)進(jìn)行分類討論,
討論時一是要注意做到不重不漏,二是要注意結(jié)合函數(shù)的定義域研究其單調(diào)性,此外還需強(qiáng)
調(diào)的是,若一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個,則這些單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連
接,只能用“,”或“和”字隔開.
1.可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增(減)的充要條件是f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)上恒成立,且只在
有限個點(diǎn)處為0.
2.已知f(x)在區(qū)間(a,b)上的單調(diào)性,求參數(shù)的值(取值范圍)的方法
(1)利用集合的包含關(guān)系處理f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增(減)的問題,即令區(qū)間(a,b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)
間的子集;
(2)利用不等式恒成立處理f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增(減)的問題,即令f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)內(nèi)恒
成立,將原問題轉(zhuǎn)化為最值問題求解,注意驗(yàn)證等號能否取到.
疑難 3 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值(取值范圍)
講解分析
已知關(guān)于x的函數(shù)f(x)=x3-ax+b.
(1)若函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若函數(shù)f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞),求實(shí)數(shù)a的值.
典例
思路點(diǎn)撥 (1)求f'(x) 由f'(x)≥0分離參數(shù)a 確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(2)思路一:令f'(1)=0 確定實(shí)數(shù)a的值;
思路二:對參數(shù)a進(jìn)行分類討論 得到實(shí)數(shù)a的值.
解析 由題意得,f'(x)=3x2-a.
(1)若函數(shù)f(x)=x3-ax+b在(1,+∞)上單調(diào)遞增,則f'(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,
即a≤3x2在(1,+∞)上恒成立,
因?yàn)閤>1,
所以3x2>3.
所以a≤3,
即a的取值范圍是(-∞,3].
(2)解法一:由題意可知,f'(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,且f'(1)=3-a=0,
解得a=3,
經(jīng)驗(yàn)證,a=3滿足條件,
所以a=3.
解法二:若a≤0,則f'(x)≥0在R上恒成立,且僅在個別點(diǎn)處有f'(x)=0,
則f(x)=x3-ax+b在R上是增函數(shù),與題意不符.
若a>0,則由f'(x)≥0,
得x≥ 或x≤- ,
因?yàn)?1,+∞)是函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間,
所以 =1,即a=3.
陷阱分析 理解題意時,要注意“(1)函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增”與“(2)函數(shù)f(x)的一個
單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞)”的區(qū)別,其中(2)中的區(qū)間(1,+∞)是函數(shù)f(x)的一個完整的遞增區(qū)間,
而(1)中的區(qū)間(1,+∞)是函數(shù)f(x)的一個遞增區(qū)間的子集.6.3　函數(shù)的最值
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　函數(shù)最值的概念及其求解
1.設(shè)f(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù),且在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. f(x)的極值點(diǎn)一定是最值點(diǎn)
B. f(x)的最值點(diǎn)一定是極值點(diǎn)
C. f(x)在[a,b]上可能沒有極值點(diǎn)
D. f(x)在[a,b]上可能沒有最值點(diǎn)
2.函數(shù)f(x)=在[-3,3]上的最大值和最小值分別是(　　)
A.,-　　　　　B.,-　　　　
C.,-　　　　　D.,-
3.函數(shù)f(x)=x+cos x在上取得最大值時x的值為(　　)
A.0　　　　B.　　　　
C.　　　　D.
4.求函數(shù)f(x)=-x3-x2+3x-3在區(qū)間[-1,2]上的最大值和最小值.
題組二　含參函數(shù)的最值問題
5.若函數(shù)f(x)=x3-x2+a在[-1,1]上的最小值是1,則實(shí)數(shù)a的值是(　　)
A.1　　　　B.3　　　　C.　　　　D.-1
6.函數(shù)f(x)=x2+(a-1)x-3ln x在(1,2)內(nèi)有最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)
A.　　　　　B.　　　　
C.　　　　　D.
7.已知函數(shù)y=(x>1)有最大值-4,則實(shí)數(shù)a的值為(　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.4　　　　D.-4
8.若函數(shù)f(x)=x3-x2在區(qū)間(-2,1+a)上存在最大值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.
9.已知函數(shù)f(x)=ln x+(t∈R).
(1)求f(x)的極值;
(2)若t>0,求f(x)在[e,e2]上的最大值g(t).
題組三　利用函數(shù)的最值解決不等式問題
10.若存在x∈,使得不等式2xln x+x2-mx+3≥0成立,則實(shí)數(shù)m的最大值為(　　)
A.4　　　　　B.2+e+
C.e2-1　　　　　D.+3e-2
11.已知函數(shù)f(x)=ex+a,x∈(0,+∞),當(dāng)x1A.(-∞,-1]　　　　　B.(-∞,-1)
C.[-1,+∞)　　　　　D.(-1,+∞)
12.若關(guān)于x的不等式ex>kx2在(0,+∞)上恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是　　　　　　.
13.設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-x+1.
