資源簡介

4.3　等比數列
4.3.1　等比數列的概念
基礎過關練
題組一　等比數列的概念及其應用
1.下列說法中正確的是(　　)
A.等比數列中的某一項可以為0
B.常數列既是等差數列,也是等比數列
C.若a,b,c,d成等比數列,則ab,bc,cd成等比數列
D.若b2=ac,則a,b,c成等比數列
2.數列{an}中,“an+1=2an”是“{an}是公比為2的等比數列”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
3.下列結論不正確的是(　　)
A.若{an}是等差數列,則{}是等比數列
B.若{an}是等比數列,則{}是等比數列
C.若{an}是等比數列,則{an+an+1}是等比數列
D.若{ln an}是等差數列,則{an}是等比數列
4.已知數列{an}滿足:a1=2,an+1=an+2.
(1)求證:{an-4}是等比數列;
(2)求數列{an}的通項公式.
5.已知數列{an}的前n項和為Sn,a1=1,nan+1=(n+2)Sn.
(1)證明:數列是等比數列;
(2)求Sn與an.
題組二　等比中項
6.已知等比數列{an}滿足a3=,則a5=(　　)
A.-2
7.已知-1,a1,a2,-4成等差數列,-1,b1,b2,b3,-4成等比數列,則等于(　　)
A.-
8.已知正項等比數列{an}中,a4,3a3,a5成等差數列,若數列{an}中存在兩項am,an,使得a1為它們的等比中項,則的最小值為(　　)
A.1　　　　B.3　　　　C.6　　　　D.9
題組三　等比數列的通項公式及其應用
9.記等比數列{an}滿足2a2-5a3=3a4,則公比q等于(　　)
A.或-2　　　　C.2　　　　D.
10.在等比數列{an}中,a1+a2=4,若a1,a2+2,a3成等差數列,則{an}的公比為(　　)
A.5　　　　B.4　　　　C.3　　　　D.2
11.將數列{3n-1}與{2n}的公共項從小到大排列得到數列{an},則a20=(　　)
A.237　　　　B.238　　　　C.239　　　　D.240
12.已知數列{an}的前n項和為Sn,a1=2,an+1=Sn+2.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設bn=,數列{bn}的前n項和為Tn,證明:Tn<.
題組四　等比數列的性質及其應用
13.已知數列{an}是無窮等比數列,公比為q,則“q>1”是“數列{an}單調遞增”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
14.已知正項數列{an}滿足log3an+1-log3an=1(n∈N*),且a3+a5+a7=9,則log3(a2+a4+a6)的值是(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
15.已知數列{an}是等差數列,{bn}是等比數列,a7+a9=,且b2b6b10=8,則=(　　)
A.
16.(多選題)設等比數列{an}的公比為q,其前n項和為Sn,前n項積為Tn,且滿足條件a1>1,a2 024a2 023>1,(a2 024-1)(a2 023-1)<0,則下列選項正確的是(　　)
A.0B.S2 023>S2 024-1
C.T2 024是數列{Tn}中的最大項
D.T4 045<1
17.在等比數列{an}中,若a2a3a4=8,a14a15a16a17=64,則a39a40a41a42=　　　　.
18.已知{an}為正項數列,bn=lg an,且{bn}是等差數列,b1+b2+b3+…+b99=198,則a50=　　　　.
19.已知等差數列{an}的前n項和為Sn,a1=-5,a3,a4-1,a5+1成等比數列,數列{bn}的前n項和為Tn,且Tn+2=2bn(n∈N*).
(1)求數列{an}、{bn}的通項公式;
(2)記[x]表示不超過x的最大整數,例如:[-2.1]=-3,[1.2]=1,設cn=,求數列{bncn}的前7項和.
