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5.3.2　函數(shù)的極值與最大(小)值
第1課時　函數(shù)的極值
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　函數(shù)極值的概念及其求解
1.(多選題)下列關(guān)于函數(shù)極值的說法正確的是(　　)
A.導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)
B.函數(shù)的極小值可能大于它的極大值
C.函數(shù)在定義域內(nèi)必有一個極小值和一個極大值
D.若f(x)在區(qū)間(a,b)上有極值,則f(x)在區(qū)間(a,b)上不單調(diào)
2.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?a,b),其導(dǎo)函數(shù)f '(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的極大值點(diǎn)有(　　)
A.1個　　　　B.2個　　　　C.3個　　　　D.4個
3.已知函數(shù)f(x)=x(x-1)2,則(　　)
A.f(x)有極小值,無極大值
B.f(x)有極大值,無極小值
C.f(x)既有極小值又有極大值
D.f(x)無極小值也無極大值
4.一個矩形鐵皮的長為8 cm,寬為5 cm,在四個角上截去四個相同的小正方形,制成一個無蓋的小盒子,若記小正方形的邊長為x cm,小盒子的容積為V cm3,則(　　)
A.當(dāng)x=1時,V有極小值
B.當(dāng)x=1時,V有極大值
C.當(dāng)x=時,V有極小值
D.當(dāng)x=時,V有極大值
5.求下列函數(shù)的極值:
(1)f(x)=;
(2)f(x)=2x2-x4;
(3)f(x)=ex-ex;
(4)f(x)=(1-cos x)sin x,x∈[-π,π].
題組二　含參函數(shù)的極值問題
6.若函數(shù)f(x)=x3-2ax2+4x+a不存在極值,則a的取值范圍是(　　)
A.[-)
C.[-2,2]　　　　D.(-2,2)
7.已知函數(shù)f(x)=x2+ax+bln x+a2在x=1處取得極小值21,則b=(　　)
A.4　　　　B.3　　　　C.-5　　　　D.-6
8.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f '(x)=(x-1)(x2-3x+a),若1不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值為(　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.2
9.若函數(shù)f(x)=x2-ax+ln x在(0,2)上有極值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.
C.[2,+∞)　　　　D.(2,+∞)
10.若函數(shù)f(x)=aln x+(a≠0)既有極大值也有極小值,則下列結(jié)論一定正確的是(　　)
A.a<0　　　　B.b<0　　　　C.ab>-1　　　　D.a+b>0
11.若函數(shù)f(x)=e3x-e2x-ex -a存在零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)
A.[-2,+∞)　　　　B.[-e,+∞)
C.[-e2,+∞)　　　　D.[-1,+∞)
12.已知函數(shù)f(x)=ex-e1-x-ax有兩個極值點(diǎn)x1與x2,若f(x1)+f(x2)=-4,則實(shí)數(shù)a=　　　　.
13.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=及x=1處取得極值.
(1)求a,b的值;
(2)若方程f(x)=0有三個不同的實(shí)根,求c的取值范圍.
14.已知函數(shù)f(x)=eax+x2+x+b,且曲線y=f(x)在x=0處與x軸相切.
(1)求a,b的值;
(2)令g(x)=f '(x),證明函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
(3)求f(x)的極值點(diǎn)個數(shù).
能力提升練
題組一　函數(shù)極值的求解
1.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f '(x),且函數(shù)y=(1-x)f '(x)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論中一定成立的是(　　)
A.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)
B.函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(1)
C.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(-2)
D.函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(2)
2.如圖,已知直線y=kx+m與函數(shù)y=f(x),x∈(0,+∞)的圖象相切于兩點(diǎn),則函數(shù)F(x)=f(x)-kx有(　　)
A.2個極大值點(diǎn),1個極小值點(diǎn)
B.3個極大值點(diǎn),2個極小值點(diǎn)
C.2個極大值點(diǎn),無極小值點(diǎn)
D.3個極大值點(diǎn),無極小值點(diǎn)
3.定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x),g(x)的導(dǎo)數(shù)分別為f '(x),g'(x),且f '(x)=g(x), f(x)+g'(x)=0,則(　　)
A.當(dāng)x0是f(x)的零點(diǎn)時,x0是g(x)的極大值點(diǎn)
B.當(dāng)x0是f(x)的零點(diǎn)時,x0是g(x)的極小值點(diǎn)
C.f(x),g(x)可能有相同的零點(diǎn)
D.f(x),g(x)可能有相同的極值點(diǎn)
4.已知函數(shù)f(x)=axa+b的導(dǎo)函數(shù)為f '(x)=6x2,點(diǎn)P(t, f(t))為曲線f(x)上任意一點(diǎn),則曲線f(x)在點(diǎn)P處的切線的一般式方程為　　　　,該切線在x,y軸上的截距之和的極大值為　　　　.
題組二　含參函數(shù)的極值問題
5.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f '(x)=(x-1)(x+ln x-a),若x=1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.(-∞,1)　　　　
B.(1,+∞)
C.(-∞,1]　　　　
D.[1,+∞)
6.若函數(shù)f(x)=ex-ax2在區(qū)間(0,+∞)上無零點(diǎn),但有2個極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.
C.07.若x=2是函數(shù)f(x)=x2+2(a-2)x-4aln x的極大值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.(-∞,-2)　　　　B.(-2,+∞)
C.(2,+∞)　　　　D.(-2,2)
8.設(shè)函數(shù)f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,a∈R.
(1)令g(x)=f '(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知f(x)在x=1處取得極大值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
題組三　函數(shù)極值的綜合應(yīng)用
9.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的大致圖象如圖所示,則(　　)
A.a>0,b>0,c<0　　　　B.a>0,b<0,c<0
C.a>0,b<0,c>0　　　　D.a<0,b>0,c>0
10.若函數(shù)f(x)=(x-1)2+aln x有兩個極值點(diǎn)x1,x2,且x1A.
C.
11.若函數(shù)f(x)=ax3-ax+1的圖象經(jīng)過四個象限,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)
A.
B.
C.
D.
12.已知函數(shù)f(x)=ax-xln x與函數(shù)g(x)=ex-1的圖象上恰有兩對關(guān)于x軸對稱的點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)
A.(-∞,1-e]　　　　B.
C.(-∞,1-e)　　　　D.
13.(多選題)已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a∈R),則下列說法正確的是(　　)
A.當(dāng)a>e時, f(x)有兩個零點(diǎn)
B.當(dāng)a>0時, f(x)有極小值點(diǎn)
C.當(dāng)a<0時, f(x)沒有零點(diǎn)
D.無論a為何實(shí)數(shù), f(x)總存在單調(diào)遞增區(qū)間
14.(多選題)設(shè)函數(shù)f(x)=,則下列說法中正確的是(　　)
A.f(x)的定義域是(0,+∞)
B.x∈(0,1)時, f(x)的圖象位于x軸下方
C.f(x)不存在單調(diào)遞增區(qū)間
D.f(x)有且僅有一個極值點(diǎn)
15.已知函數(shù)f(x)=ex-x2-2x+a.
(1)證明:f(x)有兩個極值點(diǎn),且分別在區(qū)間(-1,0)和()內(nèi);
(2)若f(x)有3個零點(diǎn),求整數(shù)a的值.
參考數(shù)據(jù):≈4.11,≈5.65,≈1.73,≈1.41.
答案與分層梯度式解析
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.BD
2.A
3.C　由f(x)=x(x-1)2,可得f '(x)=3x2-4x+1=(x-1)(3x-1),
當(dāng)x∈時, f '(x)>0, f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈時, f '(x)<0, f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(1,+∞)時, f '(x)>0, f(x)單調(diào)遞增,
所以當(dāng)x=時,函數(shù)f(x)取得極大值;當(dāng)x=1時,函數(shù)f(x)取得極小值.故選C.
4.B　由已知可得V=x(8-2x)(5-2x)=4x3-26x2+40x,所以V'=12x2-52x+40,
令V'=0,得x=1或x=(舍去),
當(dāng)00,當(dāng)1所以函數(shù)V=4x3-26x2+40x在(0,1)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)x=1時,V取得極大值,無極小值.故選B.
5.解析　(1)f(x)的定義域?yàn)镽, f '(x)=.
令f '(x)=0,得x=±.列表如下:
x (-∞,-) - (-,) (,+∞)
f '(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘
所以函數(shù)f(x)的極大值為f(,極小值為f(-.
(2)f(x)的定義域?yàn)镽, f '(x)=4x-4x3,令f '(x)=0,得x=0或x=-1或x=1.
所以f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞增,在(-1,0)上單調(diào)遞減,在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
所以函數(shù)f(x)的極大值為f(-1)=f(1)=1,極小值為f(0)=0.
(3)f(x)的定義域?yàn)镽, f '(x)=ex-e.
令f '(x)>0,解得x>1;令f '(x)<0,解得 x<1.
所以f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.
所以函數(shù)f(x)的極小值為f(1)=e-e=0,無極大值.
(4)f '(x)=sin x·sin x+(1-cos x)cos x=-2cos2x+cos x+1=(-cos x+1)(2cos x+1),x∈[-π,π].
易知當(dāng)x∈時, f '(x)<0, f(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈時, f '(x)>0, f(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈時, f '(x)<0, f(x)單調(diào)遞減,
所以函數(shù)f(x)的極大值為f,極小值為f.
6.A　由f(x)=x3-2ax2+4x+a,得f '(x)=3x2-4ax+4,
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)不存在極值,所以f '(x)≥0在R上恒成立,則Δ=16a2-4×3×4≤0,得-≤a≤.
故選A.
7.D　由已知得f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),且f '(x)=2x+a+,
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=1處取得極小值21,所以
當(dāng)a=4,b=-6時, f(x)=x2+4x-6ln x+16,可得f '(x)=2x+4-,且x>0,
當(dāng)x∈(0,1)時, f '(x)<0, f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(1,+∞)時, f '(x)>0, f(x)單調(diào)遞增,
所以f(x)在x=1處取得極小值,為f(1)=21,符合題意.
