資源簡介

3.3　二項式定理與楊輝三角
基礎過關練
題組一　對二項式定理的理解
1.若 x∈R,(ax+b)5=(x+2)5-5(x+2)4+10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)-1恒成立,其中a,b∈R,則a-b=(　　)
A.3　　　　B.2　　　　C.0　　　　D.-1
2.(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)=(　　)
A.x5　　　　B.x5-1
C.x5+1　　　　D.(x-1)5-1
3.設A=37+×
32+1,則A-B的值為(　　)
A.128　　　　B.129　　　　C.47　　　　D.0
題組二　展開式的特定項、項的系數及二項式系數
4.的展開式中,含x2的項的系數是(　　)
A.-462　　　　B.462　　　　C.792　　　　D.-792
5.若的展開式中含有非零常數項,則正整數n的可能取值是(　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6
6.已知(n∈N+)的展開式中第2項與第3項的二項式系數之比是2∶5,則x3的系數為(　　)
A.14　　　　B.-14
C.240　　　　D.-240
7.的展開式的第4項是　　　　.
8.若(x+2)6+(x-1)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,則a3=　　　　.
9.已知在的展開式中,第5項為常數項.
(1)求n的值;
(2)求展開式中含x2的項的系數;
(3)求展開式中所有的有理項.
題組三　二項式系數的性質
10.在(n∈N+)的展開式中,各項系數之和為M,各項二項式系數之和為N,且M+N=72,則展開式中的常數項為(　　)
A.18　　　　B.12　　　　C.9　　　　D.6
11. x≠0,可以寫成關于x2+的多項式,則該多項式各項系數之和為(　　)
A.240　　　　B.241　　　　C.242　　　　D.243
12.(多選題)設(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,則下列結論正確的是(　　)
A.a2+a5=588　　　　
B.a1+a2+…+a7=1
C.a1+a3+a5+a7=　　　　
D.|a1|+|a2|+…+|a7|=37-1
13.已知(a>0)的展開式中第5項與第7項的二項式系數相等,且展開式的各項系數之和為1 024,則展開式中的常數項為　　　　.
14.若的展開式中,僅有第6項的二項式系數取得最大值,則展開式中含的項的系數是　　　　.
15.已知(n∈N+)的展開式的第5項的系數與第3項的系數之比是10∶1.
(1)求展開式中各項系數的和;
(2)求展開式中含的項;
(3)求展開式中系數最大的項和二項式系數最大的項.
題組四　楊輝三角
16.下圖是與楊輝三角有類似性質的三角形數陣,若a,b依次是某行的前兩個數,當a=7時,b=(　　)
A.20　　　　B.21　　　　C.22　　　　D.23
17.(多選題)如圖所示,在“楊輝三角”中,下列命題正確的是(　　)
A.由“在相鄰的兩行中,除1以外的每一個數都等于它肩上兩個數的和”猜想:
B.由“第n行所有數之和為2n”猜想:+…+=2n
C.第20行中,第10個數最大
D.第15行中從左到右第7個數與第8個數的比為7∶9
18.閱讀材料,完成相應任務:“賈憲三角”又稱“楊輝三角”,在歐洲則稱為“帕斯卡三角”(如下表),它揭示了(a+b)n(n為非負整數)的展開式的項數及各項系數的規律.
根據上述規律,完成下列問題:
(1)直接寫出:(a+b)5=　　　　;
(2)(a+1)8的展開式中a項的系數是　 .
能力提升練
題組一　展開式的特定項及項的系數
1.設n為正整數,的展開式中存在常數項,則n的最小值為(　　)
A.2　　　　B.3　　　　
C.4　　　　D.5
2.的展開式中的常數項為(　　)
A.588　　　　B.589　　　　
C.798　　　　D.799
3.(x-2y+2z)5的展開式中,xy3z的系數為(　　)
A.-320　　　　B.320　　　　C.-240　　　　D.240
4.已知(ax-2)(x+1)4的展開式中x3的系數為-2,則實數a=　　　　.
