資源簡介

(共11張PPT)
知識點 1 離散型隨機變量的均值
知識 清單破
4.2.4 隨機變量的數字特征
1.概念
　　一般地,如果離散型隨機變量X的分布列如表所示.
X x1 x2 … xk … xn
P p1 p2 … pk … pn
　　則稱E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn= xipi為離散型隨機變量X的均值或數學期望(簡稱為期望).
離散型隨機變量的均值刻畫了隨機變量的平均取值.
2.性質
　　若X與Y都是隨機變量,且Y=aX+b(a≠0),則E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
3.幾個常見分布的均值的計算公式
(1)若隨機變量X服從參數為p的兩點分布,則E(X)=p.
(2)若隨機變量X服從參數為n,p的二項分布,即X~B(n,p),則E(X)=np.
(3)若隨機變量X服從參數為N,n,M的超幾何分布,即X~H(N,n,M),則E(X)= .
知識點 2 離散型隨機變量的方差
1.概念
　　如果離散型隨機變量X的分布列如下表所示.
X x1 x2 … xk … xn
P p1 p2 … pk … pn
　　則稱D(X)=[x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+…+[xn-E(X)]2pn= [xi-E(X)]2pi為離散型隨機變量X的
方差, 稱為離散型隨機變量X的標準差.
　　離散型隨機變量的方差和標準差刻畫了隨機變量的離散程度(或波動大小).
知識拓展
D(X)= [xi-E(X)]2pi= pi-[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2.簡記為“方差等于平方的均值減去均值的平
方”.
2.性質
　　若X與Y都是離散型隨機變量,且Y=aX+b(a≠0),則D(Y)=D(aX+b)=a2D(X).
3.幾個常見分布的方差的計算公式
(1)若隨機變量X服從參數為p的兩點分布,則D(X)=p(1-p).
(2)若隨機變量X服從參數為n,p的二項分布,即X~B(n,p),則D(X)=np(1-p).
知識拓展
若X服從參數為N,n,M的超幾何分布,即X~H(N,n,M),則D(X)= .
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.隨機變量的均值與樣本的平均值相同. (　 )
2.若隨機變量X的均值E(X)=2,則E(2X)=4. (　 )
3.隨機變量的方差越大,隨機變量越穩定. (　 )
4.隨機變量的方差即總體方差,它是一個常數.(　 )
5.D(X+2)=D(X)+2. (　 )
　隨機變量的均值是一個常數,而樣本的平均值依賴于樣本的選擇,是一個隨機變量.
提示


√
√

講解分析
疑難 1 求離散型隨機變量的均值、方差(標準差)
疑難 情境破
1.求離散型隨機變量的均值與方差(標準差)時,一般先分析隨機變量的分布特征,看其是不是
常見的特殊分布,若是,直接用公式求解;若不是,按求均值與方差(標準差)的一般步驟求解.
2.已知隨機變量ξ的均值、方差,求ξ的一次函數η=aξ+b(a≠0)的均值、方差,可直接用隨機變
量的均值、方差的性質求解.
典例　(1)(多選)已知隨機變量X的分布列為P(X=k)=0.2,k=1,2,3,4,5.若Y=2X-3,則下列說法正確
的是 ( 　 )
A.隨機變量X的均值為3
B.隨機變量Y的均值為3
C.隨機變量X的方差為2
D.隨機變量Y的方差為9
(2)隨機變量ξ的概率分布如下表所示,
ABC
ξ -1 0 1
P a c
若E(ξ)= ,則D(ξ)=　　　 .
解析 (1)由P(X=k)=0.2,k=1,2,3,4,5可知,P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.2,P(X=3)=0.2,P(X=4)=0.2,P(X=
5)=0.2,
故E(X)=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3,故A正確;
E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×3-3=3,故B正確;
D(X)=(1-3)2×0.2+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.2+(4-3)2×0.2+(5-3)2×0.2=2,故C正確;
D(Y)=D(2X-3)=22D(X)=8,故D錯誤.
故選ABC.
(2)由題意可得 解得
因此,D(ξ)= × + × + × = .
利用均值與方差的意義解決實際問題的一般步驟
(1)比較均值.離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平,因此,在實際決
策問題中,通過比較均值,可分析誰的平均水平較高.
(2)在均值相等或相近的情況下比較方差.方差反映了離散型隨機變量取值的穩定與波動、
集中與離散的程度.因此,通過比較方差,可分析誰的水平發揮相對穩定.
(3)下結論.依據均值、方差的實際意義下結論.
