資源簡介

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4.2　等差數列
知識點 1 等差數列
4.2.1　等差數列的概念
必備知識 清單破
文字語言 一般地,如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數,那么這個數列就叫做等差數列,這個常數叫做等差數列的公差,公差通常用字母d表示
數學符號 在數列{an}中,若an+1-an=d(n∈N*)(或an-an-1=d,n≥2,n∈N*)成立,則稱數列{an}為等差數列,常數d稱為等差數列的公差
遞推公式 an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,n∈N*)
　
　 a,A,b成等差數列 2A=a+b A= ,這時A叫做a與b的等差中項.
知識點 2 等差中項
　
1.如果等差數列{an}的首項為a1,公差為d,那么它的通項公式是an=a1+(n-1)d.
2.等差數列通項公式的變形及應用
(1)變形
　 an=am+(n-m)d(m,n∈N*);
(2)應用
①d= (m,n∈N*,m≠n);
②n= +1(n∈N*,d≠0).
知識點 3 等差數列的通項公式
　
1.由于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),所以當d≠0時,等差數列{an}的第n項an是一次函數f(x)=dx+(a1
-d)(x∈R)當x=n時的函數值,即an=f(n).反之,任給一次函數f(x)=kx+b(k,b為常數),則f(1)=k+b,
f(2)=2k+b,……, f(n)=nk+b,……構成一個首項為(k+b),公差為k的等差數列{nk+b}.
2.等差數列的通項公式與一次函數的異同點
知識點 4 等差數列的通項公式與一次函數的關系
等差數列的通項公式 一次函數
解析式 an=kn+b(n∈N*) f(x)=kx+b(k≠0)
不同點 定義域為N*,圖象是一系列孤立的點(在直線f(x)=kx+b上) 定義域為R,圖象是一條直線
相同點 等差數列的通項公式與函數的解析式都是關于自變量的一次整式,等差數列的圖象是相應的一次函數圖象上的一系列孤立的點
　
1.在等差數列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則am+an=ap+aq.特別地,若m+n=2p(m,n,p∈N*),則
am+an=2ap.
2.等差數列{an}的公差為d,則d>0 {an}為遞增數列;d<0 {an}為遞減數列;d=0 {an}為常數列.
3.若等差數列{an},{bn}的公差分別為d,d',則有
知識點 5 等差數列的常用性質
數列 結論
{c+an}(c為任一常數) 公差為d的等差數列
{c·an}(c為任一常數) 公差為cd的等差數列
{pan+qbn}(p,q為常數) 公差為pd+qd'的等差數列
4.從等差數列中每隔一定的距離抽取一項組成的數列仍為等差數列.例如:若{an}是公差為d
的等差數列,則an,an+k,an+2k,an+3k,…也是等差數列,且公差為kd,k∈N*.
知識辨析
1.若一個數列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數,則這個數列一定是等差數列嗎
2.若三個數a,b,c滿足a+c=2b,則a,b,c一定是等差數列嗎
3.若數列{an}的通項公式為an=kn+b(k,b為常數),則{an}一定是公差為k的等差數列嗎
4.若數列{an}為等差數列,則其通項公式一定是關于n的一次函數嗎
5.等差數列中必有a2+a3=a5嗎
一語破的
1.不一定.差是同一個常數時才是等差數列,在這里強調同一個常數.
2.一定是等差數列.由a+c=2b,可得b-a=c-b,由等差數列的定義知a,b,c一定是等差數列.
3.一定是.若an=kn+b,則an+1=k(n+1)+b=kn+b+k,所以an+1-an=k(k為常數),所以{an}一定是公差為k
的等差數列.
4.不一定.當公差不為零時,通項公式是關于n的一次函數;當公差為零時,等差數列{an}為常數
列,其通項公式不是關于n的一次函數.
5.不是.在使用等差數列的性質:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則am+an=ap+aq時,要注意等式兩邊項
的個數必須相同,一般情況下,a2+a3=a1+a4≠a5.
關鍵能力 定點破
定點 1 等差數列的判定(證明)

判定一個數列是等差數列的方法
(1)定義法:an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,n∈N*) 數列{an}是等差數列.