(1)求函數(shù)f(x)的極值;
(2)證明:ln x≤x-1.
14.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-與x=1處都取得極值.
(1)求a,b的值;
(2)若對任意x∈[-1,2],不等式f(x)15.已知函數(shù)f(x)=aex-ax-1(a≠0).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a=1時,證明:f(x)>2ln x-2x+2.
能力提升練
題組一　函數(shù)最值問題的求解與應(yīng)用
1.已知函數(shù)f(x)=2ln x+ax2-3x在x=2處取得極小值,則f(x)在上的最大值為(　　)
A.-　　　　　B.2ln 3-
C.-1　　　　　D.2ln 2-4
2.設(shè)函數(shù)f(x)=2x2-2的圖象在點(diǎn)(a, f(a))(0A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
3.(多選題)設(shè)函數(shù)f(x)=,則下列選項(xiàng)正確的是(　　)
A.f(x)為奇函數(shù)
B.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱
C.f(x)的最大值為+1
D.f(x)的最小值為-+1
題組二　含參函數(shù)的最值問題
4.已知函數(shù)f(x)=mln x+的最小值為-m,則m=(　　)
A.　　　　B.　　　　
C.e　　　　D.e2
5.已知函數(shù)f(x)=若m≠n,且f(m)+f(n)=2,則m+n的最小值為(　　)
A.4-2ln 3　　　　　B.4-3ln 2
C.2-3ln 2　　　　　D.3-2ln 2
6.設(shè)m為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=ln x+mx.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)m=e時,直線y=ax+是曲線y=f(x)的切線,求a+b的最小值.
7.已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex-ax2(a∈R).
(1)當(dāng)0(2)求函數(shù)f(x)在[1,2]上的最小值.
題組三　利用函數(shù)的最大(小)值解決不等式問題
8.已知函數(shù)f(x)=ln x,若對任意的x1,x2∈(0,+∞),都有[f(x1)-f(x2)](-)≥k(x1x2+)成立,則實(shí)數(shù)k的最大值是(　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.2
9.已知f(x)為定義在R上的偶函數(shù),且在[0,+∞)上單調(diào)遞減.若關(guān)于x的不等式f(2mx-ln x-3)≥2f(3)-
f(-2mx+ln x+3)在[1,4]上恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)
A.　　　　　
B.
C.　　　　　
D.
10.(多選題)定義在R上的函數(shù)f(x),若存在函數(shù)g(x)=ax+b(a,b為常數(shù)),使得f(x)≥g(x)對一切實(shí)數(shù)x都成立,則稱g(x)為函數(shù)f(x)的一個承托函數(shù),下列命題中正確的是(　　)
A.函數(shù)g(x)=-2是函數(shù)f(x)=的一個承托函數(shù)
B.函數(shù)g(x)=x-1是函數(shù)f(x)=x+sin x的一個承托函數(shù)
C.若函數(shù)g(x)=ax是函數(shù)f(x)=ex的一個承托函數(shù),則a的取值范圍是[0,e]
D.值域是R的函數(shù)f(x)不存在承托函數(shù)
11.已知f(x)=xex++e2,g(x)=-x2-2x-1+a,若存在x1∈R,x2∈
(-1,+∞),使得f(x1)≤g(x2)成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.
12.已知函數(shù)f(x)=,x∈R.
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線的方程;
(2)若對任意的x∈[0,π],f(x)≤3a-2a2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
13.已知函數(shù)f(x)=(x-a)ln x-x+a-3(a∈R).
(1)討論函數(shù)f'(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a=2時,λ≤f(x)恒成立,求λ的最大整數(shù)值.
答案與分層梯度式解析
1.C
2.D　由已知得f '(x)=,x∈[-3,3],
令f '(x)>0,得-1令f '(x)<0,得-3≤x<-1或1又f(-3)=-, f(-1)=-, f(1)=, f(3)=,
所以函數(shù)f(x)在[-3,3]上的最大值為,最小值為-.故選D.
3.B　f'(x)=1-sin x,
若x∈,則當(dāng)f'(x)=0時,x=,
當(dāng)x∈時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
所以當(dāng)x=時,f(x)在上取得最大值.故選B.
4.解析　由f(x)=-x3-x2+3x-3,得f '(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1),
故當(dāng)x∈(-1,1)時, f '(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(1,2)時, f '(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
故f(x)在[-1,2]上的最大值為f(1)=--1+3-3=-,
又f(-1)=-1-3-3=-, f(2)=-×8-4+6-3=-,故f(x)在[-1,2]上的最小值為f(-1)=-.
5.B　易得f'(x)=3x2-2x,
令f'(x)=0,得x=0或x=,
當(dāng)00,f(x)單調(diào)遞增,
又f=a-,f(-1)=a-2,a-26.A　f '(x)=2x+(a-1)-=,
設(shè)g(x)=2x2+(a-1)x-3,因?yàn)棣?(a-1)2+24>0,所以g(x)=0有兩個不同的實(shí)根,
又g(0)=-3<0,g(x)的圖象開口向上,因此g(x)=0的兩根一正一負(fù),
由題意得正根在(1,2)內(nèi),
所以解得-故a的取值范圍是.故選A.
