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第五章　一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
5.1　導(dǎo)數(shù)的概念及其意義
5.1.1　變化率問題
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　平均速度與瞬時(shí)速度
1.某質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng),其位移y(單位:m)與時(shí)間t(單位:s)之間的關(guān)系為y(t)=t2+2t,則該質(zhì)點(diǎn)在1≤t≤4這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為(　　)
A.6 m/s　　　　B.7 m/s　　　　C.8 m/s　　　　D.9 m/s
2.一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng),若它所經(jīng)過的路程s(單位:m)與時(shí)間t(單位:s)的關(guān)系為s(t)=4t2-2,則t=2 s時(shí)的瞬時(shí)速度為(　　)
A.16 m/s　　　　B.14 m/s　　　　C.13 m/s　　　　D.12 m/s
3.物體甲、乙在0≤t≤t1這段時(shí)間內(nèi)的路程的變化情況如圖所示,則在t0≤t≤t1這段時(shí)間內(nèi),甲的平均速度　　　　乙的平均速度(填“大于”“小于”或“等于”).
4.已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)=3t2+2t+1(位移s的單位為m,時(shí)間t的單位為s).
(1)求該質(zhì)點(diǎn)在2≤t≤2+Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均速度;
(2)在(1)中,若Δt=0.1,則平均速度是多少
(3)求該質(zhì)點(diǎn)在t=2 s時(shí)的瞬時(shí)速度.
題組二　拋物線的割線、切線的斜率
5.已知函數(shù)f(x)=x2圖象上四點(diǎn)A(1, f(1)),B(2, f(2)),C(3, f(3)),D(4, f(4)),割線AB,BC,CD的斜率分別為k1,k2,k3,則(　　)
A.k1C.k36.若曲線y=x2+ax+b在點(diǎn)(0,b)處的切線方程是x-y+1=0,則(　　)
A.a=1,b=1　　　　B.a=-1,b=1
C.a=1,b=-1　　　　D.a=-1,b=-1
7.曲線y=3x2在點(diǎn)(1,3)處的切線方程為(　　)
A.3x-y+3=0　　　　B.6x-y+3=0
C.6x-y-3=0　　　　D.x-6y-3=0
8.已知曲線y=x2-1上兩點(diǎn)A(2,3),B(2+Δx,3+Δy),當(dāng)Δx=1時(shí),割線AB的斜率是　　　　;當(dāng)Δx=0.1時(shí),割線AB的斜率是　　　　.
9.已知函數(shù)f(x)=-x2+x圖象上兩點(diǎn)A(2, f(2)),B(2+Δx, f(2+Δx))(Δx>0).
(1)若割線AB的斜率不大于-1,求Δx的取值范圍;
(2)求曲線f(x)在點(diǎn)A(2, f(2))處的切線方程.
答案與分層梯度式解析
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.B　該質(zhì)點(diǎn)在1≤t≤4這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為=7(m/s),
故選B.
2.A　由s(t)=4t2-2,得=4Δt+16,
所以(4Δt+16)=16,
所以t=2 s時(shí)的瞬時(shí)速度為16 m/s.
故選A.
3.答案　大于
解析　在t0≤t≤t1這段時(shí)間內(nèi),甲的平均速度為,乙的平均速度為,因?yàn)閟2-s0>s1-s0,t1-t0>0,所以,則在t0≤t≤t1這段時(shí)間內(nèi),甲的平均速度大于乙的平均速度.
4.解析　(1)質(zhì)點(diǎn)在2≤t≤2+Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為=(3Δt+14)m/s.
(2)當(dāng)Δt=0.1時(shí),所求平均速度為3×0.1+14=14.3 m/s.
(3)∵(3Δt+14)=14,
∴該質(zhì)點(diǎn)在t=2 s時(shí)的瞬時(shí)速度為14 m/s.
5.A　k1==16-9=7,
∴k16.A　由題意可知曲線在點(diǎn)(0,b)處的切線的斜率k=(Δx+a)=a,
又曲線在點(diǎn)(0,b)處的切線方程是x-y+1=0,
所以a=1,
由點(diǎn)(0,b)在切線上,可得0-b+1=0,即b=1.
故選A.
7.C　設(shè)f(x)=3x2,
則(3Δx+6)=6,
所以曲線y=3x2在點(diǎn)(1,3)處的切線方程為y-3=6(x-1),即6x-y-3=0.故選C.
8.答案　5;4.1
解析　由已知得割線AB的斜率為=Δx+4,當(dāng)Δx=1時(shí),割線AB的斜率為1+4=5;
當(dāng)Δx=0.1時(shí),割線AB的斜率為0.1+4=4.1.
9.解析　(1)由題意得,割線AB的斜率為
==-3-Δx,
由-3-Δx≤-1,得Δx≥-2,
又因?yàn)棣>0,所以Δx的取值范圍是(0,+∞).
(2)由(1)可得函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象在點(diǎn)A(2, f(2))處的切線的斜率為(-3-Δx)=-3,
又f(2)=-22+2=-2,所以所求切線方程為y-(-2)=-3(x-2),
即3x+y-4=0.
2(共10張PPT)
5.1 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義
知識(shí)點(diǎn) 1 物理中的變化率問題
5.1.1 變化率問題
必備知識(shí) 清單破
1.平均速度
　　設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s=s(t),則物體在t0到t0+Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為 = .
2.瞬時(shí)速度
(1)物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度.
(2)一般地,當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí), 無限趨近于某個(gè)常數(shù)v,我們就說當(dāng)Δt趨近于0時(shí), 的極限
是v,這時(shí)v就是物體在t=t0時(shí)的瞬時(shí)速度,即瞬時(shí)速度v= = .
1.拋物線割線的斜率
　　設(shè)二次函數(shù)y=f(x),則拋物線上過點(diǎn)P0(x0, f(x0)),P(x0+Δx, f(x0+Δx))的割線的斜率為 =
.
2.拋物線切線的斜率
　　一般地,在二次函數(shù)y=f(x)中,當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí), 無限趨近于某個(gè)常數(shù)k,我們就說當(dāng)
Δx趨近于0時(shí), 的極限是k,這時(shí)k就是拋物線在點(diǎn)P0(x0, f(x0))處切線的斜率,即切線的斜率k=
= .
知識(shí)點(diǎn) 2 幾何中的變化率問題
3.割線的斜率與切線的斜率的區(qū)別與聯(lián)系
割線的斜率 切線的斜率
區(qū)別 經(jīng)過曲線上兩點(diǎn)連線的斜率 以曲線上一點(diǎn)為切點(diǎn)且與曲
線相切的直線的斜率
聯(lián)系 切線的斜率是割線的斜率的極限值 知識(shí)辨析
1.Δx無限趨近于0可以理解為Δx=0嗎
2.瞬時(shí)速度是刻畫某函數(shù)值在區(qū)間上變化快慢的物理量,是平均速度在某一時(shí)刻的極限值,這
種說法正確嗎
3.拋物線y=x2+1在點(diǎn)P(2,5)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是-3嗎
一語(yǔ)破的
1.不可以.Δx無限趨近于0是一種極限思想,是無限逼近于0,但不等于0.
2.正確.當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí), v= = .
3.是.易得切線的斜率為 = = (4+Δx)=4,
∴拋物線y=x2+1在點(diǎn)P(2,5)處的切線方程為y-5=4(x-2),即y=4x-3,
∴切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是-3.
關(guān)鍵能力 定點(diǎn)破
定點(diǎn) 1 求瞬時(shí)速度