(2)等差中項法:2an+1=an+an+2(n∈N*) 數列{an}為等差數列.
(3)通項公式法:數列{an}的通項公式形如an=pn+q(p,q為常數) 數列{an}為等差數列.
　　其中,定義法和等差中項法是證明一個數列為等差數列的依據,通項公式法只能在小題
中應用,不能作為解答題中判定等差數列的依據.
典例1　已知數列{an}滿足2an+(n-1)·an-1=nan+a1(n≥2,n∈N*),證明數列{an}為等差數列.
思路點撥 先由條件建立an+1,an,an-1三者之間的關系,再利用等差中項法證明.
證明 由2an+(n-1)an-1=nan+a1(n≥2,n∈N*),得2an+1+nan=(n+1)an+1+a1,
兩式相減并整理,得(n-1)an+1=2(n-1)an-(n-1)an-1(n≥2,n∈N*).
由n≥2得n-1≥1,所以an+1=2an-an-1,即2an=an-1+an+1,
因此an是an-1與an+1的等差中項,故數列{an}為等差數列.
典例2　已知數列{an}滿足an=3an-1+3n-1(n≥2,n∈N*),且a3=95.
(1)求a1,a2的值;
(2)是否存在實數t,使得bn= (an+t)(n∈N*),且{bn}為等差數列 若存在,求出t的值;若不存在,請
說明理由.
思路點撥 (1)利用遞推關系逐項求解.(2)思路一:利用等差數列的定義計算bn-bn-1(n≥2),若存
在實數t使bn-bn-1為常數,則{bn}為等差數列,否則不存在.思路二:假設存在實數t,使得{bn}為等
差數列,利用b1,b2,b3的關系求出t的值驗證即可.
解析 (1)當n=3時,a3=3a2+26=95,∴a2=23.當n=2時,a2=3a1+8=23,∴a1=5.
(2)解法一:由題意得an-3an-1=3n-1(n≥2,n∈N*),
∴當n≥2時,bn-bn-1= (an+t)- (an-1+t)= (an+t-3an-1-3t)= (3n-1-2t)=1- .
要使{bn}為等差數列,則bn-bn-1為常數,即1+2t=0,解得t=- ,
∴存在t=- ,使得{bn}為等差數列.
解法二:假設存在實數t,使得{bn}為等差數列,則2b2=b1+b3,①
由(1)及題意知,a1=5,a2=23,a3=95,
∴b1= (5+t),b2= (23+t),b3= (95+t),
代入①,得 (23+t)= (5+t)+ (95+t),
解得t=- ,此時bn= .
檢驗:bn+1-bn= -
= -
= an+1- × - an+ × =1,是常數,
故存在t=- ,使得{bn}是以1為公差的等差數列.

1.求等差數列通項公式的一般思路
(1)方程思想:設出基本量a1與d,利用條件構建方程組,求出a1與d,即可得出等差數列的通項公式.
(2)利用等差數列通項公式的變形:已知等差數列中的兩項時,可利用d= (n,m∈N*,m≠n)
求出公差d,即可得出等差數列的通項公式.
2.設等差數列中項的方法
(1)通項公式法,即an=a1+(n-1)d.
(2)對稱設法.若所給等差數列有2n(n∈N*)項,則可設為a-(2n-1)d,…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,a+(2n-
1)d,數列的公差為2d;若所給等差數列有(2n+1)(n∈N*)項,則可設為a-nd,a-(n-1)d,…,a-d,a,a+d,…,
a+(n-1)d,a+nd,數列的公差為d.
定點 2 等差數列通項公式的求解及應用
典例1　已知等差數列{an}中,公差d>0,a1+a4+a7=-6,a2a4a6=24,求數列{an}的通項公式.
解析 解法一:由題意得

解得 或
∵d>0,∴a1=-8,d=2,
∴數列{an}的通項公式為an=-8+(n-1)×2=2n-10.
解法二:由題意得a1+a4+a7=3a4=-6,解得a4=-2,則
解得 或
∵d>0,∴a2=-6,a6=2,故d= =2,
∴數列{an}的通項公式為an=-6+(n-2)×2=2n-10.