7.B　依題意得y'===(x>1,a≠0),令y'=0,解得x=2或x=0(舍去).因?yàn)樵瘮?shù)在區(qū)間(1,+∞)上有最大值-4,
所以最大值必然在x=2處取得,所以=-4,解得a=-1,此時y'=,當(dāng)10,當(dāng)x>2時,y'<0,可以驗(yàn)證當(dāng)x=2時y取得最大值-4,故選B.
8.答案　(-1,2]
解析　f'(x)=x2-2x,
當(dāng)x<0或x>2時,f'(x)>0,當(dāng)0故f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,2)上單調(diào)遞減,
故f(x)在x=0處取得極大值,為f(0)=0,
若函數(shù)f(x)=x3-x2在區(qū)間(-2,1+a)上存在最大值,則f(x)在x=0處取得最大值,
令f(x)=x3-x2=0,則x=0或x=3,
故0<1+a≤3,∴-19.解析　(1)f'(x)=-=,x>0.
當(dāng)t≤0時,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,無極值;
當(dāng)t>0時,令f'(x)=0,得x=t,若x∈(0,t),則f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,若x∈(t,+∞),則f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,故f(x)在x=t處取得極小值,為f(t)=ln t+1,無極大值.
綜上所述,當(dāng)t≤0時,f(x)無極值;當(dāng)t>0時,f(x)有極小值ln t+1,無極大值.
(2)由(1)知,當(dāng)t>0時,f(x)在(0,t)上單調(diào)遞減,在(t,+∞)上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)0當(dāng)e若f(e)=f(e2),則1+=2+,即t=.
當(dāng)e當(dāng)≤t≤e2時,1+≥2+,即f(e)≥f(e2),故g(t)=f(e)=1+.
當(dāng)t>e2時,g(t)=f(e)=1+.
綜上,g(t)=
10.D　不等式2xln x+x2-mx+3≥0即m≤2ln x+x+,
令f(x)=2ln x+x+,x∈,則f'(x)=+1-=,
當(dāng)0,故f(x)在上單調(diào)遞減,在[1,e]上單調(diào)遞增,又f=+3e-2,f(e)=2+e+,f-f(e)=2e-4->0,
所以f(x)max=f=+3e-2,則由題意可得m≤+3e-2,所以實(shí)數(shù)m的最大值為+3e-2.
11.C　函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),當(dāng)x1則當(dāng)x1所以函數(shù)g(x)=xex+ax在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù),則g'(x)=ex+xex+a≥0對任意的x>0恒成立,所以a≥-ex(x+1)對任意的x>0恒成立,
令h(x)=-ex(x+1),
因?yàn)楫?dāng)x∈(0,+∞)時,h'(x)=-ex(x+2)<0,
所以函數(shù)h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.
又h(0)=-e0×(0+1)=-1,所以a≥-1.
因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1,+∞).故選C.
12.答案　
解析　∵x∈(0,+∞),∴不等式ex>kx2可化為k<,
設(shè)f(x)=(x>0),
則f'(x)==(x>0).
當(dāng)0當(dāng)x>2時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
∴f(x)min=f(2)=.
若不等式k<在(0,+∞)上恒成立,則k<.
13.解析　(1)由題意得,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞), f'(x)=-1=,令f'(x)=0,得x=1.
當(dāng)x變化時, f'(x), f(x)的變化情況如下表:
x (0,1) 1 (1,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 極大值 ↘
因此當(dāng)x=1時,函數(shù)f(x)有極大值,且極大值為f(1)=0,函數(shù)f(x)無極小值.
(2)證明:由(1)可知函數(shù)f(x)在x=1處取得最大值,且最大值為0,
即f(x)=ln x-x+1≤0,所以ln x≤x-1.
14.解析　(1)由題意知f'(x)=3x2+2ax+b,
則解得
(2)由(1)知f(x)=x3-x2-2x+c,f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),
當(dāng)x∈[-1,2]時,f'(x),f(x)隨x的變化情況如下表:
x - 1 (1,2]
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
∴當(dāng)x=-時,f(x)取得極大值,為f=+c,又f(2)=2+c>+c,所以f(2)=2+c為f(x)在[-1,2]上的最大值,
要使f(x)2+c,解得c<-1或c>2,
∴實(shí)數(shù)c的取值范圍為(-∞,-1)∪(2,+∞).
15.解析　(1)f'(x)=aex-a=a(ex-1).
當(dāng)a>0時,令f'(x)>0,得x>0,令f'(x)<0,得x<0,
所以f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
當(dāng)a<0時,令f'(x)>0,得x<0,令f'(x)<0,得x>0,
所以f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,+∞)上單調(diào)遞減.
