資源簡介

(共12張PPT)
4.2 隨機(jī)變量
知識點(diǎn) 1 隨機(jī)變量
知識 清單破
4.2.1 隨機(jī)變量及其與事件的聯(lián)系　　4.2.2 離散型隨機(jī)變量的分布列
1.概念
一般地,如果隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω,而且對于Ω中的每一個(gè)樣本點(diǎn),變量X都有唯一確定的
實(shí)數(shù)值與之對應(yīng),就稱X為一個(gè)隨機(jī)變量.隨機(jī)變量所有可能的取值組成的集合,稱為這個(gè)隨
機(jī)變量的取值范圍.
2.表示
隨機(jī)變量一般用大寫英文字母X,Y,Z,…或小寫希臘字母ξ,η,ζ,…表示.
3.分類
(1)離散型隨機(jī)變量:如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值是可以一一列舉出來的,則稱X為離散
型隨機(jī)變量.
(2)連續(xù)型隨機(jī)變量:如果隨機(jī)變量X的取值范圍包含一個(gè)區(qū)間,則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量.
　　一般地,如果X是一個(gè)隨機(jī)變量,a,b都是實(shí)數(shù)且a≠0,則Y=aX+b也是一個(gè)隨機(jī)變量.由于X
=t的充要條件是Y=at+b,因此P(X=t)=P(Y=at+b).
知識點(diǎn) 2 隨機(jī)變量之間的關(guān)系
知識點(diǎn) 3 離散型隨機(jī)變量的分布列
1.(1)概念:一般地,當(dāng)離散型隨機(jī)變量X的取值范圍是{x1,x2,…,xn}時(shí),如果對任意k∈{1,2,…,n},
概率P(X=xk)=pk都是已知的,則稱X的概率分布是已知的.離散型隨機(jī)變量X的概率分布可以用
表格表示為
X x1 x2 … xk … xn
P p1 p2 … pk … pn
這個(gè)表格稱為X的概率分布或分布列.
(2)離散型隨機(jī)變量X的概率分布還可以用圖1或圖2來直觀表示,其中,圖1中,xk上的矩形寬為
1、高為pk,因此每個(gè)矩形的面積也恰為pk;圖2中,xk上的線段長為pk.

圖1
圖2
2.性質(zhì)
(1)pk≥0,k=1,2,…,n;
(2) pk=p1+p2+…+pn=1.
知識點(diǎn) 4 兩點(diǎn)分布
1.兩點(diǎn)分布
　　一般地,如果隨機(jī)變量X的分布列為
X 1 0
P p 1-p
　　其中02.伯努利試驗(yàn)
　　一個(gè)所有可能結(jié)果只有兩種的隨機(jī)試驗(yàn),通常稱為伯努利試驗(yàn).兩點(diǎn)分布也常稱為伯努
利分布,兩點(diǎn)分布中的p也常被稱為成功概率.
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.隨機(jī)變量的取值可以是有限個(gè),也可以是無限個(gè). (　 )
2.在離散型隨機(jī)變量的分布列中,每一個(gè)隨機(jī)變量的可能取值對應(yīng)的隨機(jī)事件的概率可以為
任意的實(shí)數(shù). (　 )
3.若隨機(jī)變量X的分布列如表所示,則隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布. (　 )
X 2 5
P 0.3 0.7
√
　在離散型隨機(jī)變量的分布列中,每一個(gè)隨機(jī)變量的可能取值對應(yīng)的隨機(jī)事件的概率均
在[0,1]范圍內(nèi),且概率之和為1.
提示

　服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量X的取值必須是0和1.
提示

講解分析
疑難 離散型隨機(jī)變量的分布列
疑難 情境破
1.求離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟
(1)寫出隨機(jī)變量X的所有可能取值;
(2)求隨機(jī)變量X取每個(gè)值的概率;
(3)寫出隨機(jī)變量X的分布列.