解法三:由解法二知a4=-2,
則a2a4a6=(a4-2d)·a4·(a4+2d)=(-2)×(4-4d2)=24,解得d=±2.
∵d>0,∴d=2,∴數列{an}的通項公式為an=-2+(n-4)×2=2n-10.
典例2　成等差數列的四個數之和為26,第二個數和第三個數之積為40,求這四個數.
思路點撥 已知四個數成等差數列,常常設這四個數為a-3d,a-d,a+d,a+3d,再結合題意列方程
組求解.
解析 設這四個數分別為a-3d,a-d,a+d,a+3d,則
解得 或
∴這四個數為2,5,8,11或11,8,5,2.

　　當已知數列{an}不是等差數列時,需構造與之相關的等差數列,利用等差數列的通項公式
求出包含an的關系式,進而求出an.將題設中的遞推關系式轉化為等差數列的常見形式如下:
(1)轉化為(an+2-an+1)-(an+1-an)=常數,則數列{an+1-an}是等差數列.
(2)轉化為 - =常數,則數列 是等差數列.
(3)轉化為 - =常數,則數列 是等差數列.
(4)轉化為 - =常數,則數列{ }是等差數列.
(5)轉化為 - =常數,則數列{ }是等差數列.
定點 3 構造等差數列求數列的通項公式
典例　已知各項均不為零的數列{an}滿足 = an+1(n∈N*),a1=1.證明:數列 為等差數
列,并求數列{an}的通項公式.
思路點撥 觀察式子的結構特征,等式兩邊取倒數構造等差數列,進而求通項公式.
解析 由 = an+1兩邊取倒數得 = ,∴ + = ,即 - = ,
∴ 是首項為 =1,公差為 的等差數列,
∴ =1+(n-1)× = ,∴an= .
名師點睛 構造等差數列求通項公式時,需要認真觀察給定式子的結構,記住常見的構造類
型,做到熟能生巧,如本題中所給遞推公式為分式形式,則考慮用取倒數的方法構造等差數列.

　　運用等差數列的性質解題可以起到化繁為簡、優化解題過程的作用,但使用時要注意性
質的限制條件,若不能用性質,則化基本量求解.
定點 4 等差數列性質的應用
典例　在公差為d的等差數列{an}中,已知a1+a2+a3=16,a14+a15+a16≥53,則d的取值范圍為　 　 .
思路點撥 由等差數列的性質對式子進行變形,求得a2,a15,進而求出d的取值范圍.
解析 因為a1+a2+a3=3a2=16,a14+a15+a16=3a15≥53,所以a2= ,a15≥ ,
所以d= = ≥ .
故d的取值范圍為 .4.2　等差數列
4.2.1　等差數列的概念
基礎過關練
題組一　等差數列的概念及其應用
1.下列數列中,不是等差數列的是(　　)
A.2,5,8,11　　　　 B.1.1,1.01,1.001,1.000 1
C.a,a,a,a　　　　 D.lg 2,lg 20,lg 200,lg 2 000
2.已知{an}為等差數列,則“{an}單調遞增”是“a1A.充要條件 B.充分不必要條件
C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件
3.若數列{an}是等差數列,則下列數列不一定是等差數列的是(　　)
A.{|an|}　　　　B.{an+1-an}
C.{pan+q}(p,q為常數)　　　　D.{2an+n}
4.已知數列{an}是等差數列,且an=an2+n,則實數a=　　　　.