求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的步驟
(1)求時(shí)間的改變量Δt和位移的改變量Δs=s(t0+Δt)-s(t0);
(2)求平均速度 = ;
(3)求瞬時(shí)速度,當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí), 無限趨近的常數(shù)v即為瞬時(shí)速度,即v= .
典例　槍彈在槍筒中的運(yùn)動(dòng)可以看作勻加速直線運(yùn)動(dòng),其路程s(單位:m)與時(shí)間t(單位:s)的關(guān)
系為s(t)= at2,如果槍彈的加速度a=5×105 m/s2,且當(dāng)t=1.6×10-3 s時(shí),槍彈從槍口射出,求槍彈射
出槍口時(shí)的瞬時(shí)速度.
解析 易得Δs= a(t+Δt)2- at2=atΔt+ a(Δt)2,∴ =at+ aΔt,∴ =at=5×105×1.6×10-3=80
0,即槍彈射出槍口時(shí)的瞬時(shí)速度為800 m/s.
方法技巧 求瞬時(shí)速度的關(guān)鍵是求“極限”,解題時(shí)把Δt作為一個(gè)數(shù)來參與運(yùn)算,將含有Δt
的式子化到最簡(jiǎn)形式,然后令Δt=0,代入式子可得到極限值.

求拋物線y=f(x)在點(diǎn)P(x0, f(x0))處的切線方程的步驟
(1)求切線的斜率k= = ;
(2)利用點(diǎn)斜式求出切線方程.
定點(diǎn) 2 求拋物線的切線方程
典例　已知直線l1為曲線y=x2+x-2在點(diǎn)(1,0)處的切線,l2為該曲線的另一條切線,且l1⊥l2,求直
線l2的方程.
解析 由題意得Δy=(1+Δx)2+(1+Δx)-2-0=3Δx+(Δx)2,∴ =3+Δx,
因此切線l1的斜率為 =3.
設(shè)l2與該曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為P(x0,y0),
則Δy=(x0+Δx)2+(x0+Δx)-2-( +x0-2)=(2x0+1)Δx+(Δx)2,∴ =2x0+1+Δx,
因此切線l2的斜率為 =2x0+1.
由l1⊥l2得切線l2的斜率為- ,
即2x0+1=- ,解得x0=- ,∴y0= - -2=- ,因此切點(diǎn)P ,
∴直線l2的方程為y+ =- ,即3x+9y+22=0.
解題模板 解決曲線的切線問題,應(yīng)當(dāng)從切點(diǎn)入手,當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí),割線的斜率就是切
線的斜率,因此先求函數(shù)值之差,進(jìn)而求出割線的斜率,再由Δx無限趨近于0得到切線的斜率,
最后解決與切線相關(guān)的問題.

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