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第四章　數(shù)列
4.1　數(shù)列的概念
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　數(shù)列的概念及分類
1.下列說法中,正確的是(　　)
A.數(shù)列2,4,6,8可表示為集合{2,4,6,8}
B.數(shù)列1,2,3,4與數(shù)列4,3,2,1是相同的數(shù)列
C.數(shù)列{n2+n}的第k(k∈N*)項為k2+k
D.數(shù)列0,1,2,3,4,…可記為{n}(n∈N*)
2.(多選題)下面四個結(jié)論中,錯誤的是(　　)
A.數(shù)列可以看作一個定義在正整數(shù)集(或它的有限子集)上的函數(shù)
B.數(shù)列的項數(shù)一定是無限的
C.數(shù)列的通項公式的形式是唯一的
D.每個數(shù)列都有通項公式
題組二　數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用
3.數(shù)列2,-5,10,-17,…的一個通項公式為an=(　　)
A.(-1)n+1(3n-1)　　　　B.(-1)n(3n-1)
C.(-1)n+1(n2+1)　　　　D.(-1)n(n2+1)
4.(多選題)下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是(　　)
A.已知數(shù)列,…,按照這個規(guī)律,這個數(shù)列的第211項為
B.數(shù)列{an}的通項公式為an=n(n+1),則120是該數(shù)列的第11項
C.在數(shù)列1,,…中,第8項是2
D.數(shù)列3,5,9,17,33,…的一個通項公式為an=2n+1
5.如圖,觀察并閱讀圖形下面的文字,像這樣10條直線相交,交點的個數(shù)最多為(　　)
2條直線相交, 3條直線相交, 4條直線相交,
最多有1個交點 最多有3個交點 最多有6個交點
A.40　　　　B.45　　　　C.50　　　　D.55
6.寫出下列各數(shù)列的一個通項公式:
(1),…;
(2)-1,,…;
(3)2,,…;
(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,….
題組三　數(shù)列的遞推公式及簡單應(yīng)用
7.大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論,主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程中曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和,是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.已知該數(shù)列的前10項依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,則這個數(shù)列的第19項與第20項的和為(　　)
A.364　　　　B.380　　　　
C.384　　　　D.396
8.已知數(shù)列{an}滿足an+1=,若a1=2,則a2 024=(　　)
A.2　　　　B.-1　　　　
C.　　　　D.-2
9.已知數(shù)列{an}滿足a2=0,a2n+1=a2n+(n∈N*),則數(shù)列{an}的第2 024項為(　　)
A.　　　　
C.
10.已知數(shù)列{an}滿足an+1=an,且a1=1,則an=(　　)
A.　　　　
C.
11.(多選題)已知正項數(shù)列{an}滿足an+1=則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.若a1=10,則a2 023=2
B.若a3=16,則a1的值有3種情況
C.若數(shù)列{an}滿足an+2=an,則a1=3
D.若an為奇數(shù),則an-1=2an(n≥2)
題組四　數(shù)列的前n項和及簡單應(yīng)用
12.(多選題)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=9n-n2,則下列說法正確的是(　　)
A.{an}是遞減數(shù)列
B.a10=-14
C.當(dāng)n>5時,an<0
D.當(dāng)n=4或n=5時,Sn取得最大值
13.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且對一切正整數(shù)n,點(n,Sn)都在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上,若bn=,則數(shù)列{bn}的前(n+1)項和Tn+1=(　　)
A.　　　　
B.
C.　　　　
D.
14.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sn=2×3n-3,則an=　　　.
15.設(shè)數(shù)列{bn}滿足+…+=2n-1,則{bn}的通項公式為　　　　.
16.已知數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=則a7=　　　,數(shù)列{an}的前99項和為　　　.
能力提升練
題組一　數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用
1.(多選題)已知數(shù)列{an}的前5項依次為2,0,2,0,2,則下列可以作為數(shù)列{an}的通項公式的有(　　)
A.an=　　　　B.an=(-1)n+1
C.an=2
2.已知an=-n2+2λn,則“λ≤1”是“{an}是遞減數(shù)列”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.既不充分也不必要條件
D.充要條件
3.已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,且an=則a的取值范圍是(　　)
A.