題組二　等差中項
5.設a,m是實數,則“m=5”是“m為a和10-a的等差中項”的(　　)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
6.記等差數列{an}的公差為d(d≥0),若-2的等差中項,則d的值為(　　)
A.0　　　　B.　　　　C.1　　　　D.2
7.設a>0,b>0,若ln是ln 3a與ln 9b的等差中項,則的最小值為(　　)
A.6　　　　B.8　　　　C.9　　　　D.12
題組三　等差數列的通項公式及其應用
8.已知{an}是等差數列,a6=8,a8=6,則a14=(　　)
A.-14　　　　B.-6　　　　C.0　　　　D.14
9.已知數列{an}滿足loan+1(n∈N*),若a5=3,則a1=(　　)
A.48　　　　B.24　　　　C.16　　　　D.12
10.把能表示為兩個連續奇數的平方差的正整數稱為“幸運數”,則在1,2,3,…,2 024這2 024個數中,“幸運數”的個數是(　　)
A.251　　　　B.252　　　　C.253　　　　D.254
11.某同學研究下列數表時,發現其特點是每行每列都成等差數列,在表中,數41出現的次數為(　　)
2 3 4 5 6 …
3 5 7 9 11 …
4 7 10 13 16 …
5 9 13 17 21 …
… … … … … …
A.8　　　　B.9　　　　C.10　　　　D.11
12.圖1是第七屆國際數學教育大會的會徽圖案,會徽的主體圖案是由如圖2所示的一連串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把圖2中的直角三角形繼續作下去,記OA1,OA2,…,OAn的長度構成的數列為{an},則a100=(　　)
　
A.　　　　B.1　　　　C.10　　　　D.100
13.已知等差數列{an}單調遞增,且滿足a1+a8=6,則a6的取值范圍是(　　)
A.(-∞,3)　　　　B.(3,6) C.(3,+∞)　　　　D.(6,+∞)
14.在等差數列{an}中,若a3+a9=26,則a3+3a7=　.
15.已知函數f(x)滿足:對任意x∈R,都有2f(x)=f(x+1)+f(x-1),若f(1)=,f(3)=-3,則f(2 023)=　　　　.
16.設Sn為數列{an}的前n項和,且a1=.
(1)證明:數列是等差數列;
(2)求數列{an}的通項公式.
題組四　等差數列的性質及其應用
17.在3與15之間插入3個數,使這5個數成等差數列,則插入的3個數之和為(　　)
A.21　　　　B.24　　　　C.27　　　　D.30
18.在等差數列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=45,則a2+a8=(　　)
A.16　　　　B.17　　　　C.18　　　　D.19
19.在等差數列{an}中,a1+2a8+a15=96,則2a9-a10=(　　)
A.24　　　　B.48　　　　C.20　　　　D.16
20.已知數列{an}為等差數列,且a1+a2+a3=3,a2+a3+a4=6,則a8=(　　)
A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7
21.已知{an}是等差數列.
(1)若a2+a3+a23+a24=48,求a13;
(2)若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求{an}的公差.
能力提升練
題組一　等差數列的通項公式及其應用
1.已知數列{an},{bn}的通項公式分別為an=3n-1,bn=4n-3(n∈N*),設這兩個數列的公共項構成集合A,則集合A∩{n|n≤2 023,n∈N*}中元素的個數為(　　)
A.166　　　　B.168　　　　C.169　　　　D.170
2.在等差數列{an}中,p,q∈N*,且p≠q,若ap=q2,aq=p2,則ap+q=(　　)
A.-(p+q)　　　　B.-(p+q)　　　　C.-pq　　　　D.-pq
3.如圖1,一座斜拉索大橋共有10對永久拉索,在索塔兩側對稱排列,如圖2,已知拉索上端相鄰兩個針Pi,Pi+1(i=1,2,…,9)滿足PiPi+1=4 m,拉索下端相鄰兩個針Ai,Ai+1(i=1,2,…,9)滿足AiAi+1=18 m,最短拉索的針P1,A1滿足OP1=84 m,OA1=78 m,以B10A10所在直線為x軸,OP10所在直線為y軸,則最長拉索所在直線的斜率為(　　)
A.±　　　　C.±
4.已知數列{an}滿足a1=,an-an+1=anan+1(n∈N*),則的最小值為(　　)
A.　　　　C.16　　　　D.18
5.已知數列{an}滿足(2n-3)an-(2n-1)an-1=4n2-8n+3(n≥2,n∈N*),a1=1,則an=(　　)
A.2n-2　　　　B.2n2-n C.2n-1　　　　D.(2n-1)2
6.在數列{an}中,a1=2,(an+1)(an-1+2)=an-1+1(n≥2),則an=(　　)
A.-
7.已知數列{an}滿足a1=,且(n≥2),設bn=.
