資源簡介

4.2.3　二項(xiàng)分布與超幾何分布
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)
1.伯努利試驗(yàn)應(yīng)滿足的條件:
①各次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的;
②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果;
③各次試驗(yàn)成功的概率是相同的;
④每次試驗(yàn)發(fā)生的事件是互斥的.
其中正確的是(　　)
A.①②　　　　B.②③ C.①②③　　　　D.①②④
2.現(xiàn)有三個(gè)小組,每組3人,每人投籃1次,投中的概率均為,若一個(gè)小組中至少有1人投中,則稱該組為“成功組”,則這三個(gè)小組中恰有一個(gè)“成功組”的概率為(　　)
A. C.
題組二　二項(xiàng)分布
3.已知X~B,則P(X=1)=(　　)
A. C.
4.某人參加一次考試,共有4道試題,至少答對其中3道試題才能合格.若他答每道題的正確率均為,并且答每道題之間相互獨(dú)立,則他能合格的概率為(　　)
A.
5.“錦里開芳宴,蘭缸艷早年.”元宵節(jié)是中國非常重要的傳統(tǒng)節(jié)日,某班級準(zhǔn)備進(jìn)行“元宵福氣到”抽獎活動,福袋中裝有標(biāo)號分別為1,2,3,4,5的5個(gè)相同小球,從袋中一次性摸出3個(gè)小球,若號碼之和是3的倍數(shù),則獲獎.若有5名同學(xué)參與此次活動,則恰好3人獲獎的概率是(　　)
A.
6.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行象棋比賽,采用五局三勝制(當(dāng)一人贏得三局時(shí),該同學(xué)獲勝,比賽結(jié)束).根據(jù)以往比賽成績,每局比賽中甲獲勝的概率都是p(07.某公園種植了4棵棕櫚樹,各棵棕櫚樹成活與否是相互獨(dú)立的,且成活率均為,設(shè)ξ為成活棕櫚樹的棵數(shù).
(1)求ξ的分布列;
(2)若有2棵或2棵以上的棕櫚樹未成活,則需要補(bǔ)種,求需要補(bǔ)種棕櫚樹的概率.
題組三　超幾何分布
8.(多選題)下列隨機(jī)變量中,服從超幾何分布的有　(　　)
A.10件產(chǎn)品中有3件次品,從中不放回地依次任意取出4件,記取到的次品數(shù)為X
B.從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取2臺,記X表示所取的2臺彩電中甲型彩電的臺數(shù)
C.一名學(xué)生騎自行車上學(xué),途中有6個(gè)紅綠燈路口,記此學(xué)生途中遇到紅燈的次數(shù)為隨機(jī)變量X
D.從10名男生、5名女生中選3人參加植樹活動,記其中男生人數(shù)為X
9.(多選題)某企業(yè)生產(chǎn)的12個(gè)產(chǎn)品中有10個(gè)一等品、2個(gè)二等品,現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意抽取4個(gè),則其中恰好有1個(gè)二等品的概率為(　　)
A.1-
C.1-
10.(多選題)袋中有10個(gè)大小相同的球,其中6個(gè)黑球編號為1,2,3,4,5,6,4個(gè)白球編號為7,8,9,10,現(xiàn)從中任取4個(gè)球,則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.恰有3個(gè)白球的概率為
B.取出的最大號碼X服從超幾何分布
C.設(shè)取出的黑球個(gè)數(shù)為Y,當(dāng)Y=2時(shí),概率最大
D.若取出一個(gè)白球記2分,取出一個(gè)黑球記1分,則總得分最大的概率為
11.某種水果按照果徑大小可分為四類:標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果.某采購商從采購的一批水果中隨機(jī)抽取100個(gè),利用水果的等級分類得到的數(shù)據(jù)如下:
等級 標(biāo)準(zhǔn)果 優(yōu)質(zhì)果 精品果 禮品果
個(gè)數(shù) 10 30 40 20
(1)若將頻率視為概率,從這100個(gè)水果中有放回地隨機(jī)抽取4個(gè),求恰好有2個(gè)水果是禮品果的概率(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示);
(2)用分層抽樣的方法從這100個(gè)水果中抽取10個(gè),再從抽取的10個(gè)水果中隨機(jī)抽取3個(gè),若X表示抽到的精品果的個(gè)數(shù),求X的分布列.
