資源簡(jiǎn)介

第三章　排列、組合與二項(xiàng)式定理
3.1　排列與組合
3.1.1　基本計(jì)數(shù)原理
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
題組一　分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理
1.某學(xué)校開(kāi)設(shè)4門(mén)球類(lèi)運(yùn)動(dòng)課程、5門(mén)田徑類(lèi)運(yùn)動(dòng)課程和2門(mén)水上運(yùn)動(dòng)課程供學(xué)生學(xué)習(xí),某位學(xué)生任選1門(mén)課程學(xué)習(xí),則不同的選法共有(　　)
A.40種　　　　B.20種
C.15種　　　　D.11種
2.用1,3,5,7中的任意一個(gè)數(shù)作分子,2,4,8,9中的任意一個(gè)數(shù)作分母,可構(gòu)成真分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)為(　　)
A.8　　　　B.9
C.10　　　　D.11
3.北京冬奧會(huì)參加冰壺混雙比賽的隊(duì)伍共有10支,冬奧會(huì)冰壺混雙比賽的賽程安排如下,先進(jìn)行循環(huán)賽,循環(huán)賽規(guī)則規(guī)定每支隊(duì)伍都要和其余9支隊(duì)伍輪流交手一次,循環(huán)賽結(jié)束后按照比賽排名決出前4名進(jìn)行半決賽,勝者決冠軍,負(fù)者爭(zhēng)銅牌,則整個(gè)冰壺混雙比賽的場(chǎng)數(shù)是(　　)
A.48　　　　B.49
C.93　　　　D.94
4.已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,在空間中取4個(gè)不同的點(diǎn),使得它們與A,B,C,D恰好成為一個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)為1的正四棱柱的8個(gè)頂點(diǎn),則不同的取法數(shù)為　　　　.
5.在一個(gè)圓周上有8個(gè)點(diǎn),用四條既無(wú)公共點(diǎn)又無(wú)交點(diǎn)的弦連接它們,則連接方式有　　　種.
題組二　分步乘法計(jì)數(shù)原理
6.某商店共有A,B,C三個(gè)品牌的水杯,若甲、乙、丙每人買(mǎi)了一個(gè)水杯,且甲買(mǎi)的不是A品牌,乙買(mǎi)的不是C品牌,則這三人買(mǎi)水杯的情況共有(　　)
A.3種　　　　B.7種
C.12種　　　　D.24種
7.用數(shù)字0,1,2,3組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中比200大的有(　　)
A.24個(gè)　　　　B.12個(gè)
C.18個(gè)　　　　D.6個(gè)
8.某市汽車(chē)牌照號(hào)碼(由五個(gè)字符構(gòu)成)可以上網(wǎng)自編,且從左到右第二個(gè)字符只能從字母B,C,D中選擇,其他四個(gè)字符可以從0~9這十個(gè)數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復(fù)).第一個(gè)字符(從左到右)車(chē)主只想在3,5,6,8,9中選擇,剩下的三個(gè)字符只想在1,3,6,9中選擇,則他的車(chē)牌號(hào)碼可選的所有可能情況有(　　)
A.180種　　　　B.360種
C.720種　　　　D.960種
9.汽車(chē)維修師傅在安裝好汽車(chē)輪胎后,需要緊固輪胎的五個(gè)螺栓,記為A,B,C,D,E(在正五邊形的頂點(diǎn)上),緊固時(shí)需要按一定的順序固定每一個(gè)螺栓,但不能連續(xù)固定相鄰的兩個(gè),則不同的固定螺栓順序的種數(shù)為(　　)
A.20　　　　B.15
C.10　　　　D.5
10.給圖中的A,B,C,D四個(gè)區(qū)域涂色,規(guī)定一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色,且相鄰的區(qū)域所涂顏色不同,若有5種不同的顏色可供選擇,則不同的涂色方案的種數(shù)為(　　)
A.180　　　　B.360　　　　C.64　　　　D.25
11.5名同學(xué)去聽(tīng)同時(shí)舉行的3個(gè)課外知識(shí)講座,每名同學(xué)可自由選擇聽(tīng)其中的1個(gè)講座,且甲、乙聽(tīng)同1個(gè)講座,則不同選擇的種數(shù)是　　　　.
