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(共14張PPT)
知識(shí)點(diǎn) 1 乘法公式
知識(shí) 清單破
4.1.2 乘法公式與全概率公式
1.由條件概率的計(jì)算公式P(B|A)= (P(A)>0)可知,P(BA)=P(A)P(B|A).一般地,這個(gè)結(jié)論稱
為乘法公式.
2.乘法公式的推廣
假設(shè)Ai表示事件,i=1,2,3,且P(A1)>0,P(A1A2)>0,則P(A1A2A3)=P(A1)·P(A2|A1)P(A3|A1A2),其中P(A3|
A1A2)表示已知A1與A2都發(fā)生時(shí)A3發(fā)生的概率,而P(A1A2A3)表示A1,A2,A3同時(shí)發(fā)生的概率.
知識(shí)點(diǎn) 2 全概率公式
1.一般地,如果樣本空間為Ω,而A,B為事件,則P(B)=P(A)P(B|A)+P( )P(B| ).這稱為全概率
公式.
2.全概率公式的推廣
　　若樣本空間Ω中的事件A1,A2,…,An滿足:
(1)任意兩個(gè)事件均互斥,即AiAj= ,i,j=1,2,…,n,i≠j;
(2)A1+A2+…+An=Ω;
(3)P(Ai)>0,i=1,2,…,n.
則對(duì)Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn,且P(B)= P(BAi)=
知識(shí)點(diǎn) 3 貝葉斯公式*
1.一般地,當(dāng)1>P(A)>0且P(B)>0時(shí),有P(A|B)= = .這稱為貝
葉斯公式.
2.貝葉斯公式的推廣
　　若樣本空間Ω中的事件A1,A2,…,An滿足:
(1)任意兩個(gè)事件均互斥,即AiAj= ,i,j=1,2,…,n,i≠j;
(2)A1+A2+…+An=Ω;
(3)1>P(Ai)>0,i=1,2,…,n.
則對(duì)Ω中的任意概率非零的事件B,有P(Aj|B)= .
知識(shí)辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“ ”.
1.P(A)=P(B)P(A|B)+P( )P(A| ).(　 )
2.全概率公式的直觀解釋:已知事件B的發(fā)生有各種可能的情形Ai(i=1,2,…,n),事件B發(fā)生的可
能性,就是各種可能情形Ai發(fā)生的可能性的和. (　 )
3.全概率公式的主要作用是“由結(jié)果推測(cè)原因”. (　 )

√
全概率公式的主要作用是“由原因推測(cè)結(jié)果”,貝葉斯公式的主要作用是“由結(jié)果推
測(cè)原因”.
提示

　　乘法公式給出了一種計(jì)算“積事件”概率的方法,即當(dāng)直接計(jì)算P(AB)較為困難時(shí),可先
求出P(A),P(B|A)(或P(B),P(A|B)),再利用乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)(或P(AB)=P(B)P(A|B))求
解.
講解分析
疑難 1 乘法公式及其應(yīng)用
疑難 情境破
典例 銀行儲(chǔ)蓄卡的密碼由6位數(shù)字組成.某人在銀行自助取款機(jī)上取錢時(shí),忘記了密碼的最后
1位數(shù)字.求:
(1)任意按最后1位數(shù)字,不超過2次就按對(duì)的概率;
(2)如果記得密碼的最后1位是偶數(shù),不超過2次就按對(duì)的概率.
解析 設(shè)Ai(i=1,2)為“第i次按對(duì)密碼”,A為“不超過2次就按對(duì)密碼”,則A=A1∪ A2.
(1)事件A1與事件 A2互斥,由互斥事件的概率加法公式和乘法公式,得
P(A)=P(A1)+P( A2)=P(A1)+P( )·P(A2| )= + × = .
因此,任意按最后1位數(shù)字,不超過2次就按對(duì)的概率為 .
