資源簡(jiǎn)介

6.1.3　共面向量定理
基礎(chǔ)過關(guān)練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　判斷向量共面或四點(diǎn)共面
1.下面關(guān)于空間向量的說法正確的是(　　)
A.若非零向量a,b平行,則a,b所在直線平行
B.若向量a,b所在直線是異面直線,則a,b不共面
C.若A,B,C,D四點(diǎn)不共面,則向量不共面
D.若A,B,C,D四點(diǎn)不共面,則向量不共面
2.若向量a,b,c不共面,則下列選項(xiàng)中三個(gè)向量不共面的是　(　　)
A.b-c,b,b+c B.a+b,c,a+b+c
C.a+b,a-c,c D.a-b,a+b,a
3.已知A,B,C三點(diǎn)不共線,O是平面ABC外任意一點(diǎn),下列條件中能確定點(diǎn)M,A,B,C共面的是(　　)
A.
B.
C.
D.
題組二　共面向量定理的應(yīng)用
4.已知P為空間中任意一點(diǎn),A,B,C,D四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線,但四點(diǎn)共面,且,則實(shí)數(shù)x的值為(　　)
A.
5.已知向量e1,e2,e3不共面,且a=2e1-e2+e3,b=-e1+4e2-2e3,c=11e1+5e2+λe3,若向量a,b,c共面,則λ=　　　　.
6.已知圓錐PO(P為圓錐頂點(diǎn),O為底面圓的圓心)的軸截面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,A,B,C為底面圓周上三點(diǎn),空間一動(dòng)點(diǎn)Q滿足,則||的最小值為　　　　.
7.對(duì)任意空間四邊形ABCD,已知E,F分別是AD,BC的中點(diǎn).證明:(1)共面;
(2)不共線.
能力提升練　　　　　 　　　　 　　　　
題組　共面向量定理的應(yīng)用
1.已知點(diǎn)D在△ABC所確定的平面內(nèi),O是平面ABC外任意一點(diǎn),若正實(shí)數(shù)x,y滿足,則的最小值為(　　)
A.　　　　C.2　　　　D.4
2.如圖,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1為平行四邊形,,AC1與平面EFG交于點(diǎn)M,則=(　　)
A.
3.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,H分別在棱BB1,BC,BA上,且滿足,O是平面B1HN,平面ACM與平面B1BDD1的一個(gè)公共點(diǎn),設(shè),則x+y+3z=(　　)
A.2　　　　B.
4.如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,E,F分別是棱AD,B1C1的中點(diǎn).若P為側(cè)面ADD1A1內(nèi)(含邊界)的動(dòng)點(diǎn),且存在x,y∈R,使成立,則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為(　　)
A.
5.已知A,B,C三點(diǎn)不在同一條直線上,A,B,C,P四點(diǎn)共面,對(duì)空間任意一點(diǎn)O,滿足,則實(shí)數(shù)t=　　　　　,=　　　　　.
6.一種糖果的包裝紙由一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形和2個(gè)等腰直角三角形組成(如圖1),沿AD,BC將2個(gè)三角形折起到與平面ABCD垂直,連接EF,AE,CF,AC,如圖2,若點(diǎn)P滿足,且x+y+z=1,則||的最小值為　　　　.
　
7.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,若E,F分別為PC,BD的中點(diǎn).求證:
(1)EF∥平面PAD;
(2)EF⊥平面PCD.(用向量方法證明)
答案與分層梯度式解析
6.1.3　共面向量定理
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.D 2.C 3.D 4.B
1.D　由向量平行與直線平行的區(qū)別,可知A不正確;空間向量為自由向量,與起點(diǎn)位置無關(guān),通過平移可將空間中任意兩個(gè)向量平移到一個(gè)平面內(nèi),因此空間中任意兩個(gè)向量都是共面的,故B,C都不正確;因?yàn)锳B,AC,AD是空間中共端點(diǎn)A但不共面的三條線段,所以向量不共面.故選D.
2.C　A中,b-c=2b-(b+c),∴b-c,b,b+c三個(gè)向量共面,故A不符合題意;
B中,a+b+c=(a+b)+c,∴a+b,c,a+b+c三個(gè)向量共面,故B不符合題意;
C中,不存在實(shí)數(shù)λ,μ,使得a+b=λ(a-c)+μc成立,∴a+b,a-c,c三個(gè)向量不共面,故C符合題意;
D中,a=[(a-b)+(a+b)],∴a-b,a+b,a三個(gè)向量共面,故D不符合題意.故選C.
3.D　要想空間中的四點(diǎn)M,A,B,C共面,只需滿足,且x+y+z=1即可.
對(duì)于A,x+y+z=2+-1≠1,故M,A,B,C四點(diǎn)不共面;
對(duì)于B,x+y+z=3-2-2≠1,故M,A,B,C四點(diǎn)不共面;
對(duì)于C,x+y+z=≠1,故M,A,B,C四點(diǎn)不共面;
對(duì)于D,x+y+z==1,故M,A,B,C四點(diǎn)共面.故選D.