題組三　基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
12.集合M={-2,1,3},N={-4,-3,5,6},從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo),則這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(　　)
A.2　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6
13.由0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù),則共有(　　)
A.20個(gè)　　　　B.32個(gè)　　　　C.40個(gè)　　　　D.52個(gè)
14.中國(guó)有十二生肖,又叫十二屬相,每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種生肖(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè),甲、乙、丙三位同學(xué)依次選一個(gè)作為禮物,甲同學(xué)喜歡牛和馬,乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊,丙同學(xué)每個(gè)吉祥物都喜歡,如果讓三位同學(xué)對(duì)選取的禮物都滿意,那么不同的選法有(　　)
A.30種　　　　B.50種
C.60種　　　　D.90種
15.某校文創(chuàng)社團(tuán)近期設(shè)計(jì)了兩款明信片文創(chuàng)作品,借此展示學(xué)校的文化底蘊(yùn)和春天美景,一經(jīng)推出,廣受歡迎.為了支持慈善事業(yè),校志愿者社團(tuán)派出李明和張偉等5人幫助文創(chuàng)社團(tuán)公益售賣(mài)這兩款明信片,5人分為兩組,每組售賣(mài)同一款明信片.若李明和張偉必須售賣(mài)同一款明信片,且每款明信片至少由2名志愿者售賣(mài),則不同的售賣(mài)方案種數(shù)為(　　)
A.8　　　　B.10
C.12　　　　D.14
16.算盤(pán)是中國(guó)古代的一項(xiàng)重要發(fā)明,迄今已有2 600多年的歷史.現(xiàn)有一算盤(pán),取其兩檔(如圖1),自右向左分別表示十進(jìn)制數(shù)的個(gè)位和十位,中間一道橫梁把算珠分為上、下兩部分,梁上一珠撥下,記作數(shù)字5,梁下四珠,上撥一珠記作數(shù)字1(如圖2中的算盤(pán)表示整數(shù)51).若撥動(dòng)圖1的兩枚算珠,則可以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　)
圖1　圖2
A.6　　　　B.8
C.10　　　　D.15
17.某班安排A,B,C,D,E五位同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)街道進(jìn)行打掃活動(dòng),每個(gè)街道至少有一位同學(xué)去,至多有兩位同學(xué)去,且A,B兩位同學(xué)去同一個(gè)街道,則不同的安排方法有　　　　種.
18.對(duì)“田”字形的四個(gè)格子進(jìn)行染色,若每個(gè)格子均可從紅、黃、藍(lán)三種顏色中選一種,每個(gè)格子只染一種顏色,且相鄰的格子不能都染成紅色,則滿足要求的染法有　　　　種.