5.若(x+1+m)2 023=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a2 023(x+1)2 023,且(a0+a2+…+a2 022)2-(a1+a3+…+a2 023)2=32 023,則實數m的值為　　　　.
題組二　二項式系數的性質
6.在的展開式中,只有第6項的二項式系數最大,且所有項的系數之和為0,則展開式中含x6的項的系數為(　　)
A.45　　　　B.-45　　　　C.120　　　　D.-120
7.(多選題)對于(m為常數,且m≠0),下列說法正確的是(　　)
A.展開式有常數項
B.展開式的第6項的二項式系數最大
C.若m=2,則展開式的各二項式系數和為310
D.≥1在x∈[1,3]上恒成立,則m≥0
8.(多選題)已知(1-2x)2 021=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 021x2 021,則下列說法正確的是(　　)
A.展開式中所有項的二項式系數之和為22 021
B.展開式中所有奇次項系數之和為
C.展開式中所有偶次項系數之和為　　　　
D.+…+=-1
9.若(1+2x)2 020=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a2 020(x+2)2 020,x∈R,則a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020=　　　　.
10.已知的展開式的各二項式系數之和比(3x-1)n+1的展開式的各偶數項的二項式系數之和大992,求的展開式中:
(1)二項式系數最大的項;
(2)系數的絕對值最大的項.
題組三　楊輝三角
11.“楊輝三角”是中國古代數學杰出的研究成果之一.如圖所示,由楊輝三角的左腰上的各數出發,引一組平行線,從上往下每條線上各數之和依次為1,1,2,3,5,8,13,…,則下列說法錯誤的是(　　)
A.在第9條斜線上,各數之和為55
B.在第n(n≥5)條斜線上,各數自左往右先增大后減小
C.第n條斜線上共有個數
D.在第11條斜線上,最大的數是
12.(多選題)我國南宋數學家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》一書中提出了楊輝三角,如圖所示,這是數學史上的一個偉大成就.該圖中蘊含著許多的數學規律,下列結論正確的是(　　)
A.+…+
B.111=11,112=121,……,115=15 101 051
C.從左往右逐行數,第2 024項在第63行第8個
D.第5行到第10行的所有數字之和為2 024
題組四　二項式定理的應用
13.1.957的計算結果精確到個位的近似值為(　　)
A.106　　　　B.107　　　　C.108　　　　D.109
14.假設今天是星期二,那么經過22 021天后是(　　)
A.星期三　　　　B.星期四　　　　C.星期五　　　　D.星期六
15.若n是正奇數,則7n+7n-2+…+7被9除的余數為(　　)
A.2　　　　B.5　　　　C.7　　　　D.8
16.證明:(1)5151-1能被7整除;
(2)32n+2-8n-9是64的倍數.
答案與分層梯度式解析
3.3　二項式定理與楊輝三角
基礎過關練
1.C 2.B 3.A 4.D 5.C 6.C 10.C 11.D
12.ACD 16.C 17.ABD
1.C　由(x+2)5-5(x+2)4+10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)-1=(x+2-1)5=(x+1)5,得(ax+b)5=(x+1)5,所以a=b=1,所以a-b=0.故選C.
2.B　逆用二項式定理,得原式=[(x-1)+1]5-1=x5-1.故選B.
3.A　A-B=×30=(3-1)7=27=128.
4.D　的展開式的通項公式為Tk+1=x12-2k,k=0,1,2,…,12,令12-2k=2,解得k=5,
所以含x2項的系數是(-1)5=-792.故選D.
5.C　的展開式的通項公式為Tr+1=(3x2)n-r··3n-r··x2n-5r,
因為的展開式中含有非零常數項,
所以存在n,r∈N+,使得2n=5r,
所以n=,結合選項可知,當r=2時,n=5.
故選C.
6.C　的展開式的通項公式為Tr+1=(2x)n-r·(0≤r≤n,r∈N),由題可得=2∶5,即5,解得n=6,所以Tr+1=,令6-r=3,解得r=2,所以x3的系數為26-2(-1)2=15×16×1=240,故選C.