(2)證明:當(dāng)a=1時,f(x)=ex-x-1.
由(1)知,當(dāng)x>0時,f(x)單調(diào)遞增,
所以f(x)>f(0)=0.
設(shè)g(x)=2ln x-2x+2,則g'(x)=-2=(x>0),
令g'(x)>0,得01,
所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以g(x)≤g(1)=0,
從而f(x)>g(x)恒成立,即f(x)>2ln x-2x+2.
方法總結(jié)　證明不等式f(x)>g(x)成立的常見策略
　　(1)構(gòu)造法:構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),將證明原不等式成立轉(zhuǎn)化為證明F(x)的最小值大于0.
　　(2)放縮法:要證明f(x)>g(x),可轉(zhuǎn)化為證明f(x)min>g(x)max,本題便是采用這種方法,需指出的是,f(x)min>g(x)max只是f(x)>g(x)成立的充分條件,而非必要條件,故此法不能用來解決由不等式f(x)>g(x)恒成立求參的問題.
能力提升練
1.B　因?yàn)閒(x)=2ln x+ax2-3x,
所以f'(x)=+2ax-3,
由題意可得f'(2)=4a-2=0,解得a=,
則f(x)=2ln x+x2-3x,
f'(x)=+x-3=,
令f'(x)=0,得x=1或x=2,列表如下:
x 1 (1,2) 2 (2,3]
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
所以函數(shù)f(x)的極大值為f(1)=-.
易得f(3)=2ln 3-,因?yàn)閒(3)-f(1)=2ln 3-+=2ln 3-2=2×(ln 3-1)>0,所以f(1)所以f(x)在上的最大值為f(3)=2ln 3-.故選B.
2.C　由題設(shè)知f'(x)=4x,則f'(a)=4a,
又f(a)=2a2-2,
所以l的方程為y-2a2+2=4a(x-a),
當(dāng)x=0時,y=-2a2-2,當(dāng)y=0時,x=,
又0則S'=+1-=(0令S'<0,得00,得所以函數(shù)S=在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)S=在a=處取得極小值,也是最小值,且Smin=.故選C.
3.BCD　f(x)==+1,x∈R,不滿足f(-x)=-f(x),所以f(x)不為奇函數(shù),所以A不正確;
令g(x)=,則g(-x)==-=-g(x),
又g(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以g(x)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對稱,
則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱,所以B正確;
設(shè)f(x)=+1的最大值為M,則g(x)的最大值為M-1,設(shè)f(x)=+1的最小值為N,則g(x)的最小值為N-1,
當(dāng)x>0時,g(x)=,所以g'(x)=,當(dāng)x∈(0,1)時,g'(x)>0,當(dāng)x∈(1,+∞)時,g'(x)<0,
所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以g(x)在x=1處取得最大值,最大值為g(1)=,
由于g(x)為R上的奇函數(shù),g(x)>0在(0,+∞)上恒成立,所以g(x)在x=-1處取得最小值,最小值為g(-1)=-,所以f(x)的最大值M=+1,最小值N=-+1,所以C,D正確.故選BCD.
4.D　由f(x)=mln x+,得f'(x)=-=,x>0,
當(dāng)m≤0時,f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),f(x)無最小值,不符合題意,
當(dāng)m>0時,若0,則f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,∴f(x)在x=處取得極小值,也是最小值,故f=mln+m=-m,
解得m=e2.
5.D　由已知得f(x)在任意區(qū)間上均為增函數(shù)且連續(xù),故f(x)在R上單調(diào)遞增,且f(1)=1,
所以f(m)+f(n)=2時,可設(shè)m<1則f(m)+f(n)=(m+1)+1+ln n=2,
所以m=1-2ln n(n>1),所以m+n=1-2ln n+n.
令g(x)=x+1-2ln x(x>1),則g'(x)=1-=(x>1),令g'(x)<0,得10,得x>2,
故g(x)在(1,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)的極小值也是最小值,且最小值為g(2)=3-2ln 2,故m+n的最小值是3-2ln 2.故選D.
6.解析　(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=+m=,
當(dāng)m≥0時,f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
當(dāng)m<0時,由f'(x)>0解得0-.
故當(dāng)m≥0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),無單調(diào)遞減區(qū)間;當(dāng)m<0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.
當(dāng)m=e時,f(x)=ln x+ex,f'(x)=+e,設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,
ln x0+ex0),則切線的斜率k=f'(x0)=+e,切線的方程為y-
(ln x0+ex0)=(x-x0),即y=x+ln x0-1,
∴a=+e,b=2ln x0-2,∴a+b=+2ln x0+e-2,
令g(x)=+2ln x+e-2,則g'(x)=-+=(x>0),
令g'(x)<0,得00,得x>,
∴g(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
∴g(x)min=g=e-2ln 2,即a+b的最小值為e-2ln 2.