當(dāng)a=-5,b=3時, f(x)=x2-5x+3ln x+25,可得f '(x)=2x-5+,且x>0,
當(dāng)x∈(0,1)時, f '(x)>0, f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈時, f '(x)<0, f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈時, f '(x)>0, f(x)單調(diào)遞增,
所以f(x)在x=1處取得極大值,不符合題意,舍去.
綜上可得,a=4,b=-6.
導(dǎo)師點(diǎn)睛　在利用極值求參數(shù)時,若參數(shù)有兩個解,需要代入原函數(shù),進(jìn)行檢驗(yàn);若參數(shù)只有一個解,一般不需要檢驗(yàn).
8.D　設(shè)h(x)=x2-3x+a.因?yàn)?不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),所以1是f '(x)的不變號零點(diǎn),所以h(1)=0,即1-3+a=0 a=2,
當(dāng)a=2時, f '(x)=(x-1)(x2-3x+2)=(x-1)2(x-2),故當(dāng)x>2時, f '(x)>0,當(dāng)x<2時, f '(x)≤0,且僅在x=1處取等號,因此2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),1不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),故a=2滿足題意.
故選D.
導(dǎo)師點(diǎn)睛　若x=a是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),但不是原函數(shù)的極值點(diǎn),則x=a是導(dǎo)函數(shù)的非變號零點(diǎn).
9.D　由已知得f(x)的定義域?yàn)?0,+∞), f '(x)=x-a+,
要使函數(shù)f(x)在(0,2)上有極值,
則需f '(x)在(0,2)上有零點(diǎn),即a=x+在(0,2)上有解.
令g(x)=x+,x∈(0,2),
則g(x)=x+≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立,結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)可知g(x)∈[2,+∞),所以a≥2.
當(dāng)a=2時, f '(x)=x+-2≥0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,故f(x)在(0,2)上沒有極值,故a>2.故選D.
10.B　由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞), f '(x)=,
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)既有極大值又有極小值,所以函數(shù)f '(x)在(0,+∞)上有兩個不同的零點(diǎn),
即方程ax2-4x-2b=0(a≠0)有兩個不同的正實(shí)數(shù)根,
所以即ab>-2,a>0,b<0.
故選B.
11.D　f '(x)=3e3x-2e2x-ex =ex (3e2x-2ex -1)=ex (ex -1)·(3ex +1),
令f '(x)=0,得ex -1=0,解得x=0.
當(dāng)x∈(-∞,0)時, f '(x)<0, f(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(0,+∞)時, f '(x)>0, f(x)單調(diào)遞增,
結(jié)合f(x)的圖象(圖略)可知,
若函數(shù)f(x)=e3x-e2x-ex -a存在零點(diǎn),則必有f(0)=-a-1≤0,解得a≥-1,
即a的取值范圍為[-1,+∞),
故選D.
12.答案　4
解析　易得f '(x)=ex+e1-x-a,因?yàn)閒(x)有兩個極值點(diǎn)x1與x2,所以f '(x)=0即e2x-aex+e=0的兩根為x1,x2,所以-a=0,
=e,即x1+x2=1.
因?yàn)閒(x1)+f(x2)=-4,所以()-a(x1+x2)=-4,所以a-()-a×1=-4,即=4,即a-=4,即2a-a=4,所以a=4.
13.解析　(1)∵f(x)=x3+ax2+bx+c,∴f '(x)=3x2+2ax+b,
由已知得,1是3x2+2ax+b=0的兩個根,
故
此時f(x)=x3-2x2+x+c,則f '(x)=3x2-4x+1,
令f '(x)<0,得0,得x<或x>1,
所以函數(shù)f(x)在和(1,+∞)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
可知x=和x=1均為極值點(diǎn),符合題意,∴a=-2,b=1.
(2)由(1)得f(x)=x3-2x2+x+c,f '(x)=3x2-4x+1,結(jié)合(1)可知,f(x)的極小值為f(1)=c,極大值為f+c,
若方程f(x)=0有三個不同的實(shí)根,則
解得-14.解析　(1)f '(x)=aeax+x2-x+1,
由題意可知y=0是曲線y=f(x)在x=0處的切線方程,
所以f '(0)=a+1=0且f(0)=1+b=0,故a=-1,b=-1.
(2)證明:由(1)知a=-1,b=-1,
所以g(x)=f '(x)=-e-x+x2-x+1,
所以g'(x)=e-x+2x-1,
令h(x)=g'(x)=e-x+2x-1,則h'(x)=-e-x+2,
當(dāng)x>-ln 2時,h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x<-ln 2時,h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,
因此g'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
故g'(x)>g'(0)=0,
所以函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
(3)由(2)知,當(dāng)x>-ln 2時,g'(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x<-ln 2時,g'(x)單調(diào)遞減,
所以當(dāng)x=-ln 2時,g'(x)取最小值,且g'(0)=0,又g'(-2)=e2-5>0,g'(-1)=e-3<0,所以存在x0∈(-2,-1),使得g'(x0)=0,
因此當(dāng)x>0和x0,g(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x0由(2)知f '(x)=g(x),因此f '(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,在(-∞,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,0)上單調(diào)遞減,
又f '(-3)=-e3+9+3+1=13-e3<13-2.73<0, f '(0)=0,
所以存在x0'∈(-3,0),使得f '(x0')=0,
故當(dāng)xx0'時, f '(x)≥0(且僅在x=0處取等號), f(x)單調(diào)遞增,
故f(x)在x=x0'時取極小值,故f(x)有1個極值點(diǎn).
能力提升練
1.D　當(dāng)x<-2時,1-x>0,(1-x)f '(x)>0,則f '(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)-20,(1-x)f '(x)<0,則f '(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)10,則f '(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x>2時,1-x<0,(1-x)f '(x)<0,則f '(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,
故f(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)上單調(diào)遞增,在(-2,2)上單調(diào)遞減,故f(x)有極大值f(-2)和極小值f(2),故選D.
2.B　由F(x)=f(x)-kx得F'(x)=f '(x)-k,
作出與直線y=kx+m平行的曲線f(x)的所有切線,各切線與曲線f(x)的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為a,b,c,d,e,
則f(x)在a,b,c,d,e處的導(dǎo)數(shù)都等于k,
在(0,a),(b,c),(d,e)上, f '(x)>k,故F'(x)>0,F(x)單調(diào)遞增,
在(a,b),(c,d),(e,+∞)上, f '(x)<0,故F'(x)<0,F(x)單調(diào)遞減,
因此函數(shù)F(x)=f(x)-kx有三個極大值點(diǎn),有兩個極小值點(diǎn).故選B.
3.C　對于A、B選項(xiàng),因?yàn)閒(x)+g'(x)=0,所以g'(x)=-f(x),若f(x0)=0,則g'(x0)=0,但x0不一定是g(x)的極值點(diǎn),故A、B錯誤.
對于C選項(xiàng),易知f(x)=0和f '(x)=0可以同時成立,即f(x)=0,g(x)=f '(x)=0同時成立,如f(x)=x2,所以兩者可能有相同的零點(diǎn),故C正確.
對于D選項(xiàng),①若g(x)在x0處取得極大值,則g'(x0)=0,且在x0左右兩側(cè)無限小的區(qū)間內(nèi)g'(x)先正后負(fù),
若g(x0)>0,則在x0左右兩側(cè)無限小的區(qū)間內(nèi)g(x)>0,
即x∈(x0-|δ|,x0+|δ|),δ→0時,必有g(shù)(x)>0,即f '(x)>0,
所以f(x)在(x0-|δ|,x0+|δ|)上單調(diào)遞增,不符合題意;
若g(x0)<0,則在x0左右兩側(cè)無限小的區(qū)間內(nèi)g(x)<0,
即x∈(x0-|δ|,x0+|δ|),δ→0時,必有g(shù)(x)<0,即f '(x)<0,
所以f(x)在(x0-|δ|,x0+|δ|)上單調(diào)遞減,不符合題意;
若g(x0)=0,則在x0左右兩側(cè)無限小的區(qū)間內(nèi)g(x)<0,
即x∈(x0-|δ|,x0+|δ|),δ→0時,必有g(shù)(x)≤0,即f '(x)≤0,
所以f(x)在(x0-|δ|,x0+|δ|)上單調(diào)遞減,不符合題意.
②同理,若g(x)在x0處取得極小值,也可以得出不符合題意,故D錯誤.故選C.
4.答案　6t2x-y-4t3=0;
解析　由函數(shù)f(x)=axa+b,可得f '(x)=a(a+b)xa+b-1,又f '(x)=6x2,
所以所以f(x)=2x3,則f '(t)=6t2, f(t)=2t3,
所以曲線f(x)在點(diǎn)P處的切線方程為y-2t3=6t2(x-t),即6t2x-y-4t3=0.
令y=0,可得x=;令x=0,可得y=-4t3,則切線在x,y軸上的截距之和為-4t3.
設(shè)g(t)=-4t3+,則g'(t)=-12t2+,
令g'(t)=0,得-12t2+=0,解得t=±,
當(dāng)t∈或t∈時,g'(t)<0,g(t)單調(diào)遞減;
當(dāng)t∈時,g'(t)>0,g(t)單調(diào)遞增,
所以當(dāng)t=時,函數(shù)g(t)取得極大值,極大值為g,故該切線在x,y軸上的截距之和的極大值為.
5.B　令f '(x)=(x-1)(x+ln x-a)=0,則x=1或x+ln x-a=0,
易知函數(shù)y=x+ln x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且值域?yàn)镽,所以方程x+ln x-a=0必有根,設(shè)為t,t>0,則t+ln t-a=0,即a=t+ln t.
故f '(x)=(x-1)(x+ln x-a)=0的根為x=1或x=t,
又x=1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),
所以函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,t)上單調(diào)遞減,在(t,+∞)上單調(diào)遞增,
故t>1,所以a=t+ln t>1+ln 1=1,即a>1.故選B.