4.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=n×,則數(shù)列{an}中的最大項的項數(shù)為(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.2或3　　　　D.4
5.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=,給出下列四個結(jié)論:
①數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,且存在常數(shù)m≤-2,使得an>m恒成立;
②數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,且存在常數(shù)m≤-2,使得an>m恒成立;
③數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,且存在常數(shù)m<0,使得an≤m恒成立;
④數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,且存在常數(shù)m<0,使得an≤m恒成立.
其中正確的結(jié)論有(　　)
A.1個　　　　B.2個　　　　C.3個　　　　D.4個
題組二　數(shù)列的遞推公式及其應(yīng)用
6.在計算機語言中,函數(shù)y=INT(x)叫做取整函數(shù)(也叫高斯函數(shù)),其中INT(x)表示不超過x的最大整數(shù),如INT(0.9)=0,INT(3.14)=3.已知an=INT,b1=a1,bn=an-10an-1(n為正整數(shù)且n≥2),則b2 024等于(　　)
A.8　　　　B.7　　　　C.5　　　　D.2
7.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1+an=(n+1)·
cos(n≥2,n∈N*),Sn是數(shù)列{an}的前n項和,則S2 023=(　　)
A.-1 011　　　　B.-1 012　　　　
C.2 022　　　　D.2 023
8.已知數(shù)列{an}對任意的n∈N*都有an+1<,且a1+a2+…+a9=9,則下列說法正確的是(　　)
A.數(shù)列{an+1-an}為遞減數(shù)列,且a5>1
B.數(shù)列{an+1-an}為遞增數(shù)列,且a5>1
C.數(shù)列{an+1-an}為遞減數(shù)列,且a5<1
D.數(shù)列{an+1-an}為遞增數(shù)列,且a5<1
9.蜜蜂是母系社會生物,蜂后產(chǎn)的卵若能受精則孵化為雌蜂,若不能受精則孵化為雄蜂,即雄蜂是“有母無父”的,雌蜂是“有父有母”的,下圖是某只雄蜂的家系圖,規(guī)定:其“父母”為上溯第1代祖輩,其“祖父母”為上溯第2代祖輩,以此類推,記Fn表示該雄蜂上溯第n代祖輩的數(shù)量,例如F1=1.則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A.F7+F9>F10　B.F8+F10>2F9 C.F8+F9>F7+F10　D.4F5+F9>F10
題組三　數(shù)列的前n項和及其應(yīng)用
10.如圖,第1個圖案的總點數(shù)記為a1,第2個圖案的總點數(shù)記為a2,第3個圖案的總點數(shù)記為a3,……,依此類推,第n個圖案的總點數(shù)記為an,則+…+=(　　)
…
A.
11.已知數(shù)列{an}滿足an=,則|a2-a1|+|a3-a2|+…+|a10-a9|的值為(　　)
A.
12.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,下列說法錯誤的是(　　)
A.若an=則S50=-1 275
B.若a1=1,=n-1(n≥2),則a4=6
C.若an=(-1)n-1·,則S100=
D.若a1=1,a2=2,且anan+1an+2=an+an+1+an+2,則S36=72
13.(多選題)已知數(shù)列{an}的通項公式為an=,前n項和為Sn,則下列說法正確的是(　　)
A.數(shù)列{an}有最小項,沒有最大項
B.使an∈Z的項共有6項
C.滿足anan+1an+2≤0的n的值共有7個
D.使Sn取得最小值的n為7
14.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足a1+3a2+5a3+…+(2n-1)an=2n(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)記bn=,設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,證明:≤Tn<1.
15.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且6Sn=(3n+2)an+2.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若bn=,求數(shù)列{bn}的前100項和T100.
答案與分層梯度式解析
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.C　對于A,由數(shù)列的定義易知A錯誤;
對于B,兩個數(shù)列排列次序不同,是不同的數(shù)列,故B錯誤;
對于C,數(shù)列{n2+n}的第k(k∈N*)項為k2+k,故C正確;
對于D,因為0∈N,所以n∈N,這與n∈N*矛盾,故D錯誤.
故選C.
2.BCD　結(jié)合數(shù)列的定義與函數(shù)的概念可知,A中結(jié)論正確;有窮數(shù)列的項數(shù)就是有限的,B中結(jié)論錯誤;數(shù)列的通項公式的形式不一定唯一,C中結(jié)論錯誤;并不是所有的數(shù)列都有通項公式,如根據(jù)精確度,π的不同近似值可形成一個數(shù)列:3,3.1,3.14,3.141,…,但它沒有通項公式,D中結(jié)論錯誤.故選BCD.
