資源簡介

4.4*　數學歸納法
基礎過關練
題組一　用數學歸納法證明等式
1.用數學歸納法證明:(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)×(2n+1)(n∈N*)時,從n=k到n=k+1,等式的左邊需要增乘的代數式是(　　)
A.2k+1　　　　B.
C.　　　　D.2(2k+1)
2.用數學歸納法證明1-+…++…+(n∈N*)時,第一步應驗證的等式是　　　　　　.
3.用數學歸納法證明(n≥2,n∈N*).
題組二　用數學歸納法證明不等式
4.用數學歸納法證明不等式:+…+時,從n=k到n=k+1,不等式左邊需要增加的項為(　　)
A.
C.
5.用數學歸納法證明:f(n)=1++…+(n∈N*)的過程中,從n=k到n=k+1,f(k+1)比f(k)共增加了(　　)
A.1項　　　　B.(2k-1)項　　　　
C.2k+1項　　　　D.2k項
6.用數學歸納法證明對任意n≥k(n,k∈N*)都成立,則k的最小值為(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
7.已知數列{an}的前n項和為Sn,且Sn=n2.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)用數學歸納法證明:(n∈N*).
題組三　用數學歸納法解決整除問題
8.用數學歸納法證明1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除時,從n=k(k∈N*)到n=k+1添加的項數為(　　)
A.7　　　　B.6　　　　C.5　　　　D.3
9.用數學歸納法證明:n3+5n(n∈N*)能被6整除.
題組四　用數學歸納法解決歸納—猜想—證明問題
10.觀察下列式子:1+,……,則可歸納出1++…+(n∈N*)小于(　　)
A.
11.正項數列{an}中,若a1+a2+a3+…+an=,n∈N*,則a2 023的值是(　　)
A.
C.
12.已知數列{an}滿足a1=-(n≥2,n∈N*).
(1)求a2,a3;
(2)猜想數列{an}的通項公式,并用數學歸納法給出證明.
13.(2024在數列{an}中,a1=.
(1)求出a2,a3,猜想{an}的通項公式,并用數學歸納法證明你的猜想;
(2)令bn=,Tn為數列{bn}的前n項和,求Tn.
答案與分層梯度式解析
基礎過關練
1.D　從n=k到n=k+1,等式的左邊需要增乘的代數式是=2(2k+1).
故選D.
2.答案　1-
解析　由于n∈N*,因此第一步應驗證n=1時的等式,此時左邊=1-,右邊=,故答案為1-.
3.證明　當n=2時,左邊=1-,右邊=,
左邊=右邊,所以當n=2時,等式成立.
假設當n=k(k≥2,k∈N*)時等式成立,
即,
那么當n=k+1時,,即當n=k+1時,等式成立.
故對任意n≥2,n∈N*等式恒成立.
4.D　當n=k時,不等式的左邊為+…+,
當n=k+1時,不等式的左邊為+…+,
故從n=k到n=k+1,左邊增加的項為.故選D.
5.D　因為f(n)=1++…+,所以f(k)=1++…+,共2k項,
則f(k+1)=1++…++…+,共2k+1項,所以f(k+1)比f(k)共增加了2k+1-2k=2k項.
故選D.
6.C　當n=1時,左邊=,右邊=,此時左邊<右邊,不等式不成立;
當n=2時,左邊=,右邊=,此時左邊<右邊,不等式不成立;
當n=3時,左邊=,右邊=,
此時左邊>右邊,不等式成立;
易得n≥3時,不等式恒成立,
∴用數學歸納法證明對任意n≥k(n,k∈N*)都成立時,k的最小值為3.
故選C.
7.解析　(1)當n=1時,a1=S1=1,
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,
當n=1時,上式也成立,所以an=2n-1.
(2)證明:當n=1時,,所以成立;
假設當n=k(k∈N*)時不等式成立,即,
則當n=k+1時,
=,因為>2k+3,
所以,
所以,
即當n=k+1時,不等式也成立.
綜上所述,(n∈N*).
8.C　設f(n)=1+2+22+…+25n-1,
則f(k+1)-f(k)=1+2+22+…+25(k+1)-1-(1+2+22+…+25k-1)=25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4,
所以從n=k到n=k+1添加的項數為5.故選C.
9.證明　①當n=1時,13+5=6,顯然能被6整除;
②假設n=k(k∈N*)時,n3+5n(n∈N*)能被6整除,即k3+5k能被6整除,
則當n=k+1時,(k+1)3+5(k+1)=k3+5k+3k(k+1)+6,
因為k(k+1)能被2整除,所以3k(k+1)+6能被6整除,
又k3+5k能被6整除,所以當n=k+1時,n3+5n能被6整除.