能力提升練
題組一　等比數列的概念、通項公式及其應用
1.已知數列{an}為等差數列,{bn}為等比數列,a4=b4=4,則(　　)
A.b3b5≥a3a5　　　　B.b3+b5≥a3+a5
C.b3b5≤a3a5　　　　D.b3+b5≤a3+a5
2.已知非零實數a,b,c不全相等,則下列說法不正確的是(　　)
A.若a,b,c成等差數列,則可能構成等差數列
B.若a,b,c成等差數列,則不可能構成等比數列
C.若a,b,c成等比數列,則可能構成等比數列
D.若a,b,c成等比數列,則不可能構成等差數列
3.已知數列{an}的前n項和為Sn,且Sn+an=2,設bn=,若數列{bn}是遞增數列,則λ的取值范圍是(　　)
A.(-∞,2)　　　　B.(-∞,3)
C.(2,+∞)　　　　D.(3,+∞)
4.侏羅紀蜘蛛網是一種非常有規律的蜘蛛網.如圖,它是由無數個正方形環繞而成的,每一個正方形的四個頂點都恰好在它的外邊最近一個正方形的四條邊的三等分點上.設外圍第一個正方形A1B1C1D1的面積為a1=1,往里第二個正方形A2B2C2D2的面積為a2,……,往里第n個正方形AnBnCnDn的面積為an,則數列{an}的通項公式為　　　　;已知{bn}滿足+…+=2n2-n(n∈N*),則數列{bn}的最大項的值為　　　.
5.某企業年初在一個項目上投資2千萬元,據市場調查,每年獲得的利潤為投資的50%,為了企業長遠發展,每年年底需要從利潤中取出500萬元進行科研及技術改造,其余的繼續投入該項目.設經過n(n∈N*)年后,該項目的資金為an萬元.
(1)寫出一個遞推公式,表示an+1與an之間的關系,并求證:數列{an-1 000}為等比數列;
(2)至少經過幾年,該項目的資金翻一番 (lg 3≈0.5,lg 2≈0.3)
題組二　等比數列的性質及其應用
6.(多選題)已知等比數列{an}的公比為q(q>0),前n項積為Tn,若a9>1,a9a10<1,則(　　)
A.01 C.T17>1>T18　　　　D.T18>1>T19
7.已知數列{an}為正項遞增等比數列,a1+a2+a3=,則{an}的公比q=(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5
8.已知數列{an}是等比數列,且公比q∈(1,2),若(a4+ma7)·a8=(a6-a9)2,則實數m的取值范圍為(　　)
A.(1,9)　　　　B.(2,10)　　　　C.(1,8)　　　　D.(-1,6)
9.已知三個數成等比數列,且公比大于1,它們的和等于14,它們的積等于64,則這三個數從小到大依次是　　　　　　.
題組三　等比數列的綜合應用
10.(多選題)已知{an}是公比為q的等比數列,且a1=1,曲線Cn:=1,n∈N*,則下列說法中正確的是(　　)
A.若q>0且q≠1,則Cn是橢圓
B.若存在n∈N*,使得Cn表示離心率為的橢圓,則q=
C.若存在n∈N*,使得Cn表示漸近線方程為x±2y=0的雙曲線,則q=-
D.若q=-2,bn表示雙曲線Cn的實軸長,則b1+b2+…+b10=186
11.設正項等比數列{an}滿足a1+a2=12,a3+a4=3,則a1a2…an的最大值為　　　　.
12.已知數列{an}的首項a1=1,且滿足(an+1-an-1)·(an+1-2an)=0對任意n∈N*都成立,則能使am=2 023成立的正整數m的最小值為　　　　.
13.設同時滿足條件:
①≥bn+1;②bn≤M(n∈N*,M是常數)的無窮數列{bn}叫做P數列.已知數列{an}的前n項和Sn滿足Sn=(an-1)(a為常數,且a≠0,a≠1).
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設bn=+1,若數列{bn}為等比數列,求a的值,并證明數列為P數列.
答案與分層梯度式解析
基礎過關練
1.C　對于A,等比數列中任意一項都不為0,A不正確;
對于B,若常數列的各項均為0,則該數列不是等比數列,B不正確;
對于C,設等比數列a,b,c,d的公比為q,則q≠0,且a,b,c,d均不為0,∵=q2,∴ab,bc,cd成等比數列,C正確;
對于D,設a=0,b=0,c≠0,滿足b2=ac,但是a,b,c不成等比數列,D不正確.故選C.
2.B　由an+1=2an可知,若a1=0,則a2=a3=…=an=0,
此時{an}不是公比為2的等比數列;
若{an}是公比為2的等比數列,則=2,即an+1=2an,故“an+1=2an”是“{an}是公比為2的等比數列”的必要不充分條件.
故選B.