6.B　由題意得f(x)=ex-ax2=0在區(qū)間(0,+∞)上無解,
即a=在區(qū)間(0,+∞)上無解,
設(shè)g(x)=(x>0),則g'(x)=(x-2),
所以當(dāng)x∈(0,2)時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(2,+∞)時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,
所以g(x)≥g(2)=,顯然當(dāng)x→+∞時,g(x)→+∞,當(dāng)x→0+時,g(x)→+∞,所以a<.
又函數(shù)f(x)=ex-ax2在區(qū)間(0,+∞)上有2個極值點(diǎn),所以f '(x)=ex-2ax=0在區(qū)間(0,+∞)上有2個不同的解,
即2a=在區(qū)間(0,+∞)上有2個不同的解,
設(shè)h(x)=(x>0),則h'(x)=(x-1),
所以當(dāng)x∈(0,1)時,h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(1,+∞)時,h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,
所以h(x)≥h(1)=e,顯然當(dāng)x→+∞時,h(x)→+∞,當(dāng)x→0+時,h(x)→+∞,所以2a>e,則a>.
綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選B.
7.A　由題可得f '(x)=2x+2(a-2)-(x>0).
當(dāng)a≥0時,令f '(x)>0,得x>2;令f '(x)<0,得0所以當(dāng)x=2時, f(x)取得極小值,不滿足題意.
當(dāng)a<-2時,令f '(x)>0,得0-a;令f '(x)<0,得2所以f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,在(2,-a)上單調(diào)遞減,在(-a,+∞)上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)x=2時, f(x)取得極大值,滿足題意.
當(dāng)-20,得02;令f '(x)<0,得-a所以f(x)在(0,-a)上單調(diào)遞增,在(-a,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)x=2時, f(x)取得極小值,不滿足題意.
當(dāng)a=-2時, f '(x)=≥0在(0,+∞)上恒成立,且僅在x=2處取等號,故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,此時f(x)無極值.
綜上,a的取值范圍是(-∞,-2).故選A.
8.解析　(1)由已知得g(x)=f '(x)=ln x-2ax+2a,則g'(x)=-2a,x>0,
當(dāng)a≤0時,g'(x)=-2a>-2a≥0,故g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)a>0時,令g'(x)>0,得0,故g(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
綜上,當(dāng)a≤0時,g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時,g(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(2)由(1)得f '(1)=ln 1-2a+2a=0.
①當(dāng)a=時,由(1)知f '(x)=g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,故f '(x)在x=1處取得極大值,為f '(1)=0,故f '(x)≤0,故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
故x=1不是f(x)的極值點(diǎn),不滿足條件;
②當(dāng)0又0<1<,且f '(1)=0,所以當(dāng)x∈(0,1)時, f '(x)<0,當(dāng)x∈時, f '(x)>0,
從而f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故x=1是f(x)的極小值點(diǎn),不滿足條件;
③當(dāng)a≤0時,由(1)知f '(x)=g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又f '(1)=0,故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
故x=1是f(x)的極小值點(diǎn),不滿足條件;
④當(dāng)a>時,由(1)知f '(x)=g(x)在上單調(diào)遞減,
因?yàn)?<<1,且f '(1)=0,所以當(dāng)x∈時, f '(x)>0,當(dāng)x∈(1,+∞)時, f '(x)<0,
從而f(x)在上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,故x=1是f(x)的極大值點(diǎn),滿足條件.
綜上,a的取值范圍是.
導(dǎo)師點(diǎn)睛　在第(2)問中,關(guān)鍵點(diǎn)在于x=1附近的單調(diào)性,從而在a>0的情況下,需要仔細(xì)比較1和的大小關(guān)系,也就是a和的大小關(guān)系,這是分類討論的關(guān)鍵點(diǎn).
9.B　由f(x)=ax3+bx2+cx+d得f '(x)=3ax2+2bx+c.由題圖可知,函數(shù)f(x)有兩個遞增區(qū)間,一個遞減區(qū)間,所以函數(shù)f '(x)的圖象開口向上,且與x軸有兩個交點(diǎn),故a>0.
設(shè)方程f '(x)=3ax2+2bx+c=0的兩根分別為x1,x2,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的極大值點(diǎn)在y軸左側(cè),極小值點(diǎn)在y軸右側(cè),且極大值點(diǎn)離y軸較近,所以x1+x2>0,x1x2<0,
即-<0,又a>0,所以b<0,c<0.故選B.
10.A　易得f '(x)=2(x-1)+,x>0.
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個極值點(diǎn)x1,x2,
所以方程2x2-2x+a=0有兩個實(shí)數(shù)根x1,x2,
所以x1+x2=1,2-2x2+a=0,又0所以f(x2)=(x2-1)2+aln x2
=(x2-1)2+(-2+2x2)ln x2,令g(x)=(x-1)2+(-2x2+2x)ln x,則g'(x)=(2-4x)ln x,因?yàn)?x<1,所以-2<2-4x<0,ln x<0,故g'(x)>0在上恒成立,
故g(x)在上單調(diào)遞增,則g(x)∈,
即f(x2)的取值范圍為,故選A.
11.C　當(dāng)a=0時, f(x)=1,其圖象經(jīng)過第一、二象限,與題意不符,
故a≠0,此時f '(x)=ax2-a,令f '(x)=0,得x=±1.
若a>0,則當(dāng)x<-1或x>1時, f '(x)>0, f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)-10,在x=1處取得極小值,為f(1)=-a+1,所以要想函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過四個象限,只需f(1)=-a+1<0,解得a>.
若a<0,則當(dāng)x<-1或x>1時, f '(x)<0, f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)-10, f(x)單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)在x=-1處取得極小值,為f(-1)=a+1,在x=1處取得極大值,為f(1)=-a+1,且-a+1>0,所以要想函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過四個象限,只需f(-1)=a+1<0,解得a<-.
綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選C.
12.C　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)與g(x)的圖象上恰有兩對關(guān)于x軸對稱的點(diǎn),
所以-f(x)=g(x),即-ax+xln x=ex-1有兩個解,
所以a=有兩個解,
令h(x)=,則h'(x)=,
所以當(dāng)x∈(0,1)時,h'(x)>0,函數(shù)h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(1,+∞)時,h'(x)<0,函數(shù)h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
所以h(x)在x=1處取得極大值,為h(1)=1-e,
且當(dāng)x→0+時,h(x)→-∞,
當(dāng)x→+∞時,h(x)→-∞,
因此當(dāng)a=有兩個解時,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,1-e).故選C.
解題模板　利用導(dǎo)數(shù)研究與函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)(方程根的個數(shù))相關(guān)的參數(shù)問題時,一般需要先分離參數(shù),根據(jù)分離后的結(jié)果,構(gòu)造新的函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,確定函數(shù)的極值,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.變量分離可以避免對參數(shù)的分類討論.
13.ABD　f '(x)=ex-a,當(dāng)a≤0時, f '(x)>0, f(x)在R上單調(diào)遞增,
當(dāng)a>0時,令f '(x)>0,得x>ln a,令f '(x)<0,得x所以f(x)在(-∞,ln a)上單調(diào)遞減,在(ln a,+∞)上單調(diào)遞增,
所以ln a是f(x)的極小值點(diǎn),故B正確;
無論a為何實(shí)數(shù), f(x)總存在單調(diào)遞增區(qū)間,故D正確;
f(x)=ex-ax的零點(diǎn)個數(shù)等價于y=ex的圖象與y=ax的圖象的交點(diǎn)個數(shù),
設(shè)直線y=kx與曲線y=ex相切于點(diǎn)(x0,),
則所以直線y=ex與曲線y=ex相切,畫出y=ex的圖象與直線y=ax,如圖,
由圖可得,當(dāng)a<0時, f(x)有一個零點(diǎn),故C錯誤;
當(dāng)a>e時, f(x)有兩個零點(diǎn),故A正確.故選ABD.
14.BD　由題意得,函數(shù)f(x)=解得x>0且x≠1,所以函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)?0,1)∪(1,+∞),所以A不正確;
由f(x)=可知,當(dāng)x∈(0,1)時,ln x<0,ex>0,所以f(x)<0,所以f(x)在(0,1)上的圖象都在x軸下方,所以B正確;
f '(x)=,令g(x)=ln x-,則g'(x)=,
當(dāng)x>1時,g'(x)>0,g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,g(2)=ln 2->0,
當(dāng)x>2時,g(x)>g(2)>0,此時f '(x)>0,所以函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間,所以C不正確;
由以上分析可知,當(dāng)x>0時,g'(x)=>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,又g(1)=-1<0,g(2)=ln 2->0,所以存在x0∈(1,2),使得g(x0)=0,即f '(x0)=0,
當(dāng)x∈(0,1)時, f '(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(1,x0)時, f '(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(x0,+∞)時, f '(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,
所以f(x)有且僅有一個極值點(diǎn),所以D正確.故選BD.
15.解析　(1)證明:易得f '(x)=ex-2x-2.
令g(x)=f '(x)=ex-2x-2,則g'(x)=ex-2.
令g'(x)<0,得x0,得x>ln 2,
∴g(x)在(-∞,ln 2)上單調(diào)遞減,在(ln 2,+∞)上單調(diào)遞增.
∴g(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,在()上單調(diào)遞增,又g(-1)=-2≈-0.71<0,g(-2≈0.19>0,
∴g(x)在(-1,0)內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn),在()內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn).
綜上,g(x)有兩個零點(diǎn),且分別在區(qū)間(-1,0)和()內(nèi).
設(shè)g(x)的兩個零點(diǎn)分別為x1,x2,且x1∈(-1,0),x2∈(),
當(dāng)x1x2時,g(x)>0,即f '(x)>0,
∴f(x)在(x1,x2)上單調(diào)遞減,在(-∞,x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞增,∴f(x)有兩個極值點(diǎn),且分別在區(qū)間(-1,0)和()內(nèi).
(2)由(1)及題意得
且
∴
∵x1∈(-1,0),x2∈(
又a為整數(shù),∴a=-1或a=0.
2(共35張PPT)
知識點(diǎn) 1 函數(shù)的極值
5.3.2 函數(shù)的極值與最大(小)值
必備知識 清單破
1.函數(shù)的極值與極值點(diǎn)
　　若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都小,f'(a)=0,而
且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0,就把a(bǔ)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn), f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.
