資源簡介

(共13張PPT)
　　導數是從實際生活和科學領域中抽象出來的數學概念,由于導數的本質是瞬時變化率,
所以實際生活中的瞬時變化率問題都可以用導數來解決.
(1)功與功率:在物理學中,通常稱力在單位時間內做的功為功率,它是功W關于時間t的導數.
(2)瞬時速度:在物理學中,物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度,它是位移s關于時間t的導數;
速度關于時間的導數是加速度.
(3)降雨強度:在氣象學中,通常把在單位時間內的降雨量稱作降雨強度,它是降雨量關于時間
的導數.
§7 導數的應用
知識點 1 實際問題中導數的意義
知識 清單破
(4)邊際成本:在經濟學中,通常把生產成本y關于產量x的函數y=f(x)的導函數稱為邊際成本.邊
際成本f'(x0)指的是當產量為x0時,生產成本的增加速度,也就是當產量為x0時,每增加一個單位
的產量,需要增加f'(x0)個單位的成本.
(5)線密度:單位長度的物質質量稱為線密度,它是質量關于長度的導數.
1.最優化問題
在實際問題中,經常會遇到解決一些如面積最小、體積最大、成本最低、時間最少等問題,
這些問題通稱為最優化問題.導數是解決最優化問題的一個重要工具.
2.利用導數解決生活中的最優化問題的步驟
(1)分析實際問題中各個變量之間的關系,列出實際問題的數學模型,寫出實際問題中各個量
之間的函數關系y=f(x);
(2)求函數y=f(x)的導數f'(x),解方程f'(x)=0;
(3)比較函數在區間端點處的函數值和使f'(x)=0的點處的函數值的大小,最大(小)者為最大
(小)值.
知識點 2 利用導數解決生活中的最優化問題
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.物體的加速度都是正值. (　 )
2.一物體的位移s(米)與時間t(秒)的關系為s=-t2,則該物體在1秒末的瞬時速度為-2米/秒. ( )
3.從上午6時到9時,車輛通過某市某一路段的用時y(單位:分鐘)與車輛進入該路段的時刻t之
間的關系可近似地用函數y=- t3- t2+36t- 表示,則在這段時間內,通過該路段用時最多的
時刻是7時. (　 )
知識辨析
√
提示
提示
汽車在剎車時,速度會越來越慢,其加速度為負值.
由y=- t3- t2+36t- 得y'=- t2- t+36,令y'=0,解得t=8或t=-12(舍去).當00;
當t>8時,y'<0,所以t=8為函數的極大值點,也是最大值點.故通過該路段用時最多的時刻是8時.


4.球的半徑從1增加到2時,球的體積的平均膨脹率為9π. (　 )
5.做一個無蓋的圓柱形水桶,若要使水桶的體積是27π,且用料最省,則水桶的底面半徑為2.
(　 )


提示
提示
球的體積的平均膨脹率為 = .
設該圓柱形水桶的表面積為S,底面半徑為r(r>0),則水桶的高為 ,所以S=πr2+2πr×
=πr2+ (r>0),則S'=2πr- ,令S'=0,解得r=3.當03時,S'>0,所以r=3為函數的
極小值點,也是最小值點,故要使水桶的體積是27π,且用料最省,則水桶的底面半徑為3.
解決生活中的最優化問題的注意事項
(1)當問題涉及多個變量時,應根據題意分析它們之間的關系,列出變量之間的關系式;
(2)在建立函數模型的同時,應根據實際問題確定函數的定義域;
(3)在實際問題中,由導數值為0得到定義域內的根通常只有一個,如果函數在該點處取得極大
值(極小值),那么不與端點處的函數值進行比較也可以判定該極大值(極小值)就是函數的最
大值(最小值);
(4)求實際問題的最大(小)值時,一定要從問題的實際意義出發,不符合實際意義的應舍去,例
如長度、寬度應大于0,銷售價格一般要高于進價等.
疑難 利用導數解決生活中的最優化問題
講解分析
疑難 情境破
已知某公司生產某種型號醫療器械的月固定成本為20萬元,每生產1千件需另投入5.4
萬元,設該公司一個月內生產該型號醫療器械x千件且能全部銷售完,每千件的銷售收入為
g(x)萬元,且g(x)=
(1)請寫出月利潤y(萬元)關于月產量x(千件)的函數解析式;
(2)月產量為多少千件時,該公司在這一型號醫療器械的生產、銷售中所獲月利潤最大 并求
出最大月利潤(精確到0.1萬元).
典例1
解析 (1)當0當x>10時,y= x-20-5.4x=134- -5.4x,
∴y=
(2)①當0當x∈(0,8)時,y'>0,y=6.4x- x3-20單調遞增;當x∈(8,10]時,y'<0,y=6.4x- x3-20單調遞減.
∴當x=8時,ymax= ≈14.1.
②當x>10時,y=134-2 ≤134-2×2 =134-120=14,當且僅當x= 時取等號.
綜合①②知,當x=8時,y取得最大值14.1.