3.C　對于A,由題意得,等差數列{an}的公差d=an+1-an,則=2d,為非零常數,所以{}是等比數列,故A正確;
對于B,由題意得,等比數列{an}的公比q=(q≠0),則=q2,為非零常數,所以{}是等比數列,故B正確;
對于C,當an=(-1)n時,an+an+1=0,此時{an+an+1}不是等比數列,故C錯誤;
對于D,由題意得等差數列{ln an}的公差d=ln an+1-ln an=ln,且an>0,則=ed,為非零常數,所以{an}是等比數列,故D正確.故選C.
4.解析　(1)證明:由an+1=an+2得an+1-4=(an-4),易知an-4≠0,則,又a1-4=-2,所以{an-4}是首項為-2,公比為的等比數列.
(2)由(1)可得an-4=-2×,所以an=-+4.
5.解析　(1)證明:∵nan+1=(n+2)Sn,∴an+1=Sn,
∴Sn+1-Sn=Sn,即Sn+1=Sn,故,
又a1=1,∴=1,
∴數列是首項為1,公比為2的等比數列.
(2)由(1)可得=2n-1,即Sn=n·2n-1,
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n·2n-1-(n-1)·2n-2=(n+1)·2n-2,當n=1時,a1=1符合an=(n+1)·2n-2,
所以an=(n+1)·2n-2(n∈N*).
6.C　因為數列{an}是等比數列,所以=a3·a7==9,所以a5=3或a5=-3,因為a3>0,a7>0,所以a5=3.故選C.
易錯警示　等比數列中所有的奇數項同號,所有的偶數項也同號.
7.C　因為-1,a1,a2,-4成等差數列,所以公差d==-1,所以a2-a1=-1,
因為-1,b1,b2,b3,-4成等比數列,
所以=(-1)×(-4)=4,
設該等比數列的公比為q,則b2=-q2<0,所以b2=-2,所以.故選C.
8.B　設正項等比數列{an}的公比為q(q>0),由a4,3a3,a5成等差數列,得6a3=a4+a5,即6a3=a3q+a3q2,又a3>0,所以q2+q-6=0,由q>0,解得q=2,
若數列{an}中存在兩項am,an,使得a1為它們的等比中項,
則(a1)2=am·an,即2=a1·2m-1·a1·2n-1,
得2m+n-2=2,則m+n=3,
故=3,
當且僅當,即m=1,n=2時等號成立,所以的最小值為3.故選B.
9.B　設等比數列{an}的公比為q(q≠0),則有2a1q-5a1q2=3a1q3,由a1q≠0,得2-5q=3q2,即(3q-1)(q+2)=0,解得q=或q=-2.故選B.
10.C　設等比數列{an}的公比為q,
由題意得
即∴a1q2-3a1q=0,
∴a1q(q-3)=0,又a1q=a2≠0,∴q-3=0,∴q=3.故選C.
11.C　數列{2n}中的項為2,4,8,16,32,64,128,256,…,數列{3n-1}中的項為2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,…,
經檢驗,數列{2n}與數列{3n-1}的公共項為2,8,32,128,…,觀察歸納可得an=22n-1,
所以a20=22×20-1=239,故選C.
12.解析　(1)由an+1=Sn+2,
可得當n≥2時,an=Sn-1+2,
兩式相減可得an+1-an=Sn-Sn-1=an,則an+1=2an,
當n=1時,a2=S1+2=a1+2=4,可得a2=2a1.
所以an+1=2an,故{an}是首項為2,公比為2的等比數列,所以{an}的通項公式為an=2n.
(2)證明:由(1)得bn=,
可得Tn=+…+=<.
13.D　若a1<0,q>1,則數列{an}單調遞減,故q>1不能推出數列{an}單調遞增;
若{an}單調遞增,則a1>0,q>1或a1<0,01,
所以“q>1”是“數列{an}單調遞增”的既不充分也不必要條件.故選D.
14.A　因為正項數列{an}滿足log3an+1-log3an=1(n∈N*),
所以log3=1,則=3,所以{an}是公比為3的等比數列,設公比為q.
又a3+a5+a7=9,所以=3,所以a2+a4+a6=3,
則log3(a2+a4+a6)=log33=1.故選A.
15.D　因為數列{an}是等差數列,所以a7+a9=2a8=,所以a8=,所以a3+a8+a13=3a8=2π.
因為數列{bn}是等比數列,所以b2b6b10==8,
所以b6=2,所以b4b8-1=-1=4-1=3,
所以.故選D.