　　若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都大, f'(b)=0,
而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè) f'(x)<0,就把b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn), f(b)叫做函數(shù)y
=f(x)的極大值.
　　極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn),極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.
2.求函數(shù)y=f(x)極值的方法
　　解方程f'(x)=0,當(dāng)f'(x0)=0時:
(1)如果在x0附近的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0,那么f(x0)是極大值;
(2)如果在x0附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0,那么f(x0)是極小值.
　
1.一般地,如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大值和
最小值.
知識點(diǎn) 2 函數(shù)的最大(小)值
特別提醒 (1)給定函數(shù)的區(qū)間必須是閉區(qū)間, f(x)在開區(qū)間上雖然連續(xù)但不能保證有最大值
和最小值.
常見的有以下幾種情況:圖①中f(x)在(a,b)上有最大值無最小值;圖②中f(x)在(a,b)上有最小值
無最大值;圖③中f(x)在(a,b)上既無最大值也無最小值;圖④中f(x)在(a,b)上既有最大值也有最
小值.

① ② ③ ④
(2)函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷是f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值的充分不必要
條件.如函數(shù)f(x)= 的圖象在[-1,1]上有間斷點(diǎn),但存在最大值和最小值.
2.一般地,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下:
(1)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的極值;
(2)將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a), f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的
一個是最小值.
3.函數(shù)極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系
(1)極值是對某一點(diǎn)附近(局部)而言的,最值是對函數(shù)的整個定義域而言的.
(2)在函數(shù)的定義域內(nèi),極大(小)值可能有多個(或者沒有),但最大(小)值只有一個.
(3)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)不能是區(qū)間的端點(diǎn),而最值點(diǎn)可以是區(qū)間的端點(diǎn).
(4)對于在閉區(qū)間上圖象連續(xù)不斷的函數(shù),函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處
取得.
知識辨析
1.導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)嗎
2.函數(shù)的極大值一定大于極小值嗎
3.若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)有極值,則f(x)在(a,b)內(nèi)一定不單調(diào),這種說法正確嗎
4.在可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)處,該函數(shù)圖象的切線與x軸有什么位置關(guān)系
5.有極值的函數(shù)一定有最值嗎
6.有最值的函數(shù)不一定有極值,這種說法對嗎
一語破的
1.不一定.只有導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值異號時才是極值點(diǎn),但極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值必定為0,所
以函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0是函數(shù)在這點(diǎn)處取得極值的必要不充分條件.
2.不一定.函數(shù)的極大值一定大于相鄰的極小值,對于不相鄰的極大值與極小值不能確定大小
關(guān)系.如圖所示,x1是極大值點(diǎn),x4是極小值點(diǎn),但f(x1)3.正確.根據(jù)極值的概念,極值點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)不同號,所以函數(shù)不單調(diào).
4.平行或重合.可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0,即切線的斜率為0,故切線與x軸平行或重合.
5.不一定.開區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)可以有極值,但極值不是最值時,函數(shù)無最值.
6.對.閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)有最值,但無極值.
關(guān)鍵能力 定點(diǎn)破
定點(diǎn) 1 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題
1.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟
(1)確定函數(shù)f(x)的定義域.
(2)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f'(x).
(3)令f'(x)=0,求出全部的根.
(4)用f '(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分成若干個區(qū)間(如果根中含有參數(shù),則需根據(jù)參數(shù)的范圍
分類劃分區(qū)間),列表給出f '(x)在各區(qū)間上的正負(fù),及f(x)的單調(diào)性.
(5)得結(jié)論:若導(dǎo)數(shù)在根x0附近左正右負(fù),則函數(shù)在x0處取得極大值;若左負(fù)右正,則取得極小值.
(由表格可清晰地看出極值的分布情況,對于初學(xué)者是首選,后期對求導(dǎo)比較熟練時也可以省
去列表格的環(huán)節(jié))
2.有關(guān)含參函數(shù)的極值問題
(1)求含參數(shù)的函數(shù)的極值,要根據(jù)f'(x)=0的不同類型對參數(shù)進(jìn)行分類討論.通常要考慮以下
幾個方面:
①方程f'(x)=0有無實(shí)數(shù)根;
②方程f'(x)=0的實(shí)數(shù)根是否在定義域內(nèi);
③方程f'(x)=0的實(shí)數(shù)根的大小.
進(jìn)而列表得到函數(shù)的極值.
(2)由極值求參數(shù)的值或取值范圍,解題的切入點(diǎn)是極值存在的條件:極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0,
極值點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號.解題步驟如下:
①求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f'(x);
②由極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0,列出方程(組),求解參數(shù).
　　注意:求出參數(shù)后,一定要驗(yàn)證是否滿足題目的條件.
典例 (1)若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處取得極值10,求a,b的值;
(2)已知函數(shù)f(x)= x3- (m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m為常數(shù))在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)有兩個極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)
m的取值范圍.
思路點(diǎn)撥 (1)求f'(x) 由f(x)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0和點(diǎn)(1,10)在曲線f(x)上建立關(guān)于a,b
的方程組 解方程組求出a,b的值并檢驗(yàn).
(2)求f '(x) 由f'(x)的圖象在(1,+∞)內(nèi)與x軸有兩個不同的交點(diǎn),列不等式組 解不等式組
得m的取值范圍.
解析 (1)由f(x)=x3+ax2+bx+a2得 f'(x)=3x2+2ax+b,
依題意得 整理得
解得 或
當(dāng)a=-3,b=3時, f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,
故f(x)在R上單調(diào)遞增,不可能在x=1處取得極值,所以a=-3,b=3不符合題意,舍去.
而當(dāng)a=4,b=-11時,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意,故a,b的值分別為4,-11.
(2)由f(x)= x3- (m+3)x2+(m+6)x得 f'(x)=x2-(m+3)x+m+6.
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(1,+∞)內(nèi)有兩個極值點(diǎn),
所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6的圖象在(1,+∞)內(nèi)與x軸有兩個不同的交點(diǎn),如圖所示.

所以
解得m>3,故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(3,+∞).
易錯警示 解決利用極值求函數(shù)中的參數(shù)問題時,注意f'(x0)=0是x0為極值點(diǎn)的必要不充分條
件,(1)中由f'(1)=0及f(1)=10求出a,b的值后,注意檢驗(yàn)極值的存在條件,防止多解.

1.利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性,研究函數(shù)的極值情況,并能在此基礎(chǔ)上畫出函數(shù)的大致圖
象,從直觀上判斷函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況,從而為研究方程根的個數(shù)提供了方便.
2.利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的問題中,函數(shù)的零點(diǎn)問題是比較復(fù)雜的綜合問題,常常在高考壓軸題中
出現(xiàn).解決此類問題可通過極值的正用和逆用,分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法進(jìn)行有效處
理,解題的關(guān)鍵是掌握求單調(diào)區(qū)間和極值的方法.
定點(diǎn) 2 利用函數(shù)的極值解決函數(shù)的零點(diǎn)(方程根)問題
典例　已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.
(1)若a=1,證明:當(dāng)x≥0時, f(x)≥1;
(2)若f(x)在(0,+∞)上有兩個零點(diǎn),求a的取值范圍.
解析 (1)證明:當(dāng)a=1時, f(x)=ex-x2,則f '(x)=ex-2x,
令g(x)=f '(x)=ex-2x,
則g'(x)=ex-2,令g'(x)=0,得x=ln 2.
當(dāng)x∈[0,ln 2)時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(ln 2,+∞)時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,所以g(x)在x=ln 2時取極小值,也是最小值,g(ln 2)=eln 2-
2ln 2=2-ln 4=ln >0,
所以g(x)>0,所以f '(x)>0,
所以f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)≥f(0)=1.
(2)f(x)在(0,+∞)上有兩個零點(diǎn),即方程ex-ax2=0在(0,+∞)上有兩個根,即a= 在(0,+∞)上有兩
個根,即直線y=a與函數(shù)y= 的圖象在(0,+∞)上有兩個交點(diǎn).
令G(x)= ,則G'(x)= ,
當(dāng)x∈(0,2)時,G'(x)<0,G(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(2,+∞)時,G'(x)>0,G(x)單調(diào)遞增,所以G(x)在x=2時
取得極小值,也是最小值,為G(2)= ,
當(dāng)x→0時,G(x)→+∞,當(dāng)x→+∞時,G(x)→+∞,
所以f(x)在(0,+∞)上有兩個零點(diǎn)時,a的取值范圍是 .

1.求解函數(shù)在固定區(qū)間上的最大(小)值問題的步驟
(1)求f'(x),解方程f'(x)=0;
(2)列出關(guān)于x, f(x), f'(x)的變化表;
(3)求極值和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值,確定最大(小)值.
　　注意:不要忽略將所求極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較.
2.有關(guān)含參函數(shù)的最大(小)值問題,一般有兩類
　　一類是求含有參數(shù)的函數(shù)的最大(小)值,對于此類問題,由于參數(shù)的取值范圍不同會導(dǎo)致
函數(shù)的單調(diào)性變化,從而導(dǎo)致最大(小)值變化,所以解決此類問題常常需要分類討論,在分類
討論解決函數(shù)的單調(diào)性的基礎(chǔ)上,比較極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的大小求解.
另一類是由最大(小)值求參數(shù)的值或取值范圍,此類問題是根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值問題的逆向
定點(diǎn) 3 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大(小)值問題
運(yùn)用,求解此類問題的步驟如下:
(1)求導(dǎo)數(shù)f'(x),并求極值;
(2)利用單調(diào)性,將極值與區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較,確定函數(shù)的最值,若參數(shù)的變化影響
著函數(shù)的單調(diào)性,則要對參數(shù)進(jìn)行分類討論;
(3)利用最值列出關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式,求解即可.
典例1　已知函數(shù)f(x)=x3-ax2-a2x,求函數(shù)f(x)在[0,+∞)上的最小值.
解析 由題意得, f'(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a).
令f'(x)=0,得x=- 或x=a.