(2)設(shè)事件B為“密碼的最后1位是偶數(shù)”,
則由條件概率的性質(zhì)可得P(A|B)=P(A1|B)+P( A2|B)= + × = .
因此,如果記得密碼的最后1位是偶數(shù),不超過2次就按對(duì)的概率為 .
　　全概率公式針對(duì)的是某一個(gè)過程中已知條件求最后結(jié)果的概率,解題步驟如下:
(1)求劃分后的每個(gè)小事件發(fā)生的概率,即P(Ai),i=1,2,…,n;
(2)求每個(gè)小事件發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率,即P(B|Ai);
(3)利用全概率公式計(jì)算P(B),即P(B)= P(Ai)P(B|Ai).
講解分析
疑難 2 全概率公式及其應(yīng)用
典例 (1)兩臺(tái)車床加工同樣的零件,第一臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率為0.03,第二臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率為
0.02,加工出來的零件放在一起.已知第一臺(tái)加工的零件比第二臺(tái)加工的零件多一倍,則任意
取出一個(gè)零件是合格品的概率是(　 )
A. 　 B. 　 C. 　 D.
(2)設(shè)盒中裝有5只燈泡,其中3只是好的,2只是壞的,現(xiàn)從盒中隨機(jī)地摸出2只,并換進(jìn)2只好的,
再?gòu)暮兄忻?只,則第二次摸出的2只全是好的的概率為　　　 .
C
0.55
解析 (1)設(shè)Ai=“任意取出一個(gè)零件是由第i臺(tái)機(jī)床加工出來的”,i=1,2,B=“任意取出一個(gè)
零件是合格品”,則A1,A2互斥.
依題意,有P(A1)= ,P(A2)= ,P( |A1)=0.03,P( |A2)=0.02,則P(B|A1)=0.97,P(B|A2)=0.98,
∴P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)= ×0.97+ ×0.98= .
(2)設(shè)Ai=“第一次摸出i只好的”,i=0,1,2,A=“第二次摸出的2只全是好的”,則A0,A1,A2兩兩互
斥.
易知P(A0)= = ,P(A1)= = ,P(A2)= = ,P(A|A0)=1,P(A|A1)= = ,P(A|A2)= = ,
∴P(A)=P(A2)P(A|A2)+P(A1)P(A|A1)+P(A0)P(A|A0)= × + × + ×1=0.55.
名師點(diǎn)睛
全概率公式體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想,即采用化整為零的方式,將各種情況下的概率分別求
出,再相加求和.
　　貝葉斯公式可以看成根據(jù)事件發(fā)生的結(jié)果尋找事件發(fā)生的原因,在運(yùn)用貝葉斯公式時(shí),
一般已知和未知條件如下:
(1)A的多種情況中到底哪種情況發(fā)生是未知的,但是每種情況發(fā)生的概率已知,即P(Ai)已知;
(2)事件B是已經(jīng)發(fā)生的確定事實(shí),且A的每種情況發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率已知,即P(B|Ai)
已知;
(3)P(B)未知,需要使用全概率公式計(jì)算得到;
(4)求解的目標(biāo)是用A的某種情況Ai的無條件概率求其在B發(fā)生的條件下的有條件概率P(Ai|B).
講解分析
疑難 1 貝葉斯公式的應(yīng)用*
典例 甲盒裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球,乙盒裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球,丙盒裝有4個(gè)白球、1個(gè)黑球.
現(xiàn)采取擲骰子的方式選盒,出現(xiàn)1點(diǎn)、2點(diǎn)或3點(diǎn)選甲盒,出現(xiàn)4點(diǎn)或5點(diǎn)選乙盒,出現(xiàn)6點(diǎn)選丙盒,
在選出的盒里隨機(jī)摸出一個(gè)球,經(jīng)過秘密選盒摸球后,宣布摸得一個(gè)白球,求此球來自乙盒的
概率.
