資源簡介

第二章　導數及其應用
§1　平均變化率與瞬時變化率
1.1　平均變化率　1.2　瞬時變化率
基礎過關練
題組一　平均變化率
1.已知函數f(x)=2x2-x+1,則f(x)從1到1+Δx的平均變化率為(　　)
A.2Δx+3　　　　　B.4Δx+3
C.2(Δx)2+3Δx　　　　　D.2(Δx)2-Δx+1
2.一個物體做直線運動,其位移s(單位:m)與時間t(單位:s)之間的函數關系為s(t)=6t2+mt,且這一物體在1≤t≤2這段時間內的平均速度為20 m/s,則實數m的值為(　　)
A.2　　　　　B.1　　　　
C.-1　　　　　D.-2
3.(多選題)已知汽車行駛的路程s和時間t之間的函數圖象如圖所示,在時間段[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]內的平均速度分別為,,,則下列說法正確的是(　　)
A.<　　　　　
B.=
C.>　　　　　
D.<
4.設函數y=x3與函數y=x2在x=2處附近的平均變化率分別為m1,m2,則m1　　m2.(填“>”“<”或“=”)
5.函數f(x)的圖象如圖所示,則函數f(x)在區間[-1,1]上的平均變化率為　　;在區間[0,2]上的平均變化率為　　　　.
題組二　瞬時變化率
6.一質點做直線運動,若它所經過的路程s(單位:m)與時間t(單位:s)的關系為s(t)=4t2-2,則它在t=2 s時的瞬時速度為(　　)
A.16 m/s　　　　B.14 m/s　　　　
C.13 m/s　　　　D.12 m/s
7.一輛汽車按規律s=at2+1做直線運動,若汽車在t=2時的瞬時速度為12,則a=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.2　　　　D.3
8.日常生活中的飲用水通常是經過凈化的,隨著水的純凈度的提高,所需凈化費用不斷增加.已知將1噸水凈化到純凈度為x%時所需費用(單位:元)為c(x)=(809.航天飛機升空后一段時間內,其高度與時間滿足h(t)=5t3+30t2+45t+4,其中高度h的單位為m,時間t的單位為s.
(1)h(0),h(1),h(2)分別表示什么
(2)求第2 s內的平均速度;
(3)求第2 s末的瞬時速度.
答案與分層梯度式解析
1.A　由f(x)=2x2-x+1可得f(1)=2, f(1+Δx)=2(1+Δx)2-(1+Δx)+1=2(Δx)2+3Δx+2.
所以f(x)從1到1+Δx的平均變化率為==2Δx+3.
故選A.
2.A　Δs=s(2)-s(1)=6×22+2m-(6×12+m)=18+m,Δt=2-1=1,
因為該物體在1≤t≤2這段時間內的平均速度為20 m/s,
所以=18+m=20,解得m=2.
方法總結　要求物體在一段時間里的平均速度,就要知道物體在這段時間里走過的路程,用路程除以時間即得平均速度.
3.AD　設直線OA,AB,BC的斜率分別為kOA,kAB,kBC,由題意得=kOA,=kAB,=kBC,由題圖可得kOA4.答案　>
解析　由題意得m1==(Δx)2+6Δx+12,m2==Δx+4,∴m1-m2=(Δx)2+5Δx+8=+>0,∴m1>m2.
5.答案　;
解析　由題中函數f(x)的圖象可得f(x)=所以函數f(x)在區間[-1,1]上的平均變化率為==;在區間[0,2]上的平均變化率為==.
6.A　已知s(t)=4t2-2,則====4Δt+16,
當Δt趨于0時,4Δt+16趨于16,
所以它在t=2 s時的瞬時速度為16 m/s.
故選A.
7.D　由已知可得==2at+aΔt,當Δt趨于0時,2at+aΔt趨于2at,因為汽車在t=2時的瞬時速度為12,所以2a×2=12,解得a=3.故選D.
8.答案　25
解析　當x=99時,所需費用的瞬時變化率為==,
當Δx趨于0時,趨于5 284,即此時的瞬時變化率為5 284.當x=95時,所需費用的瞬時變化率為==,
當Δx趨于0時,趨于,即此時的瞬時變化率為.
5 284÷=25,所以凈化到純凈度為99%時所需費用的瞬時變化率是凈化到純凈度為95%時所需費用的瞬時變化率的25倍.
9.解析　(1)h(0)表示航天飛機發射前的高度;
h(1)表示航天飛機升空后第1 s時的高度;
h(2)表示航天飛機升空后第2 s時的高度.
(2)航天飛機升空后第2 s內的平均速度為=
=170(m/s).
(3)Δh=h(2+Δt)-h(2)=5(2+Δt)3+30(2+Δt)2+45(2+Δt)+4-(5×23+30×22+45×2+4)=5(Δt)3+60(Δt)2+225Δt,所以=5(Δt)2+60Δt+225,當Δt趨于0時,5(Δt)2+60Δt+225趨于225,因此第2 s末的瞬時速度為225 m/s.
易錯警示　解題時要注意t秒末與t秒初的區別,求t秒末的瞬時速度就是求t秒時的瞬時速度,而求t秒初的瞬時速度則是求(t-1)秒時的瞬時速度.
7(共9張PPT)
1.概念:對一般的函數y=f(x)來說,當自變量x從x1變為x2時,函數值從f(x1)變為f(x2),它在區間[x1,x
2]上的平均變化率= .通常我們把自變量的變化x2-x1稱作自變量x的改變量,記作Δx,
函數值的變化f(x2)-f(x1)稱作函數值y的改變量,記作Δy.這樣,函數的平均變化率就可以表示為
函數值的改變量與自變量的改變量之比,即 = .
2.作用:用平均變化率來刻畫函數值在區間[x1,x2]上變化的快慢.
§1 平均變化率與瞬時變化率
知識點 1 平均變化率
知識 清單破
1.概念:對于一般的函數y=f(x),在自變量x從x0變到x1的過程中,若設Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),則該
函數的平均變化率為 = = .如果當Δx趨于0時,平均變化率趨于
某個值,那么這個值就是f(x)在點x0處的瞬時變化率.
2.作用:瞬時變化率刻畫的是函數在某一點處變化的快慢.
知識點 2 瞬時變化率
1.平均速度:設物體運動的位移s與時間t的關系是s=s(t),則從t0到t1這段時間內,物體運動的平
均速度 = .
2.瞬時速度:設物體運動的位移s與時間t的關系是s=s(t),當Δt趨于0時,函數s(t)在t0到t0+Δt之間
的平均變化率 = 趨于一個常數,我們把這個常數稱為物體在t0時刻的瞬時速度.
知識點 3 平均速度與瞬時速度
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.已知某質點的運動規律為s(t)=5t2,則在t=1到t=3這段時間內,該質點的平均速度為20. ( )
2.如果質點A的運動方程為s=3t2,則它在t=1時的瞬時速度為6. (　 )
3.Δx趨于0表示Δx的值最后變為0. (　 )
4.函數的平均變化率為零說明函數值沒有發生變化. (　 )
5.函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率與Δx的正負無關. (　 )
6.運動物體在某一時刻的瞬時加速度為0,說明該時刻物體停止運動. (　 )
知識辨析
√
√
√