①當(dāng)a>0時, f(x)在[0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(a)=-a3;
②當(dāng)a=0時, f'(x)=3x2≥0, f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(0)=0;
③當(dāng)a<0時, f(x)在 上單調(diào)遞減,在 上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f = a3.
綜上所述,當(dāng)a>0時, f(x)的最小值為-a3;
當(dāng)a=0時, f(x)的最小值為0;
當(dāng)a<0時, f(x)的最小值為 a3.
解題模板 對參數(shù)進(jìn)行討論,其實(shí)質(zhì)是討論導(dǎo)函數(shù)f'(x)與0的關(guān)系.若導(dǎo)函數(shù)f'(x)≥0或f'(x)≤0
恒成立,且等號不恒成立,則函數(shù)在已知區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),最值在端點(diǎn)處取得;否則需分類討
論求出極值,再與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值比較后確定最大(小)值.
典例2　已知函數(shù)f(x)=ln x+ .
(1)當(dāng)a<0時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在[1,e]上的最小值是 ,求a的值.
解析 (1)由題意知函數(shù)f(x)=ln x+ 的定義域?yàn)?0,+∞), f'(x)= - = .
∵a<0,∴f'(x)>0,
故函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),無單調(diào)遞減區(qū)間.
(2)由(1)知f '(x)= .
①當(dāng)a≤1時,函數(shù)f(x)在[1,e]上單調(diào)遞增,其最小值為f(1)=a≤1,與最小值是 矛盾;
②當(dāng)1∴函數(shù)f(x)的最小值為f(a)=ln a+1,令ln a+1= ,得a= ,滿足題意;
③當(dāng)a≥e時,函數(shù)f(x)在[1,e]上單調(diào)遞減,其最小值為f(e)=1+ ≥2,與最小值是 矛盾.
綜上所述,a的值為 .

1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,可以處理有關(guān)函數(shù)圖象、不等式等綜合問題,特別是有關(guān)不等式恒
成立問題,是近幾年來高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn).解決不等式恒成立問題一般有以下方法:
(1)取主元(給定范圍內(nèi)任意取值的變量),結(jié)合參數(shù)分類,利用最大(小)值或數(shù)形結(jié)合解決有關(guān)
不等式恒成立問題.
(2)將主元與參數(shù)分離變量,將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為最大(小)值問題來解決.
　　在定義域內(nèi),對于任意的x,都有f(x)≥a成立,轉(zhuǎn)化為f(x)min≥a;對于任意的x,都有f(x)≤a成
立,轉(zhuǎn)化為f(x)max≤a.
2.與不等式有關(guān)的證明問題,可以將不等式問題轉(zhuǎn)化為最大(小)值問題,利用函數(shù)的最大(小)
值加以證明.
定點(diǎn) 4 利用函數(shù)的最值解決與不等式恒成立有關(guān)的問題
典例　設(shè)函數(shù)f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).
(1)求f(x)的最小值h(t);
(2)若h(t)<-2t+m對任意t∈(0,2)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)若對任意的t1,t2∈(0,2),都有h(t1)<-2t2+n,求實(shí)數(shù)n的取值范圍.
解析 (1)由題意得f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),
∴f(x)的最小值為f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.
(2)記g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,t∈(0,2),則g'(t)=-3t2+3,
令g'(t)=0,得t=1或t=-1(舍去).
當(dāng)t變化時,g'(t),g(t)的變化情況如下表所示.
t (0,1) 1 (1,2)
g'(t) + 0 -
g(t) ↗ 極大值 ↘
∴g(t)在(0,2)內(nèi)有最大值g(1)=1-m.
∵h(yuǎn)(t)<-2t+m對任意t∈(0,2)恒成立,
∴g(t)<0對任意t∈(0,2)恒成立,
∴1-m<0,∴m>1.
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為(1,+∞).
(3)∵h(yuǎn)(t)=-t3+t-1,∴h'(t)=-3t2+1,
令h'(t)=0,得t= 或t=- (舍去).
當(dāng)00,當(dāng) 令φ(t)=-2t+n,t∈(0,2),則φ(t)>n-4.
由題意可知 ≤n-4,解得n≥ .
∴實(shí)數(shù)n的取值范圍為 .

1.實(shí)際生活中經(jīng)常遇到利潤最大、用料最省、效率最高等問題,這些問題通常稱為優(yōu)化問題.
導(dǎo)數(shù)是解決生活中優(yōu)化問題的有力工具.
利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的步驟如下:

定點(diǎn) 5 導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用
2.解決優(yōu)化問題時應(yīng)注意的問題
(1)列函數(shù)關(guān)系式時,要注意實(shí)際問題中變量的取值范圍,即函數(shù)的定義域.
(2)一般地,可通過求函數(shù)的極值來求得函數(shù)的最值.如果函數(shù)f(x)在給定區(qū)間內(nèi)只有一個極值
點(diǎn)x0或函數(shù)f(x)在開區(qū)間上只有一個點(diǎn)x0使f '(x)=0,則只需根據(jù)實(shí)際意義判斷f(x0)是最大值還
是最小值即可,不必再與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較.
典例　長征五號B運(yùn)載火箭是專門為中國載人航天工程空間站建設(shè)而研制的一款新型運(yùn)載
火箭,是中國近地軌道運(yùn)載能力最大的新一代運(yùn)載火箭.長征五號有效載荷整流罩外形是馮·
卡門外形(原始卵形)+圓柱形,由兩個半罩組成,某學(xué)校航天興趣小組制作整流罩模型,近似一
個由圓柱和圓錐組成的幾何體,如圖所示,若圓錐的母線長為6,且圓錐的高與圓柱的高的比為
1∶3,則該模型體積的最大值為(　 )

A.40 π　　 B.80 π
C.160 π　　 D.180 π
C
解析 設(shè)圓錐的高為h,則圓柱的高為3h,圓錐底面圓的半徑r= ,則該模型的體積V=πr2·
3h+ πr2·h= h(36-h2)π= (36h-h3),0令f(x)=-x3+36x,0令f'(x)=0,得x=2 (負(fù)值舍去),
當(dāng)00,當(dāng)2 則f(x)在(0,2 )上單調(diào)遞增,在(2 ,6)上單調(diào)遞減,故f(x)在x=2 時取得極大值,也是最大值,
即當(dāng)h=2 時,V取得最大值,且Vmax=160 π,故選C.
學(xué)科素養(yǎng) 情境破
素養(yǎng) 通過對導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的研究發(fā)展邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)
素養(yǎng)解讀
　　因?yàn)橐院瘮?shù)和導(dǎo)數(shù)為命題背景的壓軸題能夠考查學(xué)生的“四基”及“四能”,有利于學(xué)
生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、探究及創(chuàng)新能力的培養(yǎng),所以此類試題備受命題專家的青睞.導(dǎo)數(shù)問題常
考題型有:不等式恒成立問題、不等式證明問題、函數(shù)零點(diǎn)問題等,這些問題雖然形式不同,
但實(shí)質(zhì)是一樣的,第一問通常是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值,有時含有參數(shù),需
要結(jié)合分類討論思想對參數(shù)進(jìn)行討論,學(xué)生通過掌握基本形式和規(guī)則,探索和表述解題過程,
理解命題體系,進(jìn)而有邏輯地解答問題,主要是對學(xué)生“邏輯推理”核心素養(yǎng)的考查;第二或
第三問需要在第一問的基礎(chǔ)上,綜合運(yùn)用單調(diào)性、極值、最值、零點(diǎn)等知識,必要時需要構(gòu)
造函數(shù),結(jié)合轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想等,考查學(xué)生推理論證以及運(yùn)算能力,學(xué)生通過
理解運(yùn)算對象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路最終求得運(yùn)算結(jié)果,主要是對學(xué)生的“數(shù)學(xué)運(yùn)
算”核心素養(yǎng)的考查.
典例呈現(xiàn)
例題　已知函數(shù)f(x)=ex-a(x+2).
(1)當(dāng)a=1時,討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)有兩個零點(diǎn),求a的取值范圍.
主編點(diǎn)評 本題考查的是函數(shù)的零點(diǎn)問題,可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根,利用數(shù)
形結(jié)合思想進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題,畫函數(shù)圖象時需要利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)
的單調(diào)性,判斷圖象的大致趨勢,此外,一些常見函數(shù)的求導(dǎo)公式要牢固掌握,這是解題的基礎(chǔ),
計算要認(rèn)真、準(zhǔn)確.
解題思路 (1)當(dāng)a=1時,f(x)=ex-(x+2),則f'(x)=ex-1,令f'(x)<0,解得x<0,令f'(x)>0,解得x>0,所以f(x)
在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)f(x)有兩個零點(diǎn),即方程ex-a(x+2)=0有兩個實(shí)數(shù)根,顯然x=-2不是方程的根,故a= 有兩個
實(shí)數(shù)根,令h(x)= (x≠-2),則h'(x)= = ,
令h'(x)>0,解得x>-1,令h'(x)<0,解得x<-2或-2在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,
當(dāng)x<-2時,h(x)<0,而x→-2+時,h(x)→+∞,當(dāng)x→+∞時,h(x)→+∞,畫出h(x)= (x≠-2)的大致圖
象,如圖,

所以當(dāng)a= 有兩個實(shí)數(shù)根時,有a>h(-1)= ,所以a的取值范圍是 .
思維升華
解決導(dǎo)數(shù)問題時,我們通常經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评韺栴}轉(zhuǎn)化為常見的函數(shù)類型,通過構(gòu)造合
適的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的相關(guān)性質(zhì),進(jìn)而求解,其中數(shù)學(xué)運(yùn)算也是很關(guān)鍵的一步,同學(xué)們
在平時要勤下筆、勤反思,多計算、多思考.第2課時　函數(shù)的最大(小)值
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　函數(shù)最大(小)值的概念與求解
1.下列結(jié)論正確的是(　　)
A.若f(x)在[a,b]上有極大值,則極大值一定是[a,b]上的最大值
B.若f(x)在[a,b]上有極小值,則極小值一定是[a,b]上的最小值
C.若f(x)在[a,b]上有極大值,則極小值一定是在x=a和x=b處取得
D.若f(x)在[a,b]上連續(xù),則f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值
2.函數(shù)f(x)=在[-3,3]上的最大值和最小值分別是(　　)
A.