解析 設(shè)事件A1為“摸出的球來自甲盒”,事件A2為“摸出的球來自乙盒”,事件A3為“摸出
的球來自丙盒”,事件B為“摸得白球”,則
P(A1)= ,P(A2)= ,P(A3)= ,P(B|A1)= ,P(B|A2)= ,P(B|A3)= .
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)= × + × + × = ,
所以P(A2|B)= = = = .
所以此白球來自乙盒的概率為 .4.1.2　乘法公式與全概率公式
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　乘法公式
1.某地一農(nóng)業(yè)科技實(shí)驗(yàn)站對(duì)一批新水稻種子進(jìn)行試驗(yàn),已知這批水稻種子的發(fā)芽率為0.8,發(fā)芽后的幼苗的成活率為0.9,在這批水稻種子中,隨機(jī)地抽取一粒,則這粒水稻種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率為(　　)
A.0.02　　　　B.0.08　　　　C.0.18　　　　D.0.72
2.近來,受冷空氣影響,某市氣溫變化異常,時(shí)有降雨和大風(fēng)天氣.經(jīng)預(yù)報(bào)臺(tái)統(tǒng)計(jì),該市每年四月份降雨的概率為,出現(xiàn)四級(jí)以上大風(fēng)天氣的概率為,在出現(xiàn)四級(jí)以上大風(fēng)天氣的條件下,降雨的概率為,則在已知降雨的條件下,出現(xiàn)四級(jí)以上大風(fēng)天氣的概率為(　　)
A.
3.在100件產(chǎn)品中,有5件是次品,從中連續(xù)不放回地抽取3次,每次抽取1件,則第三次才取得次品的概率為　　　　.(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)
題組二　全概率公式
4.設(shè)A,B為兩個(gè)事件,已知P(A)=,則P(A|B)=(　　)
A.
5.若將整個(gè)樣本空間想象成一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形,任何事件都對(duì)應(yīng)樣本空間的一個(gè)子集,且事件發(fā)生的概率對(duì)應(yīng)子集的面積,則如圖所示的陰影部分的面積表示(　　)
A.事件A發(fā)生的概率
B.事件B發(fā)生的概率
C.事件B不發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率
D.事件A,B同時(shí)發(fā)生的概率
6.在3張彩票中有2張有獎(jiǎng),甲、乙兩人先后從中各取一張,則乙中獎(jiǎng)的概率為(　　)
A.
7.甲、乙兩個(gè)箱子里各裝有5個(gè)大小、形狀都相同的球,其中甲箱中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球,乙箱中有2個(gè)紅球和3個(gè)白球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱,再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球,則從乙箱中取出的球是紅球的概率為(　　)
A.
8.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以100件為一批,假定每一批產(chǎn)品中的次品最多不超過4件,且具有如下的概率:
一批產(chǎn)品中的 次品數(shù) 0 1 2 3 4
概率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
現(xiàn)進(jìn)行抽樣檢驗(yàn),從每批產(chǎn)品中隨機(jī)取出10件來檢驗(yàn),若發(fā)現(xiàn)有次品,則認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格,則一批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率為(　　)
A.0.814　　　　B.0.809
C.0.727　　　　D.0.652
9.浙江省高考實(shí)行“七選三”選科模式,賦予了學(xué)生充分的自由選擇權(quán).甲、乙、丙三所學(xué)校分別有75%,60%,50%的學(xué)生選了物理,這三所學(xué)校的學(xué)生數(shù)之比為1∶1∶2,現(xiàn)從這三所學(xué)校中隨機(jī)選取一名學(xué)生,則這名學(xué)生選了物理的概率為　　　　.
題組三　貝葉斯公式*
10.某貨車為鄉(xiāng)村小學(xué)運(yùn)送書籍,共10箱,其中5箱英語書、2箱數(shù)學(xué)書、3箱語文書.到目的地時(shí)發(fā)現(xiàn)丟失一箱,但不知丟失哪一箱.現(xiàn)從剩下的9箱中任意打開兩箱,結(jié)果都是英語書,則丟失的一箱也是英語書的概率為(　　)
A.