講解分析
疑難 2 均值與方差在實際問題中的應用
典例 有甲、乙兩個建材廠都想為某重點工程提供材料,為了對重點工程負責,政府工作人員
到兩建材廠抽樣檢查,從中各取等量的樣品檢查它們的抗拉強度,抗拉強度的分布列分別如
表所示:
X 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
Y 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中X,Y分別表示甲、乙建材廠材料的抗拉強度,在使用時要求抗拉強度不低于120,那么哪
個建材廠的材料抗拉強度穩定性較好
解析 由題意可得,E(X)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,
E(Y)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125,
D(X)=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(135-125)2=50,
D(Y)=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(145-125)2=165,
由于E(X)=E(Y),而D(X)基礎過關練
題組一　離散型隨機變量的均值
1.已知隨機變量X的分布列如下表:
X 1 2
P m n
若E(X)=,則m=(　　)
A.
2.學校要從10名候選人中選2名同學去學生會,其中高二(1)班有4名候選人,假設每名候選人都有相同的機會被選到,若X表示選到高二(1)班的候選人的人數,則E(X)=(　　)
A.
3.一個口袋中裝有形狀、大小相同的2個白球和4個紅球,從中摸出兩個球,用ξ表示摸出的白球的個數,則E(ξ)=　　　　.
4.小青準備用9萬元全部投資A,B兩種股票,已知兩種股票收益相互獨立,且這兩種股票的買入都是每股1萬元,每股收益的分布列如下表所示,若投資A種股票a萬元,則小青兩種股票的收益期望和為　　　　萬元.
股票A的每股收益分布列
收益X/萬元 -1 0 3
概率 0.3 0.2 0.5
股票B的每股收益分布列
收益Y/萬元 -3 4
概率 0.4 0.6
5.某職稱考試有A,B兩門課程,每年每門課程均分別有一次考試機會,若某門課程今年通過,則下一年不再參加該科考試,只要在連續兩年內兩門課程均通過就能獲得該職稱.某考生準備今年兩門課程全部參加考試,預測每門課程今年通過的概率均為;若兩門課程今年均沒有通過,則明年每門課程通過的概率均為;若今年只有一門課程沒有通過,則明年這門課程通過的概率為.
(1)求該考生兩年內可獲得該職稱的概率;
(2)設該考生兩年內參加考試的次數為隨機變量X,求X的分布列與數學期望.
題組二　離散型隨機變量的均值的性質
6.設ξ的分布列如表所示,η=2ξ+5,則Eη等于(　　)
ξ 1 2 3 4
P
A.
7.已知隨機變量X的分布列如表所示,則E(X+a)=(　　)
X 1 2 3
P a
A.
題組三　離散型隨機變量的方差
8.已知隨機變量X的分布列如下表所示,若EX=,則DX=(　　)
X -2 0 1
P a b
A.
9.從裝有3個白球和7個紅球的口袋中任取1個球,用X表示是否取到白球,即X=則D(X)=(　　)
A.
10.若X~B(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,則P(X=1)的值為(　　)
A.3×2-2　　　　B.2-4　　　　C.3×2-10　　　　D.2-8
11.某射手每次射擊擊中目標的概率固定,他準備進行n(n∈N+)次射擊,設擊中目標的次數為X,已知P(X=1)=P(X=n-1)且E(X)=4,則D(X)=(　　)
A.　　　　C.1　　　　D.2
12.已知箱子中裝有10個小球(除顏色外完全相同),其中2個紅球,3個黑球,5個白球,現從該箱中有放回地依次取出3個小球,若變量ξ為取出3個球中紅球的個數,則D(ξ)=　　　　.
題組四　離散型隨機變量的方差的性質
13.已知隨機變量X的分布列如下表所示:
X 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.3 0.4
則D(3X+2)=(　　)
A.3　　　　B.9　　　　C.27　　　　D.11
14.已知隨機變量ξ,η滿足2ξ+η=9,且ξ~B(8,p),E(ξ)=2,則E(η),D(η)分別為(　　)
A.5,3　　　　B.5,6
C.8,3　　　　D.8,6
15.袋中有20個大小相同的球,其中記上0號的有10個,記上n(n=1,2,3,4)號的有n個.現從袋中任取一球,用X表示所取到的球的標號.
(1)求X的分布列、均值和方差;
(2)若Y=aX+b,EY=1,DY=11,試求a,b的值.
能力提升練
題組一　離散型隨機變量的均值與方差
1.(多選題)已知離散型隨機變量X的分布列如下表,則(　　)
X 1 2 3 4
P p2 3p2 1-2p+p2 1-3p+p2
A.p=
C.P(X>2)=
2.已知隨機變量X的分布列如下:
X 0 1 2
P a b c
在①a=b-c,②E(X)=1這兩個條件中任選一個作為已知,判斷當a在內增大時,D(X)是否隨著a的增大而增大,并說明理由.