7.解析　(1)證明:f'(x)=xex-ax=x(ex-a),
令f'(x)=0,則x=0或x=ln a,因?yàn)?x (-∞,ln a) ln a (ln a,0) 0 (0,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
所以函數(shù)f(x)的極大值為f(ln a)=a(ln a-1)-a(ln a)2=-a[(ln a-1)2+1]<0,
極小值為f(0)=-1<0,
故當(dāng)x<0時,f(x)≤f(ln a)<0,
因?yàn)閒(2)=e2-2a>0,所以由零點(diǎn)存在定理可知,函數(shù)f(x)在(0,2)上存在唯一零點(diǎn),則函數(shù)f(x)在(0,+∞)上存在唯一零點(diǎn).
綜上所述,當(dāng)0(2)由(1)知f'(x)=x(ex-a).
①當(dāng)a≤e時,對任意的x∈[1,2],ex-a≥0,則f'(x)≥0且不恒為0,
故函數(shù)f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,則f(x)min=f(1)=-a;
②當(dāng)e0,得
ln a故函數(shù)f(x)在[1,ln a)上單調(diào)遞減,在(ln a,2]上單調(diào)遞增,
則當(dāng)x∈[1,2]時,f(x)min=f(ln a)=a(ln a-1)-a(ln a)2=-a[(ln a-1)2+1];
③當(dāng)a≥e2時,對任意的x∈[1,2],f'(x)=x(ex-a)≤0且不恒為0,
故函數(shù)f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,則f(x)min=f(2)=e2-2a.
綜上所述,f(x)min=
8.B　∵f(x)=ln x,∴f(x1)-f(x2)=ln x1-ln x2=ln .
∵[f(x1)-f(x2)](-)≥k(x1x2+)恒成立,且x1,x2∈(0,+∞),∴k≤ln -ln 恒成立,
令t=(t>0),g(t)=tln t-ln t,
則g'(t)=ln t+1-,
易知g'(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且g'(1)=0,
∴當(dāng)t∈(0,1)時,g'(t)<0,g(t)單調(diào)遞減,
當(dāng)t∈(1,+∞)時,g'(t)>0,g(t)單調(diào)遞增,
∴g(t)min=g(1)=0,
∴k≤0.
故實(shí)數(shù)k的最大值是0.故選B.
9.C　∵函數(shù)f(x)為定義在R上的偶函數(shù),且在[0,+∞)上單調(diào)遞減,
∴f(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞增.
不等式f(2mx-ln x-3)≥2f(3)-f(-2mx+ln x+3)在[1,4]上恒成立,
即f(2mx-ln x-3)≥f(3)在[1,4]上恒成立.
∴|2mx-ln x-3|≤3在[1,4]上恒成立,
即0≤2mx-ln x≤6在[1,4]上恒成立,
即≤2m≤在[1,4]上恒成立.
令g(x)=,x∈[1,4],則g'(x)=,
當(dāng)x∈[1,e]時,g'(x)>0,當(dāng)x∈[e,4]時,g'(x)<0,
∴g(x)在[1,e]上單調(diào)遞增,在[e,4]上單調(diào)遞減,
∴g(x)max=g(e)=.
令h(x)=,x∈[1,4],則h'(x)=,
當(dāng)x∈[1,4]時,h'(x)<0,
∴h(x)在[1,4]上單調(diào)遞減,
∴h(x)min=h(4)=.
∴≤2m≤,解得≤m≤+,
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
故選C.
10.BC　對于A,∵當(dāng)x>0時, f(x)=ln x∈(-∞,+∞),
∴f(x)≥g(x)=-2對一切實(shí)數(shù)x不都成立,故A錯誤.
對于B,令t(x)=f(x)-g(x),則t(x)=x+sin x-(x-1)=sin x+1≥0,故f(x)≥g(x)恒成立,
∴函數(shù)g(x)=x-1是函數(shù)f(x)=x+sin x的一個承托函數(shù),故B正確.
對于C,令h(x)=ex-ax,則h'(x)=ex-a,
若a=0,則h(x)>0恒成立,不符合題意.
若a>0,則令h'(x)=0,得x=ln a,
∴函數(shù)h(x)在(-∞,ln a)上單調(diào)遞減,在(ln a,+∞)上單調(diào)遞增,
∴當(dāng)x=ln a時,函數(shù)h(x)取得極小值,也是最小值,且最小值為a-aln a,
∵g(x)=ax是函數(shù)f(x)=ex的一個承托函數(shù),
∴a-aln a≥0,∴l(xiāng)n a≤1,∴0若a<0,則當(dāng)x→-∞時,h(x)→-∞,不符合題意.
綜上,a的取值范圍是[0,e],故C正確.
對于D,不妨令f(x)=2x,g(x)=2x-1,則f(x)-g(x)=1≥0恒成立,
故g(x)=2x-1是f(x)=2x的一個承托函數(shù),故D錯誤.
故選BC.
