資源簡介

(共15張PPT)
知識點 1 正態曲線
知識 清單破
4.2.5 正態分布
1.正態曲線的概念
　　一般地,φ(x)= (其中μ=E(X),即X的均值;σ = ,即X的標準差)對應的圖象
稱為正態曲線(或鐘形曲線),φ(x)也常常記為φμ,σ(x).
2.正態曲線的性質
(1)正態曲線關于直線x=μ對稱(即μ決定正態曲線對稱軸的位置),具有中間高、兩邊低的特
點;
(2)正態曲線與x軸所圍成的圖形面積為1;
(3)如圖所示,σ決定正態曲線的“胖瘦”:σ越大,說明標準差越大,數據的集中程度越弱,所以
曲線越“胖”;σ越小,說明標準差越小,數據的集中程度越強,所以曲線越“瘦”.
知識點 2 正態分布
1.概念:一般地,如果隨機變量X落在區間[a,b]內的概率,總是等于φμ,σ(x)對應的正態曲線與x軸
在區間[a,b]內圍成的面積,則稱X服從參數為μ與σ的正態分布,記作X~N(μ,σ2),此時φμ,σ(x)稱為
X的概率密度函數.
2.若X~N(μ,σ2),則
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.3%,
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4%,
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%.
3.“3σ原則”
由P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%知,隨機變量X約有99.7%的可能會落在距均值3個標準差的范
圍之內,也就是說只有約0.3%的可能會落入這一范圍之外(這樣的事件可看成小概率事件),這
一結論通常稱為正態分布的“3σ原則”.
知識點 3 標準正態分布
1.μ=0且σ=1的正態分布稱為標準正態分布,記作X~N(0,1).
2.任意正態分布Y~N(μ,σ2)都可以通過X= 轉化為標準正態分布X~N(0,1).
3.如果X~N(0,1),那么對于任意a,通常記Φ(a)=P(X0時,有如下性質:
(1)Φ(-a)=1-Φ(a);
(2)P(|X|(3)P(|X|>a) =2[1-Φ(a)].
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.隨機變量的概率密度函數φ(x)的表達式中,參數μ,σ的意義分別是隨機變量的均值與方差.
(　 )
2.正態曲線是單峰的,其與x軸圍成的區域的面積是隨參數μ,σ的變化而變化的.(　 )
3.正態曲線可以關于y軸對稱. (　 )
　概率密度函數φ(x)的表達式中,參數μ,σ的意義分別是隨機變量的均值與標準差.
提示

正態曲線與x軸圍成的區域的面積總為1,不會隨參數μ,σ的變化而變化.
提示

√
4.若隨機變量X~N(μ,σ2),則X可以是離散型隨機變量.(　 )
5.正態曲線的對稱軸的位置由μ確定,曲線形狀由σ確定.(　 )
　服從正態分布的隨機變量X為連續型隨機變量.
提示

√
　　在正態分布下求概率的關鍵在于恰當地利用正態曲線的對稱性,把待求概率的區間轉化
為已知概率的區間.當條件中無已知概率時,則要將區間轉化為三個特殊區間:[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,
μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ],利用隨機變量X在這三個特殊區間取值的概率進行計算.
一般地,若隨機變量X服從正態分布N(μ,σ2),則
(1)P(X≥a)=1-P(X(2)對任意的實數a,有P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a);
(3)P(a≤X≤b)=P(X≤b)-P(X講解分析
疑難 1 正態分布的概率問題
疑難 情境破
典例 (1)已知隨機變量X~N(1,σ2),且P(X>-2)=0.8,則P(-2A.0.6　 B.0.4
C.0.2　 D.0.9
(2)在某項測量中,測量結果X服從正態分布N(1,4),則X在(-1,1)內取值的概率約為　　　 .