3.下列關(guān)于函數(shù)f(x)=的說法正確的是(　　)
A. f(x)沒有最小值,有最大值
B. f(x)有最小值,沒有最大值
C. f(x)有最小值,也有最大值
D. f(x)沒有最小值,也沒有最大值
4.求函數(shù)f(x)=-x3-x2+3x-3在區(qū)間[-1,2]上的最大值和最小值.
題組二　含參函數(shù)的最大(小)值問題
5.若函數(shù)f(x)=(x-3)ex+x2-2x+1在區(qū)間(2m-2,3+m)上存在最值,則m的取值范圍是(　　)
A.m<-1　　　　B.m>2
C.-12
6.當(dāng)x=1時,函數(shù)f(x)=(x>0)取得最小值2e,則b-a=(　　)
A.2　　　　B.1　　　　C.-1　　　　D.-2
7.函數(shù)f(x)=x3-3x在區(qū)間(-2,m)上有最大值,則m的取值范圍是(　　)
A.(-1,)　　　　B.(-1,3]　　　　
C.(-1,]　　　　D.(-1,2]
8.(多選題)已知函數(shù)f(x)=xa-logbx(a>0,b>0,b≠1),若f(x)≥1恒成立,則a,b的可能取值為(　　)
A.a=1,b=e　　　　B.a=ln 2,b=e
C.a=,b=2　　　　D.a=e,b=2
9.已知函數(shù)f(x)=ex-ax2,若對任意兩個不等的正實(shí)數(shù)x1,x2,都有>1成立,則a的取值范圍是(　　)
A.(-∞,1)　　　　B.(-∞,1]　　　　C.(0,1)　　　　D.(0,1]
10.已知函數(shù)f(x)=ln(x2+1),g(x)=e-x-a, x1∈[-1,1], x2∈[0,2],使不等式f(x1)≥g(x2)成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.
11.已知函數(shù)f(x)=(x-k-1)ex(k∈R).
(1)當(dāng)k=1時,求曲線f(x)在點(diǎn)(0,-2)處的切線方程;
(2)討論f(x)在區(qū)間[0,3]上的最小值.
12.已知函數(shù)f(x)=.
(1)求曲線f(x)在點(diǎn)(0, f(0))處的切線方程;
(2)證明:當(dāng)x∈[0,π]時, f(x)≤x.
題組三　利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題
13.某蓮藕種植塘每年的固定成本是2萬元,每年最大規(guī)模的種植量是10萬斤,每種植1斤藕,成本增加1元.銷售額y(單位:萬元)與蓮藕種植量x(單位:萬斤)滿足y=-x3+ax2+x(a為常數(shù)),若種植3萬斤,利潤是萬元,則要使銷售利潤最大,每年需種植蓮藕(　　)
A.7萬斤　　　　B.8萬斤　　　　C.9萬斤　　　　D.10萬斤
14.現(xiàn)有一塊不規(guī)則的地,其平面圖形如圖1所示,AC=8百米,建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系,將曲線AB看成函數(shù)f(x)=k圖象的一部分,線段BC為一次函數(shù)圖象的一部分,若在此地塊上建立一座圖書館,平面圖為直角梯形CDEF(如圖2),則圖書館占地面積(萬平方米)的最大值為(　　)
　　
A.2　　　　B.
15.某口罩生產(chǎn)企業(yè)每月生產(chǎn)N95口罩的件數(shù)x(單位:萬件)與利潤P(單位:萬元)滿足函數(shù)關(guān)系P(x)=
(1)當(dāng)0(2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少萬件時,企業(yè)的月利潤最大 請為企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營提一些合理建議.
能力提升練
題組一　函數(shù)最大(小)值的求解
1.函數(shù)f(x)=在區(qū)間[2,3]上的最小值是(　　)
A.　　　　D.0
2.函數(shù)f(x)=e|x|+cos x+1在區(qū)間[-π,π]上的最大值、最小值分別為(　　)
A.+1,2　　　　D.eπ,2
3.已知函數(shù)f(x)=e2x,g(x)=x-1,對任意x1∈R,存在x2∈(0,+∞),使f(x1)=g(x2),則x2-x1的最小值為　(　　)
A.1　　　　B.
C.2+ln 2　　　　D.ln 2
題組二　含參函數(shù)的最大(小)值問題
4.已知f(x)=x3-x在區(qū)間(m,6-m2)上有最小值,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)
A.(-∞,,1)
C.[-2,)　　　　D.[-2,1)
5.函數(shù)f(x)=x2+(a-1)x-3ln x在(1,2)內(nèi)有最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)
A.
6.已知定義在R上的函數(shù)f(x)=(2x2+4x+a+5)e-x,若存在m,使得對任意x,都有f(x)≥f(m),則a的取值范圍是(　　)
A.a<-1　　　　B.a≤0　　　　C.a≤-2　　　　D.a≤-3
7.已知函數(shù)f(x)=e2x-e-2x-ax,若 x≥0, f(x)≥0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.(-∞,2]　　　　B.(-∞,4]
C.(-∞,2e]　　　　D.[-4,4]
8.設(shè)函數(shù)f(x)=若f(x1)=f(x2)(x1A.
C.-
9.已知函數(shù)f(x)=2ln x-x2,g(x)=x+, f(x)與g(x)有相同的極值點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若 x1,x2∈,x1≠x2,不等式 ≤1恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
題組三　利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題
10.若圓錐SO的母線長為3,則圓錐SO體積的最大值為　　　　.
11.某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁,橋址位置的豎直截面圖如圖所示,谷底O在水平線MN上,橋AB與MN平行,OO'為鉛垂線(O'在AB上).經(jīng)測量,左側(cè)曲線AO上任一點(diǎn)D到MN的距離h1(米)與D到OO'的距離a(米)之間滿足關(guān)系式h1=a2;右側(cè)曲線BO上任一點(diǎn)F到MN的距離h2(米)與F到OO'的距離b(米)之間滿足關(guān)系式h2=-b3+6b.已知點(diǎn)B到OO'的距離為40米.
(1)求橋AB的長度;
(2)計劃在谷底兩側(cè)建造平行于OO'的橋墩CD和EF,且CE為80米,其中C,E在AB上(不包括端點(diǎn)).橋墩EF每米造價k(萬元),橋墩CD每米造價k(萬元)(k>0),當(dāng)O'E為多少米時,橋墩CD與EF的總造價最低
題組四　函數(shù)最大(小)值的綜合應(yīng)用
12.若過點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=ln x的兩條切線,則(　　)
A.eb>0>a　　　　B.ln a>0>b C.eb>a>0　　　　D.ln a>b>0
13.若對任意實(shí)數(shù)x≥0,恒有2(ex+2mx)+8≥x2+4m2成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)
A. C.
14.若不等式ex-≥a在x∈(0,+∞)上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.[0,1]　　　　B.[0,e] C.[-1,1]　　　　D.[0,+∞)
15.已知a,b∈(0,1)∪(1,+∞),4logab+logba=4,則的最小值為　　　　.
16.若函數(shù)g(x)在區(qū)間D上有定義,且 a,b,c∈D,g(a),g(b),g(c)可作為一個三角形的三邊長,則稱g(x)在區(qū)間D上為“M函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=-ln x+k在區(qū)間上為“M函數(shù)”,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為　　　　.
17.已知函數(shù)f(x)=ln x-(a∈R).
(1)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)的最大值;
(2)設(shè)an=,n∈N*,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,證明:Sn>2ln(n+1).
答案與分層梯度式解析
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.D　函數(shù)f(x)在[a,b]上的極值不一定是最值,最值也不一定是極值,極值一定不會在端點(diǎn)處取得,易知f(x)在[a,b]上連續(xù)時,一定存在最大值和最小值,所以A、B、C錯誤,D正確.故選D.
2.D　由已知得f '(x)=,x∈[-3,3],
令f '(x)>0,得-1令f '(x)<0,得-3≤x<-1或1又f(-3)=-, f(-1)=-, f(1)=, f(3)=,
所以函數(shù)f(x)在[-3,3]上的最大值為,最小值為-.故選D.
3.A　易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽, f '(x)=,當(dāng)x<1時, f '(x)>0,當(dāng)x>1時, f '(x)<0,
所以f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=1時, f(x)取得極大值,也是最大值, f(x)沒有最小值.故選A.
4.解析　由f(x)=-x3-x2+3x-3,得f '(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1),
故當(dāng)x∈(-1,1)時, f '(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(1,2)時, f '(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
故f(x)在[-1,2]上的最大值為f(1)=-,
又f(-1)=, f(2)=-,故f(x)在[-1,2]上的最小值為f(-1)=-.
5.C　f '(x)=(x-2)ex+x-2=(x-2)(ex+1),
則當(dāng)x>2時, f '(x)>0,當(dāng)x<2時, f '(x)<0,
即f(x)在(-∞,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,故f(x)在x=2處取得極小值,也是最小值,則有2m-2<2<3+m,解得-16.D　由已知得f '(x)=,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(x>0)在x=1處取得最小值2e,
所以
若a=2,b=0,則f(x)=(x>0), f '(x)=,
當(dāng)x∈(0,1)時, f '(x)<0, f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(1,+∞)時, f '(x)>0, f(x)單調(diào)遞增,
所以f(x)在x=1處取到極小值,也是最小值,為f(1)==2e,滿足要求,
所以a=2,b=0,故b-a=-2.故選D.