(1)求證:數列{bn}為等差數列;
(2)a1a2是不是數列{an}中的項 如果是,是第幾項 如果不是,請說明理由.
題組二　等差數列的性質及其應用
8.已知{an}是各項均為正數的等差數列,且a6+2a7+a10=20,則a7·a8的最大值為(　　)
A.10　　　　B.20　　　　C.25　　　　D.50
9.已知函數f(x)是定義在R上的連續函數,且f(1)=5, f(3)=9,若 a,b∈R,都有f[f(a)+f(b)],則f(2 023)=(　　)
A.5　　　　B.9　　　　C.4 023　　　　D.4 049
10.已知等差數列{an}為遞增數列,若=101,a5+a6=11,則數列{an}的公差d為　　　　.
題組三　等差數列的綜合應用
11.《九章算術》是我國古代的數學名著,第六章《均輸》中有如下問題:“今有五人分五錢,令上二人所得與下三人等,問各得幾何.”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢,甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同,問五人各得多少錢 ”(注:“均輸”即按比例分配,此處指的是甲、乙、丙、丁、戊所得錢數依次成等差數列;“錢”是古代的一種重量單位)關于這個問題,下列說法不正確的是(　　)
A.戊所得錢數是甲所得錢數的一半
B.乙比丁多得錢
C.甲、丙所得錢數的和是乙所得錢數的2倍
D.丁、戊所得錢數的和比甲所得錢數多錢
12.南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式,所討論的高階等差數列與一般等差數列不同,其前后兩項之差并不相等,但是逐項差數之差或者高次差成等差數列.對這類高階等差數列的研究,在楊輝之后一般稱為“垛積術”,現有高階等差數列,其前7項分別為1,5,11,21,37,61,95,則該數列的第8項為(　　)
A.99　　　　B.131　　　　C.139　　　　D.141
13.若數列{cn}滿足cn+1=,則稱{cn}為“平方遞推數列”.已知數列{an}是“平方遞推數列”,且a1>0,a1≠1,則(　　)
A.{lg an}是等差數列B.{lg an+1-lg an}是等差數列
C.{anan+1}是“平方遞推數列”D.{an+1+an}是“平方遞推數列”
14.已知a1,a2,a3,a4是各項均為正數的等差數列,其公差d大于零,則(　　)
A.對任意的d,均存在以a1,a2,a3為三邊長的三角形
B.對任意的d,均不存在以a1,a2,a3為三邊長的三角形
C.對任意的d,均存在以a2,a3,a4為三邊長的三角形
D.對任意的d,均不存在以a2,a3,a4為三邊長的三角形
15.(多選題)已知等差數列{an}的首項a1=2,公差d=8,在{an}中每相鄰兩項之間都插入k個數,使它們和原數列的數一起構成一個新的等差數列{bn},以下說法正確的是(　　)
A.an=8n-6
B.當k=3時,bn=2n
C.當k=3時,b29不是數列{an}中的項
D.若b9是數列{an}中的項,則k的值可能為7
16.(多選題)已知數列{an}的前n項和為Sn(Sn≠0),且滿足an+4Sn-1Sn=0(n≥2,n∈N*),a1=,則下列結論正確的是(　　)
A.Sn=
C.{an}為遞增數列　　　　D.為遞增數列
答案與分層梯度式解析
基礎過關練
1.B　由等差數列的定義,可知A中數列是等差數列,B中數列不是等差數列;C中數列是常數列,是等差數列;D中數列可表示為lg 2,1+lg 2,2+lg 2,3+lg 2,是等差數列.故選B.
2.A　設等差數列{an}的公差為d,若{an}單調遞增,則d>0,∴a1+d>a1,即a2>a1;
反之,若a2>a1,則a1+d>a1,∴d>0,∴{an}單調遞增.
故“{an}單調遞增”是“a2>a1”的充要條件.故選A.
3.A　設等差數列{an}的公差為d.
