資源簡介

3.1.3　組合與組合數
基礎過關練
題組一　對組合的概念的理解
1.下列問題屬于組合問題的是(　　)
A.從3個不同的小球中,取出2個小球排成一列
B.老師在排座次時將甲、乙兩位同學安排為同桌
C.在電視節目中,主持人從100名幸運觀眾中選出2名幸運之星
D.從13位司機中任選出2位分別去往甲、乙兩地
2.(多選題)下列問題屬于組合問題的有(　　)
A.從甲、乙、丙3名同學中選出2名分別去參加兩個鄉鎮的社會調查,有多少種不同的選法
B.有4張電影票,要在7人中確定4人去觀看,有多少種不同的選法
C.某人射擊8槍,擊中4槍,且命中的4槍均為2槍連中,則不同的結果有多少種
D.從2,3,5,7,11中任選兩個數相乘,可以得到多少個不同的積
題組二　組合數公式及其性質的應用
3.關于排列數、組合數,下列結論錯誤的是(　　)
A.
C.
4.(多選題)若a=,則下列結論正確的是　(　　)
A.n=10　　　　B.n=11　　　　
C.a=466　　　　D.a=233
5.計算:+…+=　　　　.
6.若正整數n滿足不等式≤12,則n=　　　　.
題組三　組合數的應用
7.現有紅色、黃色、藍色的球各4個,每個球上都標有不同的編號.從中任取3個球,若這3個球的顏色不全相同,且至少有一個紅球,則不同的取法有(　　)
A.160種　　　　B.220種
C.256種　　　　D.472種
8.將編號分別為1,2,3,4,5,6的6個小球隨機地放入編號分別為1,2,3,4,5,6的6個盒子中,每個盒子放一個小球,則恰好有4個小球的編號與其所在盒子的編號不一致的放法種數為(　　)
A.45　　　　B.90　　　　C.135　　　　D.180
9.某校高二年級舉行籃球賽,共20個班,每4個班為一組,如1~4班為第一組,5~8班為第二組,……,進行單循環小組賽(沒有并列),勝出的5個班和從余下隊伍中選出的數據最優秀的一個班共6支球隊按抽簽的方式進行淘汰賽,最后勝出的3個班進行單循環賽,按積分的高低(假設沒有并列)決出最終的冠亞季軍,則此次籃球賽共進行了(　　)
A.51場　　　　B.42場
C.39場　　　　D.36場
10.浙江大學、復旦大學、南京大學三所學校發布了2024年冬令營招生簡章,現有甲、乙、丙、丁四位同學報名,每位同學只能選一所大學,每所大學至少有一位同學報名,且甲同學不報南京大學,則不同的報名方法共有(　　)
A.16種　　　　B.20種
C.24種　　　　D.28種
11.第33屆夏季奧運會在法國巴黎舉辦,這屆奧運會新增了電子競技和沖浪兩個競賽項目以及滑板等五個表演項目.現有A,B,C三個場地分別承擔競賽項目與表演項目比賽,其中電子競技和沖浪兩個項目僅能由A,B兩個場地承辦,且各自承辦其中一項.五個表演項目分別由A,B,C三個場地承辦,且每個場地至少承辦其中一個項目,則不同的安排方法有(　　)
A.150種　　　　B.300種
C.720種　　　　D.1 008種
12.某市組織應急處置山火救援行動,現從組織好的5支志愿團隊中任選1支去救援物資接收點服務,另外4支志愿團隊分配給“傳送物資、砍隔離帶、收撿垃圾”三個不同項目,每支志愿團隊只能分配1個項目,且每個項目至少分配1支志愿團隊,則不同的分配方案種數為(　　)
A.36　　　　B.81　　　　C.120　　　　D.180
13.第19屆杭州亞運會的吉祥物是一組名為“江南憶”的機器人:“琮琮”代表世界遺產良渚古城遺址,“蓮蓮”代表世界遺產西湖,“宸宸”代表世界遺產京杭大運河.現有6個不同的吉祥物,其中“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”各2個,將這6個吉祥物排成前后兩排,每排3個,且每排相鄰兩個吉祥物名稱不同,則不同的排法種數為　　　　.(用數字作答)
14.將10本相同的書送給5名同學,其中甲、乙兩名同學每人至少2本,其余每人至少1本,則不同的分配方案有　　　　種.(用數字作答)
15.現從5名男生和3名女生中選出5人擔任5門不同學科的科代表,求分別符合下列條件的選法種數:
(1)某女生一定擔任語文科代表;
(2)某男生必須擔任科代表,但不擔任語文科代表;
(3)某女生一定擔任語文科代表,某男生必須擔任科代表,但不擔任數學科代表.