7.答案　-20x2
解析　的展開式的通項公式為Tr+1=,r=0,1,…,6,
則第4項是T4=(-1)3×=-20x2.
8.答案　140
解析　(x+2)6的展開式的通項公式為Tr+1=x6-r2r,令6-r=3,得r=3,
則(x+2)6的展開式中含x3的項為23x3=160x3.
(x-1)6的展開式的通項公式為Tk+1=x6-k(-1)k,令6-k=3,得k=3,
則(x-1)6的展開式中含x3的項為(-1)3x3=-20x3.
故a3=160-20=140.
9.解析　(1)的展開式的通項公式為Tr+1=(0≤r≤n,r∈N).
因為展開式中的第5項為常數項,
所以當r=4時,有=0,解得n=8.
(2)由(1)知n=8,故展開式的通項公式為Tr+1=(0≤r≤8,r∈N),令=2,解得r=1,
故展開式中含x2的項的系數為=-4.
(3)由題意得所以r可取1,4,7,對應的有理項分別為T2=-4x2,T5=,
故展開式中所有的有理項為-4x2,.
10.C　令x=1,可得各項系數之和M=(1+3)n=4n,各項二項式系數之和N=2n,又M+N=4n+2n=72,所以n=3,所以,其展開式的通項公式為Tr+1=(r=0,1,2,3),令r=0,解得r=1,所以展開式中的常數項為31=9.故選C.
11.D　+2,
令t=x2+,得=(t+2)5,
令t=1,得(t+2)5=35=243,
所以該多項式各項系數之和為243.故選D.
12.ACD　(2x-1)7的展開式的第(r+1)項為Tr+1=·(2x)7-r·(-1)r=·(-1)r·27-r·x7-r,
又(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,
所以a2=·(-1)5·27-5=-84,a5=·(-1)2·27-2=672,則a2+a5=588,故A正確.
令x=1,則(2-1)7=a0+a1+a2+…+a6+a7=1;
令x=0,則(0-1)7=a0=-1,
故a1+a2+…+a7=1-(-1)=2,故B錯誤.
令x=-1,則(-2-1)7=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=-37,故a1+a3+a5+a7=[(a0+a1+a2+…+a6+a7)-(a0-a1+a2-…+a6-a7)]=,故C正確.
|a1|+|a2|+…+|a7|=a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-(a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7)+a0=37-1,故D正確.故選ACD.
13.答案　405
解析　由題意得,由組合數的性質可知n=10,所以.
因為展開式的各項系數之和為1 024,
所以在中,令x=1,得(a-1)10=1 024=210.
因為a>0,所以a=3.
所以的展開式的通項公式為Tr+1=.
令20-=0,解得r=8,
所以常數項為(-1)8310-8=405.
14.答案　-
解析　因為僅有第6項的二項式系數取得最大值,所以=6-1,即n=10,故,
其展開式的通項公式為Tr+1=(0≤r≤10,r∈N),令5-,解得r=3,∴展開式中含的項的系數為··(-2)3=-.
15.解析　由題意知,第5項的系數為·(-2)4,第3項的系數為·(-2)2,則=10,
化簡得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去),故該式為.
(1)令x=1,得展開式中各項系數的和為(1-2)8=1.
(2)展開式的通項公式為Tr+1=(0≤r≤8,r∈N),
令4-,得r=1,
故展開式中含的項為T2=-16.
(3)展開式中的第(r+1)項的系數的絕對值為·2r,設第(r+1)項的系數的絕對值最大,
則解得5≤r≤6(r∈N).
又第6項的系數為負,所以系數最大的項為T7=1 792x-11.
由n=8知第5項的二項式系數最大,故二項式系數最大的項為T5=1 120x-6.
16.C　觀察題圖可知,從第三行開始,每一行除開始和末尾的兩個數外,中間的數分別是其“兩肩”上相鄰兩個數的和,當a=7時,b的“兩肩”上的第一個數為6,第二個數為16,所以b=6+16=22.