3.C　對于A,當(dāng)n=3時,(-1)n+1(3n-1)=8≠10,舍去;
對于B,當(dāng)n=1時,(-1)n(3n-1)=-2≠2,舍去;
對于D,當(dāng)n=1時,(-1)n(n2+1)=-2≠2,舍去;
對于C,經(jīng)檢驗,數(shù)列2,-5,10,-17,…的一個通項公式為an=(-1)n+1(n2+1).故選C.
4.ACD　對于A,由題意得該數(shù)列的一個通項公式為an=,則a211=,故A正確;
對于B,令n(n+1)=120,則n2+n-120=0,顯然11不是方程的解,故B錯誤;
對于C,數(shù)列1,,…可改寫為,…,所以數(shù)列的一個通項公式為an=,所以第8項是,故C正確;
對于D,數(shù)列3,5,9,17,33,…可改寫為21+1,22+1,23+1,24+1,25+1,…,所以該數(shù)列的一個通項公式為an=2n+1,故D正確.
故選ACD.
5.B　由題圖可得,交點個數(shù)的最大值構(gòu)成數(shù)列1,3,6,…,即,…,由此猜想該數(shù)列的一個通項公式為an=,易知10條直線相交的交點個數(shù)的最大值為該數(shù)列的第9項,∴a9==45,故選B.
6.解析　(1)數(shù)列中每一項的分子比分母小1,且分母可依次寫成21,22,23,24,25,…,所以數(shù)列的一個通項公式為an=.
(2)數(shù)列的奇數(shù)項為負(fù),偶數(shù)項為正.把-1看成-,則各項的絕對值的分母依次為3,5,7,9,…,可寫成2n+1,分子依次為3,8,15,24,…,可化為1×3,2×4,3×5,4×6,…,可寫成n(n+2),所以數(shù)列的一個通項公式為an=(-1)n·.
(3)數(shù)列可寫成,…,所以數(shù)列的一個通項公式為an=.
(4)將數(shù)列變形為1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…,所以數(shù)列的一個通項公式為an=n+.
7.B　觀察數(shù)列的前10項可發(fā)現(xiàn)偶數(shù)項的通項公式為a2n=2n2,奇數(shù)項的通項公式為a2n-1=a2n-2n=2n2-2n,
則這個數(shù)列的第20項為a20=2×102=200,
第19項為a19=a20-20=180,
所以這個數(shù)列的第19項與第20項的和為380.
8.B　由an+1=,a1=2,可得a2=-1,a3=,a4=2,……,
所以數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列,
因為2 024=3×674+2,所以a2 024=a2=-1.
故選B.
規(guī)律總結(jié)　周期數(shù)列的常見結(jié)論:若an+1=,則數(shù)列{an}的周期為3;若an+1=1-,則數(shù)列{an}的周期為3;若an+1=,則數(shù)列{an}的周期為4;若an+2=an+1-an,則數(shù)列{an}的周期為6.
9.C　由已知得a2n+2=a2n+1-(n∈N*),
所以a2 024=a2 022+,
a2 022=a2 020+,
a2 020=a2 018+,
……
a6=a4+,
a4=a2+1-,
累加得a2 024=a2+1-+…+=0+1-.
故選C.
規(guī)律總結(jié)　若an+1-an=f(n),則通常用累加法求{an}的通項公式,若利用累加得到an(n≥2),需注意驗證a1是否符合.
10.B　由an+1=an,得,
所以,……,(n≥2),
所以×…×,所以,
因為a1=1,所以an=,
經(jīng)檢驗a1=1滿足上式,所以an=,故選B.
規(guī)律總結(jié)　若=f(n)或=f(n),則通常用累乘法求{an}的通項公式,若利用累乘得到an(n≥2),需注意驗證a1是否符合.
11.BD　對于A,由a1=10及題意得該數(shù)列為10,5,8,4,2,1,4,2,1,4,2,1,…,
則a3n+1=4,a3n+2=2,a3n+3=1,又2 023=3×674+1,所以a2 023=4,A錯誤.