能力提升練
題組　基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
1.中國(guó)古代十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法在數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造,算籌實(shí)際上是一根根同長(zhǎng)短的小木棍.下圖是利用算籌表示數(shù)1~9的一種方法.例如:26可表示為“”.現(xiàn)有6根算籌,據(jù)此表示方法,若算籌不能剩余,則可以用1~9這9個(gè)數(shù)字表示兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　)
A.13　　　　B.14
C.15　　　　D.16
2.如圖所示的是一段灌溉用的水渠,上游和下游之間建有A,B,C,D,E五個(gè)水閘,若上游有充足水源但下游沒(méi)有水,則這五個(gè)水閘打開(kāi)或關(guān)閉的情況有(　　)
A.7種　　　　B.15種　　　　C.23種　　　　D.26種
3.將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色,并使同一條棱的兩個(gè)端點(diǎn)異色,若有4種顏色可供使用,則不同的染色方法的種數(shù)為(　　)
A.192　　　　B.420
C.210　　　　D.72
4.甲、乙、丙、丁四名交通志愿者申請(qǐng)?jiān)趪?guó)慶期間到A,B,C三個(gè)路口協(xié)助交警值勤,他們申請(qǐng)值勤路口的意向如表所示:
交通路口 A B C
志愿者 甲、乙、丙、丁 甲、乙、丙 丙、丁
已知這四名志愿者的申請(qǐng)被批準(zhǔn),且值勤安排符合他們的意向,若要求A,B,C三個(gè)路口都有志愿者值勤,則不同的安排方法有(　　)
A.14種　　　　B.11種
C.8種　　　　D.5種
5.(多選題)某校實(shí)行選課走班制度,張毅同學(xué)選擇的是地理、生物、政治這三科,且生物在B層,該校周一上午選課走班的課程安排如下表所示,張毅選擇的三個(gè)科目的課各上一節(jié),另外一節(jié)上自習(xí),則下列說(shuō)法正確的是(　　)
第1節(jié) 第2節(jié) 第3節(jié) 第4節(jié)
地理1班 化學(xué)A層 3班 地理2班 化學(xué)A層 4班
生物A層 1班 化學(xué)B層 2班 生物B層 2班 歷史B層 1班
物理A層 1班 生物A層 3班 物理A層 2班 生物A層 4班
物理B層 2班 生物B層 1班 物理B層 1班 物理A層 4班
政治1班 物理A層 3班 政治2班 政治3班
A.此人有4種選課方式
B.此人有5種選課方式
C.自習(xí)不可能安排在第2節(jié)
D.自習(xí)可安排在4節(jié)課中的任一節(jié)
6.將擺放在編號(hào)為1,2,3,4,5五個(gè)位置上的五件不同商品重新擺放,則恰有一件商品的位置不變的擺放方法有　　　　種.(用數(shù)字作答)
7.若一個(gè)五位數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為3,則這樣的五位數(shù)共有　　　　個(gè).
答案與分層梯度式解析
第三章　排列、組合與二項(xiàng)式定理
3.1　排列與組合
3.1.1　基本計(jì)數(shù)原理
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1.D 2.D 3.B 6.C 7.B 8.D 9.C 10.A
12.D 13.D 14.B 15.A 16.B
1.D
2.D　分四種情況:(1)當(dāng)分子為1時(shí),有,共4個(gè)真分?jǐn)?shù);(2)當(dāng)分子為3時(shí),有,共3個(gè)真分?jǐn)?shù);(3)當(dāng)分子為5時(shí),有,共2個(gè)真分?jǐn)?shù);(4)當(dāng)分子為7時(shí),有,共2個(gè)真分?jǐn)?shù).由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知,可構(gòu)成真分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)為4+3+2+2=11.故選D.
3.B　由題意得循環(huán)賽共有=45(場(chǎng)),
決出前4名后,分兩組進(jìn)行半決賽,半決賽舉行2場(chǎng),勝者決冠軍舉行1場(chǎng),負(fù)者爭(zhēng)銅牌舉行1場(chǎng),
故整個(gè)冰壺混雙比賽的場(chǎng)數(shù)為45+2+1+1=49.
4.答案　12
解析　根據(jù)題意,分兩種情況討論:
①當(dāng)正方形ABCD作為對(duì)角面時(shí),有6個(gè)符合條件的正四棱柱;
②當(dāng)正方形ABCD作為底面(或側(cè)面)時(shí),有6個(gè)符合條件的正四棱柱.
由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知,不同的取法數(shù)為6+6=12.
5.答案　14
解析　不妨設(shè)圓周上的點(diǎn)依次為A,B,C,D,E,F,G,H,要使得四條弦既無(wú)公共點(diǎn)又無(wú)交點(diǎn),如圖所示:
符合圖①的連接方式有2種;符合圖②的連接方式有4種;符合圖③的連接方式有8種.因此,總的連接方式有2+4+8=14(種).
6.C　甲可以從B,C品牌中任選一個(gè),有2種買(mǎi)法;乙可以從A,B品牌中任選一個(gè),有2種買(mǎi)法;丙可以從A,B,C品牌中任選一個(gè),有3種買(mǎi)法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得,這三人買(mǎi)水杯的情況共有2×2×3=12(種).故選C.