17.ABD　易知A,B正確;對于C,第20行的數是(i=0,1,2,…,20),最大的數是,即是第11個數,故C錯誤;
對于D,易知第n行從左到右第k個數是,則第15行中從左到右第7個數與第8個數分別是和,則,故D正確.
故選ABD.
18.答案　(1)a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5　(2)8
解析　(1)由題圖可得(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5.
(2)由楊輝三角的性質可得(a+1)8的展開式中a項的系數為=8.
能力提升練
1.B 2.B 3.A 6.A 7.AB 8.ACD 11.A 12.AC
13.B 14.D 15.C
1.B　的展開式的通項公式為Tr+1=x2n-3r,
令2n-3r=0,得n=r,因為n∈N+,所以當r=2時,n有最小值3.故選B.
2.B　解法一:的展開式的通項公式為Tr+1=·,r=0,1,…,8,
的展開式的通項公式為Tk+1=)8-r-k·,0≤k≤r,k∈N,
令8-r-3k=0,可得r=8,k=0或r=5,k=1或r=2,k=2,所以展開式中的常數項為=589.
故選B.
解法二:易知可以看成8個因式+1相乘,
若得到常數項,則有以下情況:①8個1;②2個,1個,5個1;③4個,2個,2個1.
所以展開式中的常數項為×12=589.
故選B.
3.A　因為(x-2y+2z)5=[(x-2y)+2z]5,
所以其通項公式為Tr+1=·(x-2y)5-r·(2z)r,
令r=1,得T2=·(x-2y)4·2z=10(x-2y)4z.
(x-2y)4的通項公式為T'n+1=·x4-n·(-2y)n,
令n=3,得T'4=·x·(-2y)3=-32xy3,
因此xy3z的系數為10×(-32)=-320,故選A.
4.答案　1
解析　(ax-2)(x+1)4=ax(x+1)4-2(x+1)4,
因為(x+1)4中含x2的項為x2,含x3的項為x3,
所以(ax-2)(x+1)4中含x3的項為axx3,
故a=-2,解得a=1.
5.答案　2或-2
解析　在(x+1+m)2 023=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a2 023(x+1)2 023中,
令x=0,得(1+m)2 023=a0+a1+a2+…+a2 023,
令x=-2,得(-1+m)2 023=a0-a1+a2-a3+…-a2 023,
所以(a0+a2+…+a2 022)2-(a1+a3+…+a2 023)2
=(a0-a1+a2-a3+…-a2 023)(a0+a1+a2+a3+…+a2 023)
=(-1+m)2 023(1+m)2 023=(m2-1)2 023=32 023,
所以m2-1=3,解得m=±2.
6.A　由題意得+1=6,解得n=10,
∴.
∵展開式的所有項的系數之和為0,
∴令x=1,得(1+a)10=0,∴a=-1.
∴,其展開式的通項公式為Tr+1=x10-2r(0≤r≤10,r∈N),
令10-2r=6,解得r=2,∴展開式中含x6的項的系數為(-1)2=45.故選A.
7.AB　對于A,的展開式的通項公式為Tr+1=x10-r·x10-2r,
令10-2r=0,可得r=5,因此展開式的第6項為常數項,故A正確;
對于B,由的展開式,結合二項式系數的性質,可得展開式的第6項的二項式系數最大,故B正確;
對于C,當m=2時,展開式的各二項式系數和為210,故C錯誤;
對于D,由≥1在x∈[1,3]上恒成立,可得x+≥1或x+≤-1在x∈[1,3]上恒成立,
即m≥x-x2或m≤-x-x2在x∈[1,3]上恒成立,
令g(x)=x-x2,則g(x)在[1,3]上單調遞減,所以g(x)max=g(1)=0,
令h(x)=-x-x2,則h(x)在[1,3]上單調遞減,所以h(x)min=h(3)=-12,
所以m≥0或m≤-12,故D錯誤.故選AB.