2.兩個(gè)相關(guān)的隨機(jī)變量的分布列
　　已知隨機(jī)變量X的分布列,求隨機(jī)變量Y=f(X)的分布列,其關(guān)鍵是弄清X取每個(gè)值時(shí)相對
應(yīng)的Y的值,若f(X)的取值出現(xiàn)重復(fù),則需要把它們的相應(yīng)概率相加,所得即為相應(yīng)Y的取值概
率.
典例 某超市舉辦酬賓活動,單次購物超過100元的顧客可參與一次抽獎活動,活動規(guī)則如下:
盒子中裝有大小和形狀完全相同的7個(gè)小球,其中3個(gè)紅球、2個(gè)白球和2個(gè)黑球,從中不放回
地隨機(jī)抽取2個(gè)球,每個(gè)球被抽到的機(jī)會均等.每抽到1個(gè)紅球記0分,每抽到1個(gè)白球記50分,每
抽到1個(gè)黑球記100分.若抽取2個(gè)球的總得分為200分,則可獲得10元現(xiàn)金,若總得分低于100
分,則不能獲得現(xiàn)金,其余得分可獲得5元現(xiàn)金.
(1)設(shè)抽取2個(gè)球的總得分為X分,求X的分布列;
(2)設(shè)每位顧客一次抽獎獲得現(xiàn)金Y元,求Y的分布列.
解析 (1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,50,100,150,200.
P(X=0)= = ,
P(X=50)= = ,
P(X=100)= = ,
P(X=150)= = ,
P(X=200)= = .
可得X的分布列如表所示.
X 0 50 100 150 200
P
(2)由(1)知Y=f(X)=
所以P(Y=0)=P(X=0)+P(X=50)= + = ,
P(Y=5)=P(X=100)+P(X=150)= + = ,
P(Y=10)=P(X=200)= .
可得Y的分布列如表所示.
Y 0 5 10
P
解后反思
在求分布列時(shí),要充分利用分布列的性質(zhì),這樣不但可以減少運(yùn)算量,還可以檢驗(yàn)所求分布列
是否正確.4.2　隨機(jī)變量
4.2.1　隨機(jī)變量及其與事件的聯(lián)系
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　對隨機(jī)變量的概念的理解
1.袋中有3個(gè)白球、5個(gè)黑球,從中任取2個(gè)球,下列選項(xiàng)中可以用隨機(jī)變量表示的是(　　)
A.至少取到1個(gè)白球
B.至多取到1個(gè)白球
C.取到白球的個(gè)數(shù)
D.取到球的個(gè)數(shù)
2.下列隨機(jī)變量:
①10件產(chǎn)品中有2件次品,從中任選3件,取到的次品件數(shù)X;
②一位射擊手對目標(biāo)進(jìn)行射擊,擊中目標(biāo)得1分,未擊中目標(biāo)得0分,用X表示該射擊手在一次射擊中所得分?jǐn)?shù);
③某水文站觀察到的一天中長江的水位數(shù)X;
④在體育彩票的抽獎中,一次搖號產(chǎn)生的號碼數(shù)X.
其中X是離散型隨機(jī)變量的是(　　)
A.①②③　　　　B.②③④
C.①②④　　　　D.③④
題組二　用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果
3.先后拋擲一個(gè)骰子兩次,記隨機(jī)變量ξ為兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和,則ξ的取值集合是(　　)
A.{1,2,3,4,5,6}
B.{2,3,4,5,6,7}
C.{2,4,6,8,10,12}
D.{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
4.(多選題)甲、乙兩人下象棋,贏了得3分,平局得1分,輸了得0分,共下三局.用X表示甲的得分,則{X=3}表示(　　)
A.甲贏三局
B.甲贏一局輸兩局
C.甲、乙平局三次
D.甲贏一局
5.從標(biāo)有1~10的10支竹簽中任取2支,設(shè)所得2支竹簽上的數(shù)字之和為X,那么隨機(jī)變量X可能取得的值有　　　　個(gè).
題組三　隨機(jī)變量之間的關(guān)系
6.已知隨機(jī)變量X的取值范圍為{1,2,3},且滿足P(X=i)=(i=1,2,3),隨機(jī)變量Y=2X-1,則P(Y≥3)=(　　)
A.