故當月產量為8千件時,該公司在這一型號醫療器械的生產、銷售中所獲月利潤最大,最大月
利潤約為14.1萬元.
為了緩解城市交通壓力,某市市政府在市區一主要交通干道修建高架橋,兩端的橋墩現
已建好,已知這兩個橋墩相距m米,余下的工程需建兩端橋墩之間的橋面和若干橋墩.經測算,
一個橋墩的工程費用為256萬元,距離為x米的相鄰兩個橋墩之間的橋面工程費用為(2+ )x
萬元.假設橋墩等距離分布,橋面平直,所有橋墩都視為點,且不考慮其他因素.
(1)試寫出余下工程的費用y(萬元)關于x的函數關系式;
(2)當m=640時,需新建多少個橋墩才能使余下工程的費用最少 并求出最少費用.
典例2
信息提取 ①兩端的橋墩相距m米;
②一個橋墩的工程費用為256萬元,距離為x米的相鄰兩個橋墩之間的橋面工程費用為(2+ )x
萬元;
③橋面被橋墩分成 段,需新建橋墩 個.
數學建模 本題以生活中的最優化問題——費用最少為背景構建函數模型,并借助導數求函
數的最值,從而解決實際生活中的費用最少問題.
解析 (1)橋面被橋墩分成 段,
需新建橋墩 個,
則y=256 +(2+ )x·
=256· +m +2m-256(0(2)當m=640時,y=640× +1 024(0令y=f(x),則f'(x)=640×
=640× (0令f'(x)=0,解得x=64.
當0當640,f(x)單調遞增,
∴f(x)在x=64處取得極小值,也是最小值,且f(64)=8 704,
∴需新建橋墩 -1=9(個).
∴需新建9個橋墩才能使余下工程的費用最少,最少費用為8 704萬元.§7　導數的應用
7.1　實際問題中導數的意義　7.2　實際問題中的最值問題
基礎過關練
題組一　實際問題中導數的意義
1.某汽車啟動階段的路程函數為s(t)=2t3-5t2(t表示時間),則t=2時,汽車的加速度是(　　)
A.14　　　　B.4　　　　C.10　　　　D.6
2.從時間t=0開始的t s內,通過某導體的電量(單位:C)可用Q(t)=2t2+3t表示,則第5 s時的電流強度為(　　)
A.27 C/s　　　　　B.20 C/s
C.25 C/s　　　　　D.23 C/s
3.一質點沿直線運動,如果由始點起經過t秒后的位移s與時間t的關系是s=t3-t2+6t,那么速度為零的時刻是(　　)
A.1秒末　　　　　B.2秒末
C.3秒末　　　　　D.2秒末和3秒末
4.一個質量m=5 kg的物體做直線運動,設運動的距離s(單位:m)與時間t(單位:s)的關系可用函數s(t)=1+t2表示,并且物體的動能Ek=mv2(單位:J),則物體開始運動后第4 s末的動能是　(　　)
A.160 J　　　　B.165 J　　　　
C.170 J　　　　D.175 J
5.一物體做的功W與時間t的關系式為W=t2+10(功的單位:J,時間的單位:s),則該物體在t=3 s時的功率為　　　　J/s.
6.某工廠生產一種木材旋切機械,已知生產總利潤c(單位:元)與產量x(單位:臺)之間的關系式為c(x)=-2x2+7 000x+600.
(1)求產量為1 000臺時的總利潤與每臺的平均利潤;
(2)求產量由1 000臺提高到1 500臺時,總利潤的平均改變量;
(3)求c'(1 000)與c'(1 500),并說明它們的實際意義.
題組二　實際問題中的最值問題
7.某蓮藕種植塘每年的固定成本是2萬元,每年最大規模的種植量是10萬斤,每種植1斤藕,成本增加1元.銷售額y(單位:萬元)與蓮藕種植量x(單位:萬斤)滿足y=-x3+ax2+x(a為常數),若種植3萬斤,利潤是萬元,則要使銷售利潤最大,每年需種植蓮藕(　　)
A.7萬斤　　　　B.8萬斤　　　　C.9萬斤　　　　D.10萬斤
8.(多選題)你是否注意過,市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴一些 高二某研究小組針對飲料瓶的大小對飲料公司利潤的影響進行了研究,調查如下:某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料,瓶子的半徑是r cm,瓶子的制造成本是0.8πr2分.已知每出售1 mL的飲料,制造商可獲利0.2分(不考慮瓶子的成本的前提下),且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6 cm.則下面結論正確的有(注:1 mL=1 cm3;利潤可為負數)(　　)
A.利潤隨著瓶子半徑的增大而增大
B.半徑為6 cm時,利潤最大
C.半徑為2 cm時,利潤最小
D.半徑為3 cm時,制造商不獲利
9.若圓錐SO的母線長為3,則圓錐SO體積的最大值為　　　　.
10.某口罩生產企業每月生產N95口罩的數量x(單位:萬件)與利潤P(單位:萬元)滿足函數關系P(x)=
(1)當0(2)當月產量為多少萬件時,企業的月利潤最大 請為企業生產經營提一些合理建議.