對于B,若a2為偶數(shù),則a2=2a3=32,于是a1=64或a1=29;
若a2為奇數(shù),則a2=a3-3=13,于是a1=26,因此a1的值會出現(xiàn)3種情況,B正確.
對于C,由數(shù)列{an}滿足an+2=an,得數(shù)列{an}是周期為2的周期數(shù)列,所以a3=a1,
當(dāng)a1為偶數(shù)時,a2=,則a3=+3=a1或a3==a1,解得a1=6或a1=0(舍去);
當(dāng)a1為奇數(shù)時,a2=a1+3,則a3==a1,解得a1=3,因此a1=3或a1=6,C錯誤.
對于D,若an-1為奇數(shù),則an=an-1+3,為偶數(shù),與an為奇數(shù)矛盾,因此an-1為偶數(shù),所以an=,則an-1=2an(n≥2),D正確.故選BD.
12.ACD　由Sn=9n-n2可得,
當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=-2n+10,
又a1=S1=8=-2×1+10,適合上式,
所以數(shù)列{an}的通項公式為an=-2n+10.
對于A,由an+1-an=-2<0,得an+1對于B,a10=-2×10+10=-10,所以B錯誤;
對于C,令an=-2n+10<0,得n>5,所以C正確;
對于D,因為Sn=9n-n2=-,n∈N*,所以當(dāng)n=4或n=5時,Sn取得最大值,所以D正確.故選ACD.
13.C　由題意得Sn=n2+2n,當(dāng)n≥2,n∈N*時,an=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1,
又a1=S1=3滿足上式,∴an=2n+1,n∈N*,
∴bn=,
∴Tn+1=b1+b2+…+bn+1=+…+.故選C.
規(guī)律總結(jié)　裂項求和的常見類型:
接龍型:an=;
隔項型:an=;
三項型:an=;
指數(shù)型:an=;
根式型:an=).
14.答案　
解析　當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=2×3n-3-2×3n-1+3=4×3n-1,
當(dāng)n=1時,a1=S1=2×3-3=3不滿足上式易錯點,
所以an=
15.答案　bn=
解析　設(shè)Tn=+…+,
當(dāng)n=1時,T1==2×1-1=1,即b1=2,
當(dāng)n≥2時,Tn-Tn-1==2n-1-[2(n-1)-1]=2,故bn=2n+1,
經(jīng)檢驗b1=2不符合bn=2n+1,所以bn=
16.答案　3;
解析　由a1=3,an+1=
得a2=1-a1=-2,a3==3,a8=1-a7=-2,……,
所以數(shù)列{an}是以6為周期的周期數(shù)列,
所以數(shù)列{an}的前99項和為16(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+a1+a2+a3=.
能力提升練
1.AC　對于A,C,易得a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,a5=2,符合題意;
對于B,a1=0,不符合題意;對于D,a2=2,不符合題意.故選AC.
2.A　因為數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,所以λ<
易錯點.因為{λ|λ≤1} ,所以“λ≤1”是“{an}是遞減數(shù)列”的充分不必要條件.故選A.
3.D　因為數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,且an=
所以則a的取值范圍是.故選D.
易錯警示　本題中的數(shù)列{an}是分段數(shù)列并且為遞增數(shù)列,需要每段上分別單調(diào)遞增,且數(shù)列的每一項都小于它的后一項,即分段端點滿足后一項大于前一項,而函數(shù)f(x)=在R上單調(diào)遞增,還需滿足(2a-1)×5+4≤(4-a)5-4+15.二者不同,解題時需要注意.
4.C　由題意得a1=1×當(dāng)n≥4時,an+1-an=(n+1)·-n·<0,所以an+1所以數(shù)列{an}中的最大項的項數(shù)為2或3.
故選C.
5.B　因為an=,所以an+1=,
所以an+1-an=<0,
所以{an}為遞減數(shù)列,故①③錯誤.
由an=,
可知當(dāng)n→+∞且n∈N*時,an→-2,當(dāng)n=1時,a1=-2+,所以an∈,
當(dāng)m≤-2時,an>m恒成立;
當(dāng)-≤m<0時,an≤m恒成立,故②④正確.故選B.
6.A　由已知得b1=a1=INT=2,
a2=INT=28,所以b2=a2-10a1=28-20=8,
同理可得,b3=5,b4=7,b5=1,b6=4,b7=2,b8=8,……,
所以{bn}是周期為6的周期數(shù)列,由2 024=6×337+2,得b2 024=b2=8.故選A.