8.ACD　令x=1,得a0+a1+a2+…+a2 021=-1①,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a2 020-a2 021=32 021②.展開式中所有項的二項式系數的和為+…+=22 021,故A正確;由可得a1+a3+a5+…+a2 021=-,故B錯誤;由可得a0+a2+a4+…+a2 020=,故C正確;令x=0,有a0=1,令x=,有a0++…+=0,故+…+=-1,故D正確.故選ACD.
9.答案　1-32 020
解析　令x=-2,則(1-4)2 020=a0,即a0=32 020,
令x=0,則12 020=a0+a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020,
即a0+a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020=1,
故a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020=1-a0=1-32 020.
10.解析　(+x2)2n的展開式的各二項式系數之和為22n,(3x-1)n+1的展開式的各偶數項的二項式系數之和為2n+1-1=2n.
由題意得22n-2n=992,解得n=5,
所以.
(1)的展開式中二項式系數最大的項為第51項,即.
(2)的展開式的通項公式為Tr+1=·(2x)100-r··2100-r·(-1)r·x100-2r(0≤r≤100,r∈N),其系數的絕對值為·2100-r,
設系數的絕對值最大的項是第(k+1)項,
則解得≤k≤,
∵k∈N,∴k=33,
∴系數的絕對值最大的項為第34項,即T34=·2100-33·(-1)33·x100-2×33=-·267·x34.
11.A　從上往下每條線上各數之和依次為1,1,2,3,5,8,13,…,設這些數依次為a1,a2,…,
則各數出現的規律是an+2=an+an+1(n∈N+),
所以第8條斜線上各數之和為8+13=21,第9條斜線上各數之和為13+21=34,故A中說法錯誤;
由題圖易知,從左往右,第1條斜線上的數:1,
第2條斜線上的數:,
第3條斜線上的數:,
第4條斜線上的數:,
第5條斜線上的數:,
第6條斜線上的數:,
……
依此規律,第11條斜線上的數為,最大的數是,故D中說法正確;
由上面的規律可知:n為奇數時,第n條斜線上共有個數,
n為偶數時,第n條斜線上共有個數,
所以第n條斜線上共有個數,故C中說法正確;
由上述每條斜線上的數的規律可知,在第n(n≥5)條斜線上,各數自左往右先增大后減小,故B中說法正確.故選A.
12.AC　對于A,已知(m,n∈N+,m則+…++…++…+=…=,故A正確;
對于B,115=(1+10)5=15+×104+105=1+50+1 000+10 000+50 000+100 000=161 051,故B錯誤;
對于C,第n(n∈N)行共有(n+1)項,
從左往右逐行數,第n行最后一項對應的項數為1+2+3+…+n+(n+1)=,
因為=2 016,且2 024=2 016+8,
所以從左往右逐行數,第2 024項在第63行第8個,故C正確;
對于D,第n(n∈N+)行所有項之和為+…+=2n,
所以第5行到第10行的所有數字之和為25+26+…+210=32+64+…+1 024=2 016,故D錯誤.
故選AC.
13.B　1.957=(2-0.05)7=27-×25×0.052-…-0.057≈27-×25×0.052=107.28≈107.故選B.
14.D　22 021=4×22 019=4×8673=4×(7+1)673=4(·7673+·7672+…+·7+),在·7673+·7672+…+·7+中,除了,其余各項都能被7整除,故整個式子除以7的余數為4=4,故經過22 021天后是星期六,故選D.
15.C　原式=7n-2+…+7n·10+7n-1·1+7n-2·12+…+7·1n-1+70·1n)-70·1n=(7+1)n-1=8n-1=(9-1)n-1=[9n·(-1)0+9n-1·(-1)+9n-2·(-1)2+…+9·(-1)n-1+90·(-1)n]-1,
因為n為正奇數,所以上式可化簡為9n-1·(-1)+9n-2·(-1)2+…+9·(-1)n-1-2=9n-1·(-1)+9n-2·(-1)2+…+9·(-1)n-1-9+7,所以原式除以9的余數為7.故選C.
16.證明　(1)5151-1=(49+2)51-1=·4951+·4950·2+…+·49·250+·251-1,
易知除·251-1以外各項都能被7整除.