對于A,若an=n-2,則|a1|=1,|a2|=0,|a3|=1,|a4|=2,
此時數列{|an|}不是等差數列,所以A符合題意;
對于B,易得an+1-an=d,所以數列{an+1-an}為常數列,
所以數列{an+1-an}一定是等差數列,所以B不符合題意;
對于C,數列{pan+q}中,可得(pan+1+q)-(pan+q)=p(an+1-an)=pd(常數),
所以數列{pan+q}一定是等差數列,所以C不符合題意;
對于D,數列{2an+n}中,可得(2an+1+n+1)-(2an+n)=2(an+1-an)+1=2d+1,
所以數列{2an+n}一定是等差數列,所以D不符合題意.故選A.
4.答案　0
解析　∵{an}是等差數列,∴an+1-an為常數,
即[a(n+1)2+(n+1)]-(an2+n)=2an+a+1為常數,
∴2a=0,∴a=0.
5.C　m為a和10-a的等差中項 m==5,
因此,“m=5”是“m為a和10-a的等差中項”的充要條件.故選C.
6.C　由-2的等差中項,得2-2,即2(a1+d)2=+(a1+2d)2-2,整理得d2=1,而d≥0,所以d=1.故選C.
7.B　因為ln是ln 3a與ln 9b的等差中項,
所以2ln=ln 3a+ln 9b,
即ln 3=ln(3a×9b)=ln 3a+2b=(a+2b)ln 3,
∴a+2b=1,又a>0,b>0,
∴≥4+2=8,當且僅當且a+2b=1,即a=時等號成立,故的最小值為8.故選B.
8.C　設等差數列{an}的公差為d,則d==-1,
所以a14=a8+6d=6-6=0.故選C.
9.A　由loan+1得loan=1,
所以數列{loan}是公差為1的等差數列,
所以lo3,
所以lo48,
所以a1=48.故選A.
10.C　設兩個連續奇數為2n-1,2n+1,n∈N*,
則(2n+1)2-(2n-1)2=8n,故“幸運數”是能被8整除的數,
在1,2,3,…,2 024這2 024個數中,“幸運數”是首項為8,公差為8的等差數列,末項為2 024,
故“幸運數”的個數為+1=253.故選C.
11.A　設第i行第j列的數為aij,則{a1j}是以2為首項,1為公差的等差數列,
所以a1j=2+(j-1)×1=1+j,所以{aij}是以j+1為首項,j為公差的等差數列,所以aij=j+1+(i-1)j=ij+1,
令ij+1=41,得ij=40=1×40=2×20=4×10=5×8=8×5=10×4=20×2=40×1,所以41共出現了8次.故選A.
12.C　由已知得OAn=,即O=1,
因為OA1,OA2,…,OAn的長度構成的數列為{an},所以=1(n≥2),
則數列{}是公差為1的等差數列,且首項=1,
所以=1+(n-1)×1=n,即an=,
所以a100=10.故選C.
13.C　設等差數列{an}的公差為d,
因為數列{an}單調遞增,所以d>0,
所以a1+a8=a3+a6=2a6-3d=6,
則2a6-6=3d>0,解得a6>3,故選C.
14.答案　52
解析　設等差數列{an}的公差為d,
則a3+a9=a1+2d+a1+8d=2(a1+5d)=26,
得a1+5d=13,
所以a3+3a7=a1+2d+3(a1+6d)=4a1+20d=4(a1+5d)=52.
15.答案　-
解析　由2f(x)=f(x+1)+f(x-1),
得2f(x+1)=f(x+2)+f(x),
當x取正整數n時,令an=f(n),則2an+1=an+2+an,
所以數列{an}是以a1=f(1)=為首項,為公差的等差數列,
故a2 023=+(2 023-1)×,
即f(2 023)=-.
16.解析　(1)證明:由Sn+1=2-,可得Sn+1-1=1-,則,
所以=1,
又S1=a1=,所以=2,
所以數列是首項為2,公差為1的等差數列.