7.B　由an+1+an=(n+1)cos(n≥2,n∈N*),得a2+a3=(2+1)×cos=5,
a6+a7=(6+1)×cos=-7,
a8+a9=(8+1)×cos=9,
a10+a11=(10+1)×cos=-11,
……
a2 020+a2 021=(2 020+1)×cos=2 021,
a2 022+a2 023=(2 022+1)×cos=-2 023,
∴S2 023-a1=a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11+…+a2 020+a2 021+a2 022+a2 023=-3+5-7+9-11+…+2 021-2 023=2×-2 023=-1 013,
∴S2 023=-1 013+a1=-1 012.故選B.
8.D　∵數(shù)列{an}對任意的n∈N*都有an+1<,
∴an+2-an+1>an+1-an,∴(an+2-an+1)-(an+1-an)>0,
∴{an+1-an}為遞增數(shù)列.
∴a6-a5>a5-a4,即a4+a6>2a5,
a7-a6>a4-a3,即a3+a7>a4+a6,
同理可得,2a5∴a1+a2+a3+…+a9=(a1+a9)+(a2+a8)+(a3+a7)+(a4+a6)+a5>9a5,即9a5<9,∴a5<1.故選D.
9.B　由題意得F1=1,F2=2,當(dāng)n≥3時,Fn=Fn-1+Fn-2.
對于A,F10=F9+F8>F7+F9,A錯誤;
對于B,F8+F10=F8+F8+F9>F7+F8+F9=F9+F9=2F9,B正確;
對于C,F7+F10=F7+F8+F9>F8+F9,C錯誤;
對于D,F10-F9-4F5=F8-4F5=F7+F6-4F5=F6+F4-2F5=F4+F4-F5=F4-F3>0,故4F5+F9故選B.
10.A　由題圖得,a1=1,a2=3=3×(2-1),a3=6=3×(3-1),a4=9=3×(4-1),a5=12=3×(5-1),……,
∴當(dāng)n>1,n∈N*時,an=3(n-1)=3n-3,
當(dāng)n>1,n∈N*時,,
∴+…++…+.故選A.
11.A　由已知得an+1-an=,
當(dāng)n=1時,a2-a1>0;
當(dāng)n≥2時,an+1-an<0,
所以|a2-a1|+|a3-a2|+…+|a10-a9|
=a2-a1+a2-a3+a3-a4+…+a9-a10=2a2-a1-a10
=2-(-1)-.
故選A.
12.C　對于A,由已知得S50=12-22+32-42+…+492-502=-3-7-11-…-99=-1 275,故A中說法正確;
對于B,a4=×a1=3×2×1×1=6,故B中說法正確;
對于C,因為an=(-1)n-1·,
所以S100=-…-,故C中說法錯誤;
對于D,當(dāng)n=1時,可得a3=3,當(dāng)n=2時,可得a4=1,依次可求得a5=2,依此類推,可知該數(shù)列的周期為3,故S36=12×(1+2+3)=72,故D中說法正確.
故選C.
13.BD　對于A,an=,
易知{an}在[1,7]和[8,+∞)上均單調(diào)遞減,當(dāng)n∈[1,7]時,an<1,當(dāng)n∈[8,+∞)時,an>1,所以an的最大值為a8=10,最小值為a7=-8,
故數(shù)列{an}有最小項,也有最大項,故A錯誤.
對于B,易知當(dāng)an∈Z時,2n-15應(yīng)為9的約數(shù),故2n-15的值為±1,±3,±9,
結(jié)合n為正整數(shù),得n=3,6,7,8,9,12,故B正確.
對于C,當(dāng)1≤n≤2或n≥8時,an>0,當(dāng)4≤n≤7時,an<0,當(dāng)n=3時,an=0,
故當(dāng)n=1,2,3,4,5,7時,滿足anan+1an+2≤0,共有6個這樣的n,故C錯誤.
對于D,由已知得{an}從第8項起均為正數(shù),故{Sn}的最小項為S7,故D正確.故選BD.