16.(1)把6個相同的小球放入4個不同的箱子中,每個箱子都不空,共有多少種放法
(2)把6個不同的小球放入4個相同的箱子中,每個箱子都不空,共有多少種放法
(3)把6個不同的小球放入4個不同的箱子中,每個箱子都不空,共有多少種放法
能力提升練
題組一　組合數公式及其性質的應用
1.(多選題)下列等式正確的是　　(　　)
A.　　　　
B.r
C.　　　　
D.
2.1++…+=(　　)
A.
3.若,則+…+的值為(　　)
A.45　　　　B.55　　　　C.120　　　　D.165
4.已知則x=　　　.
題組二　組合數的應用
5.元旦假期,小明同學外出去某超市購物時,獲得了該超市的一次抽獎機會,他需從9個外觀完全相同的盲盒中,隨機抽取3個.已知這9個盲盒中,3個盲盒各裝有1支完全相同的鋼筆,另外6個盲盒各裝有1個不同的小飾品,則拆開選取的3個盲盒后,小明獲獎的情形有(　　)
A.84種　　　　B.42種　　　　C.41種　　　　D.35種
6.(多選題)從6名男生和4名女生中選出4人參加一項創新大賽,則下列說法正確的有(　　)
A.如果4人中男、女生各有2人,那么有30種不同的選法
B.如果男生甲和女生乙必須在內,那么有28種不同的選法
C.如果男生甲和女生乙至少有1人在內,那么有140種不同的選法
D.如果4人中既有男生又有女生,那么有184種不同的選法
7.某旅行社有導游9人,其中3人只會英語,4人只會日語,2人既會英語,也會日語,現從中選6人,其中3人作為英語導游,另外3人作為日語導游,則不同的選擇方法有　　　　種.
8.杭州亞運會期間某餐廳為志愿者供應客飯,每位志愿者可以在餐廳提供的菜肴中任選2葷2素共4種不同品種.現在餐廳準備了5種不同的葷菜,若要保證每位志愿者有200種以上不同選擇,則餐廳至少還需要準備　　　種不同的素菜.
9.現有分別標有1,2,3,4,5,6,7的七張卡片.
(1)若將七張卡片作為歷史、地理、物理、化學、生物五本書的書簽,每本書至少有一個書簽,則共有多少種不同的分配方法
(2)將七張卡片打亂,任意摸出四張卡片,記下卡片上的數字,若將這四個數字填在下面的五個空格中,要求每個空格填一個數字,且相鄰的兩個空格不能填相同的數字,則共有多少種不同的填法
(3)若將七張卡片排成一排,求編號為1,2,3的卡片從左到右按由小到大的順序連排的概率.
答案與分層梯度式解析
3.1.3　組合與組合數
基礎過關練
1.C 2.BCD 3.C 4.AC 7.A 8.C 9.D 10.C
11.B 12.D
1.C　
2.BCD　
3.C　,故A中結論正確;
=,故B中結論正確;
,而m,故C中結論錯誤,D中結論正確.
4.AC　由題意可知
解得9.5≤n≤10.5,∵n∈N+,∴n=10,
∴a=+31=466.故選AC.
5.答案　1 140
解析　+…+
=+…+
=+…+
=+…+
=…
==1 140.
6.答案　5
解析　由題意得n≥5,n∈N+,由≤12,得n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)≤12×,
化簡得n2-7n+10≤0,解得2≤n≤5,
又n≥5,n∈N+,所以n=5.
7.A　若取出的球中有1個紅球,則不同的取法有=112(種);
若取出的球中有2個紅球,則不同的取法有=48(種).
故不同的取法有112+48=160(種).故選A.
8.C　從6個盒子中任選2個,放入與其編號相同的小球,共有=15種選法,剩下的4個盒子的編號與放入的小球編號不相同,假設剩下的小球編號分別為1,2,3,4,則1號小球從2,3,4號盒子中選一個放入,有3種放法,剩下的3個小球放入剩下的3個盒子,有3種放法,故不同的放法有15×3×3=135(種).