4.B　,∵P是空間中任意一點(diǎn),A,B,C,D四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線,但四點(diǎn)共面,
∴=1,解得x=-,故選B.
5.答案　1
解析　因?yàn)橄蛄縜,b,c共面,所以存在實(shí)數(shù)m,n,使得c=ma+nb,即11e1+5e2+λe3=(2m-n)e1+(-m+4n)·e2+(m-2n)e3,即
6.答案　
解析　因?yàn)?
所以Q,A,B,C四點(diǎn)共面.
易得PO⊥平面ABC,所以||≥||.
因?yàn)閳A錐PO的軸截面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,
所以|,所以||的最小值為.
7.證明　(1)如圖,在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AD,BC的中點(diǎn),
則,①
.②
①+②得,2,
所以,
由共面向量定理,得共面.
(2)假設(shè)共線,則存在實(shí)數(shù)λ,使得,即),
所以-,
整理,得,
所以共面,這與空間四邊形ABCD中不共面相矛盾,故假設(shè)不成立,結(jié)論得證.
能力提升練
1.B 2.A 3.C 4.C
1.B　由A,B,C,D四點(diǎn)共面,可知x+2y-1=1,即x+2y=2,
由x>0,y>0,得,當(dāng)且僅當(dāng)(x>0,y>0),即x=y=時(shí)等號(hào)成立,故選B.
2.A　由題可設(shè)(0<λ<1),易知,
所以,又M,E,F,G四點(diǎn)共面,所以3λ+3λ+λ=1,解得λ=.故選A.
3.C　解法一:如圖1,由題意可得.
∵O,A,C,M四點(diǎn)共面,O,H,N,B1四點(diǎn)共面,
∴,
∴x+y+3z=,故選C.
解法二:如圖2,連接BD,記AC與BD的交點(diǎn)為Q,BQ的中點(diǎn)為P,連接MQ,B1P,記MQ與B1P的交點(diǎn)為O,過P作PT∥MQ交BB1于T.
截面BDD1B1如圖3,
∵P為BQ的中點(diǎn),PT∥MQ,∴T為BM的中點(diǎn),
∴MT=MB1,
∴,因此.
∵,
∴x+y+3z=.故選C.
4.C　如圖,連接EF,因?yàn)槌闪?所以共面,即B1P∥平面BEF.
取A1D1的中點(diǎn)Q,連接B1Q,B1A,AQ,根據(jù)正方體的性質(zhì)得B1Q∥BE,B1A∥FE,且B1Q∩B1A=B1,BE∩FE=E,所以平面B1AQ∥平面BEF,所以點(diǎn)P在AQ上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P的軌跡為線段AQ.因?yàn)锳1A=1,A1Q=,所以AQ=,故選C.
5.答案　1;0
解析　由,得,
由A,B,C,P四點(diǎn)共面,得1-1+t=1,所以t=1,
所以,所以,所以四邊形ABPC為平行四邊形,則,所以=0.
6.答案　4
解析　因?yàn)辄c(diǎn)P滿足,且x+y+z=1,
所以A,C,F,P四點(diǎn)共面,即P是平面ACF上的動(dòng)點(diǎn),
所以||的最小值即為E到平面ACF的距離.
由題意,將題圖2中的幾何體補(bǔ)成棱長(zhǎng)為6的正方體,如圖,
易知AF=AC=CF=AE=FE=CE=6,
設(shè)E到平面ACF的距離為h,則V三棱錐E-ACF=·S△ACF·h=V正方體-4V三棱錐E-ABC,
即)2·h=63-4××6×6×6,解得h=4,
所以||的最小值為4.
7.證明　(1)連接PF,因?yàn)镋,F分別為PC,BD的中點(diǎn),所以,
所以向量共面,
又EF 平面PAD,DA,PD 平面PAD,DA∩PD=D,
所以EF∥平面PAD.
(2)因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD,側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD,底面ABCD是正方形,所以CD⊥平面PAD,又PA 平面PAD,所以CD⊥PA.
設(shè)AD=1,則,即1=,
所以=0,
所以)·)·=0,
所以EF⊥PD,EF⊥CD,
又PD,CD 平面PCD,PD∩CD=D,
所以EF⊥平面PCD.
3(共27張PPT)
6.1 空間向量及其運(yùn)算
知識(shí)點(diǎn) 1 空間向量的概念
必備知識(shí) 清單破
1.空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的意義
(1)a+b= + = + = (如圖①);
(2)a-b= - = (如圖①);
(3)λa(λ∈R):如圖②,
當(dāng)λ>0時(shí),λa=λ = ;
當(dāng)λ<0時(shí),λa=λ = ;
當(dāng)λ=0時(shí),λa=0.