7.D　因?yàn)閒(x)=x3-3x,所以f '(x)=3x2-3=3(x2-1)=3(x+1)(x-1),
所以當(dāng)x<-1或x>1時, f '(x)>0,當(dāng)-1所以f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(-1,1)上單調(diào)遞減,所以f(x)在x=-1處取得極大值,在x=1處取得極小值,
因?yàn)閒(x)在(-2,m)上有最大值,
所以極大值點(diǎn)-1∈(-2,m),
易得f(-1)=2,令x3-3x=2,得(x+1)2(x-2)=0,所以x=2或x=-1,所以-18.AC　由已知得f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),且函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)連續(xù)可導(dǎo),
易知f(1)=1,因此f(x)≥1恒成立,即f(x)≥f(1)恒成立,故f '(1)=0,
易得f '(x)=axa-1-,所以f '(1)=a-=0,
可得aln b=1,因此可以排除B,D選項(xiàng);
對于選項(xiàng)A, f(x)=x-ln x,則f '(x)=1-,x>0,
令f '(x)<0,得00,得x>1,故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,故f(x)在x=1處取得極小值,也是最小值,為f(1)=1,故f(x)≥1恒成立,故A正確;
對于選項(xiàng)C, f(x)=-log2x,則f '(x)=,易知f '(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
又f '(1)=0,故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,故f(x)在x=1處取得極小值,也是最小值,為f(1)=1,故f(x)≥1恒成立,故C正確.
故選AC.
9.B　不妨設(shè)x1>x2>0,因?yàn)?1,所以f(x1)-f(x2)>x1-x2,即f(x1)-x1>f(x2)-x2,
令g(x)=f(x)-x,由函數(shù)的單調(diào)性可知,g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
則g'(x)=f '(x)-1=ex-ax-1≥0在(0,+∞)上恒成立.
解法一:由ex-ax-1≥0,得ex≥ax+1,x∈(0,+∞),
易知過點(diǎn)(0,1)且與曲線y=ex相切的切線方程為y=x+1,
由函數(shù)圖象可知,只需a≤1即可.
解法二:由ex-ax-1≥0恒成立得(ex-ax-1)min≥0,x∈(0,+∞),
令h(x)=ex-ax-1,x∈(0,+∞),則h'(x)=ex-a,
若a≤1,則h'(x)≥0,h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則h(x)>h(0)=0,符合題意;
若a>1,令h'(x)<0,得x∈(0,ln a),所以h(x)在(0,ln a)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x∈(0,ln a)時,h(x)綜上,a≤1.
解法三:由ex-ax-1≥0,得≥a,x∈(0,+∞),即≥a,x∈(0,+∞),
令s(x)=,x∈(0,+∞),
則s'(x)=,
令t(x)=ex(x-1)+1,x∈(0,+∞),則t'(x)=ex(x-1)+ex=xex>0,
所以t(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則t(x)>t(0)=0,
則s'(x)>0,所以s(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
由洛必達(dá)法則知=1,所以a≤1.故選B.
知識拓展　洛必達(dá)法則是在一定條件下通過分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法.
一般情況下,若=L(定值),且g(x)=0(或g(x)=∞),則=L.
10.答案　
解析　由題意,可得f(x)在[-1,1]上的最小值大于或等于g(x)在[0,2]上的最小值.
當(dāng)-1≤x≤1時, f '(x)=,
由f '(x)<0,可得-1≤x<0,由f '(x)>0,可得0所以函數(shù)f(x)在[-1,0)上單調(diào)遞減,在(0,1]上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(0)=0,
因?yàn)間(x)=-a,所以g(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,所以g(x)min=g(2)=-a,
所以0≥-a,解得a≥,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
11.解析　(1)當(dāng)k=1時, f(x)=(x-2)ex,則f '(x)=(x-1)ex,所以f '(0)=-1,
則曲線f(x)在點(diǎn)(0,-2)處的切線方程為y=-x-2,即x+y+2=0.
(2)易得f '(x)=(x-k)ex,
當(dāng)x>k時, f '(x)>0,此時f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x當(dāng)k>3時,函數(shù)f(x)在[0,3]上單調(diào)遞減,故函數(shù)f(x)的最小值為f(3)=(2-k)e3;
當(dāng)k<0時,函數(shù)f(x)在[0,3]上單調(diào)遞增,故函數(shù)f(x)的最小值為f(0)=-1-k;
當(dāng)0≤k≤3時,函數(shù)f(x)的最小值為f(k)=-ek.
綜上,f(x)min=
12.解析　(1)易得f(0)=0, f '(x)=,所以切線的斜率為f '(0)==1,所以所求切線的方程為x-y=0.
(2)證明:要證f(x)≤x(x∈[0,π]),即證≤x(x∈[0,π]),即證xex-sin x≥0(x∈[0,π]).
令g(x)=xex-sin x,x∈[0,π],
則g'(x)=ex+xex-cos x,x∈[0,π].
令h(x)=ex+xex-cos x,x∈[0,π],則h'(x)=2ex+xex+sin x,易知h'(x)>0在x∈[0,π]上恒成立,
所以h(x)在[0,π]上單調(diào)遞增,所以h(x)≥h(0)=0,即g'(x)≥0在x∈[0,π]上恒成立,
所以g(x)在[0,π]上單調(diào)遞增,所以g(x)≥g(0)=0,即xex-sin x≥0(x∈[0,π]),
所以當(dāng)x∈[0,π]時, f(x)≤x.
13.B　設(shè)銷售利潤為g(x)萬元,則g(x)=-x3+ax2-2,0由已知得-,解得a=2,
故g(x)=-x3+2x2-2,0令g'(x)>0,得0故要使銷售利潤最大,每年需種植蓮藕8萬斤.
故選B.
14.D　由已知得曲線AB是函數(shù)y=k(0≤x≤4)的圖象,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,4),
所以4=k·,故k=2,所以y=2(0≤x≤4).
設(shè)線段BC對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=mx+n(4≤x≤8),
因?yàn)橹本€BC經(jīng)過點(diǎn)(4,4),(8,0),
所以
所以y=-x+8(4≤x≤8),
設(shè)AD=t(0由2=-x+8可得x=8-2,
所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為(8-2),所以EF=8-2-t,
所以直角梯形CDEF的面積S=(0所以S'=-3,
令S'=0,可得t=,
當(dāng)00,函數(shù)S=-2上單調(diào)遞增,
當(dāng)所以當(dāng)t=時,函數(shù)S=-2取最大值,最大值為.故選D.
15.解析　(1)當(dāng)0當(dāng)x=5時,P(x)取到最大值9,即企業(yè)月利潤的最大值為9.
(2)當(dāng)x≥6時,P(x)=13-ln x-,
若6≤x≤e3,則P'(x)≥0,P(x)單調(diào)遞增;若x>e3,則P'(x)<0,P(x)單調(diào)遞減,
所以當(dāng)x=e3時,P(x)取到最大值,為P(e3)=9.
由(1)知當(dāng)x=5時,P(x)也取到最大值9,
綜上,當(dāng)月產(chǎn)量為5萬件或e3萬件時,企業(yè)的月利潤最大.
建議:當(dāng)月產(chǎn)量為5萬件或e3萬件時,利潤最大,考慮到時間成本,建議月產(chǎn)量為5萬件最合適.
能力提升練
1.A　由f(x)=得f '(x)=,x∈[2,3],
則當(dāng)20, f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)e易得f(2)=, f(3)=,由f(2)-f(3)=<0,可得f(2)故f(x)min=f(2)=.故選A.
2.B　易知函數(shù)f(x)為偶函數(shù),故f(x)在區(qū)間[-π,π]上的最值也就是其在區(qū)間[0,π]上的最值.
當(dāng)0≤x≤π時, f(x)=ex+cos x+1,則f '(x)=ex-sin x>0,所以f(x)在[0,π]上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)x∈[-π,π]時, f(x)max=f(π)=eπ, f(x)min=f(0)=3,故選B.
3.D　令f(x1)=g(x2)=m,易知m>0,則=m,x2-1=m,
所以x1=ln m,x2=m+1,則x2-x1=m+1-ln m,
令h(m)=m+1-ln m(m>0),則h'(m)=1-,
令h'(m)=0,得m=,
所以當(dāng)m∈時,h'(m)<0,h(m)單調(diào)遞減;
當(dāng)m∈時,h'(m)>0,h(m)單調(diào)遞增,
所以當(dāng)m=時,h(m)取得極小值,也是最小值,為ln 2,即x2-x1的最小值為ln 2.故選D.
4.D　由函數(shù)f(x)=x3-x,可得f '(x)=x2-1=(x+1)(x-1),
當(dāng)x<-1時, f '(x)>0, f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)-1當(dāng)x>1時, f '(x)>0, f(x)單調(diào)遞增,
要使得函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(m,6-m2)上有最小值,
需滿足
由m3-m≥-,可得m3-3m+2≥0,即(m-1)2(m+2)≥0,解得m≥-2,
所以-2≤m<1,即實(shí)數(shù)m的取值范圍為[-2,1).
故選D.
5.A　f '(x)=2x+(a-1)-,
設(shè)g(x)=2x2+(a-1)x-3,因?yàn)棣?(a-1)2+24>0,所以g(x)=0有兩個不同的實(shí)根,
又g(0)=-3<0,因此g(x)=0的兩根一正一負(fù),
由題意得正根在(1,2)內(nèi),
所以解得-故a的取值范圍是.故選A.
6.D　f(x)=(2x2+4x+a+5)e-x=,
f '(x)=,
當(dāng)-a-1≤0,即a≥-1時, f '(x)≤0, f(x)在R上單調(diào)遞減,沒有最小值,不符合題意,所以a<-1,
令f '(x)=0,解得x=±,
令f '(x)>0,得-,令f '(x)<0,得x<-或x>,
所以f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,故f(x)在x=-處取得極小值.
若存在m,使得對任意x,都有f(x)≥f(m),則f(x)存在最小值,
又當(dāng)x→-∞時, f(x)→+∞,當(dāng)x→+∞時, f(x)→0,且f(x)>0,故f≤0,即≥1,即-a-1≥2,即a≤-3.故選D.
