資源簡介

(共8張PPT)
4.1 條件概率與事件的獨立性
知識 清單破
4.1.1 條件概率
知識點 條件概率
1.條件概率的概念
　　設A,B為兩個事件,一般地,當事件B發生的概率大于0時(即P(B)>0),已知事件B發生的條
件下事件A發生的概率,稱為條件概率,記作P(A|B),而且P(A|B)= .
注意:P(A|B)與P(B|A)的意義不一樣,一般情況下,它們也不相等.
2.條件概率的性質
　　假設A,B,C都是事件,且P(A)>0,則條件概率滿足如下性質:
(1)P(B|A)∈[0,1];
(2)P(A|A)=1;
(3)如果B與C互斥,則P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A);
(4)設 和B互為對立事件,則P( |A)=1-P(B|A).
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.若事件A,B互斥,則P(B|A)=1. (　 )
2.P(B|A)=1.4. (　 )
3.P(B|A)≤P(AB). (　 )
4.P(B|A)= 是可能的. (　 )
　若 事件A,B互斥,則事件A,B不可能同時發生,故P(B|A)=0.
提示


由P(B|A)= 及0提示

　事件A包含事件B時,有P(AB)=P(B),此時P(B|A)= .
提示
√
疑難 情境破
疑難 條件概率的求解
講解分析
1.利用定義,分別求P(B)和P(A∩B),得P(A|B)= ,這是通用的求條件概率的方法.
2.借助古典概型的概率公式,先求事件B包含的樣本點個數n(B),再求在事件B發生的條件下事
件A包含的樣本點個數,即n(AB),得P(A|B)= .
典例1 若8件產品中有6件是一等品,從中任取2件,則在已知取出的2件中有一件不是一等品的
條件下,另一件是一等品的概率為　　　 .
解析 設“取出的2件產品中至少有一件不是一等品”為事件A,“取出的2件產品中有一件
不是一等品,另一件是一等品”為事件B,
則n(A)= + =13,
n(AB)= =12,
所以P(B|A)= = .
典例2 在某次考試中,從20道題中隨機抽取6道題,若考生至少能答對其中4道題,則考試通過;
若至少能答對其中5道題,則獲得優秀.已知某考生能答對20道題中的10道題,并且知道他在這
次考試中已經通過,求他獲得優秀的概率.
解析 設事件A為“該考生6道題全答對”,
事件B為“該考生答對了其中的5道題”,
事件C為“該考生答對了其中的4道題”,
事件D為“該考生在這次考試中通過”,
事件E為“該考生在這次考試中獲得優秀”,
則A,B,C兩兩互斥,且D=A∪B∪C.
由古典概型的概率公式及互斥事件的概率加法公式可知,P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
= + + = .
∵P(AD)=P(A∩D)=P(A),P(BD)=P(B∩D)=P(B),∴P(E|D)=P((A∪B)|D)
=P(A|D)+P(B|D)
= + = + = .
∴他獲得優秀的概率是 .
名師點睛
當題目中有“在……前提下”等字眼時,一般為條件概率問題,如題目中沒有上述字眼,但已
知事件的發生影響了所求事件的概率,也是條件概率問題.在條件概率的表示中,“|”之后的
部分表示條件.為了求復雜事件的概率,往往需要把該事件分為兩個或多個簡單的互斥事件,
求出這些簡單事件的概率后,相加即得到復雜事件的概率.第四章　概率與統計
4.1　條件概率與事件的獨立性
4.1.1　條件概率
基礎過關練
題組一　利用定義求條件概率
1.(多選題)設A,B是兩個事件,且B發生時A必定發生,0A.P(A+B)=P(B)　　　　B.P(B|A)=
C.P(A|B)=1　　　　D.P(AB)=P(A)
2.根據歷年的氣象數據,某市5月份發生中度霧霾的概率為0.25,刮四級以上大風的概率為0.4,既發生中度霧霾又刮四級以上大風的概率為0.2,則在刮四級以上大風的情況下,發生中度霧霾的概率為(　　)
A.0.5　　　　B.0.625　　　　C.0.8　　　　D.0.9
3.在5道試題中,有2道代數題和3道幾何題,每次從中抽出1道題,抽出的題不再放回,則在第1次抽到代數題的條件下,第2次抽到幾何題的概率為(　　)
A.
4.逢年過節走親訪友,成年人喝酒是經常的事,但是飲酒過度會影響健康,某調查機構進行了針對性的調查研究.據統計,一次性飲酒4.8兩,誘發某種疾病的頻率為0.04,一次性飲酒7.2兩,誘發這種疾病的頻率為0.16.將頻率視為概率,已知某人一次性飲酒4.8兩未誘發這種疾病,則他還能繼續飲酒2.4兩,未誘發這種疾病的概率為(　　)
A.
C.
5.地面上現有標號分別為1~10的一個游戲方格,某人拋一枚質地均勻的硬幣,若硬幣正面朝上,則他向前走2格,若反面朝上,則他向前走3格,從起始位置開始出發,若他超過10號位置,則游戲結束,那么他在8號位置停留的條件下,恰好已經拋了四次硬幣的概率是(　　)
A.
6.近年來,新能源汽車技術不斷推陳出新,新產品不斷涌現,在汽車市場上影響力不斷增大.動力蓄電池技術作為新能源汽車的核心技術,它的不斷成熟也是推動新能源汽車發展的主要動力.假定現在市售的某款新能源汽車上,車載動力蓄電池充放電循環次數達到2 000次的概率為85%,充放電循環次數達到2 500次的概率為35%.若某用戶的自用新能源汽車已經經過了2 000次充電,那么該用戶的車能夠充電2 500次的概率為　　　　.