16.AB　由(a2 024-1)(a2 023-1)<0,可得a2 023-1>0,a2 024-1<0或a2 023-1<0,a2 024-1>0,
∵a2 024a2 023>1,∴a2 023,a2 024同號,∴q>0,又a1>1,∴a2 023>1,a2 024<1,即數列{an}的前2 023項大于1,從第2 024項開始小于1.
對于A,q=<1,又q>0,∴0對于B,由a2 024<1,得S2 024-S2 023=a2 024<1,則S2 023>S2 024-1,B正確;
對于C,顯然{an}是正項遞減數列,且a2 023>1,a2 024<1,因此T2 023是數列{Tn}中的最大項,C錯誤;
對于D,T4 045=a1a2…a4 045=·q1+2+…+4 044=·q4 045×2 022=>1,D錯誤.故選AB.
17.答案　1 024
解析　因為{an}為等比數列,所以a2a3a4==8,可得a3=2,
又因為a14a15a16a17=(a3a28)2=(2a28)2=64,所以=16,所以a3a53==16,故a53=8,
所以a39a40a41a42=(a28a53)2==1 024.
18.答案　100
解析　設等差數列{bn}的公差為d,因為bn=lg an,
所以bn-bn-1=lg an-lg an-1=lg=d(n≥2),
所以=10d(n≥2),故{an}是正項等比數列,
所以b1+b2+b3+…+b99=lg a1+lg a2+lg a3+…+lg a99
=lg(a1a2a3…a99)=lg =99lg =198,
所以lg =2,故a50=100.
規律總結　正項等比數列的各項作為真數時形成的對數(底數相同)構成等差數列,等差數列的各項作為指數時形成的指數冪(底數相同)構成等比數列,利用此關系可以實現等比數列與等差數列的轉化.解題時要注意等比數列必須各項為正才可以取對數.
19.解析　(1)設等差數列{an}的公差為d,
因為a3,a4-1,a5+1成等比數列,
所以(a4-1)2=a3(a5+1),
即(3d-6)2=(2d-5)(4d-4),
整理可得d2-8d+16=0,所以d=4,
故an=a1+(n-1)d=-5+4(n-1)=4n-9.
由已知得Tn=2bn-2①,
當n≥2時,Tn-1=2bn-1-2②,
①-②可得bn=2bn-2bn-1,即bn=2bn-1(n≥2),
當n=1時,b1+2=2b1,所以b1=2,
所以數列{bn}是以2為首項,2為公比的等比數列,故bn=2·2n-1=2n.
(2)由(1)知an=4n-9,則cn=,
易得c1=c2=-1,c3=c4=0,c5=c6=c7=1,
則數列{bncn}的前7項和為-1×(21+22)+0×(23+24)+1×(25+26+27)=218.
能力提升練
1.A　因為數列{an}為等差數列,所以a3+a5=2a4=8,
因為{bn}為等比數列,所以b3b5==16,
而a3a5=(8-a5)a5=-+8a5=-(a5-4)2+16≤16,
所以b3b5≥a3a5,故A正確,C錯誤;
易知b3,b5可同為正數也可同為負數,
當b3,b5<0時,b3+b50時,b3+b5≥2=8=a3+a5,
所以a3+a5,b3+b5的大小不確定,故B、D錯誤.
故選A.
2.A　由a,b,c成等差數列,可得b-a=c-b,
易知,要使構成等差數列,需滿足ab=bc,即a=c,則a=b=c,不滿足題意,故A錯誤;
由a,b,c成等差數列,可得a+c=2b,
則,若構成等比數列,
則,則(a-c)2=0,得a=c,此時a=b=c,這與題意矛盾,因此不可能構成等比數列,
故B正確;
不妨設a=2,b=4,c=8,此時滿足a,b,c成等比數列,且成等比數列,故C正確;
由a,b,c成等比數列,可知b2=ac,
若成等差數列,則,故2b=a+c,故=ac,故a=b=c,與題意不符,故不可能構成等差數列,故D正確.
故選A.
3.B　由Sn+an=2得Sn-1+an-1=2,n≥2,
兩式相減得an+an-an-1=0,即an=an-1(n≥2),
又S1+a1=a1+a1=2,所以a1=1,
所以數列{an}是以1為首項,為公比的等比數列,
所以an=,所以bn==2n(n-λ),
若數列{bn}是遞增數列,
則bn+1-bn=2n+1(n+1-λ)-2n(n-λ)=2n(n+2-λ)>0恒成立,即n+2-λ>0恒成立,即λ又n∈N*,所以λ<3.故選B.