題組二　離散型隨機變量的均值與方差的實際應用
3.已知甲、乙兩名員工分別從家中趕往工作單位的時間互不影響,經統計,甲、乙兩人一個月內從家到工作單位所用時間在各個時間段內的頻率如下:
時間/分鐘 10~20 20~30 30~40 40~50
甲的頻率 0.1 0.4 0.2 0.3
乙的頻率 0 0.3 0.6 0.1
某日工作單位接到一項任務,需要甲在30分鐘內到達,乙在40分鐘內到達,用X表示甲、乙兩人在規定時間內從家到工作單位的人數,用頻率估計概率,則(　　)
A.E(X)=1.5,D(X)=0.36　　　　
B.E(X)=1.4,D(X)=0.36
C.E(X)=1.5,D(X)=0.34　　　　
D.E(X)=1.4,D(X)=0.34
4.某校在校慶期間舉辦羽毛球比賽,某班派出甲、乙兩名單打主力,為了提高兩位主力的能力,體育老師安排了為期一周的對抗訓練,比賽規則如下:甲、乙兩人每輪分別與體育老師打2局,當兩人獲勝局數不少于3局時,則認為這輪訓練過關;否則不過關.若甲、乙兩人每局獲勝的概率分別為p1,p2,且滿足p1+p2=,每局之間相互獨立.記甲、乙兩人在n輪訓練中訓練過關的輪數為X,若EX=16,則從期望的角度來看,甲、乙兩人訓練的輪數至少為(　　)
A.27　　　　B.24　　　　C.32　　　　D.28
5.北京冬奧會之后,多個中小學開展了模擬冬奧會賽事的活動.為了深入了解學生在“單板滑雪”活動中的參與情況,在該地隨機選取了10所學校進行研究,得到如下數據:
(1)“單板滑雪”參與人數超過45人的學校可以作為“基地學校”,現在從這10所學校中隨機選出3所,記X為選出可作“基地學校”的學校個數,求X的分布列和數學期望;
(2)現在有一個“單板滑雪”集訓營,對“滑行、轉彎、停止”這3個動作技巧進行集訓,且在集訓中進行了多輪測試.規定:在一輪測試中,這3個動作中至少有2個動作達到“優秀”,則該輪測試記為“優秀”.在集訓測試中,小明同學3個動作每個動作達到“優秀”的概率均為,每個動作互不影響且每輪測試互不影響.如果小明同學在集訓測試中獲得“優秀”的次數的平均值達到5次,那么理論上至少要進行多少輪測試
6.某校設計了一個實驗學科的實驗考查方案:考生從6道備選題中一次性隨機抽取3道題,按照題目要求獨立完成全部實驗操作,規定:至少正確完成其中2道題才可通過.已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成,2道題不能完成;考生乙每道題正確完成的概率都是,且每道題正確完成與否互不影響.
(1)分別寫出考生甲、乙正確完成題數的分布列及數學期望;
(2)試用統計知識分析比較這兩名考生的實驗操作能力.
答案與分層梯度式解析
4.2.4　隨機變量的數字特征
基礎過關練
1.B 2.D 6.D 7.C 8.B 9.A 10.C 11.D
13.B 14.B
1.B　由已知得解得故選B.
2.D　由題意得隨機變量X~H(10,2,4),所以E(X)=.
3.答案　
解析　ξ的可能取值為0,1,2.
P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,
所以E(ξ)=0×.
4.答案　10.8
解析　由題中兩種股票每股收益的分布列可知,
EX=-1×0.3+0×0.2+3×0.5=1.2(萬元),
EY=-3×0.4+4×0.6=1.2(萬元),
所以兩種股票的收益期望和為aEX+(9-a)EY=1.2a+(9-a)×1.2=1.2×9=10.8(萬元).
5.解析　(1)設該考生兩年內可獲得該職稱為事件A,
則P(A)=.
(2)由題意得,X的可能取值為2,3,4,則
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=,
所以X的分布列為
X 2 3 4
P
EX=2×=3.
6.D　Eξ=1×,所以Eη=E(2ξ+5)=2Eξ+5=2×.
故選D.
7.C　依題意可得+a=1,解得a=,所以EX=1×=2,所以E(X+a)=E.
故選C.
8.B　由已知得,解得
所以DX=.
故選B.
9.A　由題意可知X服從兩點分布,且P(X=1)=,故D(X)=.故選A.
10.C　由題意得E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3,
∴p==3×2-10.故選C.