14.解析　(1)由a1+3a2+5a3+…+(2n-1)an=2n(n∈N*)①,可得當(dāng)n=1時,a1=2,
當(dāng)n≥2時,a1+3a2+5a3+…+(2n-3)an-1=2n-2②,
①-②可得(2n-1)an=2,即an=,
當(dāng)n=1時,a1=2滿足上式,
所以an=(n∈N*).
(2)證明:由(1)可得bn=,
所以Tn=+…+,
因為Tn=1-隨著正整數(shù)n的增大而增大,且>0,所以T1≤Tn<1,即≤Tn<1,得證.
15.解析　(1)由6Sn=(3n+2)an+2得當(dāng)n=1時,6S1=6a1=5a1+2,所以a1=2,
當(dāng)n≥2時,6Sn-1=(3n-1)an-1+2,
所以6Sn-6Sn-1=6an=(3n+2)an-(3n-1)an-1,
所以,……,,
累乘得×…×,所以an=3n-1(n≥2),
當(dāng)n=1時,a1=2滿足上式,所以an=3n-1.
(2)由(1)得bn=,
所以T100=+…+.
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4.1 數(shù)列的概念
知識點 1 數(shù)列的概念
必備知識 清單破
1.概念
　　按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.數(shù)列的
第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項,也叫做首項.
2.表示
{an}表示一個數(shù)列,an表示數(shù)列中的第n項,其中n∈N*.
3.數(shù)列的分類
(1)按項數(shù)可分為有窮數(shù)列、無窮數(shù)列.
(2)按項的變化趨勢可分為遞增數(shù)列(an+1>an)、遞減數(shù)列(an+1an,有些項滿足 an+14.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系
　　數(shù)列{an}可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})為定義域的函數(shù)an=f(n),當(dāng)
自變量按照從小到大的順序依次取值時,對應(yīng)的一列函數(shù)值f(1), f(2),…, f(n),…就是數(shù)列{an}.
反過來,對于函數(shù)y=f(x),如果f(n)(n∈N*)有意義,那么f(1), f(2),…, f(n),…構(gòu)成了一個數(shù)列{f(n)}.
與其他函數(shù)一樣,數(shù)列也可以用表格和圖象來表示.
1.通項公式
　　如果數(shù)列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示,那么這個
式子叫做這個數(shù)列的通項公式,通項公式反映了項與序號之間的關(guān)系.
2.遞推公式
　　如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫做
這個數(shù)列的遞推公式.遞推公式反映了項與項之間的關(guān)系.
知識點 2 數(shù)列的通項公式與遞推公式
注意 (1)不是所有的數(shù)列都有通項公式和遞推公式.
(2)數(shù)列的通項公式在形式上不一定是唯一的.
1.數(shù)列的前n項和
　　我們把數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項之和,稱為數(shù)列{an}的前n項和,記作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.
2.數(shù)列中an與Sn的關(guān)系
　　當(dāng)n=1時,S1=a1,當(dāng)n≥2時,Sn-1=a1+a2+…+an-1,則有an=
知識點 3 數(shù)列的前n項和
知識辨析
1.符號an和{an}表示的意思相同嗎
2.1,1,1,1,1是數(shù)列嗎
3.數(shù)列1,2,3,4,5與數(shù)列5,4,3,2,1是同一個數(shù)列嗎
4.S2n是表示數(shù)列{an}中所有偶數(shù)項的和嗎
5.已知數(shù)列{an},{bn},{cn}滿足an= bn= ,cn= ,其中n∈N*,那么這三個數(shù)
列是同一個數(shù)列嗎
一語破的
1.不相同.an表示數(shù)列{an}中的第n項或通項,而{an}表示整個數(shù)列.
2.是.這是一個常數(shù)列.
3.不是.數(shù)列中的數(shù)是有序的,當(dāng)順序不同時,便不是同一個數(shù)列.
4.不是.S2n表示數(shù)列{an}中前2n項的和,即S2n=a1+a2+…+a2n.
5.是.三個數(shù)列都可以寫成0,1,0,1,…的形式,故這三個數(shù)列是同一個數(shù)列.
定點 1 求數(shù)列的通項公式
關(guān)鍵能力 定點破
根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出它的一個通項公式的步驟
(1)從下面4個角度觀察數(shù)列的前幾項:
①各項的符號特征;
②各項能否拆分,以及拆分后的特征;
③分式的分子、分母的特征;
④相鄰項的變化規(guī)律.