(2)由數列是首項為2,公差為1的等差數列,可得=2+(n-1)×1=n+1,所以Sn=+1,
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=,
因為a1=不滿足上式,
所以數列{an}的通項公式為an=
17.C　設插入的3個數依次為a1,a2,a3,則3,a1,a2,a3,15成等差數列,
因此2a2=3+15,解得a2=9,
所以插入的3個數之和為a1+a2+a3=3a2=27.
故選C.
18.C　由題意得a3+a4+a5+a6+a7=(a3+a7)+(a4+a6)+a5=5a5=45,得a5=9,所以a2+a8=2a5=18.故選C.
19.A　由題意得a1+2a8+a15=4a8=96,所以a8=24,
所以2a9-a10=a8=24.故選A.
20.D　由等差數列的性質可知,
設等差數列{an}的公差為d,則d=a3-a2=1,
所以a8=a2+6d=1+6=7.故選D.
21.解析　解法一:(1)由a2+a3+a23+a24=48,得4a13=48,∴a13=12.
(2)設等差數列{an}的公差為d.由a2+a3+a4+a5=34,得2(a2+a5)=34,即a2+a5=17,
由
由d=得d=3或d=-3.
解法二:設等差數列{an}的公差為d.
(1)由題意得(a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)=48,即4(a1+12d)=48,∴4a13=48,∴a13=12.
(2)由題意得
解得∴d=3或d=-3.
能力提升練
1.C　依題意,令am=bk,m,k∈N*,即3m-1=4k-3,整理得m=(k-1)+,
因此k+1是3的正整數倍,令k+1=3n,n∈N*,即k=3n-1,
設數列{an}、{bn}的公共項構成數列{cn},
則cn=b3n-1=4(3n-1)-3=12n-7,
由12n-7≤2 023,得n≤169,
所以集合A∩{n|n≤2 023,n∈N*}中元素的個數為169.故選C.
2.C　設等差數列{an}的公差為d,則ap=a1+(p-1)d=q2,aq=a1+(q-1)d=p2,
兩式相減并整理得d=-(p+q),則ap+q=ap+qd=q2-q(p+q)=-pq,故選C.
3.B　由題意知OPi,OBi(i=1,2,3,…,10)的長度(單位:m)分別構成公差為4和18的等差數列,
所以OP10=OP1+9×4=84+9×4=120(m),OB10=OB1+9×18=78+9×18=240(m),
所以P10(0,120),B10(-240,0),A10(240,0),故,即最長拉索所在直線的斜率為±.故選B.
4.C　易知an≠0.∵an-an+1=anan+1(n∈N*),
∴=1,
∴數列=10為首項,1為公差的等差數列,
∴,
∴+10≥2+10=16,當且僅當n=,即n=3時取等號,故的最小值為16.故選C.
5.B　因為(2n-3)an-(2n-1)an-1=4n2-8n+3=(2n-1)(2n-3),所以=1,
又=1,所以是以1為首項,1為公差的等差數列,
故=1+n-1=n,即an=n(2n-1)=2n2-n.
故選B.
6.A　由(an+1)(an-1+2)=an-1+1(n≥2),得anan-1+2an+1=0,即an(an-1+2)=-1,所以an-1+2≠0,an≠0,
所以an+1=(n≥2),兩邊取倒數得+1,所以數列,公差為1的等差數列,所以,
所以an=.
故選A.
方法技巧　若{an}的遞推關系是以an+1=(c≠0,ad-bc≠0)的形式給出的,則可用不動點的方法求{an}的通項公式.令x=,即cx2+(d-a)x-b=0,若有兩個相等的根x0,則為等差數列.
7.解析　(1)證明:由,整理得=4,即bn-bn-1=4(n≥2),
又b1==5,
∴{bn}是首項為5,公差為4的等差數列.
(2)由(1)知bn=5+4×(n-1)=4n+1,
∴an=.
又a1=.
令an=,解得n=11,即a1a2=a11,
∴a1a2是數列{an}中的第11項.
8.C　∵a6+2a7+a10=(a6+a10)+2a7=2a8+2a7=20,
∴a7+a8=10,
由已知得a7>0,a8>0,
∴a7·a8≤=25,當且僅當a7=a8=5時等號成立,故a7·a8的最大值為25.故選C.