7.已知P(X=1)=P(X=2)=0.2,P(X=3)=P(X=4)=0.3,則P(|2X-5|=1)=　　　　.
8.某城市建設(shè)集團(tuán)塔吊工人師傅的稅前月工資按下述方法計(jì)取:固定工資3 000元,每工作一小時(shí)再獲取60元.從該公司塔吊師傅中任意抽取一名,設(shè)其月工作時(shí)間為X小時(shí)(X∈N且X≤240),獲取的稅前工資為Y元.
(1)當(dāng)X=200時(shí),求Y的值;
(2)寫出X和Y之間的關(guān)系式;
(3)若P(16 200答案與分層梯度式解析
4.2　隨機(jī)變量
4.2.1　隨機(jī)變量及其與事件的聯(lián)系
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.C 2.C 3.D 4.BC 6.B
1.C　
2.C　①②④中隨機(jī)變量X的可能取值都可以一一列舉出來,故它們都是離散型隨機(jī)變量;③中隨機(jī)變量X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值,無法一一列出,故不是離散型隨機(jī)變量.故選C.
3.D　
4.BC
5.答案　17
解析　當(dāng)取出的2支竹簽上的數(shù)字為1和2時(shí),X的值最小,此時(shí)X=3;當(dāng)取出的2支竹簽上的數(shù)字為9和10時(shí),X的值最大,此時(shí)X=19,故X的可能取值為3,4,5,…,19,共17個(gè).
6.B　由題意得P(Y≥3)=P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=.故選B.
7.答案　0.5
解析　依題意得P(|2X-5|=1)=P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.3=0.5.
8.解析　(1)當(dāng)X=200時(shí),表示工作了200個(gè)小時(shí),所以Y=3 000+200×
60=15 000.
(2)由題意可得Y=3 000+60X(X∈N且X≤240).
(3)由16 200因?yàn)镻(16 200所以P(220所以P(X≤220)=1-P(22054.2.2　離散型隨機(jī)變量的分布列
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　離散型隨機(jī)變量的分布列
1.甲、乙兩名籃球運(yùn)動員每次投籃的命中率分別為0.8,0.7,他們各自投籃1次,設(shè)兩人命中總次數(shù)為X,則X的分布列為(　　)
A.
X 0 1 2
P 0.08 0.14 0.78
B.
X 0 1 2
P 0.06 0.24 0.70
C.
X 0 1 2
P 0.06 0.56 0.38
D.
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
2.已知某次數(shù)學(xué)測試共4道多項(xiàng)選擇題,評分標(biāo)準(zhǔn)是每題滿分5分,全部選對得5分,部分選對得2分,有錯選或不選的得0分.每道多項(xiàng)選擇題共有4個(gè)選項(xiàng),正確答案往往為兩項(xiàng)或三項(xiàng).為了研究多項(xiàng)選擇題的答題規(guī)律,某數(shù)學(xué)興趣小組研究發(fā)現(xiàn):多項(xiàng)選擇題正確答案是“選兩項(xiàng)”的概率為,正確答案是“選三項(xiàng)”的概率為.現(xiàn)有學(xué)生甲、乙兩人,由于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般,多項(xiàng)選擇題完全沒有思路,只能靠猜.
(1)已知某題的正確答案是“選兩項(xiàng)”,求學(xué)生甲不得0分的概率;
(2)學(xué)生甲的答題策略是“猜一個(gè)選項(xiàng)”,學(xué)生乙的答題策略是“猜兩個(gè)選項(xiàng)”,試寫出甲、乙兩名學(xué)生得分的分布列.
3.為創(chuàng)建國家級文明城市,某城市號召出租車司機(jī)在高考期間進(jìn)行“愛心送考”,該城市某出租車公司共200名司機(jī),他們進(jìn)行“愛心送考”的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示.
(1)求該出租車公司的司機(jī)進(jìn)行“愛心送考”的人均次數(shù);
(2)從這200名司機(jī)中任選兩人,設(shè)這兩人進(jìn)行送考次數(shù)之差的絕對值為隨機(jī)變量X,求X的分布列.