(2)尋找各項與對應(yīng)的項的序號之間的規(guī)律,一般方法如下:
①統(tǒng)一項的結(jié)構(gòu),將數(shù)列的各項拆分成若干個常見數(shù)列的“和”“差”“積”“商”,如都
化成分?jǐn)?shù)、根式等;
②分析結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分,探索變化部分與對應(yīng)序號之間的函數(shù)解析式;
③當(dāng)一個數(shù)列各項的符號出現(xiàn)“+”“-”相間時,應(yīng)把符號分離出來,可用(-1)n+1或(-1)n來表
示;
④當(dāng)數(shù)列的奇偶項分別呈現(xiàn)各自的規(guī)律時,一般考慮用分段的形式給出,有時也可以將給出
的各項統(tǒng)一化成某種形式.
典例　根據(jù)下列數(shù)列的前幾項寫出它的一個通項公式.
(1) ,2, ,8,…;
(2)1 ,2 ,3 ,4 ,…;
(3)1,0, ,0, ,0,…;
(4)5,55,555,5 555,…;
(5)- , ,- , ,….
解析 (1)將數(shù)列中的各項都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)的形式,為 , , , ,…,所以它的一個通項公式為an
= ,n∈N*.
(2)將數(shù)列的前4項拆分為1+ ,2+ ,3+ ,4+ ,觀察可得數(shù)列的一個通項公式為an=n+ ,n∈N*.
(3)數(shù)列的偶數(shù)項為0,奇數(shù)項為 ,因此數(shù)列的一個通項公式為an= n∈N*.
(4)數(shù)列中的各項可化成 ×9, ×99, ×999, ×9 999,…,即 ×(10-1), ×(102-1), ×(103-1), ×(104-1),…,所以數(shù)列的一個通項公式為an= ×(10n-1),n∈N*.
(5)將數(shù)列中的各項變形得- , ,- , ,…,觀察可得數(shù)列的一個通項公式為an= ,
n∈N*.
1.判斷數(shù)列單調(diào)性的方法
(1)轉(zhuǎn)化為函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)求解;
(2)作差法:判斷任意相鄰兩項的差an+1-an與0的大小關(guān)系;
(3)作商法:當(dāng)數(shù)列各項非零且同號時,判斷任意相鄰兩項的商 與1的大小關(guān)系.
2.求數(shù)列中的最大(或最小)項的方法
(1)構(gòu)造函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)一步求出數(shù)列的最大(或最小)項.
(2)利用 (n≥2,n∈N*)求數(shù)列中的最大項an;利用 (n≥2,n∈N*)求數(shù)列中的最
小項an.當(dāng)所得解不唯一時,比較各解的大小即可.
定點 2 數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系
典例　在數(shù)列{an}中,an=n2+λn,n∈N*.
(1)當(dāng)λ=-7時,討論{an}的單調(diào)性;
(2)若數(shù)列{an}的第7項是最小項,求實數(shù)λ的取值范圍.
思路點撥 (1)思路一:運用作差法比較an+1與an的大小,進(jìn)而判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性.思路二:利
用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.
(2)由a7是最小項列出不等式組 從而求出實數(shù)λ的取值范圍.
解析 (1)解法一:當(dāng)λ=-7時,an=n2-7n,an+1=(n+1)2-7(n+1)=n2-5n-6,
所以an+1-an=n2-5n-6-(n2-7n)=2n-6.
當(dāng)1≤n≤3,n∈N*時,an+1-an≤0,即an+1≤an,{an}單調(diào)遞減;
當(dāng)n≥4,n∈N*時,an+1-an>0,即an+1>an,{an}單調(diào)遞增.
解法二:當(dāng)λ=-7時,an=n2-7n= - .
易知函數(shù)f(x)= - 的圖象的對稱軸為直線x= ,
所以由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,
當(dāng)1≤n≤3,n∈N*時,{an}單調(diào)遞減;當(dāng)n≥4,n∈N*時,{an}單調(diào)遞增.
(2)由題意得
即
解得-15≤λ≤-13,所以實數(shù)λ的取值范圍是[-15,-13].
易錯警示 在利用函數(shù)的有關(guān)知識解決數(shù)列問題時,要注意數(shù)列的定義域是N*(或其有限子集).