9.D　令a=n-1,b=n+1,n∈N*,由f [f(a)+f(b)]可得f ,
即2f(n)=f(n-1)+f(n+1),
所以數列{f(n)}為等差數列,又f(1)=5,f(3)=9,
所以公差為 =2,所以f(2 023)=5+2×(2 023-1)=4 049.故選D.
10.答案　1
解析　由=101,得(a1+a10)2-2a1a10=(a5+a6)2-2a1a10=121-2a1a10=101,所以a1a10=10.
又a1+a10=a5+a6=11,a111.D　設甲、乙、丙、丁、戊所得錢數分別為a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,
依題意得
解得因此甲得錢,乙得錢,丙得1錢,丁得錢,戊得錢.
戊所得錢數是甲所得錢數的一半,A中說法正確;
乙比丁多得錢,B中說法正確;
甲、丙所得錢數的和是乙所得錢數的=2倍,C中說法正確;
丁、戊所得錢數的和比甲所得錢數多錢,D中說法不正確.
故選D.
12.D　設該高階等差數列的第8項為x,
根據所給定義,用數列的后一項減去前一項得到一個數列,得到的數列也用后一項減去前一項得到一個數列,即得到了一個等差數列,如圖:
由圖可得故選D.
13.C　對于A、B,因為{an}是“平方遞推數列”,
所以an+1=.
又a1>0,所以an>0,則lg an+1-lg an=lg=lg an,(lg an+2-lg an+1)-(lg an+1-lg an)=lg an+1-lg an=lg an,
所以{lg an},{lg an+1-lg an}不是等差數列,所以A、B不正確.
對于C,因為an+2an+1==(an+1an)2,所以{anan+1}是“平方遞推數列”,所以C正確.
對于D,因為an+2+an+1=≠(an+1+an)2,
所以{an+1+an}不是“平方遞推數列”,所以D不正確.
故選C.
14.C　對于A,B,∵a1,a2,a3,a4是各項均為正數的等差數列,其公差d大于零,∴a2+a3>a1,a3+a1=2a2>a2,∵a1+a2-a3=a1-d不一定大于0,∴不一定存在以a1,a2,a3為三邊長的三角形,故A,B不正確;
對于C,D,∵a3+a4>a2,a2+a4-a3=a3>0,a2+a3-a4=a1>0,∴對任意的d,均存在以a2,a3,a4為三邊長的三角形,故C正確,D不正確.故選C.
15.ABD　對于A,由題意得an=2+8(n-1)=8n-6,A正確;
對于B,數列{bn}的首項為2,公差為=2,故bn=2+2(n-1)=2n,B正確;
對于C,由B選項知b29=58,令8n-6=58,得n=8,即b29是數列{an}的第8項,C錯誤;
對于D,由已知得a1=b1,a2=bk+2,a3=b2k+3,a4=b3k+4,……,
故等差數列{an}中的項在等差數列{bn}中對應項的下標是以1為首項,k+1為公差的等差數列,
于是an=b1+(n-1)(k+1),又b9是數列{an}中的項,∴1+(n-1)(k+1)=9,當k=7時,n=2,滿足題意,D正確.故選ABD.
16.AD　由an=Sn-Sn-1,an+4Sn-1Sn=0,n≥2,n∈N*,
得Sn-Sn-1=-4Sn-1Sn,n≥2,n∈N*,
又Sn≠0,∴=4(n≥2,n∈N*).
∵a1=是以4為首項,4為公差的等差數列,∴=4+4(n-1)=4n,n∈N*,
∴數列為遞增數列,Sn=,故A、D正確.
當n≥2,n∈N*時,an=Sn-Sn-1=,
經檢驗,當n=1時,不符合上式,
∴an=故B、C錯誤.故選AD.
解題模板　解決項、和共存的遞推關系問題,要么將和化為項,要么將項化為和,具體視遞推公式的形式而定,如本題中將an+4Sn-1Sn=0化為Sn-Sn-1=-4Sn-1Sn(n≥2),整理得到是一個等差數列,然后利用等差數列的知識解題.
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