知識(shí)點(diǎn) 2 空間向量的線性運(yùn)算
圖① 圖②
2.運(yùn)算律
(1)a+b=b+a;
(2)(a+b)+c=a+(b+c);
(3)λ(μa)=λμa(λ,μ∈R);
(4)λ(a+b)=λa+λb,(λ+μ)a=λa+μa(λ,μ∈R).
　　向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.
對(duì)空間任意兩個(gè)向量a,b(a≠0),b與a共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使b=λa.
知識(shí)點(diǎn) 3 近共線向量定理
知識(shí)拓展 證明空間三點(diǎn)A,B,P共線的方法:
(1) =λ (λ∈R);
(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O, = +λ (λ∈R);
(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O, =x +y (x+y=1).
　
1.空間向量的夾角
　　如圖,a,b是空間兩個(gè)非零向量,過空間任意一點(diǎn)O,作 =a, =b,∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫作
向量a與向量b的夾角,記作.

(1)=;
(2)如果=0,那么向量a與b同向;如果=π,那么向量a與b反向;如果= ,那么稱a
與b互相垂直,并記作a⊥b.
知識(shí)點(diǎn) 4 空間向量的數(shù)量積
2.空間向量的數(shù)量積
　　設(shè)a,b是空間兩個(gè)非零向量,我們把數(shù)量|a||b|cos叫作向量a,b的數(shù)量積,記作a·b,即a·b =|a||b|cos.
(1)規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0.
(2)空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律:
①a·b=b·a;
②(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R);
③(a+b)·c=a·c+b·c.
誤區(qū)警示 (1)兩個(gè)向量的數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量,而不是向量,它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零;(2)兩 個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算不滿足消去律(a·b=a·c /b=c)和乘法的結(jié)合律((a·b)·c≠a·(b·c)).
3.投影向量
(1)對(duì)于空間任意兩個(gè)非零向量a,b,設(shè)向量 =a, =b(如圖),過點(diǎn)A作AA1⊥OB,垂足為A1.上
述由向量a得到向量 的變換稱為向量a向向量b投影,向量 稱為向量a在向量b上的投影
向量.

與平面向量的情形類似,我們有a·b= ·b,即向量a,b的數(shù)量積就是向量a在向量b上的投影向
量與向量b的數(shù)量積.
(2)如圖,設(shè)向量m= ,過C,D分別作平面α的垂線,垂足分別為C1,D1,得向量 .我們將上述由
向量m得到向量 的變換稱為向量m向平面α投影,向量 稱為向量m在平面α上的投影向
量.

對(duì)于平面α內(nèi)的任一向量n,有m·n= ·n,也就是說,空間向量m,n的數(shù)量積就是向量m在平面α
上的投影向量與向量n的數(shù)量積.
　
1.共面向量
一般地,能平移到同一平面內(nèi)的向量叫作共面向量.任意兩個(gè)空間向量都是共面向量.
2.共面向量定理
如果兩個(gè)向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x,y),使得
p=xa+yb.
3.共面向量定理的推論
推論1:空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x,y),使 =x +y ,或?qū)?br/>空間任意一點(diǎn)O,有 = +x +y .
知識(shí)點(diǎn) 5 共面向量定理

推論2:空間中的一點(diǎn)P與不共線的三點(diǎn)A,B,C共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z) 使得 =x +y +z 且x+y+z=1,其中O為空間任意一點(diǎn).
知識(shí)辨析
1.空間中任意兩個(gè)向量共面嗎
2.空間中任意三個(gè)向量是否共面
3.由 ∥ 能得到AB∥CD嗎
4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,< , >是多少度
一語破的
1.共面.空間向量為自由向量,只與向量的大小和方向有關(guān),與表示向量的有向線段的起點(diǎn)位 置無關(guān),空間中任意兩個(gè)向量平移后可能共線,也可能相交,故空間中任意兩個(gè)向量共面.
2.不一定共面.如:三棱錐的三條側(cè)棱對(duì)應(yīng)的向量不共面.
3.不能.AB∥CD或A、B、C、D四點(diǎn)共線.
4.120°.因?yàn)椤鰽B1D1為正三角形,所以< , >=180°-60°=120°.
1.空間向量的加法運(yùn)算滿足三角形法則,進(jìn)而可以推廣到多邊形法則,簡(jiǎn)記為:首尾相接,首尾 連.
2.空間向量的減法運(yùn)算滿足三角形法則,簡(jiǎn)記為:共起點(diǎn),連終點(diǎn),指向被減.
3.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義為“伸縮變換”:數(shù)的正負(fù)決定了伸縮的方向,數(shù)的絕對(duì)值 大小決定了伸縮的長(zhǎng)度.
4.因?yàn)榭臻g向量的加法和減法都滿足三角形法則,所以在表示空間向量時(shí),要有意識(shí)地將其放 入三角形中.對(duì)于三角形中有分點(diǎn)的爪形圖,常用結(jié)論是:在△ABC中,D是線段BC上一點(diǎn),且 = ,則 = + .