4.答案　an=
解析　設第n個正方形的邊長為cn,則c1=1,
因為每一個正方形的四個頂點都恰在它的外邊最近正方形四條邊的三等分點上,所以A2B1=c1,又∠A2B1B2=90°,所以A2B2=c1,即c2=c1,
同理可得cn+1=cn,即數列{cn}是首項為1,公比為的等比數列,所以cn=,
所以第n個正方形的面積為an=.
因為{bn}滿足+…+=2n2-n(n∈N*),
所以=2(n+1)2-(n+1)-(2n2-n)=4n+1=4(n+1)-3,所以=4n-3(n∈N*),
所以bn+1-bn=(4n+1),
所以b1b4>b5>…>bn>…,
所以數列{bn}的最大項為b2或b3,且b2=b3=.
5.解析　(1)由題意知an=(1+50%)an-1-500(n≥2),
即an=an-1-500(n≥2),
所以an-1 000=(an-1-1 000)(n≥2).
由題意知a1=2 000×(1+50%)-500=2 500,
所以數列{an-1 000}是首項為2 500-1 000=1 500,公比為的等比數列.
(2)由(1)知an-1 000=1 500·,
所以an=1 500·+1 000.
若該項目的資金至少翻一番,則an≥4 000,
則1 500·+1 000≥4 000,得≥2,
兩邊取常用對數得(n-1)lg≥lg 2,
所以n-1≥,
所以n≥2.5,因為n∈N*,所以n≥3.
即至少經過3年,該項目的資金翻一番.
6.AC　由已知得a9a10=a9a9q=q<1,又a9>1,q>0,
所以0T17=(a1a17)(a2a16)(a3a15)…(a8a10)·a9=()8·a9=>1,
T18=(a1a18)(a2a17)(a3a16)…(a8a11)·(a9a10)=(a9a10)9<1,
所以T17>1>T18,C正確,D錯誤.故選AC.
7.A　由題意得a1>0,q>1,
由a1+a2+a3=,得,所以a2=3(a2=-3舍去),
所以a1+a3=,
整理得2q2-5q+2=0,解得q=2.
故選A.
8.D　原式可變形為a4·a8+ma7·a8=-2a6·a9+,
由等比數列的性質可得(m+2)a6·a9=,
易知a9≠0,所以m+2==q3.因為q∈(1,2),所以q3∈(1,8),則m∈(-1,6).故選D.
9.答案　2,4,8
解析　設這三個數分別為a,b,c,且a由等比數列的性質可得abc=b3=64,即b=4,
又a+b+c=14,所以a+c=10,又ac=b2=16,
所以a=2,c=8,
故這三個數從小到大依次是2,4,8.
10.ACD　對于A,因為q>0且q≠1,所以an>0,an+1>0,an+1≠an,所以Cn是橢圓,A正確.
對于B,當Cn是橢圓時,由A選項知q>0且q≠1,若q>1,則an+1>an,e=,得q=;
若0對于C,當Cn表示雙曲線時,顯然q<0,故雙曲線Cn的一條漸近線方程為y=x,令,得q=-,C正確.
對于D,當n為偶數時,an<0,an+1>0,雙曲線Cn的焦點在y軸上,則bn=2,當n為奇數時,an>0,an+1<0, 雙曲線Cn的焦點在x軸上,則bn=2,所以b1+b2+…+b10=2=2+4×(2+22+23+24)+2×25=2+4×30+64=186,D正確.故選ACD.
易錯警示　本題中若等比數列的公比q=1,則有an+1=an,此時曲線Cn表示圓.
11.答案　64
解析　設等比數列{an}的公比為q(q>0),
由
所以a1a2…an=q1+2+…+(n-1)=8n×,
所以當n=3或n=4時,a1a2…an取得最大值,為26=64.
12.答案　19
解析　根據(an+1-an-1)(an+1-2an)=0可知an+1=an+1或an+1=2an.
當an+1=an+1時,數列{an}是以a1=1為首項,1為公差的等差數列,
所以an=1+(n-1)×1=n,
則am=m=2 023,可得m=2 023.
當an+1=2an時,數列{an}是以a1=1為首項,2為公比的等比數列,所以an=1×2n-1=2n-1,
則am=2m-1=2 023,解得m=1+log22 023,不合題意,舍去.