由①②可知,n3+5n(n∈N*)能被6整除.
10.C　由已知式子可知所猜測的分式的分母為n+1,分子為分母的2倍再減1,即2n+1,
∴可歸納得1++…+.故選C.
11.C　∵a1+a2+a3+…+an=,
∴當n=1時,a1=,
又{an}為正項數列,∴a1=1,
當n=2時,1+a2=-1,
同理可得a3=,……,
猜想an=.
證明:當n=1時,顯然成立;
假設當n=k(k∈N*)時猜想成立,即ak=,
則當n=k+1時,a1+a2+a3+…+ak+ak+1=+ak+1,
∴ ak+1=.
故當n=k+1時,猜想也成立.
故an=,∴a2 023=.
故選C.
12.解析　(1)a2=-.
(2)猜想數列{an}的通項公式為an=-,證明如下:
當n=1時,a1=-,所以an=-成立;
假設當n=k(k∈N*)時,猜想成立,即ak=-,
則當n=k+1時,ak+1=- ,∴n=k+1時,猜想也成立.
綜上,an=-(n∈N*).
13.解析　(1)∵a1=,
∴a2=,
因此可猜想:an=(n∈N*).
證明:當n=1時,a1=,猜想成立,
假設當n=k(k∈N*)時,猜想成立,即ak=,
則當n=k+1時,ak+1=,
即當n=k+1時,猜想也成立.
綜上所述,對任意n∈N*,an=.
(2)bn==(n+5)3n-1,
則Tn=6×30+7×31+8×32+…+(n+5)×3n-1①,
3Tn=6×31+7×32+…+(n+4)×3n-1+(n+5)×3n②,
①-②得-2Tn=5+1+31+32+…+3n-1-(n+5)×3n
=.
2(共11張PPT)
4.4* 數學歸納法
知識點 數學歸納法
必備知識 清單破
1.數學歸納法的概念
　　一般地,證明一個與正整數n有關的命題,可按下列步驟進行:
(1)(歸納奠基)證明當n=n0(n0∈N*)時命題成立;
(2)(歸納遞推)以“當n=k(k∈N*,k≥n0)時命題成立”為條件,推出“當n=k+1時命題也成立”.
　　只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立,這種證明方法
稱為數學歸納法.
2.數學歸納法的證明形式
記P(n)是一個關于正整數n的命題.我們可以把用數學歸納法證明的形式改寫如下:
　　條件:(1)P(n0)為真;(2)若P(k)(k∈N*,k≥n0)為真,則P(k+1)也為真.
　　結論:P(n)為真.
知識辨析
1.用數學歸納法證明問題時,第一步一定是驗證當n=1時結論成立嗎
2.在利用數學歸納法證明問題時,只要推理過程正確,是不是也可以不用歸納假設
3.證明與正整數n有關的命題時,是不是只需使n取前幾個值時命題正確即可
4.用數學歸納法證明等式(不等式)時,從n=k(k∈N*)到n=k+1,等式(不等式)的左邊(或右邊)一
定只增加了一項嗎
一語破的
1.不一定.只要驗證要證明的命題成立范圍內最小的正整數即可,不一定都是1,如證明凸n邊
形的內角和為(n-2)·180°,第一步要驗證當n=3時結論成立.
2.不可以.數學歸納法的證明過程必須利用歸納假設.
3.不是.由n取前幾個值時命題正確,推不出與正整數n有關的命題正確,是不完全歸納法.
4.不一定.在證明1+ + +…+ 1)時,從n=k到n=k+1成立時,左邊增加的項數是
2k.
關鍵能力 定點破
定點 1 利用數學歸納法證明等式
　　利用數學歸納法證明與正整數n有關的恒等式問題時,關鍵是看清等式兩邊的項,弄清項
的構成規律,進而利用當n=k(k≥n0,k∈N*)時的假設.
　　用數學歸納法證明等式的步驟:
　　第一步:弄清n取第一個值n0時等式兩邊項的情況,驗證兩邊相等;
　　第二步:弄清從n=k到n=k+1時等式兩邊的項是如何變化的,即增加了哪些項,減少了哪些
項,利用這些變化規律,設法將待證式與歸納假設建立聯系,并向n=k+1時證明目標的表達式
進行變形,證明n=k+1時結論也成立.
典例　已知n∈N*,求證:1×22-2×32+…+(2n-1)×(2n)2-2n×(2n+1)2=-n(n+1)(4n+3).
證明 (1)當n=1時,左邊=4-18=-14=-1×2×7=右邊,等式成立.
(2)假設當n=k(k∈N*,k≥1)時,等式成立,即1×22-2×32+…+(2k-1)×(2k)2-2k×(2k+1)2=-k(k+1)(4k+3),
則當n=k+1時,1×22-2×32+…+(2k-1)×(2k)2-2k×(2k+1)2+(2k+1)×(2k+2)2-(2k+2)×(2k+3)2
=-k(k+1)(4k+3)+(2k+2)[(2k+1)(2k+2)-(2k+3)2]
=-k(k+1)(4k+3)+2(k+1)(-6k-7)=-(k+1)(k+2)(4k+7)
=-(k+1)[(k+1)+1][4(k+1)+3],
即當n=k+1時,等式成立.
由(1)(2)可知,等式對任意n∈N*都成立.