7.B　由題意可知,百位上的數(shù)字為2或3,十位上的數(shù)字可在剩余3個(gè)數(shù)字中選擇1個(gè),個(gè)位上的數(shù)字再在剩下的2個(gè)數(shù)字中選擇1個(gè).由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,比200大的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為2×3×2=12.故選B.
8.D　從左到右,第一個(gè)字符在3,5,6,8,9中選擇,共有5種選法;第二個(gè)字符在字母B,C,D中選擇,共有3種選法;剩下的三個(gè)字符在1,3,6,9中選擇,每個(gè)字符有4種選法.所以共有5×3×4×4×4=960種選法.
9.C　如圖,先在A,B,C,D,E這五個(gè)螺栓中任選一個(gè),有5種選法;假設(shè)選中A,則再在C,D中任選一個(gè),有2種選法;剩下的三個(gè)螺栓只有1種固定順序.故共有5×2=10種不同的固定順序.故選C.
10.A　第一步涂A,有5種涂法;第二步涂B,和A不同色,有4種涂法;第三步涂C,和A,B不同色,有3種涂法;第四步涂D,和B,C不同色,有3種涂法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,共有5×4×3×3=180種不同的涂色方案,故選A.
11.答案　81
解析　根據(jù)題意,把甲、乙看成1名同學(xué),這樣理解為4名同學(xué)去聽(tīng)講座,每名同學(xué)都可以從3個(gè)課外知識(shí)講座中任選1個(gè),由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得,不同選擇的種數(shù)是3×3×3×3=81.
12.D　第二象限的點(diǎn)的特征是橫坐標(biāo)是負(fù)數(shù),縱坐標(biāo)是正數(shù).
若橫坐標(biāo)從集合M中選取,縱坐標(biāo)從集合N中選取,則有1×2=2(個(gè)),
若橫坐標(biāo)從集合N中選取,縱坐標(biāo)從集合M中選取,則有2×2=4(個(gè)),
故這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2+4=6.故選D.
13.D　若個(gè)位上的數(shù)字是2或4,則0不能在百位,十位上的數(shù)字在余下4個(gè)數(shù)字中選擇,共有2×4×4=32(個(gè));若個(gè)位上的數(shù)字是0,則百位、十位上的數(shù)字在余下5個(gè)數(shù)字中選擇2個(gè),共有5×4=20(個(gè)).所以可以組成32+20=52個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù).故選D.
14.B　①若甲同學(xué)選擇牛,則乙同學(xué)有2種選擇,丙同學(xué)有10種選擇,不同的選法種數(shù)為2×10=20;
②若甲同學(xué)選擇馬,則乙同學(xué)有3種選擇,丙同學(xué)有10種選擇,不同的選法種數(shù)為3×10=30.
綜上,共有20+30=50種不同的選法.故選B.
15.A　若李明和張偉兩人組成一組,則有1種分組方法;若李明、張偉和其他1人組成一組,則有3種分組方法,所以共有1+3=4種分組方法.將分好的兩組安排售賣(mài)這兩款明信片,不同的售賣(mài)方案種數(shù)為4×2=8.故選A.
16.B　撥動(dòng)兩枚算珠可分為以下三類(lèi):
(1)在個(gè)位上撥動(dòng)兩枚,可表示2個(gè)不同整數(shù);
(2)在十位上撥動(dòng)兩枚,可表示2個(gè)不同整數(shù);
(3)在個(gè)位、十位上分別撥動(dòng)一枚,可表示2×2=4個(gè)不同整數(shù).
根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理,一共可表示2+2+4=8個(gè)不同整數(shù).故選B.
17.答案　18
解析　可分三步完成:
第一步,因?yàn)锳,B兩位同學(xué)去同一個(gè)街道,所以先安排他們?nèi)ツ骋唤值?有3種方法;
第二步,安排同學(xué)去剩余兩個(gè)街道中的一個(gè),可以安排1人也可以安排2人,有3+3=6種方法;
第三步,剩下的同學(xué)去第三個(gè)街道,只有1種方法.