7.一個盒子中有4個白球,m個紅球,從中不放回地每次任取1個,連取2次,已知在第二次取到紅球的條件下,第一次也取到紅球的概率為,則m=　　　　.
8.某險種的基本保費為a(單位:元),繼續購買該險種的投保人稱為續保人,續保人本年度的保費與其上年度出險次數的關聯如下:
上年度 出險次數 0 1 2 3 4 ≥5
保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
已知該險種一續保人一年內出險次數與相應概率如下:
一年內 出險次數 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.3 0.15 0.2 0.2 0.1 0.05
(1)求該續保人本年度的保費高于基本保費的概率;
(2)已知該續保人本年度的保費高于基本保費,求其保費比基本保費高出60%的概率.
題組二　利用樣本點個數求條件概率
9.甲、乙兩名學生在學校組織的課后服務活動中,準備從①②③④⑤這5個項目中分別隨機選擇其中1個項目,記事件A:甲和乙選擇的項目不同,事件B:甲和乙恰好一人選擇①,則P(B|A)=(　　)
A.
10.某學習小組共有11名成員,其中有6名女生,為了解學生的學習狀態,隨機從這11名成員中抽選2名任小組組長,協助老師了解情況,A表示“抽到的2名成員都是女生”,B表示“抽到的2名成員性別相同”,則P(A|B)=(　　)
A.
11.從3,4,5,6,7,8,9,10,11,12這10個數中不放回地依次取2個數,設事件A為“第一次取到的數是偶數”,事件B為“第二次取到的數是3的整數倍”,則P(B|A)=(　　)
A.
12.甲、乙2名同學和另外5名同學站成兩排拍照,前排3人,后排4人.若每個人都隨機站隊,且前后排不認為相鄰,則在甲、乙站在同一排的條件下,兩人不相鄰的概率為(　　)
A. C.
13.目前,國際上常用身體質量指數BMI=來衡量人體胖瘦程度以及是否健康.某公司對員工的BMI值調查結果顯示,男員工中,肥胖者的占比為;女員工中,肥胖者的占比為,已知公司男、女員工的人數之比為2∶1,若從該公司中任選一名肥胖的員工,則該員工為男性的概率為(　　)
A. C.
第四章　概率與統計
4.1　條件概率與事件的獨立性
4.1.1　條件概率
基礎過關練
1.ABD 2.A 3.D 4.A 5.D 9.B 10.A 11.D
12.B 13.D
1.ABD　若B發生時A必定發生,則P(A+B)=P(A),P(AB)=P(B),故A,D中結論錯誤;P(B|A)=,故B中結論錯誤;P(A|B)==1,故C中結論正確.故選ABD.
2.A　設發生中度霧霾為事件A,刮四級以上大風為事件B,
則P(B)=0.4,P(AB)=0.2,
所以P(A|B)==0.5.
故在刮四級以上大風的情況下,發生中度霧霾的概率為0.5.故選A.
3.D　設事件A:第1次抽到代數題,事件B:第2次抽到幾何題,則P(A)=,
所以P(B|A)=.故選D.
4.A　設事件A表示“這人一次性飲酒4.8兩未誘發這種疾病”,事件B表示“這人一次性飲酒7.2兩未誘發這種疾病”,則P(A)=1-0.04=0.96,P(B)=1-0.16=0.84,
所以P(B|A)=.故選A.
5.D　設“他在8號位置停留”為事件A,“恰好已經拋了四次硬幣”為事件B,則事件A:拋三次,一次正面朝上兩次反面朝上,或者拋四次全部正面朝上,事件AB:拋四次全部正面朝上.
所以P(B|A)=.故選D.
6.答案　
解析　記“該用戶的自用新能源汽車已經經過了2 000次充電”為事件A,“該用戶的車能夠充電2 500次”為事件B,則P(A)=0.85,P(AB)=0.35,
所以P(B|A)=.
7.答案　6
解析　記“第一次取到紅球”為事件A,“第二次取到紅球”為事件B,
則P(B)=··,
P(AB)=·,
∴P(A|B)=,
∴m=6.
8.解析　(1)用A表示事件“該續保人本年度的保費高于基本保費”,則事件A發生即一年內出險次數大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.
(2)用B表示事件“該續保人本年度的保費比基本保費高出60%”,則事件B發生即一年內出險次數大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.
易知P(AB)=P(B),
故P(B|A)=.
9.B　由題意知,n(A)==8,
所以P(B|A)=.故選B.
10.A　由題意可知n(B)==15,
所以P(A|B)=.
故選A.
11.D　易得n(A)=5×9=45,事件A∩B為“第一次取到的數是偶數且第二次取到的數是3的整數倍”.
若第一次取到的偶數為6或12,則第二次取到的數是3的整數倍的情況有3種;若第一次取到的偶數為4或8或10,則第二次取到的數是3的整數倍的情況有4種.故n(A∩B)=2×3+3×4=18.
∴P(B|A)=.故選D.
12.B　記事件A表示“甲、乙站在同一排”,事件B表示“甲、乙不相鄰”,
則n(A)==2 160,n(AB)==960.
由條件概率公式,得P(B|A)=.
故選B.
13.D　設公司男、女員工的人數分別為2n,n,
則男員工中,肥胖者的人數為2n×,
女員工中,肥胖者的人數為n×.
設從該公司中任選的一名員工是肥胖者為事件A,任選一名員工為男性為事件B,
則P(AB)=,
則P(B|A)=.
故選D.
8

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