提示
提示
= =6+3Δt.當Δt趨于0時,平均變化率趨于6,故質點A在t=1時的瞬時速
度為6.
在瞬時變化率的定義中,若Δx改變符號,則Δy也相應改變符號,故y=f(x)在x=x0處的瞬時
變化率與Δx的正負無關.
1.求函數f(x)在區間[x1,x2]上的平均變化率的三個步驟
(1)求自變量的改變量x2-x1;
(2)求函數值的改變量f(x2)-f(x1);
(3)求平均變化率 .
2. f(x)在點x0附近的平均變化率可用 求得.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 求函數的平均變化率
在高臺跳水運動中,運動員的重心相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單
位:s)存在函數關系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
(1)求運動員在第一個0.5 s內的平均速度;
(2)求運動員在1≤t≤2這段時間內的平均速度.
典例
解析 (1)運動員在第一個0.5 s內高度h的平均變化率為 =4.05,
故運動員在第一個0.5 s內的平均速度為4.05 m/s.
(2)在1≤t≤2這段時間內,高度h的平均變化率為 =-8.2.
故運動員在1≤t≤2這段時間內的平均速度為-8.2 m/s.
規律總結 結合物理知識可知,在第一個0.5 s內,高度h的平均變化率為正值,表示此時運動員
處于上升狀態;在1≤t≤2這段時間內,高度h的平均變化率為負值,表示此時運動員處于下降
狀態.事實上平均變化率的值可正,可負,也可以是0.
1.求函數y=f(x)在點x0處的瞬時變化率的步驟
(1)求函數y=f(x)在點x0附近的平均變化率 = .
(2)當Δx趨于0時,得出 所趨于的某一常數A,常數A即為函數y=f(x)在點x0處的瞬時變化率.
2.Δx趨于0是指自變量的改變量Δx無限接近于0,但始終不為0.
疑難 2 求函數的瞬時變化率
講解分析
一質點做直線運動,其位移s與時間t的關系為s(t)=t2+2t,設其在t∈[2,3]內的平均速度為v
1,在t=3時的瞬時速度為v2,則 = (　 )
A. 　 B. 　
C. 　 D.
典例
B
解析 由題意得v1= = =7,
= =8+Δt,
當Δt趨于0時,8+Δt趨于8,
即v2=8,
所以 = .

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