關(guān)鍵能力 定點(diǎn)破
定點(diǎn) 1 空間向量的線性運(yùn)算
典例 如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中, =a, =b, =c,M是A1D1的中點(diǎn),N是CA1
上的點(diǎn),且CN∶NA1=1∶4,則 = (　 )

A. a+b+c　　B. a+ b+ c
C. a- b- c　　D. a+ b- c
D
解析 在△A1MN中, = + .
∵M(jìn)是A1D1的中點(diǎn),
∴ = =- =- =- b.
∵N是CA1上的點(diǎn),且CN∶NA1=1∶4,
∴ = = ( + + )= (- + + )= (-c+a+b),
∴ =- b+ (-c+a+b)= a+ b- c.
1.求空間向量的數(shù)量積的方法
(1)定義法:a·b=|a||b|cos.
(2)投影向量法:若a在b上的投影向量為m或a在b所在平面上的投影向量為n,則a·b=m·b或a·b= n·b.
2.空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用
(1)求模:|a|= = ,|a±b|= = ;
(2)求夾角:cos= ;
(3)證明兩向量垂直:a⊥b a·b=0.
定點(diǎn) 2 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算及其應(yīng)用
典例1 已知P是棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB上一點(diǎn),則 · 的取值范圍是
　 　 .

思路點(diǎn)撥 利用定義或投影向量表示出 · ,結(jié)合函數(shù)最值求解.
[-1,0]
解析 設(shè)| |=x(0≤x≤2),則| |=2-x.
解法一(定義法):連接A1C,易得| |2=12,
∴ · =| |·| |cos∠A1PC= ·(| |2+| |2-| |2)= [x2+4+(2-x)2+4-12]=x2-2x=(x-1)2-1,
令y=(x-1)2-1,
∵0≤x≤2,∴-1≤y≤0,
故 · ∈[-1,0].
解法二(投影向量法):∵ 在平面ABCD上的投影向量為 ,
∴ · = · ,
∵ 在 上的投影向量為 ,
∴ · = · ,
∴ · = · =| || |·cos< , >=x(2-x)cos π=x2-2x=(x-1)2-1,
令y=(x-1)2-1,
∵0≤x≤2,∴-1≤y≤0,
故 · ∈[-1,0].
典例2 如圖所示,在平面角為120°的二面角α-AB-β中,AC α,BD β,且AC⊥AB,BD⊥AB.已知 AC=AB=BD=6,則線段CD的長(zhǎng)為　　　 .

12
解析 因?yàn)锳C⊥AB,BD⊥AB,
所以 · =0, · =0,
因?yàn)槎娼铅?AB-β的平面角為120°,
所以< , >=180°-120°=60°,
又 =( + + )2=| |2+| |2+| |2+2 · +2 · +2 · =3×62+2×62×cos 60°=14
4,
所以| |=12,故線段CD的長(zhǎng)為12.
　
1.空間四點(diǎn)共面的判定方法
(1)在空間四點(diǎn)A,B,C,D中任選一點(diǎn)為起點(diǎn)(如點(diǎn)A),其余三點(diǎn)分別為終點(diǎn),則可構(gòu)造三個(gè)向量 (如 , , ),利用空間向量共面定理(如 =x +y )進(jìn)行判定或證明.
(2)利用空間任意一點(diǎn)O,證明空間四點(diǎn)A,B,C,D滿足 =x +y +z ,其中x+y+z=1.
2.利用共面向量定理證明線面平行
　　證明AB∥平面α,即證明 可由平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量a,b線性表示,即 =xa+yb.
定點(diǎn) 3 共面向量定理及其應(yīng)用
典例1 如圖所示,P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn),連接PA,PB,PC,PD,E,F,G,H分別是△ PAB,△PBC,△PCD,△PDA的重心,連接PE,PF,PG,PH,并延長(zhǎng)分別交AB,BC,CD,DA于M,N,Q, R,并順次連接MN,NQ,QR,RM.應(yīng)用共面向量定理證明:E,F,G,H四點(diǎn)共面.

證明 ∵E,F,G,H分別是所在三角形的重心,
∴M,N,Q,R分別為AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),則易證四邊形MNQR為平行四邊形,且 = ,
= , = , = ,∴ = - = - = = ( + )= ( - )+
( - )= + = + ,
由共面向量定理得 , , 共面,
∴E,F,G,H四點(diǎn)共面.
典例2 如圖,在三棱錐P-ABC中,D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn),M是線段AD的中點(diǎn).求證:MN ∥平面BDE.

證明 證法一:連接AN.因?yàn)镋,D分別是PC,PA的中點(diǎn),所以 = .
因?yàn)镸,N分別是AD,BC的中點(diǎn),
所以 =- , = ( + ),
所以 = + =- + ( + )= ( - )+ = + .