11.“狼來了”的故事大家小時(shí)候應(yīng)該都聽說過:小孩第一次喊“狼來了”,大家信了,但去了之后發(fā)現(xiàn)沒有狼;第二次喊“狼來了”,大家又信了,但去了之后又發(fā)現(xiàn)沒有狼;第三次狼真的來了,但是這個(gè)小孩再喊狼來了就沒人信了.從數(shù)學(xué)的角度解釋這一變化,假設(shè)小孩是誠(chéng)實(shí)的,則他出于某種特殊的原因說謊的概率為0.1;小孩是不誠(chéng)實(shí)的,則他說謊的概率是0.5.最初人們不知道這個(gè)小孩誠(chéng)實(shí)與否,所以在大家心目中每個(gè)小孩是誠(chéng)實(shí)的概率是0.9.已知第一次他說謊了,那么他是誠(chéng)實(shí)的小孩的概率是(　　)
A.
12.(多選題)英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著,根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論,隨機(jī)事件A、B存在如下關(guān)系:P(A|B)=.某高校有甲、乙兩家餐廳,王同學(xué)第一天去甲、乙兩家餐廳就餐的概率分別為0.4和0.6.如果他第一天去甲餐廳,那么第二天去甲餐廳的概率為0.6;如果他第一天去乙餐廳,那么第二天去甲餐廳的概率為0.5,則王同學(xué)(　　)
A.第二天去甲餐廳的概率為0.54
B.第二天去乙餐廳的概率為0.44
C.第二天去了甲餐廳,則第一天去乙餐廳的概率為
D.第二天去了乙餐廳,則第一天去甲餐廳的概率為
13.通信渠道中可傳輸?shù)淖址麨锳AAA,BBBB,CCCC三者之一,傳輸三者的概率分別為0.3,0.4,0.3.由于通道噪聲的干擾,正確地收到被傳輸字符的概率為0.6,收到其他字符的概率為0.2,假定字符前后是否被歪曲互不影響.若收到的字符為ABCA,則傳輸?shù)淖址茿AAA的概率為　　　　.
14.某工廠有甲、乙、丙3個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,產(chǎn)量依次占全廠的45%,35%,20%,且各車間的次品率依次為4%,2%,5%,現(xiàn)從一批產(chǎn)品中檢查出1個(gè)次品,則該次品由哪個(gè)車間生產(chǎn)的可能性最大
答案與分層梯度式解析
4.1.2　乘法公式與全概率公式
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.D 2.B 4.B 5.A 6.B 7.B 8.A 10.B
11.D 12.AC
1.D　記“水稻種子發(fā)芽”為事件A,“發(fā)芽的種子成長(zhǎng)為幼苗”為事件B,則“水稻種子成長(zhǎng)為幼苗”為事件AB.由題意得P(A)=0.8,P(B|A)=0.9,∴P(AB)=P(B|A)P(A)=0.9×0.8=0.72.
2.B　記“降雨”為事件A,“出現(xiàn)四級(jí)以上大風(fēng)天氣”為事件B,則P(A)=,
∴P(AB)=P(A|B)P(B)=,
∴P(B|A)=.故選B.
3.答案　 0.046
解析　用Ai(i=1,2,3)表示“第i次取得次品”,B表示“第三次才取得次品”,則B=A3,
∴P(B)=P()
=≈0.046.
4.B　由P(B)=,得P(,顯然P(A)=P(B)P(A|B)+P(),
即,所以P(A|B)=.
故選B.
5.A　由題意得P(A|B)·P(B)+P(A|)·[1-P(B)]=P(AB)+P(A|)·P()=P(A).故選A.
6.B　設(shè)甲中獎(jiǎng)為事件A,乙中獎(jiǎng)為事件B,
則P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|.