7.B　由f(x)=e2x-e-2x-ax,得f '(x)=2e2x+2e-2x-a,
令g(x)=2e2x+2e-2x-a,則g'(x)=4e2x-4e-2x,
當(dāng)x≥0時,g'(x)≥0,g(x)單調(diào)遞增,即f '(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f '(x)min=f '(0)=4-a,
當(dāng)a≤4時, f '(x)≥0,則f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,
所以f(x)min=f(0)=0,即f(x)≥0,符合題意,
當(dāng)a>4時, f '(x)min=f '(0)=4-a<0,當(dāng)x→+∞時, f '(x)→+∞,
所以存在x0使得f '(x0)=0,
當(dāng)x∈(0,x0)時, f '(x)<0, f(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(x0,+∞)時, f '(x)>0, f(x)單調(diào)遞增,
所以f(x0)所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,4].故選B.
8.B　畫出f(x)=的大致圖象,如圖,
令f(x1)=f(x2)=t,由圖象可得t∈(-∞,-2a],
因?yàn)閤1令g(t)=2et-t-2a,t≤-2a,
則g'(t)=2et-1,令g'(t)=0,解得t=-ln 2,
當(dāng)-2a≤-ln 2,即a≥時,t≤-ln 2,則g'(t)≤0,g(t)單調(diào)遞減,
則g(t)min=g(-2a)=2e-2a=ln 2,解得a=-,滿足a≥.
當(dāng)-2a>-ln 2,即a<時,
若t<-ln 2,則g'(t)<0;若-ln 20,
故g(t)在(-∞,-ln 2)上單調(diào)遞減,在(-ln 2,-2a)上單調(diào)遞增,則g(t)min=g(-ln 2)=1+ln 2-2a=ln 2,解得a=,與a<矛盾,故舍去.
綜上,a=-.故選B.
方法技巧　解決雙變量問題的常見方法是利用換元法將雙變量轉(zhuǎn)化為只有1個變量,注意利用數(shù)形結(jié)合考慮變量的取值范圍.
9.解析　(1)易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞), f '(x)=,
令f '(x)>0,得01,
所以當(dāng)x∈(0,1)時, f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(1,+∞)時, f(x)單調(diào)遞減,
所以當(dāng)x=1時,函數(shù)f(x)取得極大值,所以x=1也是g(x)的極值點(diǎn).
易知g'(x)=1-,由g'(1)=1-a=0,得a=1,經(jīng)檢驗(yàn),x=1是g(x)的極小值點(diǎn),故a=1.
(2)由(1)知, f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
又f, f(1)=-1, f(3)=2ln 3-9,所以當(dāng)x∈時, f(x)min=2ln 3-9, f(x)max=-1.
由(1)知g(x)=x+,顯然g(x)在上單調(diào)遞減,在[1,3]上單調(diào)遞增,
又g,
所以當(dāng)x∈時,g(x)min=2,g(x)max=.
①當(dāng)k-1>0,即k>1時,≤1恒成立等價于f(x1)-g(x2)≤k-1恒成立,所以k≥f(x1)-g(x2)+1恒成立,即k≥+1,
因?yàn)閒(x1)-g(x2)+1≤-1-2+1=-2,所以k≥-2,所以k>1.
②當(dāng)k-1<0,即k<1時,≤1恒成立等價于f(x1)-g(x2)≥k-1恒成立,所以k≤f(x1)-g(x2)+1恒成立,即k≤+1,
因?yàn)閒(x1)-g(x2)+1≥2ln 3-9-+1=2ln 3-,
所以k≤2ln 3-.
綜上,實(shí)數(shù)k的取值范圍為∪(1,+∞).
10.答案　2π
解析　設(shè)圓錐的底面半徑為r,則圓錐的高h(yuǎn)=,0體積V=.
令t=r2,則t∈(0,9),令f(t)=(9-t)t2,t∈(0,9),則f '(t)=-3t2+18t=-3t(t-6),
當(dāng)t∈(0,6)時, f '(t)>0, f(t)單調(diào)遞增,當(dāng)t∈(6,9)時, f '(t)<0, f(t)單調(diào)遞減,
所以當(dāng)t=6,即r=時, f(t)取得最大值,即V取得最大值,
此時Vmax=π.
11.解析　(1)設(shè)AA1,BB1都與MN垂直,A1,B1是相應(yīng)垂足.
由條件知,當(dāng)O'B=40時,
BB1=-×403+6×40=160,則AA1=160.
由O'A2=160,得O'A=80.
所以AB=O'A+O'B=80+40=120.
所以橋AB的長度為120米.
(2)以O(shè)為原點(diǎn),OO'所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖所示).
設(shè)F(x,y2),x∈(0,40),則y2=-x3+6x,
EF=160-y2=160+x3-6x.
因?yàn)镃E=80,所以O(shè)'C=80-x.
設(shè)D(x-80,y1),則y1=(80-x)2,
所以CD=160-y1=160-x2+4x.
記橋墩CD和EF的總造價為f(x)萬元,
則f(x)=k
=k(0f '(x)=kx(x-20),
令f '(x)=0,得x=20.
當(dāng)x變化時, f '(x),f(x)的變化情況如下表.
x (0,20) 20 (20,40)
f '(x) - 0 +
f(x) ↘ 極小值 ↗
所以當(dāng)x=20時, f(x)取得極小值,也是最小值.
故當(dāng)O'E為20米時,橋墩CD和EF的總造價最低.
12.C　設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t,ln t)(t>0),
由y=ln x得y'=,∴切線斜率k=,∴曲線y=ln x在點(diǎn)(t,ln t)處的切線方程為y=(x-t)+ln t=x+ln t-1.
∵切線過點(diǎn)(a,b),∴b=+ln t-1,
∵過點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=ln x的兩條切線,
∴令g(t)=+ln t-1,則直線y=b與g(t)的圖象有兩個不同的交點(diǎn),
易得g'(t)=-(t>0),
當(dāng)a≤0時,g'(t)>0,∴g(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,不合題意;
當(dāng)a>0時,若t∈(0,a),則g'(t)<0,若t∈(a,+∞),則g'(t)>0,
∴g(t)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增,∴g(t)min=g(a)=1+ln a-1=ln a,∴b>ln a,即eb>a,又a>0,∴eb>a>0.故選C.
13.C　∵2(ex+2mx)+8≥x2+4m2,
∴2ex+4mx-x2≥4m2-8(x≥0),
設(shè)f(x)=2ex+4mx-x2,則f '(x)=2ex+4m-2x,
設(shè)h(x)=2ex+4m-2x,則h'(x)=2ex-2=2(ex-1),易知h'(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,
∴f '(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,且f '(0)=2+4m,
當(dāng)m≥-時, f '(0)≥0,∴f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴f(x)min=f(0)=2,∴2≥4m2-8,即m2≤,得-≤m≤.
當(dāng)m<-時, f '(0)<0,易知當(dāng)x→+∞時, f '(x)→+∞,故存在x0使f '(x0)=0,即2+4m-2x0=0,即2m=x0-,
當(dāng)x∈(0,x0)時, f '(x)<0,當(dāng)x∈(x0,+∞)時, f '(x)>0,
∴f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴f(x)min=f(x0)=2,
∴2≥4m2-8=(x0-)2-8 2(1-x0)≥-8 -8≤0,即(+2)≤0,∴≤4,即x0≤ln 4,
設(shè)g(x)=x-ex,則g'(x)=1-ex,易知g'(x)≤0在[0,+∞)上恒成立,
∴g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,∴2m=x0-≥ln 4-4,∴l(xiāng)n 2-2≤m<-.
綜上可得,ln 2-2≤m≤.故選C.
14.A　由ex-≥a在x∈(0,+∞)上恒成立,得xex-a(ln x+x+1)≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,
當(dāng)a=0時,上式顯然成立.
當(dāng)a≠0時,令f(x)=xex-a(ln x+x+1),x∈(0,+∞),
則f '(x)=ex+xex-a,
當(dāng)a<0時, f '(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
當(dāng)x→0+時, f(x)→-∞,不合題意.
當(dāng)a>0時,由f '(x)=0,得ex=,
畫出y=ex和y=的圖象,如圖所示,
由圖象可知,存在x0,使得,所以,得x0+ln x0=ln a,
當(dāng)0x0時, f '(x)>0,
所以f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)x=x0時, f(x)取得極小值,也是最小值,
所以f(x)min=f(x0)=x0-a(ln x0+x0+1)
=a-a(ln a+1)=-aln a,
由-aln a≥0,得ln a≤0,得0綜上,0≤a≤1.故選A.
15.答案　ln 2+1
解析　∵4logab+logba=4,a,b∈(0,1)∪(1,+∞),
∴4logab+,即a=b2,
所以=ln b+,
令f(x)=ln x+,x∈(0,+∞),
則f '(x)=,
所以當(dāng)02時, f '(x)>0,
所以f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(2)=ln 2+1,
所以的最小值為ln 2+1.
16.答案　(2e-4,+∞)
解析　根據(jù)題意可知,若g(x)在區(qū)間D上為“M函數(shù)”,則2g(x)min>g(x)max,且g(x)min>0.
因?yàn)閒(x)在區(qū)間上為“M函數(shù)”,
所以2f(x)min>f(x)max,且f(x)min>0.
因?yàn)閒(x)=-ln x+k=1--ln x+k,所以f '(x)=,
令f '(x)<0,得10,得≤x<1,
所以f(x)在上單調(diào)遞增,在(1,e]上單調(diào)遞減,所以f(x)max=f(1)=k.
易知f+k=2+k-e, f(e)=1--ln e+k=k-,
則f<0,即f所以解得k>2e-4,所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(2e-4,+∞).
17.解析　(1)a=1時, f(x)=ln x-(x>0),
則f '(x)=,
當(dāng)00, f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x>1時, f '(x)<0, f(x)單調(diào)遞減,
所以當(dāng)x=1時, f(x)取得極大值,也是最大值,為f(1)=0.
(2)證明:由(1)知,a=1時, f(x)=ln x-在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
當(dāng)x>1時, f(x)令x=,n∈N*,則ln<0,
即-1>2ln(n+1)-2ln n,所以>2ln(n+1)-2ln n,
令bn=2ln(n+1)-2ln n,n∈N*,則an>bn,
所以a1+a2+…+an>b1+b2+…+bn,
即Sn>2ln 2-2ln 1+2ln 3-2ln 2+…+2ln(n+1)-2ln n=2ln(n+1).
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