由a1=1得a2=2,若數列{an}為等差和等比交叉的數列,要使m的值最小,
則am=1+2 022,am-1=2 022,am-2=1 011,am-3=1 010,am-4=505,am-5=504,am-6=252,am-7=126,am-8=63,am-9=62,am-10=31,am-11=30,am-12=15,am-13=14,am-14=7,am-15=6,am-16=3,am-17=2,又a2=2,所以m-17=2,即m=19.
故正整數m的最小值為19.
13.解析　(1)當n=1時,a1=S1=(a1-1),∴a1=a.
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(an-an-1),
整理得=a,
∴數列{an}是以a為首項,a為公比的等比數列,
∴an=a·an-1=an.
(2)由(1)知,bn=,(*)
由數列{bn}是等比數列,得=b1b3,
故,
即,解得a=,
再將a=代入(*)式,得bn=3n.
所以,滿足條件①,
又,所以存在M≥滿足條件②.
故數列為P數列.
2(共21張PPT)
4.3 等比數列
知識點 1 等比數列的概念
4.3.1 等比數列的概念
必備知識 清單破
文字 語言 一般地,如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的比都等于同一個常數,那么這個數列叫做等比數列,這個常數叫做等比數列的公比,公比通常用字母q表示(顯然q≠0)
數學 符號 在數列{an}中,若 =q(n∈N*)或 =q(n≥2,n∈N*)成立,則稱數列{an}為等比數列,常數q稱為等比數列的公比
遞推 公式 =q(n∈N*)或 =q(n≥2,n∈N*)
　 a,G,b成等比數列 G2=ab G=± (a,b同號且不為0).
知識點 2 等比中項
　　首項為a1,公比為q的等比數列{an}的通項公式為an=a1qn-1.
　　當q>0且q≠1,a1≠0時,an=f(n)= ·qn為指數型函數.
知識點 3 等比數列的通項公式
1.當q<0,a1≠0時,數列{an}是擺動數列,不具有單調性,且數列中所有的奇數項同號,所有的偶
數項也同號,但是奇數項與偶數項異號.
2.當q=1,a1≠0時,數列{an}是各項均不為0的常數列,不具有單調性.
3.當 或 時,數列{an}單調遞增.
4.當 或 時,數列{an}單調遞減.
知識點 4 等比數列的單調性
　
1.在等比數列{an}中,若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則akal=aman.特別地,若m+n=2r(m,n,r∈N*),則aman= .
2.若數列{an}是公比為q(q>0)且各項均為正數的等比數列,則數列{logban}(b>0且b≠1)是公差
為logbq的等差數列;若數列{an}是公差為d的等差數列,則數列{ }(b>0且b≠1)是公比為bd的
等比數列.
3.在公比為q(q≠-1)的等比數列{an}中,依次取相鄰k(k∈N*)項的和(或積)構成公比為qk(或 )
的等比數列.
4.若{an}是公比為q的等比數列,則數列{λan}(λ≠0)是公比為q的等比數列,數列 是公比為
的等比數列,數列{ }是公比為q2的等比數列,數列{|an|}是公比為|q|的等比數列.
知識點 5 等比數列的常用性質
5.若數列{an}是公比為q的等比數列,則在數列{an}中,每隔k(k∈N*)項取出一項,按原來的順序
排列,所得數列仍為等比數列,且公比為qk+1.
6.在等比數列{an}中,若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差數列,則am,an,ap成等比數列.
7.若{an},{bn}是項數相同的等比數列,公比分別是p和q,則數列{anbn}與 也都是等比數列,
公比分別為pq和 .
知識辨析
1.若an+1=qan,n∈N*,且q≠0,則{an}一定是等比數列嗎
2.2和8的等比中項是4嗎
3.常數列一定既是等差數列又是等比數列嗎
4.等比數列{an}中,a2a3a12=a4a6a7成立嗎
一語破的
1.不一定.若an=0,則數列{an}不是等比數列.
2.不是.應該是±4,可以說4是2和8的等比中項.
3.不一定.非零常數列既是等差數列又是等比數列.
4.成立.等比數列的性質:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則am·an=ap·aq可以推廣使用,即若m+n+…+k=
p+q+…+r,則有am·an·…·ak=ap·aq·…·ar(等式兩邊項的個數相同,且m,n,…,k,p,q,…,r∈N*).