(若X~N(μ,σ2),則P(μ-σA
0.341 5
解析 (1)因為P(X>-2)=0.8,所以P(X≤-2)=1-P(X>-2)=0.2,
所以P(-2(2)由題意得μ=1,σ=2,所以P(-1因為正態曲線關于直線x=1對稱,所以P(-1　　利用服從正態分布N(μ,σ2)的隨機變量X在三個特殊區間上取值的概率,可以解決兩類實
際問題:
一類是估計在某一范圍內的數量,具體方法是先確定隨機變量在該范圍內取值的概率,再乘
樣本容量.
另一類是利用“3σ原則”作決策.決策步驟如下:①確定一次試驗中取值a是否落入范圍[μ-3σ,
μ+3σ]內;②作出判斷,若a∈[μ-3σ,μ+3σ],則接受統計假設,若a [μ-3σ,μ+3σ],則拒絕統計假設.
講解分析
疑難 2 正態分布的實際應用
典例1 某地區一次聯考的數學成績X近似地服從正態分布N(85,σ2),已知P(X≤122)=0.96,現隨
機從這次考試的成績中抽取一個容量為100的樣本,則成績低于48的個體數大約為 (　 )
A.6　 B.4
C.94　 D.96
B
解析 由P(X≤122)=0.96,可得P(X>122)=0.04,所以P(X<48)=0.04,所以成績低于48的個體數
大約為100×0.04=4.故選B.
典例2 法國數學家龐加萊是一個喜歡吃面包的人,他每天都會到同一家面包店購買一個面包.
該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質量是1 000 g,上下浮動不超過50 g.這句話
用數學語言來表達就是:每個面包的質量服從均值為1 000 g,標準差為50 g的正態分布.
(1)已知如下結論:若X~N(μ,σ2),從X的取值中隨機抽取k(k∈N+,k≥2)個數據,記這k個數據的平
均值為Y,則隨機變量Y~N .利用該結論解決下面問題.
(i)假設面包師的說法是真實的,隨機購買25個面包,記這25個面包的平均質量為Y g,求P(Y<98
0);
(ii)龐加萊每天都會將買來的面包稱重并記錄,25天后,得到的數據都落在區間(950,1 050)內,
經計算得這25個面包的平均質量為978.72 g,龐加萊通過分析舉報了該面包師,從概率角度說
明龐加萊舉報該面包師的理由;
(2)假設有兩箱面包(面包除顏色外,其他都一樣),已知第一箱中裝有6個面包,其中黑色面包有
2個;第二箱中裝有8個面包,其中黑色面包有3個.現隨機挑選一箱,然后從該箱中隨機取出2個
面包,求取出黑色面包的個數的分布列及數學期望.
附:①若隨機變量η服從正態分布N(μ,σ2),則P(μ-σ≤η≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤η≤μ+2σ)≈0.954,
P(μ-3σ≤η≤μ+3σ)≈0.997;
②通常把發生概率小于0.05的事件稱為小概率事件,并認為小概率事件基本不會發生.
解析 (1)(i)因為 =100,
所以Y~N(1 000,102),
因為P(μ-2σ≤Y≤μ+2σ)≈0.954,
所以P(Y<μ-2σ)≈ =0.023,
因為980=1 000-2×10,
所以P(Y<980)=P(Y<μ-2σ)=0.023.
(ii)由(i)知P(Y<980)=P(Y<μ-2σ)=0.023,龐加萊計算得這25個面包的平均質量為978.72 g,978.72
<980,而0.023<0.05,事件“Y<980”為小概率事件,小概率事件基本不會發生,這就是龐加萊
舉報該面包師的理由.
(2)設取出黑色面包的個數為ξ,則ξ的所有可能取值為0,1,2,
P(ξ=0)= × + × = ,
P(ξ=1)= × + × = ,
P(ξ=2)= × + × = .