11.答案　(e2,+∞)
解析　因?yàn)閒(x)=xex++e2,
所以f'(x)=ex+xex=ex(x+1).
當(dāng)x∈(-∞,-1)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(-1,+∞)時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
所以f(x)≥f(-1)=e2.
g(x)=-(x+1)2+a,當(dāng)x∈(-1,+∞)時,g(x)若存在x1∈R,x2∈(-1,+∞),使得f(x1)≤g(x2)成立,只需e2所以a的取值范圍為(e2,+∞).
12.解析　(1)f'(x)==,
則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線的斜率為f'(0)=-1,
又f(0)=1,所以切點(diǎn)為(0,1),所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=-x+1,即x+y-1=0.
(2)當(dāng)x∈[0,π]時,令f'(x)=0,得x=,列表如下:
x
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 極小值 ↗
又f(0)=1,f(π)=-,所以當(dāng)x∈[0,π]時,f(x)的最大值為f(0)=1.
因?yàn)閷θ我獾膞∈[0,π],f(x)≤3a-2a2恒成立,所以f(x)max≤3a-2a2,故3a-2a2≥1,
解得≤a≤1,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
13.解析　(1)易知f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=ln x+-1=ln x-.
令h(x)=ln x-,則h'(x)=+=(x>0).
當(dāng)a≥0時,h'(x)>0恒成立,所以h(x)即f'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
當(dāng)a<0時,若x∈(0,-a),則h'(x)<0,所以h(x)即f'(x)單調(diào)遞減;
若x∈(-a,+∞),則h'(x)>0,所以h(x)即f'(x)單調(diào)遞增.
(2)當(dāng)a=2時,f(x)=(x-2)ln x-x-1,f'(x)=ln x-,
由(1)知,f'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
又f'(2)=ln 2-1<0,f'(3)=ln 3->0,
所以存在x0∈(2,3)使得f'(x0)=0,
即ln x0=.
當(dāng)x∈(0,x0)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x0,+∞)時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.
所以當(dāng)x=x0時,f(x)取得極小值,也是最小值,為f(x0)=(x0-2)ln x0-x0-1=(x0-2)×-x0-1=1-,
因?yàn)閤0∈(2,3),
所以+x0∈,
所以f(x0)∈.
由λ≤f(x)恒成立,得λ≤f(x0)恒成立,故λ≤-,故λ的最大整數(shù)值為-4.
方法總結(jié)　求解與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的問題時,導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)有時不明確,依據(jù)有關(guān)理論(如零點(diǎn)存在定理)或函數(shù)的圖象,能夠判斷出零點(diǎn)確實(shí)存在,但是無法直接求出,不妨稱之為隱零點(diǎn).解決導(dǎo)函數(shù)的隱零點(diǎn)問題可遵循如下處理方法:
　　第一步:用零點(diǎn)存在定理判斷導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性,列出零點(diǎn)方程f'(x0)=0,并結(jié)合f(x)的單調(diào)性得到零點(diǎn)的范圍.
　　第二步:以零點(diǎn)為分界點(diǎn),說明在各區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)f'(x)的正負(fù),進(jìn)而得到f(x)的最值表達(dá)式.
　　第三步:將零點(diǎn)方程適當(dāng)變形,整體代入最值表達(dá)式進(jìn)行求解.這里應(yīng)注意,進(jìn)行代數(shù)式的替換過程中,盡可能將目標(biāo)式變形為整式或分式,那么就需要盡可能將指、對數(shù)式用有理式替換,這是能否繼續(xù)求解的關(guān)鍵.
19(共20張PPT)
1.極大值點(diǎn)與極大值
如圖(1),在包含x0的一個區(qū)間(a,b)上,函數(shù)y=f(x)在任何不為x0的一點(diǎn)處的函數(shù)值都小于點(diǎn)x0處
的函數(shù)值,稱點(diǎn)x0為函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn),其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極大值.
6.2 函數(shù)的極值
§6 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)
知識點(diǎn) 1 函數(shù)極值的概念
知識 清單破
圖(1)
圖(2)
2.極小值點(diǎn)與極小值
如圖(2),在包含x0的一個區(qū)間(a,b)上,函數(shù)y=f(x)在任何不為x0的一點(diǎn)處的函數(shù)值都大于點(diǎn)x0處
的函數(shù)值,稱點(diǎn)x0為函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn),其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極小值.
3.極值點(diǎn)與極值
函數(shù)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn),極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.極值是函數(shù)的一種
局部性質(zhì).
1.極大值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系
已知函數(shù)f(x)在(a,b)上可導(dǎo).
知識點(diǎn) 2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
x (a,x0) x0 (x0,b)
f'(x) + 0 -
y=f(x) ↗(單調(diào)遞增) 極大值 ↘(單調(diào)遞減)
2.極小值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系
已知函數(shù)f(x)在(a,b)上可導(dǎo).
x (a,x0) x0 (x0,b)
f'(x) - 0 +
y=f(x) ↘ 極小值 ↗
1.必要條件:可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在x=x0處取得極值的必要條件是f'(x0)=0.