又·251-1=(23)17-1=(7+1)17-1
=·717+·716+…+·7+-1
=7(715+…+),
∴上式能被7整除,∴5151-1能被7整除.
(2)∵32n+2-8n-9=9n+1-8n-9=(8+1)n+1-8n-9
=8n+1+·8n+…+·82+·8+1-8n-9
=8n+1+·8n+…+·82+8(n+1)+1-8n-9
=8n+1+·8n+…+·82
=(8n-1+·8n-2+…+)·64,
∴32n+2-8n-9是64的倍數.
25(共23張PPT)
　　一般地,當n是正整數時,有(a+b)n= an+ an-1b+…+ an-kbk+…+ bn.上述公式稱為二項
式定理,等式右邊的式子稱為(a+b)n的展開式,它共有n+1項,其中 an-kbk是展開式中的第k+1項
(通常用Tk+1表示), 稱為第k+1項的二項式系數,我們將Tk+1= an-kbk稱為二項展開式的通項公
式.
注意:通項公式Tk+1= an-kbk中,要求n是正整數,k是滿足0≤k≤n的自然數.
3.3 二項式定理與楊輝三角
知識點 1 二項式定理
知識 清單破
知識點 2 二項式系數的性質
1.對稱性
　　在二項展開式中,與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數相等,即 = .
2.單調性與最大值
　　二項式系數從兩端向中間逐漸增大,當n為偶數時,中間一項的二項式系數 最大;當n為
奇數時,中間兩項的二項式系數 , 相等,且最大.
3.各二項式系數的和
(1) + +…+ =2n;
(2) + + +…= + + +…=2n-1.
知識點 3 楊輝三角的性質
1.每一行都是對稱的,且兩端的數都是1.
2.從第三行起,不在兩端的任意一個數,都等于上一行中與這個數相鄰的兩數之和,即 =
+ .
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1. an-rbr是(a+b)n的展開式中的第r項.(　 )
2.(a-b)n與(a+b)n的二項展開式的各二項式系數對應相同.(　 )
3.二項展開式的各二項式系數的和為 + +…+ . (　 )
4.在(1-x)9的展開式中,系數最大的項是第5項和第6項. (　 )
an-rbr是(a+b)n的展開式中的第r+1項.
提示

√
　二項展開式的各二項式系數的和為 + + +…+ =2n.
提示

　展開式共10項,其中奇數項系數為正,偶數項系數為負,所以系數最大的項為第5項.
提示

　　求二項展開式中的特定項時,一般先寫出二項展開式的通項公式,再利用函數或方程思
想求解.
(1)對于常數項,令通項公式中字母的指數為0.
(2)對于有理項,令通項公式中所有字母的指數都為整數.求解時必須合并通項公式中同一字
母的指數,根據具體要求,令其為整數,再根據數的整除性來求解.
(3)對于整式項,其通項公式中合并同類項后同一字母的指數應是非負整數,求解方式與求有
理項一致.
講解分析
疑難 1 求二項展開式中的特定項
疑難 情境破
典例 (1) x- n(n∈N+)的展開式中,第5項是常數項,則常數項為 (　 )
A.-270　 B.-240　 C.240　 D.270
(2) 的展開式中有理項共有 (　 )
A.4項　　B.5項　　C.6項　　D.7項
(3)(x- )n(n∈N+)的展開式中,第二項與第四項的系數之比為1∶2,則含x2的項為　　　 .
C
C
12x2
解析 (1) x- n的展開式的通項公式為Tr+1= ·xn-r· - r=(-2)r · .令r=4,則n- ×4=0,
解得n=6,∴展開式中的常數項為T5=(-2)4× =240.故選C.
(2) 的展開式的通項公式為Tr+1= (x2)10-r =2r · (r=0,1,2,…,10),令20- 為
整數,可得r=0,2,4,6,8,10,則有理項共有6項,故選C.