故ξ的分布列為
ξ 0 1 2
P
所以E(ξ)= ×0+ ×1+ ×2= .4.2.5　正態分布
基礎過關練
題組一　正態曲線及其特點
1.下圖是當σ取三個不同值σ1,σ2,σ3時的正態曲線,那么σ1,σ2,σ3的大小關系是(　　)
A.σ1>1>σ2>σ3>0　　　　B.0<σ1<σ2<1<σ3
C.σ1>σ2=1>σ3>0　　　　D.0<σ1<σ2=1<σ3
2.設隨機變量X~N(0,1),定義f(x)=P(X≥x),其中x>0,則下列等式成立的是(　　)
A. f(2x)=2f(x)
B. f(-x)=1-f(x)
C.P(X≤x)=2f(x)-1
D.P(|X|≥x)=2-f(x)
3.若隨機變量X服從正態分布N(0,1),且X在區間(-2,-1)和(1,2)上取值的概率分別為P1,P2,則P1,P2的大小關系為　　　　.
4.關于標準正態分布N(0,1)的概率密度函數f(x)=·的說法中:
①f(x)為偶函數;②f(x)的最大值是;
③f(x)在x>0時單調遞減,在x≤0時單調遞增;
④f(x)的圖象關于直線x=1對稱.
正確說法的編號有　　　　.
5.若一個隨機變量X服從正態分布N(μ,σ2),且概率密度函數f(x)=的圖象如圖所示,則數學期望E(X)=　　　　,方差D(X)=　　　　.
題組二　正態分布的概率計算
6.設隨機變量X~N(μ,σ2),若P(X≤1)=0.3,P(1A.1　　　　B.2
C.3　　　　D.4
7.設隨機變量X~N(μ,σ2),且P(XA.0.75　　　　B.0.5
C.0.3　　　　D.0.25
8.若隨機變量X~N(10,22),則下列結論錯誤的是(　　)
A.P(X≥10)=0.5
B.P(X≤8)+P(X≤12)=1
C.P(8≤X≤12)=2P(8≤X≤10)
D.D(2X+1)=8
9.已知隨機變量X~N,且P=0.25,P(X>2)=0.1,則P=　　　　.
題組三　正態分布的實際應用
10.某市高三聯考后,統一調查研究本次考試的數學成績,得出全體學生的數學成績X(單位:分)近似服從正態分布N(90,50),則下列說法錯誤的是(　　)
A.本次聯考的數學平均分近似為90分
B.本次聯考數學成績的方差近似為50
C.隨機抽取一名學生的成績,P(X>110)>P(X<60)
D.隨機抽取一名學生的成績,P(8011.某工廠生產的零件外直徑X(單位:cm)服從正態分布N(10,0.04),現從該廠上午、下午生產的零件中各隨機取出一個,測得其外直徑分別為9.75 cm和9.35 cm,則可認為(　　)
A.上午生產情況異常,下午生產情況正常
B.上午生產情況正常,下午生產情況異常
C.上午、下午生產情況均正常
D.上午、下午生產情況均異常
12.甲、乙兩類水果的質量(單位:kg)分別服從正態分布N(μ1,),其正態曲線如圖所示,則下列說法錯誤的是(　　)
A.甲類水果的平均質量μ1=0.4 kg
B.甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右
C.甲類水果的平均質量比乙類水果的平均質量小
D.乙類水果的質量服從正態分布的參數σ2=1.99
13.新能源汽車具有零排放、噪聲小、能源利用率高等特點,近年來備受青睞.某新能源汽車制造企業為調查其旗下A型號新能源汽車的耗電量(單位:kW·h/100 km)情況,隨機調查得到了1 200個樣本,據統計,該型號新能源汽車的耗電量ξ~N(13,σ2),若P(12<ξ<14)=0.7,則樣本中耗電量不小于14 kW·h/100 km的汽車大約有(　　)
A.180輛　　　　B.360輛　　　　C.600輛　　　　D.840輛
14.某次數學考試中,學生成績X(單位:分)服從正態分布N(105,σ2).若P(90≤X≤120)=,則從參加這次考試的學生中任意選取3名學生,至少有2名學生的成績高于120分的概率是　　　　.