2.充分條件:可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在x=x0處取得極值的充分條件是f'(x)在x=x0兩側(cè)異號.
知識點(diǎn) 3 可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的必要條件與充分條件
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.若質(zhì)點(diǎn)M的速度v與時間t之間的關(guān)系為v(t)=3t,則函數(shù)v(t)沒有極值. (　 )
2.通過某導(dǎo)體的電量q(單位:C)與時間t(單位:s)的函數(shù)關(guān)系式為q=2t2+3t,則此函數(shù)無極大值. (　 )
3.若某火車一段時間內(nèi)的速度v與時間t之間的關(guān)系是v(t)=-1.2t+0.2t2,則v(t)的極小值點(diǎn)為t=3. (　 )
4.函數(shù)的極大值一定大于極小值. (　 )
5.若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)有極值,則f(x)在(a,b)內(nèi)一定不單調(diào). (　 )
知識辨析
√
√
√
√
因?yàn)関'(t)=3>0,所以函數(shù)v(t)=3t單調(diào)遞增,故v(t)無極值.
提示
提示
提示
提示
提示
因?yàn)閝'=4t+3,且t≥0,所以q'>0,q=2t2+3t單調(diào)遞增,故該函數(shù)無極大值.
v'(t)=-1.2+0.4t,令v'(t)=0,得t=3,易知t=3是v(t)的極小值點(diǎn).
極值是函數(shù)的一種局部性質(zhì),極大值不一定大于極小值.
根據(jù)極值的概念可知,極值點(diǎn)附近兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號,所以函數(shù)在極值點(diǎn)附近不單調(diào).

1.利用導(dǎo)數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟
(1)求定義域:確定函數(shù)f(x)的定義域;
(2)求導(dǎo):求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x);
(3)解方程:由f'(x)=0,求出全部的實(shí)根;
(4)列表:方程的根將整個定義域劃分成若干個區(qū)間(如果根中含有參數(shù),那么需根據(jù)參數(shù)的范
圍分類劃分區(qū)間),把隨著x的變化, f'(x),f(x)的變化情況列舉出來;
(5)得出結(jié)論:若f'(x)在x0附近的符號“左正右負(fù)”,則函數(shù)f(x)在x0處取得極大值;若f '(x)在x0附
近的符號“左負(fù)右正”,則函數(shù)f(x)在x0處取得極小值,其中f'(x0)=0.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題
2.含參數(shù)的函數(shù)的極值問題
(1)求含參數(shù)的函數(shù)的極值,要根據(jù)f'(x)=0的不同類型對參數(shù)進(jìn)行分類討論.通常要考慮以下
幾個方面:①方程f'(x)=0有無實(shí)數(shù)根;②方程f'(x)=0的實(shí)數(shù)根是否在定義域內(nèi);③方程f'(x)=0的
實(shí)數(shù)根(不止一個時)之間的大小.進(jìn)而列表得到函數(shù)的極值.
(2)由極值求參數(shù)的值或取值范圍,解題的切入點(diǎn)是極值存在的條件:極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0,
極值點(diǎn)兩側(cè)附近的導(dǎo)數(shù)值異號.解題步驟如下:
①求函數(shù)的導(dǎo)數(shù);
②由極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0,列出方程(組),求解參數(shù).
注意:求出參數(shù)后,一定要驗(yàn)證是否滿足題目中的條件.
(1)已知函數(shù)f(x)=x3+3mx2+nx+m2(m,n∈R)在x=-1處取得極小值0,則m+n=　　　 ;
(2)若函數(shù)g(x)=x3+2ax2+ (a+1)x+3既有極大值又有極小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
　　　　 　　 .
典例1
11
a>1或a<-
解析 (1)∵f(x)=x3+3mx2+nx+m2,
∴f'(x)=3x2+6mx+n,
依題意可得
即
解得 或
當(dāng)m=1,n=3時,函數(shù)f(x)=x3+3x2+3x+1,
f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時,等號成立,
則函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,
所以函數(shù)f(x)無極值,故舍去.
經(jīng)檢驗(yàn),m=2,n=9符合題意,所以m+n=11.
(2)由題意可得g'(x)=3x2+4ax+ (a+1),
若函數(shù)g(x)既有極大值又有極小值,
則關(guān)于x的一元二次方程3x2+4ax+ (a+1)=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,即Δ=(4a)2-4×3× (a+1)>
0,解得a>1或a<- .
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為a>1或a<- .
易錯警示 解決利用極值求函數(shù)中的參數(shù)問題時,注意f'(x0)=0是x0為極值點(diǎn)的必要不充分條
件,(1)中由f'(-1)=0及f(-1)=0求出m,n的值后,要注意檢驗(yàn)是否符合極值的存在條件.
已知函數(shù)f(x)=x-aln x(a≠0).