關鍵能力 定點破
定點 1 等比數列的判定(證明)
判定一個數列是等比數列的方法
(1)定義法:若數列{an}滿足 =q(q為常數且不為零)或 =q(n≥2,q為常數且不為零),則數
列{an}是等比數列.
(2)等比中項法:對于數列{an},若 =anan+2且an≠0,則數列{an}是等比數列.
(3)通項公式法:若數列{an}的通項公式為an=cqn(c≠0,q≠0),則數列{an}是等比數列.
　　其中,定義法和等比中項法可作為證明一個數列是等比數列的依據,通項公式法只能在
小題中應用,不能作為解答題中判定一個數列是等比數列的依據.
典例　已知Sn是數列{an}的前n項和,且Sn=2an+n-4.
(1)求a1的值;
(2)若bn=an-1,試證明數列{bn}為等比數列.
解析 (1)因為Sn=2an+n-4,所以當n=1時,a1=S1=2a1+1-4,解得a1=3.
(2)證明:因為Sn=2an+n-4,所以當n≥2時,Sn-1=2an-1+n-5,
所以Sn-Sn-1=(2an+n-4)-(2an-1+n-5)(n≥2),即an=2an-1-1(n≥2),
所以an-1=2(an-1-1)(n≥2),
又bn=an-1,所以bn=2bn-1(n≥2),易知b1=a1-1=2≠0,
所以數列{bn}是以2為首項,2為公比的等比數列.

1.等比數列{an}的通項公式an=a1qn-1(q≠0)中含有四個量:a1,q,n,an,可知三求一,進行適當的變
形以便于靈活應用.
2.等比數列通項公式的變形
(1)an= ·qn(q≠0,q≠1):
　　這一變形可以體現等比數列與指數函數的關系.當q>0且q≠1,a1≠0時,y= ·qx是指數型
函數.
(2)①an=amqn-m,②qn-m= (m,n∈N*):
①表明已知等比數列{an}中的一項am及公比q,可以求出等比數列中的任意一項an;
②表明已知等比數列{an}中的任意兩項an和am,可以求出公比q.
定點 2 等比數列通項公式的求解及應用
3.在解決等比數列問題的過程中,需要設未知量,為了減少未知數的個數,常采用以下技巧:
(1)當三個數成等比數列時,可設這三個數分別為 ,a,aq(a≠0,q≠0).
(2)當四個數成等比數列時,可設這四個數分別為 ,a,aq,aq2(a≠0,q≠0).四個符號相同的數成
等比數列,可設為 , ,aq,aq3(a≠0,q≠0).
典例1　已知數列{an}是等比數列,其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差數列,求數列{an}的通項公式.
解析 設等比數列{an}的公比為q.
解法一:由a7=a1q6=1,得a1=q-6,
從而a4=a1q3=q-3,a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1.
因為a4,a5+1,a6成等差數列,
所以a4+a6=2(a5+1),
即q-3+q-1=2(q-2+1),
即q-1(q-2+1)=2(q-2+1),所以q= ,
故an=a1qn-1=q-6·qn-1= .
解法二:由a7=1,得an=a7qn-7=qn-7.
則a4=q-3,a5=q-2,a6=q-1.
因為a4,a5+1,a6成等差數列,
所以q-3+q-1=2(q-2+1),
即q-1(q-2+1)=2(q-2+1),
從而q= ,故an=qn-7= .
解法三:由a7=1,且a4,a5+1,a6成等差數列,知a4,a5+a7,a6成等差數列,
所以a4+a6=2(a5+a7),即a4+a6=2q(a4+a6),易知a4,a6同號,所以a4+a6≠0,
所以q= ,故an=a7qn-7=qn-7= .
規律總結 等比數列通項公式的求法
(1)根據已知條件,建立關于a1,q的方程組,求出a1,q后再求an,這是常規方法.
(2)充分利用各項之間的關系,直接求出q后,再求a1,最后求an,這種方法帶有一定的技巧性,能
簡化運算.
典例2　已知四個數中前三個數成等差數列,后三個數成等比數列,中間兩數之積為16,首尾兩
個數之積為-128,求這四個數.
思路點撥 先根據后三個數成等比數列可設后三個數為 ,a,aq,然后根據前三個數成等差數
列得第一個數為 -a,最后結合題意列方程組求解.
解析 由題可設這四個數為 -a, ,a,aq,則
所以 或
因此這四個數為-4,2,8,32或4,-2,-8,-32.