綜上所述,不同的安排方法有3×6×1=18(種).
18.答案　56
解析　若4個(gè)格子中沒(méi)有染紅色,則每格都染成黃色或藍(lán)色,有24=16種不同染法;若4個(gè)格子中恰有1格染成紅色,則有3格染成黃色或藍(lán)色,有4×23=32種不同染法;若4個(gè)格子中恰有2格染成紅色,則有2格染成黃色或藍(lán)色,有2×22=8種不同染法.所以滿足要求的染法共有16+32+8=56(種).
能力提升練
1.D 2.C 3.D 4.B 5.BD
1.D　6根算籌可以表示的數(shù)字組合為(1,5),(1,9),(2,4),(2,8),(6,4),(6,8),(3,3),(3,7),(7,7),數(shù)字組合(1,5),(1,9),(2,4),(2,8),(6,4),(6,8),(3,7)中,每組可以表示2個(gè)兩位數(shù),則可以表示2×7=14個(gè)兩位數(shù);數(shù)字組合(3,3),(7,7)中,每組可以表示1個(gè)兩位數(shù),則可以表示2×1=2個(gè)兩位數(shù).故一共可以表示14+2=16個(gè)兩位數(shù),故選D.
2.C　這五個(gè)水閘任意打開(kāi)或關(guān)閉共有25=32種情況,若上游有水流到下游,則A水閘一定打開(kāi),B,C至少打開(kāi)一個(gè),D,E至少打開(kāi)一個(gè),情況共有1×3×3=9(種),故下游沒(méi)水的情況有32-9=23(種).
方法總結(jié)
求完成一件事的方法數(shù)時(shí),若正面思考較難,則可反面分析,用總的方法數(shù)減去不符合題意的方法數(shù).
3.D　記四棱錐為P-ABCD.當(dāng)A,C顏色相同時(shí),先染P,有4種染色方法,再染A,C,有3種染色方法,然后染B,有2種染色方法,最后染D,有2種染色方法,所以有4×3×2×2=48種染色方法.當(dāng)A,C顏色不同時(shí),先染P,有4種染色方法,再染A,有3種染色方法,然后染C,有2種染色方法,最后染B,D,都有1種染色方法,所以有4×3×2×1×1=24種染色方法.
綜上,共有48+24=72種不同的染色方法.故選D.
4.B　①C路口安排丙和丁執(zhí)勤,則A,B路口安排甲或乙分別執(zhí)勤,有2種安排方法;②C路口安排丙執(zhí)勤,則丁只能被安排在A路口執(zhí)勤,甲、乙均被安排在B路口執(zhí)勤或甲、乙中一人被安排在A路口執(zhí)勤,另一人被安排在B路口執(zhí)勤,有3種安排方法;③C路口安排丁執(zhí)勤,則丙被安排在A路口或B路口執(zhí)勤,若丙被安排在A路口執(zhí)勤,則甲、乙均被安排在B路口執(zhí)勤或甲、乙中一人被安排在A路口執(zhí)勤,另一人被安排在B路口執(zhí)勤,有3種安排方法,同理,若丙被安排在B路口執(zhí)勤,則有3種安排方法.
綜上,不同的安排方法有2+3+3+3=11(種).故選B.
5.BD　由于生物在B層,只有第2,3節(jié)有,故分兩類(lèi):
若生物選第2節(jié),則地理可選第1節(jié)或第3節(jié),有2種選法,其他兩節(jié)政治、自習(xí)任意選即可,故有2×2=4種選法(此種情況自習(xí)可安排在第1,3,4節(jié)中的某節(jié));
若生物選第3節(jié),則地理只能選第1節(jié),政治只能選第4節(jié),自習(xí)只能選第2節(jié),故有1種選法.
由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得,選課方式有4+1=5(種).
綜上,自習(xí)可安排在4節(jié)課中的任一節(jié).