(1)當(dāng)a=1時,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)和極值.
典例2
思路點(diǎn)撥 (1)求導(dǎo)數(shù)f'(x) 求切線的斜率f'(1) 求切線方程.
(2)求導(dǎo)數(shù)f'(x) 對a分類討論 確定f'(x)的符號 結(jié)合f(x)的單調(diào)性求極值點(diǎn)和極值.
解析 (1)當(dāng)a=1時,函數(shù)f(x)=x-ln x,
則f'(x)=1- = ,則f'(1)=0,
因?yàn)閒(1)=1,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=1.
(2)由函數(shù)f(x)=x-aln x,x∈(0,+∞),
可得f'(x)=1- = .
①當(dāng)a<0時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,無極值點(diǎn)與極值;
②當(dāng)a>0時,令f'(x)=0,解得x=a,
隨著x的變化,f'(x),f(x)的變化情況如下表:
x (0,a) a (a,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 極小值 ↗
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,a)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(a,+∞)上單調(diào)遞增,
所以函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)為x=a,極小值為f(a)=a-aln a,無極大值點(diǎn)與極大值.
綜上,當(dāng)a<0時,函數(shù)f(x)無極值點(diǎn)與極值;當(dāng)a>0時,f(x)的極小值點(diǎn)為x=a,極小值為a-aln a,無極
大值點(diǎn)與極大值.
易錯警示 求函數(shù)的極值時的注意事項(xiàng):(1)要注意運(yùn)用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想;(2)單
調(diào)函數(shù)沒有極值;(3)導(dǎo)數(shù)值為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).
　　一些比較復(fù)雜的函數(shù)的綜合問題,常常涉及函數(shù)的圖象與性質(zhì),例如函數(shù)的單調(diào)性、奇
偶性,函數(shù)的零點(diǎn)等.解決與極值有關(guān)的函數(shù)綜合問題時,可通過分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想
方法,進(jìn)行有效處理,但需要注意已知與未知的轉(zhuǎn)化.解題的關(guān)鍵是掌握求單調(diào)區(qū)間和極值的
方法.
疑難 2 利用函數(shù)的極值解決函數(shù)的綜合問題
講解分析
已知x=1是函數(shù)f(x)= x3+(a+1)x2-(a2+a-3)x的極值點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)求方程f(x)=m(m∈R)的實(shí)數(shù)根的個數(shù).
典例
思路點(diǎn)撥 (1)x=1是f(x)的極值點(diǎn) f'(1)=0 解方程求得a的值 通過檢驗(yàn)確定a的最
終取值.
(2)借助導(dǎo)數(shù)確定f(x)的單調(diào)性與極值,作出f(x)的草圖 作出直線y=m 觀察m的變化情
況,確定f(x)=m的實(shí)數(shù)根的個數(shù).
解析 (1)f'(x)=x2+2(a+1)x-(a2+a-3),
因?yàn)閤=1是函數(shù)f(x)= x3+(a+1)x2-(a2+a-3)x的極值點(diǎn),
所以f'(1)=0,即1+2(a+1)-(a2+a-3)=0,
解得a=3或a=-2,
當(dāng)a=3時, f'(x)=x2+8x-9=(x+9)(x-1),
令f'(x)>0,
則x>1或x<-9,
令f'(x)<0,則-9所以函數(shù)f(x)在(1,+∞),(-∞,-9)上單調(diào)遞增,在(-9,1)上單調(diào)遞減,
所以f(x)的極小值點(diǎn)為1,極大值點(diǎn)為-9,符合題意.
當(dāng)a=-2時,f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,且僅在x=1處取等號,
所以f(x)在R上單調(diào)遞增,所以f(x)無極值點(diǎn),不符合題意,舍去.
綜上所述,a=3.
(2)由(1)可得f(x)= x3+4x2-9x,函數(shù)f(x)在(1,+∞),(-∞,-9)上單調(diào)遞增,在(-9,1)上單調(diào)遞減,
則f(x)極大值=f(-9)=162,f(x)極小值=f(1)=- .
易知當(dāng)x→-∞時,f(x)→-∞,當(dāng)x→+∞時,f(x)→+∞,
作出函數(shù)f(x)的大致圖象,如圖所示,

由圖可知,當(dāng)m>162或m<- 時,方程f(x)=m有1個實(shí)數(shù)根,
當(dāng)m=162或m=- 時,方程f(x)=m有2個不相等的實(shí)數(shù)根,
當(dāng)- 解題模板 對于方程f(x)=m的根的個數(shù)問題,可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=m的交點(diǎn)個
數(shù)問題.解題步驟如下:
(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性及極值等情況,綜合各種信息畫出函數(shù)y=f(x)的大致圖
象.
(2)探究函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=m的交點(diǎn)個數(shù).
(3)根據(jù)交點(diǎn)個數(shù)寫出方程實(shí)數(shù)根的情況或確定m的取值范圍.

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