12.已知甲盒中有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球,乙盒中有大小相同的2個(gè)紅球和4個(gè)黑球.現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒中各任取2個(gè)球.
(1)求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率;
(2)設(shè)ξ為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù),求ξ的分布列.
能力提升練
題組一　二項(xiàng)分布及其應(yīng)用
1.為響應(yīng)國家鼓勵青年創(chuàng)業(yè)的號召,小王開了兩家店鋪,每家店鋪招收了兩名員工.已知某節(jié)假日每名員工休假的概率均為,且是否休假互不影響.若一家店鋪的員工全部休假,而另一家無人休假,則調(diào)劑1人到另一家店鋪,使得該店鋪能夠正常營業(yè),否則該店就停業(yè),則兩家店鋪在該節(jié)假日能正常營業(yè)的概率為(　　)
A.
2.某學(xué)生進(jìn)行投籃訓(xùn)練,采取積分制,有7次投籃機(jī)會,投中一次得1分,不中得0分,若連續(xù)投中兩次額外加1分,連續(xù)投中三次額外加2分,以此類推,連續(xù)投中七次額外加6分,假設(shè)該學(xué)生每次投中的概率是,且每次投中之間相互獨(dú)立,則該學(xué)生在此次訓(xùn)練中恰好得7分的概率是(　　)
A.
3.在一次以“二項(xiàng)分布的性質(zhì)”為主題的數(shù)學(xué)探究活動中,立德中學(xué)高三某小組的學(xué)生表現(xiàn)優(yōu)異,發(fā)現(xiàn)的正確結(jié)論得到了老師和同學(xué)的一致好評.設(shè)隨機(jī)變量X~B(n,p),記pk=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.在研究pk的最大值時(shí),小組同學(xué)發(fā)現(xiàn):若(n+1)p為正整數(shù),則k=(n+1)p時(shí),pk=pk-1,此時(shí)這兩項(xiàng)的概率均為最大值;若(n+1)p為非整數(shù),則k取(n+1)p的整數(shù)部分時(shí),pk是唯一的最大值.以此為理論基礎(chǔ),有同學(xué)重復(fù)投擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子并實(shí)時(shí)記錄點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù).當(dāng)投擲到第20次時(shí),記錄到此時(shí)點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)5次,若繼續(xù)進(jìn)行80次投擲試驗(yàn),則當(dāng)投擲到第100次時(shí),點(diǎn)數(shù)1總共出現(xiàn)的次數(shù)為　　　　的概率最大.
4.某電子科技公司研制無人機(jī),每架無人機(jī)組裝后每周要進(jìn)行1次試飛試驗(yàn),共進(jìn)行3次.每次試飛后,科研人員要檢驗(yàn)其是否有不良表現(xiàn).若在3次試飛中,有不良表現(xiàn)不超過1次,則該架無人機(jī)得6分,否則得2分.假設(shè)每架無人機(jī)在3次試飛中每次是否有不良表現(xiàn)相互獨(dú)立,且每次有不良表現(xiàn)的概率均為.
(1)求某架無人機(jī)在3次試飛中有不良表現(xiàn)的次數(shù)X的分布列;
(2)若參與試驗(yàn)的該型號無人機(jī)有m架,在3次試飛試驗(yàn)中獲得的總分不低于4m分,則可認(rèn)為該型號無人機(jī)通過安全認(rèn)證.現(xiàn)有6架無人機(jī)參與試飛試驗(yàn),求該型號無人機(jī)通過安全認(rèn)證的概率.
題組二　超幾何分布及其應(yīng)用
5.已知10件產(chǎn)品中存在若干件次品,從中任意抽取2件進(jìn)行檢查,記其中的次品數(shù)為ξ,已知P(ξ=1)=,且該產(chǎn)品的次品率不超過40%,則這10件產(chǎn)品的次品率為(　　)
A.10%　　　　B.20%　　　　C.30%　　　　D.40%
6.廠家在產(chǎn)品出廠前需對產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn),廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時(shí),商家按合同規(guī)定也需隨機(jī)抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn),以決定是否接收這批產(chǎn)品.