又 與 不共線,所以根據(jù)共面向量定理可知 , , 共面.
因?yàn)镸N 平面BDE,
所以MN∥平面BDE.
證法二:連接PN,交BE于點(diǎn)G,連接DG,如圖.

因?yàn)镹,E分別是BC,PC的中點(diǎn),
所以G為△PBC的重心,
所以 = .
因?yàn)镈是PA的中點(diǎn),M是AD的中點(diǎn),
所以 = ,
所以 = - = - = ( - )= ,
所以 ∥ .
又MN 平面BDE,DG 平面BDE,
所以MN∥平面BDE.6.1.2　空間向量的數(shù)量積
基礎(chǔ)過關(guān)練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　空間向量的數(shù)量積的概念與運(yùn)算
1.對(duì)于任意空間向量a,b,c,下列說法正確的是(　　)
A.若a∥b,b∥c,則a∥c
B.a·(b+c)=a·b+a·c
C.若a·b=a·c,且a≠0,則b=c
D.(a·b)c=a(b·c)
2.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,=(　　)
A.2　　　　C.2　　　　D.4
3.已知i,j,k是兩兩垂直的單位向量,若a=2i-j+k,b=i+2j-3k,則a·b等于(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.±3　　　　D.-3
4.(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列命題是真命題的是(　　)
A.
B.=0
C.的夾角為60°
D.正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為||
5.已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2,若=a,=b,=c,則a·(a+b+c)=　　　　.
題組二　空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用
6.已知空間向量a,b,c滿足a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=,則a與b的夾角為(　　)
A.30°　　　　B.60°　　　　C.120°　　　　D.150°
7.如圖,已知二面角A-EF-D的大小為45°,四邊形ABFE和四邊形CDEF都是邊長(zhǎng)為1的正方形,則B,D兩點(diǎn)間的距離是(　　)
A.
8.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)度均為2,且它們彼此的夾角都是60°,直線BD1與直線AC所成角的余弦值為(　　)
A.
9.已知單位向量a,b滿足a⊥b,若a+b與xa+b的夾角為,則實(shí)數(shù)x=　　　　.
題組三　投影向量及其應(yīng)用
10.在空間四邊形ABCD中,∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD,則上的投影向量為(　　)
A. B.
C. D.
11.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M為CC1上任意一點(diǎn),則=(　　)
A.-
12.已知正四面體PABC的棱長(zhǎng)為2,E是AB的中點(diǎn),則的值為(　　)
A.-1　　　　B.1　　　　C.3　　　　D.7
能力提升練
　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算
1.(多選題)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形,且∠ADC=120°,PD=AD,則(　　)
A.()·=1
B.()·
C.
D.
2.如圖,在正三棱錐P-ABC中,高PO=6,AB=3,E,F分別為PB,PC的中點(diǎn),則=(　　)
A.
3.在《九章算術(shù)》中,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”.在如圖所示的“鱉臑”A-BCD中,AB⊥平面BCD,∠BDC=90°,BD=2AB=2CD=2,E是BC的中點(diǎn),H是△ABD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(含邊界),且EH∥平面ACD,則的取值范圍是(　　)
A.[0,3] B.
C. D.
4.已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2,若空間內(nèi)任意一點(diǎn)P滿足||=2,則的取值范圍是　　　　.
題組二　空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用
5.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=3,BD=4,=5,則cos<>=(　　)
A.
6.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=2,∠BAD=,∠BAA1=∠DAA1=,則AC1=(　　)
A.2　　　　B.20　　　　C.5　　　　D.25
7.有一長(zhǎng)方形的紙片ABCD,AB=4 cm,BC=3 cm,現(xiàn)沿它的對(duì)角線AC把它折疊成90°的二面角,如圖,則折疊后=　　　　,BD=　　　　cm.
8.如圖,在矩形ABCD和矩形ABEF中,AB=4,AD=AF=3,∠DAF=,0<λ<1,設(shè)=a,=b,=c.
(1)當(dāng)λ=時(shí),求MN與AE夾角的余弦值;
(2)是否存在λ使得MN⊥平面ABCD 若存在,求出λ的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
答案與分層梯度式解析
6.1.2　空間向量的數(shù)量積
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.B 2.D 3.D 4.ABC 6.C 7.D 8.D 10.B
11.B 12.A
1.B　對(duì)于A,若b=0,則a∥b,b∥c,但不能得到a∥c,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,a·(b+c)=a·b+a·c,故B正確;
對(duì)于C,若a·b=a·c,且a≠0,則|a||b|cos=|a||c|cos,則|b|cos=|c|cos,無法得到b=c,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,(a·b)c表示與c共線的向量,而a(b·c)表示與a共線的向量,所以(a·b)c與a(b·c)不一定相等,故D錯(cuò)誤.
故選B.
2.D　易知,所以,又|,
所以|·|=4.故選D.