1.用數學歸納法證明與正整數有關的不等式和證明與正整數有關的等式的方法類似.
2.用數學歸納法證明不等式時需注意:在推證“當n=k+1時不等式也成立”的過程中,常常要
將表達式作適當放縮變形,便于應用歸納假設,變換出要證明的結論.
定點 2 利用數學歸納法證明不等式
典例　用數學歸納法證明:1+ + +…+ <2 (n∈N*).
證明 (1)當n=1時,不等式的左邊=1,右邊=2,左邊<右邊,不等式成立.
(2)假設當n=k(k≥1,且k∈N*)時,不等式成立,即1+ + +…+ <2 ,
則當n=k+1時,
1+ + +…+ + <2 +
= <
= =2 ,
所以當n=k+1時,不等式成立.
由(1)(2)可知,不等式對任意n∈N*都成立.
規律總結 當用數學歸納法證明不等式或恒等式時,若方向不明確,則可先用分析法找到推
證的方向,再用綜合法、比較法等其他方法證明.

“歸納—猜想—證明”的解題步驟

定點 3 歸納—猜想—證明,解決與數列有關的問題
典例　已知數列{an}的前n項和為Sn,其中an= 且a1= .
(1)求a2,a3;
(2)猜想數列{an}的通項公式,并證明.
解析 (1)由題意,可得a2= = ,即a2= a1= ,
a3= = ,
可得14a3=a1+a2= ,可得a3= .
(2)由a1= ,a2= ,a3= ,……,
猜想:an= ,
證明:當n=1時,由(1)可知等式成立;
假設當n=k(k∈N*)時,猜想成立,
即ak= ,
則當n=k+1時,
由題可得ak= ,
ak+1= ,
所以Sk=k(2k-1)ak=k(2k-1)· = ,
Sk+1=(k+1)(2k+1)ak+1,
又ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)(2k+1)ak+1- ,
所以k(2k+3)ak+1= ,
所以ak+1=
= ,
即當n=k+1時,猜想也成立.
綜上可得,猜想an= 對任意n∈N*都成立.

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