1.根據(jù)數(shù)列的遞推公式和第1項(或其他項)求數(shù)列的前幾項時,首先要弄清公式中各部分之間
的關(guān)系,然后依次代入計算即可.
2.求數(shù)列的某一項時,對于通項公式,可以通過將序號代入直接求解,而對于遞推公式,則必須
通過逐項計算求出該項.
3.由遞推公式求通項公式的常用方法
(1)歸納法:根據(jù)數(shù)列的某項和遞推公式,求出數(shù)列的前幾項,歸納出通項公式.
(2)迭代法、累加法或累乘法,遞推公式對應(yīng)的有以下幾類:
①an+1-an=常數(shù)或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的),宜采用累加法或迭代法;
②an+1=pan(p為非零常數(shù))或an+1=f(n)an(f(n)是可以求積的),宜采用累乘法或迭代法;
③an+1=pan+q(p,q為非零常數(shù)),適當(dāng)變形后轉(zhuǎn)化為第②類解決.
定點 3 利用數(shù)列的遞推關(guān)系解決相關(guān)數(shù)列問題
　　利用累加法或累乘法求通項公式時,需檢驗a1的值是否符合通項公式.
典例1　已知數(shù)列{an}滿足2an+1=4+anan+1,且a3=1,則a2 022的值為 (　 )
A.1　　 B.2　　 C.4　　 D.-4
思路點撥 先利用遞推公式求出數(shù)列{an}的前幾項,再找規(guī)律求a2 022的值.
解析 因為數(shù)列{an}滿足2an+1=4+anan+1,且a3=1,所以2a3=4+a2a3,2a4=4+a3a4,
所以a2=-2,a4=4,又2a2=4+a1a2,2a5=4+a4a5,所以a1=4,a5=-2,
又2a6=4+a5a6,所以a6=1,所以a1=4,a2=-2,a3=1,a4=4,a5=-2,a6=1,……,
所以數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列,
所以a2 022=a674×3=a3=1.故選A.
A
典例2　在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=an+ - ,則an= (　 )
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.
B
解析 解法一(歸納法):由已知得a2=1+1- = ,a3= + - = ,a4= + - = ,a5= + - = ,…
…,觀察可得數(shù)列的一個通項公式為an= (n∈N*).
解法二(迭代法):由已知得a2=a1+1- ,a3=a2+ - ,……,an=an-1+ - (n≥2),則an=a1+1- + -
+…+ - =2- = (n≥2).又a1=1也符合上式,所以an= (n∈N*).
解法三(累加法):由已知得an+1-an= - ,則a2-a1=1- ,a3-a2= - ,a4-a3= - ,……,an-an-1= -
(n≥2),以上各式相加得an-a1=1- + - + - +…+ - =1- = (n≥2).
又a1=1,所以an= (n∈N*).
規(guī)律總結(jié) 用累加法求數(shù)列{an}的通項公式時,當(dāng)an-an-1=f(n)(n≥2)滿足一定條件時,常用an=
(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1來求{an}的通項公式.
典例3　在數(shù)列{an}中,a1=1,an= an-1(n≥2),求數(shù)列{an}的通項公式.
解析 因為a1=1,an= an-1(n≥2),
所以 = ,則an= · · ·…· · ·a1= · · ·…· · ·1= .又a1=1也符合上
式,所以an= .
規(guī)律總結(jié) 用累乘法求數(shù)列{an}的通項公式時,當(dāng) =g(n)(n≥2)滿足一定條件時,常用an=
· · ·…· ·a1來求{an}的通項公式.
　　已知數(shù)列{an}的前n項和Sn求通項公式的步驟:
(1)當(dāng)n=1時,由a1=S1求出數(shù)列的首項;
(2)當(dāng)n≥2時,由an=Sn-Sn-1求出當(dāng)n≥2時{an}的通項公式;
(3)如果a1也滿足當(dāng)n≥2時{an}的通項公式,那么數(shù)列{an}的通項公式為an=Sn-Sn-1,否則數(shù)列{an}
的通項公式要表示為an=
定點 4 利用Sn與an的關(guān)系求數(shù)列的通項公式
典例　若數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n2-2n+1,求數(shù)列{an}的通項公式.
解析 當(dāng)n=1時,a1=S1=3×12-2×1+1=2;
當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,
顯然a1=2不滿足上式,故數(shù)列{an}的通項公式為an=

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