3.D　因?yàn)閕,j,k是兩兩垂直的單位向量,所以i·j=i·k=j·k=0,i2=j2=k2=1,
所以a·b=(2i-j+k)·(i+2j-3k)=2i2-2j2-3k2=-3.
4.ABC　設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,
對(duì)于A,,故A中命題為真命題;
對(duì)于B,)·()
=()·()
=()·(·()
==a2-a2=0,故B中命題為真命題;
對(duì)于C,易知三角形AB1D1是等邊三角形,所以的夾角為60°,故C中命題為真命題;
對(duì)于D,||=0,故D中命題為假命題.
故選ABC.
5.答案　8
解析　在正四面體ABCD中,∠BAC=∠BAD=∠DAC=,AB=AC=AD=2,則a·(a+b+c)=a2+a·b+a·c=22+2×2×cos +2×2×cos =8.
6.C　設(shè)a與b的夾角為θ,0°≤θ≤180°,由a+b+c=0,得a+b=-c,等號(hào)兩邊平方,得a2+2a·b+b2=c2,
又因?yàn)閨a|=2,|b|=3,|c|=,所以4+2×2×3cos θ+9=7,解得cos θ=-,所以θ=120°,
故選C.
7.D　∵,
∴|.
8.D　如圖,,
因?yàn)橐皂旤c(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)度均為2,且它們彼此的夾角都是60°,
所以=4+4+4-2×2×2cos 60°+2×2×2cos 60°-2×2×2cos 60°=8,所以|,
由,得=4+4+2×2×2cos 60°=12,所以|.
則)·(=4,
所以|cos<.故選D.
9.答案　3-2
解析　∵a+b與xa+b的夾角為,∴cos ,
即x2+4x-1=0,解得x=-2±3,
又x+1>0,即x>-,所以x=3-2.
10.B　因?yàn)椤螦BD=∠BDC=90°,所以=0.
在空間四邊形ABCD中,,則)·,
所以.
故選B.
11.B　解法一:如圖,
連接A1C1,易知在平面A1B1C1D1上的投影向量為,
易得|,且<>=135°,
所以×1×cos 135°=-1.故選B.
解法二:易得,
所以)·,
由正方體的性質(zhì)可得,
所以=0,
所以,
又|的方向相反,
所以=-1.
12.A　如圖,連接CE,過點(diǎn)P作PO⊥平面ABC,則O為△ABC的重心,在平面ABC上的投影向量為,且,
∵△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,
∴|>=150°,
∴×2×cos 150°=-1.故選A.
能力提升練
1.BD 2.B 3.B 5.B 6.A
1.BD　因?yàn)镻D⊥底面ABCD,DA,DC 平面ABCD,所以PD⊥DA,PD⊥DC,所以()·=0,故A錯(cuò)誤;
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長(zhǎng)為1的菱形,且∠ADC=120°,所以△CBD為等邊三角形,所以DB=1,所以()·=0+1×1×cos 120°=-,故B正確;
)·(|cos 120°+0=-1+,故C錯(cuò)誤;
·(|·||cos 120°=-,故D正確.故選BD.
2.B　延長(zhǎng)CO交AB于點(diǎn)D,易知O為等邊△ABC的中心,所以CD⊥AB,則OC=×BCsin 60°=3,在Rt△POC中,PC=,則PB=PC=3,
連接EF,因?yàn)镋,F分別為PB,PC的中點(diǎn),
所以EF=,
在△OEF中,cos∠EOF=,
所以|·||cos∠EOF=.
故選B.
3.B　設(shè)F,G分別為AB,BD的中點(diǎn),連接FG,EF,EG,如圖,
易得FG∥AD,EF∥AC,EG∥CD,
又因?yàn)镕G 平面EFG,AD 平面EFG,
所以AD∥平面EFG,
同理,AC∥平面EFG,
又因?yàn)锳C∩AD=A,AC,AD 平面ACD,
所以平面EFG∥平面ACD.
又因?yàn)镋H∥平面ACD,所以EH 平面EFG,所以H為線段FG上的點(diǎn).
因?yàn)锳B⊥平面BCD,CD 平面BCD,所以AB⊥CD,
由∠BDC=90°,得BD⊥CD,
又因?yàn)锳B∩BD=B,AB,BD 平面ABD,所以CD⊥平面ABD,
又因?yàn)镋G∥CD,所以EG⊥平面ABD,所以EG⊥FG,則cos∠EFG=.
因?yàn)锽D=2AB=2CD=2,所以FG=,
所以·(
=2|·||cos(π-∠EFG)=2|·||cos∠EFG=2|·||.
又因?yàn)閨|∈,所以.
故選B.
4.答案　[4-2]
解析　如圖,取BC的中點(diǎn)O,連接OP,因?yàn)辄c(diǎn)P滿足||=2,所以||=1,即點(diǎn)P落在以O(shè)為球心,1為半徑的球上.因?yàn)?所以)·.