11.某學校外的濕地公園有一形狀為半圓形的荷花池,如圖所示,為了提升荷花池的觀賞性,現計劃在池塘的中軸線OC上設計一個觀景臺D(點D與點O,C不重合),其中AD,BD,CD段建設架空木棧道,已知AB=100 m,設將建設的架空木棧道的總長為y m.
(1)設∠DAO=θ rad,求y關于θ的函數關系式,并寫出θ的取值范圍;
(2)試確定觀景臺的位置,使三段架空木棧道的總長度最短.
答案與分層梯度式解析
1.A　速度v(t)=s'(t)=6t2-10t,所以加速度a(t)=v'(t)=12t-10.當t=2時,a(t)=14,即t=2時,汽車的加速度為14.
2.D　因為Q(t)=2t2+3t,所以Q'(t)=(2t2)'+(3t)'=4t+3,所以Q'(5)=23(C/s).
3.D　∵s=t3-t2+6t,∴s'=t2-5t+6,易知t≥0,令s'=0,解得t=2或t=3.故選D.
4.A　s'(t)=2t,則物體開始運動后第4 s末的速度v=s'(4)=8(m/s),所以物體開始運動后第4 s末的動能Ek=mv2=×5×64=160(J).
5.答案　6
解析　∵W=t2+10,∴W'=2t,
∴該物體在t=3 s時的功率為2×3=6(J/s).
解析　(1)產量為1 000臺時的總利潤為c(1 000)=-2×
1 0002+7 000×1 000+600=5 000 600(元),
每臺的平均利潤為=5 000.6(元).
(2)當產量由1 000臺提高到1 500臺時,總利潤的平均改變量為==2 000(元).
(3)∵c(x)=-2x2+7 000x+600,
∴c'(x)=-4x+7 000,
∴c'(1 000)=-4×1 000+7 000=3 000,
c'(1 500)=-4×1 500+7 000=1 000.
c'(1 000)=3 000表示當產量為1 000臺時,利潤增加的速度為
3 000元/臺;
c'(1 500)=1 000表示當產量為1 500臺時,利潤增加的速度為
1 000元/臺.
7.B　設銷售利潤為g(x)萬元,則g(x)=-x3+ax2+x-(2+x)=-x3+ax2-2,0由已知得-×33+9a-2=,解得a=2,
故g(x)=-x3+2x2-2,0令g'(x)>0,得0故要使銷售利潤最大,每年需種植蓮藕8萬斤.
故選B.
8.BCD　設每瓶飲料的利潤為f(r)分,則f(r)=0.2×r3-0.8πr2=,r∈(0,6],
則f'(r)=(r2-2r)=r(r-2),令f'(r)=0,得r=2或r=0(舍去).
所以當r∈(0,2)時, f'(r)<0, f(r)單調遞減,即半徑越大,利潤越低,
當r∈(2,6)時, f'(r)>0, f(r)單調遞增,即半徑越大,利潤越高,
所以當r=2時,函數f(r)取得最小值,
又f(0)=0, f(6)=,所以當r=6時,函數f(r)取得最大值,
因為f(3)==0,所以當r=3時,制造商不獲利.故選BCD.
9.答案　2π
解析　設圓錐的底面半徑為r,則圓錐的高h=,0體積V=πr2h=πr2=π.
令t=r2,則t∈(0,9),令f(t)=(9-t)t2,則f '(t)=-3t2+18t=-3t(t-6),
當t∈(0,6)時, f '(t)>0, f(t)單調遞增,當t∈(6,9)時, f '(t)<0, f(t)單調遞減,
所以當t=6,即r=,h==時, f(t)取得最大值,即V取得最大值,
此時Vmax=πr2h=×6×=2π.
10.解析　(1)當0當x=5時,P(x)取到最大值9,即企業的最大月利潤為9萬元.
(2)當x≥6時,P(x)=13-ln x-,P'(x)=-+=,
若6≤x0,P(x)單調遞增;若x>e3,則P'(x)<0,P(x)單調遞減,
所以當x=e3時,P(x)取到最大值,為P(e3)=9.
由(1)知當x=5時,P(x)也取到最大值9,
綜上,當月產量為5萬件或e3萬件時,企業的月利潤最大.
建議:當月產量為5萬件或e3萬件時,月利潤最大,考慮到時間成本,建議月產量為5萬件最合適.
11.解析　(1)由題可知∠DAO=θ,OC⊥AB,OA=OB=50,
所以DA=DB=,DO=50tan θ,所以DC=50-50tan θ,
所以y=DA+DB+DC=+50-50tan θ=50,0<θ<.
(2)y'=,令y'=0,得sin θ=,
又0<θ<,所以θ=,
當0<θ<時,y'<0,原函數單調遞減,
當<θ<時,y'>0,原函數單調遞增,
所以當θ=時,ymin=50(+1),此時DO=50tan θ=.
所以當觀景臺D位于OC上且距離點O m時,三段架空木棧道的總長度最短.
10

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