資源簡介

(共19張PPT)
知識點 1 函數在某點處的導數
5.1.2 導數的概念及其幾何意義
必備知識 清單破
1.函數的平均變化率
　　對于函數y=f(x),設自變量x從x0變化到x0+Δx,相應地,函數值y就從f(x0)變化到f(x0+Δx).這時,x的變化量為Δx,y的變化量為Δy=f(x0+Δx)-f(x0).我們把比值 ,即 = 叫做函數y=f(x)從x0到x0+Δx的平均變化率.
2.函數y=f(x)在x=x0處的導數(瞬時變化率)
　　如果當Δx→0時,平均變化率 無限趨近于一個確定的值,即 有極限,則稱y=f(x)在x=x0
處可導,并把這個確定的值叫做y=f(x)在x=x0處的導數(也稱為瞬時變化率),記作f'(x0)或y' ,
即f'(x0)= = .
特別提醒 (1)函數f(x)在x=x0處的導數f '(x0)只與x0有關,與Δx無關,函數在某點處的導數是一
個定值,是函數在該點的函數值的改變量與自變量的改變量比值的極限,不是變量.
(2)若極限 不存在,則稱函數y=f(x)在x=x0處不可導.
　
1.切線的定義
　　在曲線y=f(x)上任取一點P(x, f(x)),如果當點P(x, f(x))沿著曲線y=f(x)無限趨近于點P0 (x0,
f(x0))時,割線P0P無限趨近于一個確定的位置,這個確定位置的直線P0T稱為曲線y=f(x)在點P0處
的切線.
2.函數在某點處的導數的幾何意義
　　函數y=f(x)在x=x0處的導數f'(x0)就是切線P0T的斜率k0,即k0= =f'(x0).這
就是導數的幾何意義.相應地,切線方程為y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
知識點 2 函數在某點處的導數的幾何意義
　　從求函數y=f(x)在x=x0處導數的過程可以看到,當x=x0時, f'(x0)是一個唯一確定的數.這樣,
當x變化時,y=f'(x)就是x的函數,我們稱它為y=f(x)的導函數(簡稱導數).y=f(x)的導函數有時也
記作y',即f'(x)=y'= .
知識點 3 導函數的定義
知識辨析
1.在平均變化率中,Δx,Δy均為正值嗎
2.函數f(x)在區間[x1,x2]上的平均變化率為零,說明函數值在此區間上沒有發生變化,對嗎
3.f'(x)與f'(x0)表達的意思相同嗎
4.若直線l與曲線C有唯一公共點,則直線l一定是曲線C的切線嗎
5.若過點P作曲線C的切線,則切線一定只有一條嗎
6.若直線l與曲線C有不止一個公共點,則直線l一定不是曲線C的切線嗎
一語破的
1.不是.Δx可正、可負,但不能為0;Δy可正、可負、可為0(當f(x)為常數函數時,Δy=0).
2.不對.只能說明f(x1)=f(x2),但f(x)的值在區間[x1,x2]上可能有變化.
3.不相同. f '(x)表示函數f(x)的導函數,是一個變量,而f '(x0)表示f '(x)在x=x0處的函數值,是確定
的值.
4.不一定.當直線l與曲線C有唯一公共點時,直線l不一定是曲線C的切線,如圖①.
圖①
5.不一定.切線條數與切點個數有關.
6.不一定.當直線l與曲線C有不止一個公共點時,直線l也可能是曲線C的切線,如圖②.
圖②
　　函數f(x)在區間[a,b]上的平均變化率實質上是指函數值的增量與自變量的增量之比,其
作用是刻畫函數值在區間[a,b]上變化的快慢.它的幾何意義是指P1(a, f(a)),P2(b, f(b))兩點割
線的斜率.
關鍵能力 定點破
定點 1 函數的平均變化率
典例　汽車行駛的路程s和時間t之間的函數圖象如圖,在時間段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速
度分別為 , , ,則三者的大小關系為　　　　　 (用“>”連接).

> >
解析 由題意得 = =kOA, = =kAB, = =kBC,由題圖知 > > .

1.函數y=f(x)在x=x0處可導,必須滿足兩個條件
(1)f(x)在x0處及其附近有定義;
(2)當Δx→0時, 的極限存在.
2.導數定義的等價形式
y'= = = (n≠0).