因?yàn)檎拿骟wABCD的棱長(zhǎng)為2,所以AO=DO=2×sin 60°=,
取AD的中點(diǎn)E,連接OE,易知OE⊥AD,所以上的投影向量的模為||,
所以|cos 0°==4.
設(shè)<>=θ,則|cos θ=4+2cos θ.
又因?yàn)閏os θ∈[-1,1],
所以∈[4-2].
5.B　)·)··(=5,
故=-5,所以cos <.故選B.
6.A　由題意可得)=4+4+4+2×2×2×cos=20,所以|,即AC1=2.故選A.
7.答案　-7;
解析　如圖所示,作DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分別為E,F,
由題意得AC==5(cm),則cos∠CAD=,cos∠CAB=.
易得DE=BF=(cm),則AE=CF=(cm),所以EF=AC-AE-CF=5-(cm),
因?yàn)槎娼荄-AC-B為直二面角,BF⊥AC,平面ADC∩平面ABC=AC,BF 平面ABC,所以BF⊥平面ADC,又DE 平面ADC,所以BF⊥DE,
所以·(=-7,
故,
所以|,即BD= cm.
8.解析　(1)=a+c,=a-b,
則)=λ(a+c)-[b+λ(a-b)]=(λ-1)b+λc,
當(dāng)λ=時(shí),b+c,則|,
所以(c-b)(a+c)=(a·c+c2-b·a-b·c)=,
易知||=5,
所以cos<,
故MN與AE夾角的余弦值為.
(2)假設(shè)存在λ使得MN⊥平面ABCD,
因?yàn)锳B,AD 平面ABCD,所以MN⊥AB,MN⊥AD,
則=[(λ-1)b+λc]·a=(λ-1)b·a+λc·a=0,顯然成立,
=[(λ-1)b+λc]·b=(λ-1)b2+λc·b=0,即9(λ-1)+=0,解得λ=,滿足題意.
故存在λ=,使得MN⊥平面ABCD.
1第6章　空間向量與立體幾何
6.1　空間向量及其運(yùn)算
6.1.1　空間向量的線性運(yùn)算
基礎(chǔ)過關(guān)練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　空間向量的概念與表示
1.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,下列向量與是相等向量的是(　　)
A.
2.下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是(　　)
A.方向相反的兩個(gè)向量是相反向量
B.空間中任意兩個(gè)單位向量必相等
C.若||滿足||,則
D.相等向量其方向必相同
題組二　空間向量的加減運(yùn)算
3.在空間四邊形OABC中,=(　　)
A.
4.如圖,在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中,設(shè)=a,=b,=c,則下列各式的運(yùn)算結(jié)果為的是(　　)
A.-a+b+c B.a-b+c
C.a-b-c D.a+b-c
題組三　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
5.在三棱柱ABC-A1B1C1中,M為A1C1的中點(diǎn),若=a,=b,=c,則=(　　)
A.-a+b+c B.a+b+c
C.-a-b+c D.a-b+c
6.(教材習(xí)題改編)如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M在BB1上,點(diǎn)N在DD1上,且BM=D1D,若,則x+y+z=(　　)
A.
7.已知在四面體OABC中,E為OA的中點(diǎn),,若=a,=b,=c,則=(　　)
A.a-b-c B.-a-b+c
C.-a+b+c D.-a+b+c
題組四　共線向量定理
8.已知向量e1,e2是平面上兩個(gè)不共線的單位向量,且=e1+2e2,=-3e1+2e2,=3e1-6e2,則(　　)
A.A,B,C三點(diǎn)共線 B.A,B,D三點(diǎn)共線
C.A,C,D三點(diǎn)共線 D.B,C,D三點(diǎn)共線
9.已知在三棱柱ABC-A1B1C1中,P為空間一點(diǎn),且滿足,λ,μ∈[0,1],則下列說法錯(cuò)誤的是(　　)
A.當(dāng)λ=0時(shí),點(diǎn)P在棱BB1上
B.當(dāng)λ=μ時(shí),點(diǎn)P在線段B1C上
C.當(dāng)μ=1時(shí),點(diǎn)P在棱B1C1上
D.當(dāng)λ+μ=1時(shí),點(diǎn)P在線段B1C上
能力提升練
　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　空間向量的線性運(yùn)算
1.在四面體ABCD中,點(diǎn)E滿足(λ∈R),F為BE的中點(diǎn),且,則λ=(　　)
A.
2.如圖,在四面體ABCD中,E,F分別為BC,AE的中點(diǎn),G為△ACD的重心,則=(　　)
A.-
B.-
C.
D.