9.D　先進行單循環小組賽,有5=30(場);
再進行淘汰賽,即6支球隊打3場,決出最后勝出的3個班;
最后3個班進行單循環賽,有=3(場).
所以此次籃球賽共進行了30+3+3=36(場).故選D.
10.C　可分為兩類:
第1類:甲單獨報一個學校,則不同的報名方法有=12(種);
第2類,甲和其中一位同學報一個學校,則不同的報名方法有=12(種).
由分類加法計數原理,可得共有12+12=24種不同的報名方法.故選C.
11.B　電子競技和沖浪兩個項目僅能由A,B兩個場地承辦,且各自承辦其中一項,有=2種安排方法;
五個表演項目分別由A,B,C三個場地承辦,且每個場地至少承辦其中一個項目,有·=150種安排方法.
故不同的安排方法有2×150=300(種).故選B.
12.D　先從5支志愿團隊中任選1支去救援物資接收點服務,有=5種選法,
再將剩下的4支志愿團隊分配給“傳送物資、砍隔離帶、收撿垃圾”三個不同項目,
有=6×6=36種分法,
所以不同的分配方案有5×36=180(種).故選D.
13.答案　336
解析　由題意可分兩種情形:
①前排含有兩種不同名稱的吉祥物,即從“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”中取兩種,其中一種取兩個,另一種取一個,有=24種排法,后排有=2種排法,故有24×2=48種排法;
②前排含有三種不同名稱的吉祥物,有=48種排法,后排有=6種排法,故有48×6=288種排法.
因此,共有48+288=336種排法.
14.答案　35
解析　解法一:先從10本書中取出5本分給5名同學,每人分1本,再將剩余的5本至少分成兩份,有如下四種情況:
分成兩份,給甲、乙,共=4種分法;
分成三份,給甲、乙和另一名同學,共=18種分法;
分成四份,給甲、乙和另兩名同學,共=12種分法;
分成五份,五名同學每人1本,共1種分法.
所以不同的分配方案有4+18+12+1=35(種).
解法二:先分給甲、乙一人一本書,再將余下的8本相同的書送給5名同學,每人至少一本,使用隔板法,8本書形成7個空(不算兩端),在7個空中插入4塊隔板,所以不同的分配方案有=35種.
15.解析　(1)除去一定擔任語文科代表的女生后,先選后排,共有=840種不同選法.
(2)先選后排,但先安排不擔任語文科代表的該男生,共有=3 360種不同選法.
(3)先從除去必須擔任科代表的該男生和一定擔任語文科代表的該女生后的6人中選3人,為,再安排必須擔任科代表,但不擔任數學科代表的該男生,為,其余3人全排列,為,共有=360種不同選法.
16.解析　(1)6個相同的小球放入4個不同的箱子中,每個箱子至少放1個小球,
相當于將6個相同的小球排成一列,在形成的5個空隙中(不含兩端)插入3塊隔板,
所以不同的放法種數為=10.
(2)6個不同的小球放入4個相同的箱子中,每個箱子至少放1個小球,
先把6個不同的小球按2,2,1,1和3,1,1,1兩種方案分成4組,再分別放入4個相同的箱子中,
所以不同的放法種數為=65.
(3)6個不同的小球放入4個不同的箱子中,每個箱子至少放1個小球,
先把6個不同的小球按2,2,1,1和3,1,1,1兩種方案分成4組,再分別放入4個不同的箱子中,
所以不同的放法種數為·=1 560.
能力提升練
1.ABD 2.C 3.D 5.B 6.BC
1.ABD　選項A,左邊=+m· ==右邊,正確;
選項B,右邊=n··=r·=左邊,正確;
選項C,右邊=≠左邊,錯誤;
選項D,右邊=·
=
==左邊,正確.故選ABD.
2.C　1++…++…++…+=…=.
3.D　因為,所以m+m+2=22,解得m=10,
故+…++…++…+=…==165.故選D.
4.答案　5
解析　由已知得x-1≥0,即x≥1.
由可得x=2x或x+2x=n,
即x=0(舍去)或x=,
所以,即
=·,
化簡得11··=3··,
即11n(n+3)=6n(2n+3),解得n=15(n=0舍去),所以x=5.