15.一機械制造加工廠的某條生產線在設備正常運行的情況下,生產的零件尺寸z(單位:mm)服從正態分布N(240,σ2),且P(z≤248)=0.95.
(1)求P(z<232或z>248);
(2)若從該條生產線上隨機選取3個零件,設X表示零件尺寸小于232 mm或大于248 mm的零件個數,求X=2的概率.
能力提升練
題組一　正態分布及其概率計算
1.設隨機變量X~N(0,22),隨機變量Y~N(0,32),P(|X|≤1)與P(|Y|≤1)之間的大小關系是(　　)
A.P(|X|≤1)≤P(|Y|≤1)
B.P(|X|≤1)=P(|Y|≤1)
C.P(|X|≤1)>P(|Y|≤1)
D.P(|X|≤1)2.若對某物理量做n次測量,最后結果的誤差Xn~N,則為使|Xn|≥的概率控制在0.046以下,至少要測量的次數為(　　)
附:若隨機變量X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.
A.32　　　　B.64　　　　C.128　　　　D.256
題組二　正態分布的實際應用
3.某校期末統考數學成績服從正態分布N(76,16).按15%,35%,35%,15%的比例將考試成績劃為A,B,C,D四個等級,其中分數大于或等于83的為A等級,則B等級的分數應為　　　　.(用區間表示)
4.某車間生產一批零件,現從中隨機抽取10個零件,測量其內徑Z(單位:cm)的數據如下:87,87,88,92,95,97,98,99,103,104.設這10個數據的平均值為μ,標準差為σ.
(1)求μ與σ;
(2)假設這批零件的內徑Z(單位:cm)服從正態分布N(μ,σ2).
①從這批零件中隨機抽取5個,設這5個零件中內徑大于107 cm的零件個數為X,求D(2X+1);
②若該車間又購進一臺新設備,安裝調試后,試生產了5個零件,測量其內徑(單位:cm)分別為76,85,93,99,108,以原設備生產性能為標準,這臺設備是否需要進一步調試 說明你的理由.
參考數據:0.9974≈0.99.若X~N(μ,σ2),則P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.
5.為建立健全國家學生體質健康監測評價機制,激勵學生積極參加身體鍛煉,教育部印發《國家學生體質健康標準》,要求各學校每學年開展覆蓋本校各年級學生的《標準》測試工作.為做好全省的迎檢工作,某市在高三年級開展了一次體質健康模擬測試,并從中隨機抽取了200名學生的數據,根據他們的健康指數繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)估計這200名學生健康指數的平均數和樣本方差s2(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表);
(2)由頻率分布直方圖知,該市學生的健康指數X近似服從正態分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數,σ2近似為樣本方差s2.
①求P(50.73②已知該市高三學生約有10 000名,記體質健康指數在區間(50.73,78.54)內的人數為ξ,試求Eξ.
參考數據:≈9.27,若隨機變量X服從正態分布N(μ,σ2),則P(μ-σ6.公平正義是社會主義和諧社會的重要特征,是社會主義法治觀念的價值追求.考試作為一種公平公正選拔人才的有效途徑正被廣泛采用.某企業準備通過考試(按照高分優先錄取的原則)錄用300名應聘人員,其中275個高薪職位,25個普薪職位.已知此次招聘中,實際報名人數為2 000,考試滿分為400分,考試成績的部分統計結果如下:考試平均成績是180分,360分及以上的高分考生有30名(一般地,對于一次成功的考試來說,考試成績應服從正態分布).
(1)求此次招聘中的最低錄用分數(結果保留整數);
(2)已知考生甲的成績為286分,試判斷甲能否被錄用,若被錄用,進一步判斷其能否獲得高薪職位.
附:①當X~N(μ,σ2)時,令Y=,則Y~N(0,1);②當Y~N(0,1)時,P(Y<2.17)≈0.985,P(Y<1.28)≈0.900,P(Y<1.09)≈0.863,P(Y<1.04)≈0.85.