(1)若廠家?guī)旆恐?視為數(shù)量足夠多)的每件產(chǎn)品合格的概率為0.7,從中任意取出3件進(jìn)行檢驗(yàn),求至少有2件是合格品的概率;
(2)若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品,其中有4件不合格,按合同規(guī)定,商家從這20件產(chǎn)品中任取2件進(jìn)行檢驗(yàn),只有2件都合格時(shí)才接收這批產(chǎn)品,否則拒收.求該商家可能檢驗(yàn)出的不合格產(chǎn)品的件數(shù)X的分布列,并求該商家拒收這批產(chǎn)品的概率.
7.為了解決某地區(qū)教師資源匱乏的問題,某市教育局?jǐn)M從甲、乙等5名優(yōu)秀教師中抽選人員分批次參與支教活動.支教活動共分為三批次,每批次支教需要同時(shí)派送2名教師,且每批次派送人員均從這5人中隨機(jī)抽選.已知這5名優(yōu)秀教師中,2人有支教經(jīng)驗(yàn),3人沒有支教經(jīng)驗(yàn).
(1)求甲在這三批次支教活動中恰有兩次被抽到的概率;
(2)求第一批次抽到?jīng)]有支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)X的分布列;
(3)第二批次抽到?jīng)]有支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)最有可能是多少 請說明理由.
答案與分層梯度式解析
4.2.3　二項(xiàng)分布與超幾何分布
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.C 2.B 3.B 4.A 5.C 8.ABD 9.AD 10.ACD
1.C　
2.B　一個(gè)小組是“成功組”的概率為1-,
則這三個(gè)小組中恰有一個(gè)“成功組”的概率為.故選B.
3.B　因?yàn)閄~B,所以P(X=1)=.故選B.
4.A　由題意可知,他能合格的概率為.故選A.
5.C　每次抽獎的情況總數(shù)為=10,其中獲獎的情況有(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(3,4,5),共4種,所以獲獎的概率p=.
設(shè)5名同學(xué)中獲獎的人數(shù)為X,則X~B,
所以P(X=3)=.故選C.
6.答案　
解析　由題意可知,甲以3∶1獲勝的概率P1=p2·(1-p)p=3p3(1-p),
甲以3∶2獲勝的概率P2=p2(1-p)2p=6p3(1-p)2,
由題意,得P1≤P2,
所以P1-P2=3p3(1-p)(2p-1)≤0,
又0故p的取值范圍為.
7.解析　(1)易知ξ的所有可能取值為0,1,2,3,4,
P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,
P(ξ=3)=,
P(ξ=4)=.
所以ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3 4
P
(2)記“需要補(bǔ)種棕櫚樹”為事件A,
由(1)得,P(A)=P(ξ≤2)=,
所以需要補(bǔ)種棕櫚樹的概率為.
8.ABD
9.AD　從12個(gè)產(chǎn)品中任意抽取4個(gè),情況種數(shù)為,
其中恰好有1個(gè)二等品的情況種數(shù)為,
∴恰好有1個(gè)二等品的概率P=.
也可由對立事件(全是一等品或有2個(gè)是二等品)的概率求得恰好有1個(gè)二等品的概率P=1-.
10.ACD　對于A,由題意知恰有3個(gè)白球的概率為,故A正確;
對于D,若取出一個(gè)白球記2分,取出一個(gè)黑球記1分,則總得分最大的情況為取出4個(gè)白球,其概率為,故D正確;
對于B,因?yàn)槿〕龅淖畲筇柎a不是兩類對象中的一類對象,不滿足超幾何分布的定義,故X不服從超幾何分布,故B錯(cuò)誤;
對于C,取出的黑球個(gè)數(shù)Y服從參數(shù)為10,4,6的超幾何分布,因此P(Y=0)=,顯然當(dāng)Y=2時(shí),概率最大,故C正確.故選ACD.