6.答案　45
解析　根據(jù)題意,分2步進(jìn)行分析:
①?gòu)奈寮煌唐分羞x出一件,放到原來(lái)的位置上,有5種情況,假設(shè)編號(hào)為5的商品位置不變;
②剩下的四件都不在原來(lái)的位置,即編號(hào)為1,2,3,4的四件商品都不在原來(lái)的位置,則編號(hào)為1的商品有3種放法,假設(shè)其放在了編號(hào)為2的商品原來(lái)的位置,則編號(hào)為2的商品有3種放法,剩下編號(hào)為3,4的兩件商品只有1種放法,
故剩下的四件商品有3×3×1=9種放法.
故恰有一件商品的位置不變的擺放方法有5×9=45(種).
7.答案　15
解析　若一個(gè)五位數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為3,則這樣的五位數(shù)可分為3類(lèi):
第一類(lèi),五位數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字由4個(gè)0,1個(gè)3組成,
則由首位不為0可知,3在首位,其余各數(shù)位放0,即30 000,僅有1種排法;
第二類(lèi),五位數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字由3個(gè)0,1個(gè)1,1個(gè)2組成,
則由首位不為0可知,1或2在首位,從中選1個(gè)數(shù)放在首位,有2種選法,在其他4個(gè)數(shù)位中選1個(gè)數(shù)位放另一個(gè)數(shù),有4種選法,其余各數(shù)位放0,
共有2×4=8種排法;
第三類(lèi),五位數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字由2個(gè)0,3個(gè)1組成,
則由首位不為0可知,1在首位,在其他4個(gè)數(shù)位中選2個(gè)數(shù)位放1,其余各數(shù)位放0,共有6種排法.
由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得,共有1+8+6=15個(gè)這樣的五位數(shù).
16(共12張PPT)
3.1 排列與組合
知識(shí)點(diǎn) 1 分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理
知識(shí) 清單破
3.1.1 基本計(jì)數(shù)原理
計(jì)數(shù)原理 分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理 分步乘法計(jì)數(shù)原理
任務(wù) 完成一件事 步驟 完成這件事有n類(lèi)辦法,且:第一類(lèi)辦法中有m1種不同的方法,第二類(lèi)辦法中有m2種不同的方法……第n類(lèi)辦法中有mn種不同的方法 完成這件事需要分成n個(gè)步驟,且:做第一步有m1種不同的方法,做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法
結(jié)果 完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法 完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法
知識(shí)點(diǎn) 2 分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的比較
計(jì)數(shù)原理 分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理 分步乘法計(jì)數(shù)原理
相同點(diǎn) 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理都可以用來(lái)計(jì)算完成某件事的方法種數(shù),最終的目的都是完成某件事 不同點(diǎn) 1.完成一件事有n類(lèi)辦法,這n類(lèi)辦法之間是彼此獨(dú)立的. 2.每一類(lèi)辦法中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事. 3.把各類(lèi)辦法中的方法數(shù)相加就是完成這件事的所有方法數(shù) 1.完成一件事需要分成n個(gè)步驟,每個(gè)步驟又有若干種方法.
2.只有每個(gè)步驟都完成了才算完成這件事,每個(gè)步驟缺一不可.
3.把完成每個(gè)步驟的方法數(shù)相乘就是完成這件事的所有方法數(shù)
注意點(diǎn) 類(lèi)類(lèi)獨(dú)立,不重不漏 步步相依,步驟完整
知識(shí)辨析
判斷正誤,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“ ”.
1.在分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理中,每類(lèi)不同方案中的方法都能完成這件事. (　 )
2.在分步乘法計(jì)數(shù)原理中,任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事. (　 )
3.在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上有四項(xiàng)比賽,冠軍僅在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生,那么不同的奪冠情況共有43
種. (　 )
√


提示
　 因?yàn)槊宽?xiàng)比賽的冠軍都有3種可能的情況,所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,共有34種不
同的奪冠情況.