故選B.
7.B　用A1表示事件“從甲箱中隨機(jī)取出一球是紅球”,A2表示事件“從甲箱中隨機(jī)取出一球是白球”,B表示事件“從乙箱中取出的球是紅球”,則P(A1)=,
P(B|A1)=,
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=,故選B.
8.A　用Ai表示一批產(chǎn)品中有i件次品,i=0,1,2,3,4,B表示該批產(chǎn)品通過檢驗(yàn),
則P(A0)=0.1,P(B|A0)=1,
P(A1)=0.2,P(B|A1)==0.9,
P(A2)=0.4,P(B|A2)=≈0.809,
P(A3)=0.2,P(B|A3)=≈0.727,
P(A4)=0.1,P(B|A4)=≈0.652.
所以P(B)=P(Ai)P(B|Ai)≈0.1×1+0.2×0.9+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1×0.652≈0.814.
9.答案　
解析　設(shè)事件A表示“這名學(xué)生來自甲學(xué)校”,事件B表示“這名學(xué)生來自乙學(xué)校”,事件C表示“這名學(xué)生來自丙學(xué)校”,事件D表示“這名學(xué)生選了物理”,
則P(A)=,
所以P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)·P(D|C)=.
10.B　用A表示“丟失一箱后任取兩箱都是英語書”,Bk表示“丟失的一箱為k,k=1,2,3分別表示英語書、數(shù)學(xué)書、語文書”.由全概率公式得P(A)=.
由貝葉斯公式可知P(B1|A)=.故選B.
11.D　設(shè)事件A表示“小孩誠(chéng)實(shí)”,事件B表示“小孩說謊”,
則P(B|A)=0.1,P(B|)=0.1,
則P(AB)=P(A)P(B|A)=0.9×0.1=0.09,
P()=0.1×0.5=0.05,
故P(B)=P(AB)+P(B)=0.14,
故P(A|B)=.
故選D.
12.AC　設(shè)A1:第一天去甲餐廳,A2:第二天去甲餐廳,
B1:第一天去乙餐廳,B2:第二天去乙餐廳,
則P(A1)=0.4,P(B1)=0.6,P(A2|A1)=0.6,P(A2|B1)=0.5,
因?yàn)镻(A2|A1)==0.5,
所以P(A2)P(A1|A2)=0.24,P(A2)P(B1|A2)=0.3,
所以P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.4×0.6+0.6×0.5=0.54,故A正確; P(B2)=1-P(A2)=0.46,故B不正確;
P(B1|A2)=,故C正確;
P(A1|B2)=,故D不正確,
故選AC.
13.答案　0.562 5
解析　用M表示事件“收到的字符是ABCA”,N1表示事件“傳輸?shù)淖址麨锳AAA”,N2表示事件“傳輸?shù)淖址麨锽BBB”,N3表示事件“傳輸?shù)淖址麨镃CCC”,則P(N1)=0.3,P(N2)=0.4,P(N3)=0.3,P(M|N1)=0.6×0.2×0.2×0.6=0.014 4,P(M|N2)=0.2×0.6×0.2×0.2=0.004 8,P(M|N3)=0.2×0.2×0.6×0.2=0.004 8.
所以P(N1|M)=
==0.562 5.
14.解析　用A1,A2,A3分別表示“產(chǎn)品來自甲、乙、丙車間”,B表示“產(chǎn)品為次品”,則P(A1)=0.45,P(A2)=0.35,P(A3)=0.2,P(B|A1)=0.04,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.05.
由全概率公式得 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.45×0.04+0.35×0.02+0.2×0.05=0.035.
由貝葉斯公式得P(A1|B)=≈0.514,
P(A2|B)==0.2,
P(A3|B)=≈0.286.
因?yàn)?.514>0.286>0.2,
所以該次品由甲車間生產(chǎn)的可能性最大.
11

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