(3)(x- )n(n∈N+)的展開式中第二項與第四項分別為T2= xn-1·(- )=- nxn-1,T4= xn-3·(- )3
=-2 xn-3.依題意得 = ,故n2-3n-4=0且n≥3,解得n=4.故(x- )n=(x- )4,其展開式的
通項公式為Tr+1= x4-r(- )r(r=0,1,2,3,4),令4-r=2,得r=2,即(x- )4的展開式中含x2的項為T3=
x2(- )2=12x2.
求三項展開式中特定項的方法
(1)因式分解法:先通過因式分解將三項式變成兩個二項式,然后用二項式定理分別展開.
(2)逐層展開法:先將三項式分成兩組,用二項式定理展開,再把其中含兩項的展開.
(3)利用組合知識:把三項式(a+b+c)n看成n個(a+b+c)的積,利用組合知識分析項的構成,注意最
后合并同類項.
講解分析
疑難 2 三項展開式問題
典例 的展開式中x2的系數為　　　 .
800
解析 解法一:(x2+3x+2)5=[(1+x)(2+x)]5=(1+x)5(2+x)5.
(1+x)5的展開式的通項公式為Tr+1= xr,
(2+x)5的展開式的通項公式為Tk+1= ·25-kxk,
所以 的展開式的通項公式為Tr+1,k+1= 25-kxr+k,其中0≤r≤5,0≤k≤5,且r,k∈N.
令r+k=2,可得 或 或
因此 的展開式中x2的系數為 × ×23+ × ×24+ × ×25=800.
解法二: = ,其展開式的通項公式為Tk+1= (x2+3x)5-k2k(k=0,1,2,…,5),
(x2+3x)5-k的展開式的通項公式為Tr+1= (x2)5-k-r(3x)r= ·3rx10-2k-r(0≤r≤5-k,r∈N),
所以Tk+1= ·2k3rx10-2k-r(k=0,1,2,…,5,0≤r≤5-k,r∈N).
令10-2k-r=2,得k=3,r=2或k=4,r=0.
當k=3,r=2時,x2的系數為 × ×23×32=720;當k=4,r=0時,x2的系數為 × ×24×30=80.
綜上, 的展開式中x2的系數為720+80=800.
解法三:(x2+3x+2)5表示5個因式(x2+3x+2)的乘積,要得到含x2的項,分以下兩種情況:①從1個因
式中取x2,其余4個因式中都取2;②從2個因式中取3x,其余3個因式中都取2.故x2的系數為 ×24
+ ×32×23=80+720=800.
　　賦值法是解決展開式中系數或展開式中系數的和、差問題的常用方法.要根據所求,靈
活地對字母賦值,通常賦的值為0,-1或1.
(1)對形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子,常令x=1;對形如(ax+by)n(a,b∈R,n∈N+)的式子,常令x=y=1.
(2)一般地,令f(x)=(ax+b)n,即f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則(ax+b)n的展開式中各項系數之和為f(1);奇數項系數之和為a0+a2+a4+…= ;偶數項系數之和為a1+a3+a5+…= .
講解分析
疑難 3 賦值法求展開式中的系數和
典例 (1)已知(2x-1)n的展開式中,奇次項系數的和比偶次項系數的和小38,則 + + +…+
的值為 (　 )
A.28　　B.28-1　　C.27　　D.27-1
(2)若 (4x-1)9= +a0+a1x+a2x2+…+a10x10,則a0+ + +…+ =　　　 .
B
5
解析 (1)設(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且奇次項的系數和為A,偶次項的系數和為B,則A=a1+
a3+a5+…,B=a0+a2+a4+a6+….
由已知可得B-A=38.
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+an(-1)n=(-3)n,即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n,即B-A=(-3)n,
∴(-3)n=38=(-3)8,∴n=8.
由二項式系數的性質可得 + + +…+ =2n- =28-1.
(2)由題意知,b= ×(-1)9=-1,
令x= ,得3=2b+a0+ + +…+ ,
則a0+ + +…+ =5.