4.有三只口袋裝有小球,一只裝有5個(gè)大小不同的白色小球,一只裝有6個(gè)大小不同的黑色小
球,一只裝有7個(gè)大小不同的紅色小球,若每次從中取兩個(gè)不同顏色的小球,則共有36種不同的
取法. (　 )

　分為三類(lèi):一類(lèi)是取白球、黑球,有5×6=30種取法;一類(lèi)是取白球、紅球,有5×7=35種取
法;一類(lèi)是取黑球、紅球,有6×7=42種取法.依據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理,共有30+35+42=107種不
同的取法.
提示
疑難 情境破
講解分析
疑難 1 計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
1.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理在解決計(jì)數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

2.類(lèi)中有步,步中有類(lèi)

從A→D共有m1×(m2+m3+m4)×m5種方法.

從A→B共有(m1×m2×m3+m4×m5)種方法.
“類(lèi)”用“+”連接,“步”用“×”連接,“類(lèi)”獨(dú)立,“步”連續(xù),“類(lèi)”標(biāo)志一件事的完成,“步”則缺一不可.
3.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用原則及方法
(1)當(dāng)涉及元素?cái)?shù)目不大時(shí),一般選用列舉法、樹(shù)狀圖法、框圖法或圖表法.
(2)當(dāng)涉及元素?cái)?shù)目很大時(shí),一般有如下兩種方法:
①直接法:直接使用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理求解.
②間接法:先去掉限制條件,計(jì)算方法總數(shù),然后減去所有不符合條件的方法數(shù)即可.
典例 若直線方程Ax+By=0中的A,B可以從0,1,2,3,5這五個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)字來(lái)表示,
求該方程所表示的不同直線的條數(shù).
思路點(diǎn)撥
以A,B中是否有數(shù)字0為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)計(jì)數(shù),或利用間接法求解.
解析 解法一:分兩類(lèi).
第一類(lèi):當(dāng)A,B中有一個(gè)為0時(shí),方程表示直線x=0或y=0,共2條不同的直線.
第二類(lèi):當(dāng)A,B都不為0時(shí),確定直線Ax+By=0需要分兩步完成.
第一步:確定A的值,有4種不同的取法;
第二步:確定B的值,有3種不同的取法.
所以該方程所表示的不同直線的條數(shù)為2+4×3=14.
解法二(間接法):分兩步.
第一步:確定A的值,有5種不同的取法;
第二步:確定B的值,有4種不同的取法.
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,可以確定直線的條數(shù)為5×4=20.
在這20條直線中,當(dāng)A=0,B=1,2,3,5時(shí),表示同一條直線y=0;當(dāng)B=0,A=1,2,3,5時(shí),表示同一條直線
x=0,即有6條直線是重復(fù)計(jì)數(shù)的.
故該方程所表示的不同直線的條數(shù)為20-6=14.
利用計(jì)數(shù)原理解決涂色(種植)問(wèn)題的方法
(1)以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù),應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行分析;
(2)以顏色(種植的作物)為主分類(lèi)討論,再在每一類(lèi)方法數(shù)的計(jì)算中應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理,
最后根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理對(duì)每一類(lèi)的涂色(種植)方法數(shù)求和,即得到最終的涂色(種植)方
法數(shù).
講解分析
疑難 2 利用計(jì)數(shù)原理解決涂色(種植)問(wèn)題
典例 用紅、黃、綠、黑四種顏色給圖中的五個(gè)區(qū)域涂色,若要求任意相鄰的兩個(gè)區(qū)域的顏
色都不相同,有多少種不同的涂色方法

解析 解法一:①當(dāng)B與D同色時(shí),不同的涂色方法有4×3×2×1×2=48(種);
②當(dāng)B與D不同色時(shí),不同的涂色方法有4×3×2×1×1=24(種).
故共有48+24=72種不同的涂色方法.
解法二:按涂色時(shí)所用顏色種數(shù)分類(lèi).
第一類(lèi),用4種顏色,此時(shí)B,D同色或A,E同色,且兩者僅居其一,則共有2×4×3×2×1×1=48種不同
的涂色方法;
第二類(lèi),用3種顏色,此時(shí)B,D同色,且A,E同色,則共有4×3×2×1×1=24種不同的涂色方法.
依據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理,共有48+24=72種不同的涂色方法.

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