11.解析　(1)設(shè)事件A為“從這100個(gè)水果中隨機(jī)抽取1個(gè),其為禮品果”,則P(A)=,
現(xiàn)有放回地隨機(jī)抽取4個(gè),設(shè)抽到禮品果的個(gè)數(shù)為Y,則Y~B,
∴恰好有2個(gè)水果是禮品果的概率為P(Y=2)=.
(2)用分層抽樣的方法從這100個(gè)水果中抽取10個(gè),其中精品果有4個(gè),非精品果有6個(gè),
再從中隨機(jī)抽取3個(gè),則精品果的個(gè)數(shù)X服從超幾何分布,其所有可能的取值為0,1,2,3,
P(X=0)=,
P(X=2)=.
∴X的分布列為
X 0 1 2 3
P
12.解析　(1)記事件A:取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球,則P(A)=,
因此,取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為.
(2)由題意知,ξ的所有可能取值為0,1,2,3.
P(ξ=0)=,
P(ξ=2)=.
所以ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3
P
能力提升練
1.D 2.B 5.B
1.D　設(shè)兩家店鋪都不能正常營業(yè)為事件A.易知四人同時(shí)休假的概率為,有三個(gè)人同時(shí)休假的概率為,所以P(A)=,所以兩家店鋪在該節(jié)假日能正常營業(yè)的概率為1-P(A)=.
2.B　根據(jù)題意,該學(xué)生在此次訓(xùn)練中恰好得7分,可分為三類情況:
①連中4次,額外加3分,剩余3次沒投中,滿足要求,此時(shí)將連中4次看成一個(gè)整體,與其他3次不中排序,共有=4種選擇,其概率為4×;
②連中3次,額外加2分,剩余4次,2次投中,2次沒投中,且2次投中不連續(xù),故2次不中之間可能為1次中,也可能為3次中,有以下情況:中中中(不中)中(不中)中,中(不中)中中中(不中)中,中(不中)中(不中)中中中,其概率為;
③若有2次連中兩回,額外加2分,剩余3次,1次投中,2次沒投中,有以下情況:中中(不中)中中(不中)中,中(不中)中中(不中)中中,中中(不中)中(不中)中中,其概率為.
綜上所述,該學(xué)生在此次訓(xùn)練中恰好得7分的概率為.
故選B.
3.答案　18
解析　記繼續(xù)進(jìn)行的80次投擲試驗(yàn)中,出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1的次數(shù)為X,則X~B,
由(n+1)p=81×=13.5,結(jié)合題中結(jié)論可知,k=13時(shí)概率最大,即后面進(jìn)行的80次投擲試驗(yàn)中出現(xiàn)13次點(diǎn)數(shù)1的概率最大,
加上前面進(jìn)行的20次投擲試驗(yàn)中出現(xiàn)的5次,所以點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)18次的概率最大.
4.解析　(1)由題意得X~B,
則P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=.
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
(2)當(dāng)m=6時(shí),4m=24.設(shè)該型號6架無人機(jī)中獲得6分的架數(shù)為x,則獲得2分的架數(shù)為(6-x).
由題意可得6x+2(6-x)=4x+12≥24,解得x≥3,
又0≤x≤6,且x∈N,所以x的取值為3,4,5,6.
由(1)知1架無人機(jī)獲得6分的概率為,
所以該型號無人機(jī)通過安全認(rèn)證的概率為.
5.B　設(shè)10件產(chǎn)品中存在n件次品,則由P(ξ=1)=,得,化簡,得n2-10n+16=0,解得n=2或n=8.∵該產(chǎn)品的次品率不超過40%,∴n≤4,∴n=2,∴這10件產(chǎn)品的次品率為×100%=20%.
6.解析　(1)“從中任意取出3件進(jìn)行檢驗(yàn),至少有2件是合格品”記為事件A,
則事件A包含“恰有2件是合格品”和“3件都是合格品”兩個(gè)基本事件,
∴P(A)=×0.72×0.3+0.73=0.784.
(2)X的所有可能取值為0,1,2,
P(X=0)=,
P(X=2)=.