答案與分層梯度式解析
4.2.5　正態分布
基礎過關練
1.D 2.B 6.C 7.D 8.D 10.D 11.B 12.D
13.A
1.D　由正態曲線的性質及曲線所表示的意義可知,當x=0時,曲線所對應的函數取得最大值,所以σ2=1.當0<σ<1時,正態曲線與y軸交點的縱坐標大于;當σ>1時,正態曲線與y軸交點的縱坐標小于.故選D.
2.B　因為隨機變量X~N(0,1),
所以此正態曲線關于直線x=0對稱.
因為f(x)=P(X≥x)(x>0),
所以根據正態曲線的對稱性可得f(-x)=P(X≥-x)=P(X≤x)=1-f(x),故B正確;
f(2x)=P(X≥2x),2f(x)=2P(X≥x),P(X≥2x)與2P(X≥x)不一定相等,故A錯誤;
P(X≤x)=1-P(X≥x)=1-f(x),故C錯誤;
P(|X|≥x)=P(X≥x或X≤-x)=2f(x),故D錯誤.
3.答案　 P1=P2
解析　根據標準正態曲線的特點可得,該曲線關于直線x=0對稱,所以隨機變量X在區間(-2,-1)和(1,2)上取值的概率相等,即P1=P2.
4.答案　①②③
解析　由概率密度函數f(x)=·,可得f(x)的圖象關于直線x=0對稱,
所以f(x)為偶函數,所以①正確,④不正確;
根據正態曲線的性質得,當x=0時,函數f(x)取得最大值,為f(0)=·e0=,所以②正確;
根據正態曲線的性質得, f(x)在(-∞,0)上單調遞增,在(0,+∞)上單調遞減,所以③正確.
5.答案　5;1
解析　由題圖可知,當x=5時,f(x)=有最大值,為,所以μ=5,σ=1,
所以X~N(5,1),所以E(X)=μ=5,D(X)=σ2=1.
6.C　由題意得P(X≥5)=1-P(X≤1)-P(17.D　由已知得P(X故選D.
8.D　因為隨機變量X~N(10,22),所以μ=10,σ=2,所以P(X≥10)=0.5,故A正確;
P(X≤8)+P(X≤12)=P(X≥12)+P(X≤12)=1,故B正確;
P(8≤X≤12)=2P(8≤X≤10),故C正確;
D(2X+1)=4D(X)=16,故D錯誤.
故選D.
9.答案　0.15
解析　由題意知μ=,所以P(X<-1)=P(X>2)=0.1,
所以P-P(X<-1)=0.15.
10.D　對于A,B,因為全體學生的數學成績X近似服從正態分布N(90,50),所以μ=90,σ2=50,所以A,B正確;
對于C,因為X~N(90,50),所以P(X>110)=P(X<70)>P(X<60),所以C正確;
對于D,因為X~N(90,50),所以P(80P(100故選D.
11.B　∵X服從正態分布N(10,0.04),∴μ=10,σ=0.2,根據“3σ原則”知X∈[10-0.2×3,10+0.2×3],即X∈[9.4,10.6]時生產情況正常,∴上午生產情況正常,下午生產情況異常,故選B.
12.D　由題圖可知,甲類水果的平均質量μ1=0.4 kg,乙類水果的平均質量μ2=0.8 kg,故A,C中說法正確;由題圖可知B中說法正確;乙類水果的質量服從的正態分布的參數滿足=1.99,∴σ2≠1.99,故D中說法不正確.故選D.
13.A　因為ξ~N(13,σ2),且P(12<ξ<14)=0.7,
所以P(ξ≥14)=×(1-0.7)=0.15,所以樣本中耗電量不小于14 kW·h/100 km的汽車大約有1 200×0.15=180(輛).故選A.
14.答案　
解析　因為學生成績X服從正態分布N(105,σ2),且P(90≤X≤120)=,所以P(X>120)=,故任意選取3名學生,至少有2名學生的成績高于120分的概率P=.