11.D　設該射手每次射擊擊中目標的概率為p(0因為P(X=1)=P(X=n-1),所以pn-1(1-p),整理可得(1-p)n-2=pn-2,所以1-p=p,解得p=.由E(X)=np=n=4,得n=8,所以D(X)=np(1-p)=8×=2.故選D.
12.答案　
解析　由題意得,ξ~B,
所以D(ξ)=3×.
13.B　由題意可得EX=1×0.1+2×0.2+3×0.3+4×0.4=3,
則DX=(1-3)2×0.1+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.3+(4-3)2×0.4=1,
所以D(3X+2)=32DX=9DX=9.
故選B.
14.B　由已知得E(ξ)=8p=2,解得p=,所以D(ξ)=8×.由2ξ+η=9,得η=-2ξ+9,所以E(η)=-2E(ξ)+9=-2×2+9=5,D(η)=(-2)2D(ξ)=4×=6.故選B.
15.解析　(1)由題易知,X的可能取值為0,1,2,3,4,
P(X=0)=,
故X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
所以EX=0×=1.5,
DX=(0-1.5)2×=2.75.
(2)由Y=aX+b知DY=a2DX,即a2×2.75=11,解得a=±2.
又EY=aEX+b,
所以當a=2時,有1=2×1.5+b,解得b=-2,
當a=-2時,有1=-2×1.5+b,解得b=4,
所以或
能力提升練
1.BCD 3.D 4.A
1.BCD　由題意可知,p2+3p2+1-2p+p2+1-3p+p2=1,整理得6p2-5p+2=1,解得p=或p=.
當p=時,P(X=4)=1-<0,不滿足題意,
當p=時,P(X=1)=,滿足題意,A不正確,B正確.
P(X>2)=P(X=3)+P(X=4)=,C正確.
E(X)=1×,
∴D(X)=,D正確.故選BCD.
2.解析　若選擇①,則有
可得b=-a,
則E(X)=b+2c=-2a,
所以D(X)=·a+·b+·c=-4a2+2a+,
所以當a∈時,D(X)隨著a的增大而增大,當a∈時,D(X)隨著a的增大而減小.
若選擇②,則有可得a=c,
因此D(X)=a+c=2a,
所以當a在內增大時,D(X)隨著a的增大而增大.
3.D　設事件A表示甲在規定時間內從家到工作單位,B表示乙在規定時間內從家到工作單位,則P(A)=0.5,P(B)=0.9,A,B相互獨立,
∴P(X=0)=P()=(1-0.5)×(1-0.9)=0.05,
P(X=1)=P()=(1-0.5)×0.9+0.5×(1-0.9)=0.5,
P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.9=0.45,
∴E(X)=0×0.05+1×0.5+2×0.45=1.4,
E(X2)=0×0.05+1×0.5+4×0.45=2.3,
∴D(X)=E(X2)-[E(X)]2=0.34.故選D.
4.A　設甲、乙每一輪訓練過關的概率為p,
則p=×p1×(1-p1)
=-3+2p1p2(p1+p2)
=-3p1p2,
0令y=-3x2+x,則其圖象開口向下,對稱軸方程為x=,
所以0<-3p1p2≤-3×,
依題意,X~B(n,p),
所以EX=n=16,
所以n=≥=27,
所以甲、乙兩人訓練的輪數至少為27.
故選A.
5.解析　(1)由已知得,10所學校中“基地學校”有4所,故X的可能取值為0,1,2,3,
則P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
所以EX=0×.
(2)小明同學在一輪測試中為“優秀”的概率P=,
小明同學在n(n∈N+)次測試中獲得“優秀”的次數ξ滿足ξ~B,
由題知,n×≥5,得n≥≈19.286,
因為n∈N+,所以n的最小值為20,
故理論上至少要進行20次測試.
6.解析　(1)設考生甲正確完成實驗操作的題數為ξ,則ξ的所有可能取值為1,2,3.
P(ξ=1)=,
P(ξ=3)=,
所以ξ的分布列為
ξ 1 2 3
P
Eξ=1×=2.
設考生乙正確完成實驗操作的題數為η,易知η~B,
所以P(η=0)=,
P(η=1)=,
P(η=2)=,
P(η=3)=.
所以η的分布列為
η 0 1 2 3
P
所以Eη=3×=2.
(2)由(1)知Eξ=Eη=2,Dξ=(1-2)2×,
P(ξ≥2)=,P(η≥2)=.
所以DξP(η≥2),
故從正確完成實驗操作的題數的均值方面分析,兩人水平相當;
從正確完成實驗操作的題數的方差方面分析,甲的水平更穩定;
從至少正確完成2道題的概率方面分析,甲通過的可能性大.
因此甲的實驗操作能力較強.
16

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