定點 2 導數概念的理解
典例　設函數y=f(x)在x=x0處可導,且 =1,求f'(x0).
解析 ∵
=
=-3f'(x0)=1,∴f'(x0)=- .
方法技巧 利用導數的定義解題時,要注意增量Δx的形式是多種多樣的,但無論Δx是哪種形
式,Δy必須是與之對應的形式.解決這類問題的關鍵就是等價變形,使問題得到轉化.

1.利用定義求函數y=f(x)在x=x0處的導數的步驟
(1)求函數值的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均變化率 = ;
(3)求極限 .
2.求函數在某一點處的導數,還可以先求出函數的導數,再計算這點的導數值.
定點 3 求函數在某點處的導數
典例 (1)求函數f(x)=x+ 在x=1處的導數;
(2)已知f(x)=ax3+3x2+2,若f '(-1)=4,求a的值.
解析 (1)解法一:由題意得Δy=(1+Δx)+ -(1+1)=Δx-1+ = = ,
∴ = ,當Δx→0時, →0,∴f'(1)=0.
故函數f(x)=x+ 在x=1處的導數為0.
解法二: =
= =1- ,
當Δx無限趨近于0時,1- 無限趨近于1- ,即f'(x)=1- ,故f'(1)=0.
故函數f(x)=x+ 在x=1處的導數為0.
(2)由題意得Δy=f(x+Δx)-f(x)=a(x+Δx)3+3(x+Δx)2+2-(ax3+3x2+2)
=3ax2·Δx+3ax(Δx)2+a(Δx)3+6x·Δx+3(Δx)2,
所以 =3ax2+3ax·Δx+a(Δx)2+6x+3Δx,
所以 =3ax2+6x,即f '(x)=3ax2+6x,
所以f '(-1)=3a-6=4,解得a= .

1.求切線方程時,不僅要檢驗已知點是否在曲線上,還要注意對“在”和“過”的理解.
(1)若“在”,則該點為切點.
(2)若“過”,則該點不一定是切點;若“過”曲線外的一點,則該點一定不是切點.
2.求曲線f(x)在點P(x0, f(x0))處的切線方程的步驟
(1)求出切線斜率k=f'(x0);
(2)利用點斜式求出切線方程:y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
3.求曲線f(x)過點P(x0, f(x0))的切線方程的步驟
(1)設出切點(x1, f(x1));
(2)求出函數y=f(x)在點(x1, f(x1))處的導數f'(x1),即切線的斜率;
(3)利用點斜式寫出切線方程:y-f(x1)=f '(x1)(x-x1);
定點 4 由導數的幾何意義求切線方程
(4)根據已知點(x0, f(x0))在切線上,將(x0, f(x0))代入切線方程,求得x1;
(5)化簡切線方程.
典例　已知曲線y= x3+ .
(1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程;
(2)求曲線過點P(2,4)的切線方程.
思路點撥 (1)在點P處,則P為切點,先求導,再將x=2代入,求出切線斜率,最后求出切線方程.
(2)過點P,先設出切點,求出切點坐標,再求切線方程.
解析 (1)y'=
=
= =x2,
∴曲線在點P(2,4)處的切線斜率為y' x=2=22=4,
∴曲線在點P(2,4)處的切線方程為y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
(2)設曲線y= x3+ 與過點P(2,4)的切線相切于點A ,則切線的斜率為y' = ,
∴切線方程為y- = (x-x0),
即y= ·x- + .
∵點P(2,4)在切線上,
∴4=2 - + ,
即 -3 +4=0,
∴ + -4 +4=0,
即 (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,
即(x0+1)(x0-2)2=0,
∴x0=-1或x0=2,
∴切點為(-1,1)或(2,4),
故所求的切線方程為x-y+2=0或4x-y-4=0.5.1.2　導數的概念及其幾何意義
基礎過關練
題組一　平均變化率的求解
1.已知函數f(x)=2x2-x+1,則f(x)從1到1+Δx的平均變化率為(　　)
A.2Δx+3　　　　B.4Δx+3
C.2(Δx)2+3Δx　　　　D.2(Δx)2-Δx+1
2.函數f(x)=x,g(x)=x2,h(x)=x3在[0,1]上的平均變化率分別記為m1,m2,m3,則下面結論正確的是(　　)
A.m1=m2=m3　　　　B.m1>m2>m3
C.m2>m1>m3　　　　D.m13.函數f(x)=log5(x2+1)在區間[1,7]上的平均變化率為　　　　.