∴X的分布列為
X 0 1 2
P
∵只有2件都合格時(shí)才接收這批產(chǎn)品,
∴商家拒收這批產(chǎn)品的對立事件為商家任取2件產(chǎn)品檢驗(yàn)都合格,記“商家拒收這批產(chǎn)品”為事件B,
則P(B)=1-P(X=0)=.
7.解析　(1)由題意得甲每批次被抽到的概率為,
則甲在這三批次支教活動中恰有兩次被抽到的概率P=.
(2)X的所有可能取值為0,1,2.
P(X=0)=,
P(X=2)=.
所以X的分布列為
X 0 1 2
P
(3)設(shè)ξ為第二批次抽到?jīng)]有支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù),則ξ的所有可能取值為0,1,2.
P(ξ=0)=···,
P(ξ=1)=···,
P(ξ=2)=···0=.
因?yàn)镻(ξ=1)>P(ξ=0)>P(ξ=2),所以第二批次抽到?jīng)]有支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)最有可能是1.
17(共14張PPT)
知識點(diǎn) 1 二項(xiàng)分布
知識 清單破
4.2.3 二項(xiàng)分布與超幾何分布
1.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)
在相同條件下重復(fù)n次伯努利試驗(yàn)時(shí),人們總是約定這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的,此時(shí)這n次伯努
利試驗(yàn)也常稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).
2.二項(xiàng)分布
一般地,如果一次伯努利試驗(yàn)中,出現(xiàn)“成功”的概率為p,記q=1-p,且n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中出
現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X,則X的取值范圍是{0,1,…,k,…,n},而且P(X=k)= pkqn-k,k=0,1,…,n,因此
X的分布列如下表所示.
X 0 1 … k … n
P p0qn p1qn-1 … pkqn-k … pnq0
　　稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,記作X~B(n,p).
注意:兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布,即n=1時(shí)的二項(xiàng)分布,而二項(xiàng)分布可以看成是兩點(diǎn)分
布的一般形式,二項(xiàng)分布中的每次試驗(yàn)的結(jié)果都服從兩點(diǎn)分布.
　
　　一般地,若有總數(shù)為N件的甲、乙兩類物品,其中甲類有M件(M出n件(n≤N),則這n件中所含甲類物品數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,X能取不小于t且不大于s的
所有自然數(shù),其中s是M與n中的較小者,t在n不大于乙類物品件數(shù)(即n≤N-M)時(shí)取0,否則t取n
減乙類物品件數(shù)之差(即t=n-(N-M)),而且P(X=k)= ,k=t,t+1,…,s,則稱X服從參數(shù)為N,n,
M的超幾何分布,記作X~H(N,n,M).
特別地,如果X~H(N,n,M)且n+M-N≤0,則X能取所有不大于s的自然數(shù),此時(shí)X的分布列如下表
所示.
知識點(diǎn) 2 超幾何分布
X 0 1 … k … s
P … …
知識拓展
在n次試驗(yàn)中,X為事件A出現(xiàn)的次數(shù),當(dāng)這n次試驗(yàn)是有放回抽樣時(shí),X服從二項(xiàng)分布;當(dāng)這n次
試驗(yàn)是不放回抽樣,事件A為抽到具有某種特性(如某種顏色的球、次品)的個(gè)體時(shí),X服從超
幾何分布.但當(dāng)調(diào)查研究的樣本容量很大時(shí),超幾何分布近似于二項(xiàng)分布,并且隨著樣本容量
的增加,這種近似的程度也會增加.
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“ ”.
1.在n次伯努利試驗(yàn)中,各次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率可以不同. (　 )
2.某同學(xué)投籃的命中率為0.6,他10次投籃命中的次數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量,且X~B(10,0.6). ( )
3.超幾何分布的總體往往由差異明顯的兩部分組成. (　 )
4.超幾何分布的隨機(jī)變量是指從總體中所抽取的n個(gè)個(gè)體中某一類個(gè)體的個(gè)數(shù). (　 )
5.超幾何分布中隨機(jī)變量X的取值k的最大值是M. (　 )

√
√
√
　　　不一定,當(dāng)n不大于M時(shí),k的最大值為n.