5.B　小明抽到0支鋼筆,3個不同的小飾品,有=20種情形;
小明抽到1支鋼筆,2個不同的小飾品,有=15種情形;
小明抽到2支鋼筆,1個小飾品,有=6種情形;
小明抽到3支鋼筆,只有1種情形.
綜上可得,小明獲獎的情形有20+15+6+1=42(種).
6.BC　對于A,從6名男生中任選2人的選法有=15(種),從4名女生中任選2人的選法有=6(種),故共有15×6=90種不同的選法,A錯誤;對于B,從除了男生甲和女生乙以外的8人中任選2人,有=28種不同的選法,B正確;對于C,從10人中任選4人,有=210種不同的選法,甲、乙都不在其中的選法有=70(種),故所求選法有210-70=140(種),C正確;對于D,從10人中任選4人,只有男生的選法有=15(種),只有女生的選法有=1(種),則4人中既有男生又有女生的選法有210-15-1=194(種),D錯誤.故選BC.
7.答案　92
解析　①不選既會英語,也會日語的2人,
則只會英語的3人全部選中,從只會日語的4人中選擇3人,共=4種選法.
②從既會英語,也會日語的2人中選擇1人,有種選法,
若此人作為英語導游,則從只會英語的3人中選擇2人,從只會日語的4人中選擇3人,
有=12種選法;
若此人作為日語導游,則只會英語的3人全部選中,從只會日語的4人中選擇2人,
有=6種選法,
此時共有·(12+6)=36種選法.
③既會英語,也會日語的2人均被選中,
若2人均作為英語導游,則從只會英語的3人中選擇1人,從只會日語的4人中選擇3人,
有=12種選法;
若2人均作為日語導游,則只會英語的3人全部選中,從只會日語的4人中選擇1人,
有=4種選法;
若2人中有1人作為英語導游,1人作為日語導游,有=2種選法,
則從只會英語的3人中選擇2人,從只會日語的4人中選擇2人,有=18種選法,
此時共有12+4+2×18=52種選法.
綜上,不同的選擇方法有4+36+52=92種.
8.答案　7
解析　設還需要準備n(n≥2,n∈N+)種不同的素菜,由題意得>200,解得n>或n<,
因為n≥2,n∈N+,所以n的最小值為7,
所以餐廳至少還需要準備7種不同的素菜.
9.解析　(1)把7張卡片分成3,1,1,1,1和2,2,1,1,1兩種情況,再分配給5本書,故共有·=16 800種不同的分配方法.
(2)將這四個數字填在五個空格中,則有1個數字用兩次.先將用一次的3個數字全排列,形成4個空,再將用兩次的數字插入,故共有=5 040種不同的填法.
(3)七張卡片排成一排,有種排法,其中編號為1,2,3的卡片從左到右按由小到大的順序連排有種排法,故所求概率為.
17(共13張PPT)
知識 清單破
3.1. 3 組合與組合數
知識點 組合與組合數
1.組合的概念
　　一般地,從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象并成一組,稱為從n個不同對象中取出m個
對象的一個組合.
2.組合數
(1)組合數的概念:從n個不同對象中取出m個對象的所有組合的個數,稱為從n個不同對象中
取出m個對象的組合數,用符號 表示.
注意:①所謂并成一組是指與順序無關,例如,組合a,b與組合b,a是同一組合,可以把一個組合
看成一個集合.②在符號 中,總是要求n和m都是正整數,且m≤n.
(2)組合數公式: = = = .
　　特別地, =1, =n, =1.
(3)組合數的性質: = , + = .
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.兩個組合相同的充要條件是其中的對象完全相同. (　 )
√
2.若 = ,則x=m. (　 )
提示

3.從1,3,5,7中任取兩個數相乘可得 個積.(　 )
4. + = . (　 )
　由 = 可以得到x=m或x+m=n.
√
√
　　與組合數有關的計算問題常用到組合數公式和組合數的性質,涉及具體數字的可以直接
用公式 = = 計算,涉及字母的可以用 = 計算,計算時應注
意利用組合數的性質 = , + = .另外要注意 中m,n的范圍.
講解分析
疑難 1 與組合數有關的計算
疑難 情境破
典例　(1)解方程:3 =5 ;
(2)解不等式: > .