4.函數f(x)=x4在區間[a,2a]上的平均變化率為15,則實數a的值為　　　　.
題組二　導數的概念及其應用
5.函數f(x)在x=x0處的導數可表示為(　　)
A.f '(x0)=
B.f '(x0)=[f(x0+Δx)-f(x0)]
C.f '(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)
D.f '(x0)=
6.已知直線l:y=x+1與曲線y=f(x)切于點A(2,3),則的值為(　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2
7.設f(x)是可導函數,若=3,則f '(1)=(　　)
A.　　　　C.-1　　　　D.-3
8.設函數f(x)的導函數為f '(x),若f '(x0)=a,則=　　　　.
9.已知函數f(x)=x-.
(1)用定義求f '(x);
(2)求f(x)的圖象在其與x軸交點處的切線方程.
題組三　導數的幾何意義及其應用
10.已知曲線f(x)在x=2處的切線方程為2x+y-1=0,則f '(2)+f(2)=(　　)
A.-5　　　　B.-3　　　　C.3　　　　D.5
11.已知=2,f(3)=3,則曲線f(x)在(3,f(3))處的切線方程為(　　)
A.2x+y+9=0　　　　B.2x+y-9=0
C.2x-y-9=0　　　　D.2x-y+9=0
12.已知函數y=f(x)的圖象如圖所示, f '(x)是f(x)的導函數,則下列結論正確的是(　　)
A.0B.0C.0D.013.曲線y=x+上任意一點P處的切線斜率為k,則k的取值范圍是(　　)
A.(-∞,-1)　　　　B.(-1,1)
C.(-∞,1)　　　　D.(1,+∞)
14.(多選題)已知函數y=f(x)(x∈R)圖象上任一點(x0,y0)處的切線方程為y-y0=(x0-2)·(x0+4)(x-x0),則下列結論正確的有(　　)
A. f '(1)=-5
B.函數y=f(x)的圖象在x=2處的切線平行或重合于x軸
C.切線斜率的最小值為1
D.曲線f(x)在x=4處的切線與直線x+16y-1=0垂直
15.(多選題)已知函數f(x)的定義域為R,其導函數f '(x)的圖象如圖所示,則對于任意x1,x2∈R(x1≠x2),下列結論正確的是(　　)
A.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0
B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
C. f
D. f
16.已知函數g(x)與f(x)=x2(x∈[0,+∞))的圖象關于直線y=x對稱,將g(x)的圖象先向右平移2個單位長度,再向下平移2個單位長度得到h(x)的圖象,若P,Q分別為函數f(x),h(x)圖象上的點,則這兩點間距離的最小值為　　　　.
17.已知直線l:y=4x+a和曲線C:y=f(x)=x3-2x2+3相切,求a的值及切點坐標.
18.已知函數f(x)=x3.
(1)求曲線f(x)在點(1,1)處的切線方程;
(2)求過點(-1,-1)且與曲線f(x)相切的直線方程.
答案與分層梯度式解析
基礎過關練
1.A　由f(x)=2x2-x+1可得f(1)=2, f(1+Δx)=2(1+Δx)2-(1+Δx)+1=2(Δx)2+3Δx+2.
所以f(x)從1到1+Δx的平均變化率為=2Δx+3.故選A.
2.A　m1==1-0=1,
m2==12-0=1,
m3==13-0=1,
故m1=m2=m3,故選A.
3.答案　
解析　f(x)在區間[1,7]上的平均變化率為.
4.答案　1
解析　由題意可知2a>a,即a>0,
由 =15a3=15,解得a=1.
5.A　
6.C　由直線l:y=x+1與曲線y=f(x)切于點A(2,3),
知f '(2)=1.
由導數的定義知,=f '(2)=1.
故選C.
7.C　=-3f '(1)=3,則f '(1)=-1.
故選C.
8.答案　2a
解析　因為f '(x0)=a,所以=2f '(x0)=2a.
9.解析　(1)由導數的定義可得,
f '(x)=.
(2)令x-=0,得x=±1,故函數f(x)=x-的圖象與x軸有兩個交點,且交點坐標分別為(1,0),(-1,0),
結合(1)得f '(1)=2, f '(-1)=2,
∴所求切線方程為y=2(x-1)和y=2(x+1),即2x-y-2=0和2x-y+2=0.