1.與等比數列有關的問題中,常常涉及次數較高的指數運算,若按常規的方法解題,則需建立
關于a1,q的方程組求解,這種方法運算量比較大,如果結合等比數列的有關性質(若m+n=p+q
(m,n,p,q∈N*),則am·an=ap·aq)來求解,那么會起到化繁為簡的效果.
2.在應用等比數列的性質解題時,需時刻注意等比數列性質成立的前提條件.
定點 3 等比數列性質的應用
典例　已知{an}為等比數列.
(1)若an>0,a5a7+2a6a8+a6a10=49,求a6+a8;
(2)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.
解析 (1)由等比數列的性質得 +2a6a8+ =49,即(a6+a8)2=49,∵an>0,∴a6+a8=7.
(2)由等比數列的性質知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,
∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2·…·a10)
=log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)·(a5a6)]=log395=10.
規律總結 利用等比數列的性質解題時要充分發揮項的“下標”的指導作用,分析等比數列
中項與項之間的關系,選擇恰當的性質解題.

　　當數列{an}不是等比數列時,往往需要利用待定系數法構造與之相關的等比數列.利用等
比數列的通項公式求出包含an的關系式,進而求出an.常見類型有:
(1)an+1=can+d(c≠1,cd≠0)可化歸為an+1- =c ,當a1- ≠0時,數列 為等
比數列;也可消去常數項,由an+1=can+d,an=can-1+d(n≥2,n∈N*),兩式相減,得an+1-an=c(an-an-1),當a2
-a1≠0時,數列{an+1-an}是公比為c的等比數列.
(2)an+1=p (p>0,an>0),兩邊同時取常用對數,得lg an+1=qlg an+lg p,令bn=lg an,得bn+1=qbn+lg p,即
為(1)中類型,求出bn后,得an=1 .
(3)an+2=pan+1+qan(pq≠0),設an+2-kan+1=h(an+1-kan),比較系數可得h+k=p,-hk=q,從而求出h,k,于是{an+1-
kan}是公比為h的等比數列,即為(1)中類型.
定點 4 構造等比數列求數列的通項公式
(4)an+1=can+kn+b(c≠1,ckb≠0)可化歸為an+1+ (n+1)+ + =c
,當a1+ + ≠0時,數列 是等比數
列.
(5)an+1=can+dn(cd≠0,c≠d)可化歸為an+1- =c 或將遞推公式兩邊同除以dn+1化為
(1)中類型或兩邊同除以cn+1,累加求通項.若c=d,則可化歸為 - = ,即 為等差數列.
(6)an+1=can+dn+t(cdt≠0,c≠1)可化歸為an+1- =c +dn,即(5)中類型.
典例1　在數列{an}中,已知a1=1,an+1=3an+2,求數列{an}的通項公式.
思路點撥 思路一:引入參數λ,使an+1+λ=3(an+λ),則數列{an+λ}為等比數列.
思路二:通過觀察遞推公式的特征,直接消去常數,轉化為等比數列求通項公式.
解析 解法一:令an+1+λ=3(an+λ),即an+1=3an+2λ,
又an+1=3an+2,∴λ=1,∴an+1+1=3(an+1).
∵a1+1=2,∴數列{an+1}是以2為首項,3為公比的等比數列,
∴an+1=2×3n-1,即an=2×3n-1-1.
解法二:∵an+1=3an+2,∴an=3an-1+2(n≥2),兩式相減,得an+1-an=3(an-an-1)(n≥2).
∵a2-a1=3a1+2-a1=2a1+2=4,∴{an+1-an}是首項為4,公比為3的等比數列,∴an+1-an=4×3n-1.
∴3an+2-an=4×3n-1,∴an=2×3n-1-1.
典例2　已知數列{an}滿足a1=1,a2=2,且an+1=2an+3an-1(n≥2,n∈N*),求數列{an}的通項公式.
解析 由an+1=2an+3an-1(n≥2),可得an+1+an=3(an+an-1),即 =3,所以{an+1+an}是以a1+a2=3為
首項,3為公比的等比數列,
所以an+1+an=3×3n-1=3n,則 + · = .
不妨令cn= ,則cn+1+ cn= ,
所以cn+1- =- ,即 =- ,
又c1- = - = ,所以數列 是首項為 ,公比為- 的等比數列,
所以 - =cn- = × ,
所以an= .

展開更多......

收起↑