題組二　離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)
4.已知離散型隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為1,2,3,…,n,且ξ取每一個(gè)值的概率相同,若P(2<ξ<5)=0.2,則n的值為(　　)
A.4　　　　B.6　　　　C.9　　　　D.10
5.隨機(jī)變量ξ的分布列如下表:
ξ -1 0 1
P a b c
其中2b=a+c,則P(|ξ|=1)等于(　　)
A.
6.設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,其分布列為
X -1 0 1
P 1-q q-q2
則實(shí)數(shù)q的值為　　　　.
7.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P=ak(k=1,2,3,4,5).
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)求P;
(3)求P.
8.已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示.
X -2 -1 0 1 2 3
P
(1)求隨機(jī)變量Y=X2的分布列;
(2)若P(Y題組三　兩點(diǎn)分布
9.(多選題)下列選項(xiàng)中的隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布的是(　　)
A.拋擲一個(gè)均勻的骰子,所得點(diǎn)數(shù)X
B.某射擊手射擊一次,擊中目標(biāo)的次數(shù)X
C.從裝有除顏色外其余均相同的5個(gè)紅球、3個(gè)白球的袋中任取1個(gè)球,設(shè)X=
D.某醫(yī)生做一次手術(shù),手術(shù)成功的次數(shù)X
10.已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,且P(X=1)=0.6.設(shè)Y=3X-2,則P(Y=-2)=(　　)
A.0.6　　　　B.0.3　　　　C.0.2　　　　D.0.4
11.已知離散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,且P(X=0)=3-4P(X=1)=a,則a=(　　)
A.
能力提升練
題組一　離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)及其應(yīng)用
1.某銀行有一自動取款機(jī),在某時(shí)刻恰有k(k∈N)個(gè)人正在使用或等待使用該取款機(jī)的概率為p(k),根據(jù)統(tǒng)計(jì)得到p(k)=則在該時(shí)刻沒有人正在使用或等待使用該取款機(jī)的概率為(　　)
A.
2.同時(shí)擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子,觀察朝上一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).設(shè)兩顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為X1,X2,記X=min{X1,X2},則P(2≤X≤4)=(　　)
A.
題組二　求離散型隨機(jī)變量的分布列
3.甲、乙等6個(gè)班級參加學(xué)校組織的廣播操比賽,若采用抽簽的方式隨機(jī)確定各班級的出場順序(序號為1,2,…,6),求:
(1)甲、乙兩班級的出場序號中至少有一個(gè)為奇數(shù)的概率;
(2)甲、乙兩班級之間的演出班級(不含甲、乙)的個(gè)數(shù)X的分布列.
4.為了促進(jìn)消費(fèi),某商場針對會員客戶推出會員積分兌換商品活動:每位會員客戶可在價(jià)值80元,90元,100元的A,B,C三種商品中選擇一種使用積分進(jìn)行兌換,每10積分可兌換1元.已知參加活動的甲、乙兩位客戶各有1 000積分,且甲兌換A,B,C三種商品的概率分別為,乙兌換A,B,C三種商品的概率分別為,且他們兌換何種商品相互獨(dú)立.
(1)求甲、乙兩人兌換同一種商品的概率;
(2)記X為兩人兌換商品后的積分總余額,求X的分布列.
答案與分層梯度式解析
4.2.2　離散型隨機(jī)變量的分布列
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.D 4.D 5.D 9.BCD 10.D 11.C
1.D　易知X的所有可能取值為0,1,2,P(X=0)=0.2×0.3=0.06,P(X=1)=0.8×0.3+0.2×0.7=0.38,P(X=2)=0.8×0.7=0.56,
故X的分布列為
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
2.解析　(1)在某題的正確答案是“選兩項(xiàng)”的條件下,學(xué)生甲不得0分的情況有兩種:
①只選一個(gè)選項(xiàng),得2分的概率P1=;
②選兩個(gè)選項(xiàng),得5分的概率P2=.