解析 (1)原方程可化為3· =5· ,
整理,得 = ,即(x-3)(x-6)=40,
解得x=11或x=-2.
易知x≥7,則x=11.
(2)由 > 得
即 即
解得6≤n<10.
因為n∈N+,
所以原不等式的解集為{6,7,8,9}.
　　分組問題和分配問題是有區別的,前者組與組之間只要對象個數相同,就是不可區分的,
而后者即使兩組對象個數相同,但因對象不同,仍然是可區分的.
講解分析
疑難 2 分組與分配問題
1.分組問題的求解策略
(1)非均勻不編號分組:將n個不同對象分成m(m≤n)組,每組對象數目均不相等,依次記為m1,m
2,…,mm,不考慮各組間的順序,不管是否分盡,分法種數N= · · ·…· .
(2)均勻不編號分組:將n個不同對象分成m(m≤n)組,其中r組對象個數相等,不管是否分盡,其
分法種數為 (其中N為非均勻不編號分組中的分法種數).若再有k組均勻分組,則應再除以
.
(3)非均勻編號分組:將n個不同對象分成m(m≤n)組,每組對象數目均不相等,且考慮各組間的
順序,其分法種數為N· (其中N為非均勻不編號分組中的分法種數).
(4)均勻編號分組:將n個不同對象分成m(m≤n)組,其中r組對象個數相等且考慮各組間的順
序,其分法種數為 · (其中N為非均勻不編號分組中的分法種數).
2.相同對象分配問題的處理策略——隔板法
將n個相同的物品分給m(m≤n)個不同的對象,可看作將n個相同的元素排成一行,這n個元素
之間就出現了(n-1)個空隙,我們將(m-1)個“隔板”插入到這(n-1)個空隙中,就把n個元素隔成
了有序的m份,這種借助虛擬“隔板”分配元素的方法稱為隔板法.由此可知,將n個相同的物
品分給m個不同的對象,共有 種方法.
典例1　把10個相同的小球放入編號分別為1,2,3的三個盒子中,要求每個盒子中的小球數不小
于盒子的編號數,則不同的方法共有　　　 種.
15
解析 在編號分別為2,3的兩個盒子中依次放入1,2個小球,這樣還剩10-3=7個小球,則問題變
為求把7個相同的小球放入編號分別為1,2,3的三個盒子中,每個盒子中至少放一個小球的不
同方法的種數,由隔板法可知共有 =15種不同的方法.
典例2　有12本不同的書,將其分成4堆.
(1)若每堆3本,有幾種分法
(2)若4堆依次為1本、3本、4本、4本,有幾種分法
(3)若4堆依次為1本、2本、3本、6本,有幾種分法 (只要求列出算式)
解析 (1)有 種分法.
(2)有 種分法.
(3)有 種分法.
　　解決排列與組合問題要遵循兩個原則:①按對象(或位置)的性質進行分類;②按事情發生
的過程進行分步.具體地說,解決排列與組合問題常以對象(或位置)為主體,即先滿足特殊對
象(或位置),再考慮其他對象(或位置).
講解分析
疑難 3 排列與組合的綜合應用
典例　如圖,一個正方形花圃被分成5部分.
A B C D E
(1)若給這5部分各種一種顏色的花,要求相鄰兩部分種植不同顏色的花,現有紅、黃、藍、綠
4種顏色的花可選,問有多少種不同的種植方法
(2)若在這5部分中放入7個不同的盆栽,要求每部分都有盆栽,問有多少種不同的放法
解析 (1)先給A部分種植,有4種不同的種植方法;再給B部分種植,有3種不同的種植方法;然
后給C部分種植,分兩類:
①若C與B相同,則D有2種不同的種植方法,E有2種不同的種植方法,共有4×3×1×2×2=48種不
同的種植方法;
②若C與B不同,則C有2種不同的種植方法,D有1種不同的種植方法,E有2種不同的種植方法,
共有4×3×2×1×2=48種不同的種植方法.
綜上,共有48+48=96種不同的種植方法.
(2)將7個盆栽分成5組,每組至少有1個盆栽,有2種分法:
①分成2,2,1,1,1的5組,有 種分法;
②分成3,1,1,1,1的5組,有 種分法.
將分好的5組全排列,分別對應5部分,則一共有 × =16 800種不同的放法.

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