10.A　因為曲線f(x)在x=2處的切線方程為2x+y-1=0,
所以f '(2)=-2,且2×2+f(2)-1=0,所以f(2)=-3,
所以f '(2)+f(2)=-2-3=-5.故選A.
11.B　令Δx=x-2,則=-f'(3)=2,∴f '(3)=-2,
∴曲線f(x)在(3,f(3))處的切線方程為y-3=-2(x-3),即2x+y-9=0.故選B.
12.B　f '(1)表示曲線f(x)在x=1處切線的斜率, f '(3)表示曲線f(x)在x=3處切線的斜率,
表示割線AB的斜率,
由題圖可知0故選B.
13.C　設P(x0,y0),則曲線y=x+上任意一點P(x0,y0)處的切線斜率k=y'
=<1,即k<1.
故選C.
14.ABD　由題意可得f '(x)=(x-2)(x+4).
對于A, f '(1)=(1-2)×(1+4)=-5,故A正確;
對于B, f '(2)=0,故函數y=f(x)的圖象在x=2處的切線平行或重合于x軸,故B正確;
對于C, f '(x)=(x-2)(x+4)=x2+2x-8=(x+1)2-9≥-9,故切線斜率的最小值為-9,故C錯誤;
對于D, f '(4)=(4-2)×(4+4)=16,直線x+16y-1=0的斜率為-=-1,故D正確.
故選ABD.
15.AD　由題圖可知,導函數f '(x)的圖象在x軸下方,即f '(x)<0,且隨著x的增大,|f '(x)|越來越小,因此函數f(x)圖象上任一點處的切線的斜率為負,并且隨著x的增大,切線的傾斜角是越來越大的鈍角,由此可得f(x)的大致圖象如圖所示.
A選項表示x1-x2與f(x1)-f(x2)異號,即f(x)圖象的割線斜率 為負,故A正確;B選項表示x1-x2與f(x1)-f(x2)同號,即f(x)圖象的割線斜率 為正,故B不正確;f 表示x=對應的函數值,即圖中點B的縱坐標,表示x=x1和x=x2所對應的函數值的平均值,即圖中點A的縱坐標,顯然有f ,故C不正確,D正確.故選AD.
16.答案　
解析　由已知得,將直線y=x先向右平移1個單位長度,再向下平移1個單位長度可得函數f(x)和h(x)圖象的對稱軸,即直線y=x-1-1,即y=x-2,
所以P,Q兩點之間距離的最小值等于P到直線y=x-2距離的最小值的2倍,易知當點P到直線y=x-2的距離最小時, f(x)的圖象在點P處的切線平行于直線y=x-2,設P(x0,y0),
則 =Δx+2x0,當Δx→0時,→2x0,故函數f(x)=x2的圖象在點P處的切線斜率為2x0,故2x0=1,解得x0=,則y0=,所以點P到直線y=x-2距離的最小值為,
所以P,Q兩點之間距離的最小值為2×.
方法技巧　曲線上的點到直線距離的最小值即為曲線上與該直線平行的切線的切點到該直線的距離.
17.解析　設直線l與曲線C相切于點P(x0,y0),
則
=
=
=3+3x0Δx+(Δx)2-4x0-2Δx,
當Δx→0時,→3-4x0,
由導數的幾何意義知3-4x0=4,
解得x0=-或x0=2,所以切點的坐標為或(2,3).
當切點為時,有+a,解得a=;
當切點為(2,3)時,有3=4×2+a,解得a=-5.
綜上,當a=時,切點坐標為;當a=-5時,切點坐標為(2,3).
18.解析　(1) f '(x)=[3x2+3xΔx+(Δx)2]=3x2.
當x=1時, f '(1)=3,所以曲線f(x)在點(1,1)處的切線方程為y-1=3(x-1),即 3x-y-2=0.
(2)設切點坐標為(x0,),
由(1)知切線的斜率為f '(x0)=3,故切線方程為y-(x-x0).
因為切線過點(-1,-1),所以-1-(-1-x0),即(x0+1)2(2x0-1)=0,所以x0=-1或x0=,
故過點(-1,-1)且與曲線f(x)相切的直線有兩條,其方程分別是y+1=3(x+1)和y-,即3x-y+2=0和3x-4y-1=0.
2

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