講解分析
疑難 4 二項式系數的性質及應用
1.求展開式中二項式系數最大的項時,可直接根據性質(當n為奇數時,中間兩項的二項式系數
最大;當n為偶數時,中間一項的二項式系數最大)求解.
2.求二項展開式中系數的最大(小)值的思路
(1)將系數看成關于n的函數,結合函數的單調性判斷系數的增減性,從而求出系數的最值;
(2)在系數均為正值的前提下,求它們的最大值只需比較相鄰兩個系數的大小,根據二項展開
式的通項公式列出不等式(組)即可.
典例 在(3x-2y)20的展開式中,求:
(1)二項式系數最大的項;
(2)系數絕對值最大的項;
(3)系數最大的項.
解析 (1)二項式系數最大的項是第11項,即T11= 310(-2)10x10y10= 610x10y10.
(2)設系數絕對值最大的項是第r+1項,
則
化簡得
解得 ≤r≤ (r∈N),
所以r=8,
即T9= ×312×28×x12y8是系數絕對值最大的項.
(3)解法一:由于系數為正的項為y的偶次方項,因此可設第2k-1項系數最大,
則
所以 解得k=5,即第9項系數最大,T9= ×312×28×x12y8.
解法二:由(2)知系數絕對值最大的項的系數為正,故此項的系數也最大,故系數最大的項為T9
= ×312×28×x12y8.
解決與楊輝三角有關問題的一般思路

講解分析
疑難 5 楊輝三角問題
典例 如圖,在由二項式系數所構成的楊輝三角中,若第n(n∈N)行中從左至右第14與第15個數
的比為2∶3,則n的值為(　 )
第0行　　　　　　　　 1
第1行　　　　　　　 1 1
第2行　　　　　　 1 2 1
第3行　　　　　 1 3 3 1
第4行　　　　 1 4 6 4 1
第5行　　 　 1 5 10 10 5 1
…　　　　　　　　 …
A.32　　B.33　　C.34　　D.35
C
解析 由題意知 ∶ =2∶3,所以3 =2 ,
即 = ,得 = ,
解得n=34.
講解分析
疑難 6 二項式定理的應用
1.進行近似計算
　　利用二項式定理進行近似計算的關鍵在于構造恰當的多項式(a+b)n(n∈N+,a∈Z,|b|<1),
并根據近似要求,對其展開式的項進行合理取舍,從而確定其近似值.
2.解決整除性、求余數問題
(1)利用二項式定理解決整除問題的關鍵是巧妙地構造二項式.一般先將被除數化為含有相
關除數的二項式,再展開,使其展開式中的某些項均含有除數這個因數,這時只考慮其中不含
有這個因數的項即可.
(2)求余數時,要注意余數的取值范圍,余數大于零且小于除數,利用二項式定理展開變形后,若
“剩余部分”是負數,要注意進行轉換.
典例 (1)設a∈Z,且0≤a≤14.若512 023+a能被13整除,則a= (　 )
A.0　 B.1
C.13　 D.14
(2)0.9986的近似值為　　　 ;(精確到0.001)
(3)S= + +…+ 除以9的余數為　　　 .
D
0.988
7
解析 (1)∵512 023+a=(52-1)2 023+a= ·522 023- 522 022+ 522 021-…+ 52-1+a能被13整
除, 522 023- 522 022+ 522 021-…+ 52能被13整除,
∴-1+a也能被13整除.
又∵0≤a≤14,a∈Z,∴a=14.故選D.
(2)0.9986=(1-0.002)6=1+ (-0.002)+ (-0.002)2+…+ (-0.002)6.
∵展開式中的第三項T3= (-0.002)2=15×0.0022=0.000 06<0.001,且第三項以后的項的絕對值
都遠小于0.001,
∴從展開式的第三項起,以后的項都可以忽略不計,
∴0.9986=(1-0.002)6≈1-6×0.002=0.988.
(3)S= + +…+ =227-1=89-1=(9-1)9-1= 99- 98+ 97-…+ 9- -1=9( 98- 97+ 96-…
+ )-2,
故S除以9的余數為7.

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