所以在某題的正確答案是“選兩項(xiàng)”的條件下,學(xué)生甲不得0分的概率P=P1+P2=.
(2)設(shè)學(xué)生甲的得分為X,則X的可能取值為0,2,
P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的分布列為
X 0 2
P
設(shè)學(xué)生乙的得分為Y,則Y的可能取值為0,2,5,
P(Y=2)=,
P(Y=5)=,
P(Y=0)=1-,
所以Y的分布列為
Y 0 2 5
P
3.解析　(1)由題圖得,200名司機(jī)中送考1次的有20人,送考2次的有100人,送考3次的有80人,
所以該出租車公司的司機(jī)進(jìn)行“愛心送考”的人均次數(shù)為=2.3.
(2)從該公司任選兩名司機(jī),記“這兩人中一人送考1次,另一人送考2次”為事件A,“這兩人中一人送考2次,另一人送考3次”為事件B,“這兩人中一人送考1次,另一人送考3次”為事件C,“這兩人送考次數(shù)相同”為事件D,
由題意知X的所有可能取值為0,1,2,則
P(X=0)=P(D)=,
P(X=1)=P(A)+P(B)=,
P(X=2)=P(C)=.
所以X的分布列為
X 0 1 2
P
4.D　 因?yàn)镻(2<ξ<5)=P(ξ=3)+P(ξ=4)==0.2,所以n=10.故選D.
5.D　∵2b=a+c,且a+b+c=1,∴2b+b=1,
∴b=.故選D.
6.答案　
解析　由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)知,解得q=.
7.解析　隨機(jī)變量X的分布列為
X 1
P a 2a 3a 4a 5a
(1)由a+2a+3a+4a+5a=1,得a=.
(2)解法一:P.
解法二:P.
(3)因?yàn)?所以X=.
所以P.
8.解析　(1)由隨機(jī)變量X的分布列知,Y的所有可能取值為0,1,4,9,
P(Y=0)=,
P(Y=4)=.
可得Y的分布列如表所示.
Y 0 1 4 9
P
(2)∵P(Y∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是(4,9].
9.BCD　
10.D　當(dāng)Y=-2時(shí),-2=3X-2,解得X=0,所以P(Y=-2)=P(X=0)=1-P(X=1)=1-0.6=0.4.故選D.
11.C　由題意得P(X=0)+P(X=1)=1,因?yàn)镻(X=0)=3-4P(X=1)=a,所以P(X=0)=3-4[1-P(X=0)],解得P(X=0)=,即a=.故選C.
能力提升練
1.B　由題意知,p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4)=1,
即p(0)p(0)=1,解得p(0)=,
即在該時(shí)刻沒有人正在使用或等待使用該取款機(jī)的概率為.故選B.
2.B　由題意,隨機(jī)變量X滿足2≤X≤4的事件是X=2、X=3、X=4這3個(gè)互斥事件的和,而P(X=2)=,所以P(2≤X≤4)=.故選B.
3.解析　(1)由題意得,甲、乙兩班級的出場序號均為偶數(shù)的概率P1=,故甲、乙兩班級的出場序號中至少有一個(gè)為奇數(shù)的概率P2=1-P1=.
(2)易知X的所有可能取值為0,1,2,3,4,
P(X=0)=,
P(X=2)=,
P(X=4)=.
故X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
技巧點(diǎn)撥
求離散型隨機(jī)變量的概率分布的關(guān)鍵是明確離散型隨機(jī)變量X取每一個(gè)值時(shí)對應(yīng)的隨機(jī)事件,然后利用古典概型、排列組合等知識求出X取每個(gè)值時(shí)的概率,最后列出表格即可.
4.解析　(1)由題可知,甲、乙兩人兌換同一種商品的概率為.
(2)由題意,兌換A,B,C三種商品所需的積分分別為800,900,1 000,
則X的取值可能為0,100,200,300,400,
P(X=0)=,
P(X=100)=,
P(X=200)=,
P(X=300)=,
P(X=400)=,
所以X的分布列為
X 0 100 200 300 400
P
14

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