15.解析　(1)因為z~N(240,σ2),且P(z≤248)=0.95,所以P(z>248)=1-P(z≤248)=0.05,
因為=240,所以P(z<232)=P(z>248)=0.05.
故P(z<232或z>248)=0.05+0.05=0.1.
(2)依題意可得X~B(3,0.1),
所以P(X=2)=×0.12×(1-0.1)=0.027.
能力提升練
1.C　因為X~N(0,22),Y~N(0,32),所以X與Y的正態曲線均關于y軸對稱,且P(|X|≤1)=P(-1≤X≤1),P(|Y|≤1)=P(-1≤Y≤1),
因為σ越大,正態曲線越扁平,
所以P(|X|≤1)>P(|Y|≤1).
故選C.
2.C　由題意得P<0.046,
所以P≥1-0.046=0.954.
因為μ=0,所以P(-2σ≤Xn≤2σ)≈0.954,
所以2σ≤ σ=≤ n≥128.故選C.
3.答案　[76,83)
解析　設考試成績為X,
由題意可知,μ=76,σ=4,P(X≥76)=0.5,P(X≥83)=0.15,
所以P(76≤X<83)=P(X≥76)-P(X≥83)=0.5-0.15=0.35,
所以B等級的分數應為[76,83).
4.解析　(1)μ=×(87+87+88+92+95+97+98+99+103+104)=95,
σ2=×[(87-95)2+(87-95)2+(88-95)2+(92-95)2+(95-95)2+(97-95)2+(98-95)2+(99-95)2+(103-95)2+(104-95)2]=36,則σ=6.
(2)①由題可知Z~N(95,62),
所以P(Z>107)=P(Z>μ+2σ)≈0.5-=0.023,
則X~B(5,0.023),
所以D(X)=5×0.023×(1-0.023)=0.112 355,
故D(2X+1)=4D(X)=0.449 42.
②需要.理由如下:
因為P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997,
所以5個零件中恰有1個零件的內徑不在[μ-3σ,μ+3σ]內的概率為×0.9974×(1-0.997)≈5×0.99×0.003=0.014 85.
因為76 [μ-3σ,μ+3σ]=[77,113],所以試生產的5個零件中出現了1個零件的內徑不在[μ-3σ,μ+3σ]內,出現的頻率是=0.2,大概是0.014 85的13倍,根據“3σ原則”可知,這臺設備需要進一步調試.
5.解析　(1)由題意得,=40×0.02+50×0.3+60×0.4+70×0.23+80×0.04+90×0.01=60,
s2=(40-60)2×0.02+(50-60)2×0.3+(60-60)2×0.4+(70-60)2×0.23+(80-60)2×0.04+(90-60)2×0.01
=400×0.02+100×0.3+0×0.4+100×0.23+400×0.04+900×0.01=86,
所以估計這200名學生健康指數的平均數為60,樣本方差為86.
(2)①由(1)可知μ=60,σ=≈9.27,
則P(50.73=P(μ-σ②由①可知1名學生的健康指數在(50.73,78.54)內的概率為0.819,
依題意得ξ~B(10 000,0.819),
則Eξ=10 000×0.819=8 190.
6.解析　(1)設考生的成績為X分,則X~N(180,σ2).
令Y=,則Y~N(0,1).
由360分及以上的高分考生有30名,得P(X≥360)=,所以P(X<360)=1-=0.985,
即P=0.985,則≈2.17,
所以σ≈83,所以X~N(180,832).
設最低錄用分數為x0分,
則P(X≥x0)=P,
即P=0.85,
即≈1.04,所以x0≈267,
所以此次招聘中的最低錄用分數為267分.
(2)因為286>267,所以甲能被錄用.
易得P(X<286)=P≈P(Y<1.28)≈0.90,所以不低于甲的成績的人數約為2 000×(1-0.90)=200,所以甲大約排在第200名,所以甲能獲得高薪職位.
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