提示

講解分析
疑難 1 二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用
疑難 情境破
1.利用二項(xiàng)分布模型解決實(shí)際問題的一般步驟
(1)根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量;
(2)分析隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布;
(3)若服從二項(xiàng)分布,則求出參數(shù)n和p的值;
(4)根據(jù)需要列出相關(guān)式子并解決問題.
2.解決二項(xiàng)分布問題的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)
(1)公式P(X=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)必須在滿足“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”時(shí)才能運(yùn)用,否則不能
應(yīng)用該公式.
(2)判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布,關(guān)鍵有兩點(diǎn):一是對立性,即一次試驗(yàn)中,事件發(fā)生與
否,二者必居其一;二是重復(fù)性,即試驗(yàn)是否獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了n次.
典例 某省食品藥品監(jiān)管局對15個(gè)大學(xué)食堂的“進(jìn)貨渠道合格性”和“食品安全性”進(jìn)行量
化評估,滿分為10分,大部分大學(xué)食堂的評分在7~10分范圍內(nèi),以下表格記錄了它們的評分情況:
分?jǐn)?shù)段 [0,7) [7,8) [8,9) [9,10]
食堂個(gè)數(shù) 1 3 8 3
(1)現(xiàn)從這15個(gè)大學(xué)食堂中隨機(jī)抽取3個(gè),求至多有1個(gè)大學(xué)食堂的評分不低于9分的概率;
(2)以這15個(gè)大學(xué)食堂的評分?jǐn)?shù)據(jù)評估全國大學(xué)食堂的評分情況,若從全國大學(xué)食堂中任選3
個(gè),記X為抽到評分不低于9分的食堂個(gè)數(shù),求X的分布列.
解析 (1)設(shè)“至多有1個(gè)大學(xué)食堂的評分不低于9分”為事件A,
則P(A)= = .
所以至多有1個(gè)大學(xué)食堂的評分不低于9分的概率為 .
(2)由題表可知,從這15個(gè)大學(xué)食堂中任選1個(gè),其評分不低于9分的概率為 = ,因此X~B
,
所以P(X=0)= × = ,
P(X=1)= × × = ,
P(X=2)= × × = ,
P(X=3)= × = .
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
利用超幾何分布模型解決實(shí)際問題的一般步驟
(1)辨模型:抽樣是不放回抽樣,且要抽取的對象由差異明顯的兩部分組成,如“男生、女生”
“正品、次品”等,或可轉(zhuǎn)化為具有明顯差異的兩部分,只有具有該特征的概率模型才可能
為超幾何分布模型.
(2)算概率:可以直接借助公式P(X=k)= 求解,也可以利用排列組合及概率知識求解,借
助公式求解時(shí)應(yīng)明確參數(shù)M,N,n,k的含義.
(3)寫分布列:把求得的概率通過表格表示出來.
講解分析
疑難 2 超幾何分布的實(shí)際應(yīng)用
典例 某企業(yè)使用新技術(shù)對某款芯片進(jìn)行試生產(chǎn),該企業(yè)生產(chǎn)了兩批同種規(guī)格的芯片,第一批
占60%,次品率為6%;第二批占40%,次品率為5%.為確保質(zhì)量,現(xiàn)在將兩批芯片混合,工作人員
從中抽樣檢查.
(1)從混合的芯片中任取1個(gè),求這個(gè)芯片是合格品的概率;
(2)若在兩批芯片中采取分層抽樣方法抽取一個(gè)容量為15的樣本,再從樣本中抽取3個(gè)芯片,求
其中第二批芯片的個(gè)數(shù)X的分布列.
解析 (1)設(shè)事件B= “任取一個(gè)芯片是合格品”,事件A1=“芯片取自第一批”,事件A2=“芯
片取自第二批”,則Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥,P(A1)=0.6,P(A2)=0.4,P(B|A1)=0.94,P(B|A2)=0.95.
由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.6×0.94+0.4×0.95=0.944.
(2)由條件可知,樣本中第一批芯片的個(gè)數(shù)為9,第二批芯片的個(gè)數(shù)為6,
易知X的所有可能取值為0,1,2,3,
P(X=0)= = ,
P(X=1)= = ,
P(X=2)= = ,
P(X=3)= = .
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P

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