3.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,點(diǎn)E在側(cè)棱PC上,且PE=EC,若=a,=b,=c,則=(　　)
A.-a-b-c B.a+b+c
C.a+b+c D.-a-b-c
題組二　共線向量的判定與應(yīng)用
4.已知A,B,C三點(diǎn)共線,則對(duì)空間任一點(diǎn)O,存在3個(gè)均不為0的實(shí)數(shù)λ,m,n,使λ=0,那么λ+m+n的值為　　　　.
5.如圖,已知空間四邊形ABCD,E,H分別是AB,AD的中點(diǎn),F,G分別是CB,CD上的點(diǎn),且.用向量法求證:四邊形EFGH是梯形.
6.四棱柱ABCD-A'B'C'D'的六個(gè)面都是平行四邊形,點(diǎn)M在面對(duì)角線A'B上,且A'M=MB,點(diǎn)N在體對(duì)角線A'C上,且A'N=NC.
(1)若=a,=b,=c,用a,b,c表示向量;
(2)求證:M,N,D'三點(diǎn)共線.
答案與分層梯度式解析
第6章　空間向量與立體幾何
6.1　空間向量及其運(yùn)算
6.1.1　空間向量的線性運(yùn)算
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.B 2.D 3.B 4.D 5.A 6.A 7.D 8.C
9.B
1.B　如圖所示,
對(duì)于A,向量方向相反,所以這兩個(gè)向量不相等,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,向量的長(zhǎng)度相等,方向相同,所以這兩個(gè)向量相等,故B正確;
對(duì)于C,向量方向相反,所以這兩個(gè)向量不相等,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,顯然向量方向相反,所以這兩個(gè)向量不相等,故D錯(cuò)誤.
故選B.
2.D　相反向量指的是長(zhǎng)度相等,方向相反的向量,故A錯(cuò)誤;單位向量是模為1的向量,方向未定,故B錯(cuò)誤;向量不能比較大小,故C錯(cuò)誤;相等向量是模相等,方向相同的向量,故D正確.
3.B　.
4.D　對(duì)于A,-a+b+c=;
對(duì)于B,a-b+c=;
對(duì)于C,a-b-c=;
對(duì)于D,a+b-c=.
故選D.
5.A　如圖,a+b+c.故選A.
6.A　由題意得,
又,所以x=-1,y=1,z=,所以x+y+z=.故選A.
7.D　如圖所示,
解法一:由題意得=b+a=b+a=b+(c-b)-a=-a+b+c.故選D.
解法二:由題意得a+b+c.故選D.
方法總結(jié)　對(duì)于爪形圖線段中的分點(diǎn)問題,常用的結(jié)論如下:如圖,在△ABC中,D是線段BC上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),且,則.
8.C　對(duì)于A,若A,B,C三點(diǎn)共線,則存在唯一的實(shí)數(shù)λ,使得,即e1+2e2=λ(-3e1+2e2),則無解,所以A,B,C三點(diǎn)不共線,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,若A,B,D三點(diǎn)共線,則存在唯一的實(shí)數(shù)μ,使得,即e1+2e2=μ(3e1-6e2),則無解,所以A,B,D三點(diǎn)不共線,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,易得=(e1+2e2)+(-3e1+2e2)=-2e1+4e2=,且AC,AD有公共點(diǎn)A,所以A,C,D三點(diǎn)共線,故C正確;
對(duì)于D,易得=(3e1-6e2)+(e1+2e2)=4e1-4e2,若B,C,D三點(diǎn)共線,則存在唯一的實(shí)數(shù)k,使得,即4e1-4e2=k(-3e1+2e2),則無解,所以B,C,D三點(diǎn)不共線,故D錯(cuò)誤.故選C.
9.B　對(duì)于A,當(dāng)λ=0時(shí),,所以,又μ∈[0,1],所以點(diǎn)P在棱BB1上,故A中說法正確;
對(duì)于B,當(dāng)λ=μ時(shí),),即,故,又λ∈[0,1],所以點(diǎn)P在線段BC1上,故B中說法錯(cuò)誤;
對(duì)于C,當(dāng)μ=1時(shí),,所以λ,即,故,又λ∈[0,1],所以點(diǎn)P在棱B1C1上,故C中說法正確;
對(duì)于D,當(dāng)λ+μ=1時(shí),,即,即,故,又λ∈[0,1],所以點(diǎn)P在線段B1C上,故D中說法正確.
故選B.
能力提升練
1.D 2.B 3.B
1.D　因?yàn)镕為BE的中點(diǎn),所以,
又,所以.
由,得),即,所以λ=.故選D.
2.B　因?yàn)镋,F分別為BC,AE的中點(diǎn),所以).
因?yàn)镚為△ACD的重心,所以),
所以.故選B.
知識(shí)總結(jié)　若G為△ABC的重心,則).
3.B　在△PAE中,,
∵PE=EC,
∴PE=PC,即,
又=a+b-c,
∴=c+(a+b-c)=a+b+c.
故選B.
4.答案　0
解析　因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,所以存在唯一的實(shí)數(shù)k使,顯然k≠0且k≠1,否則點(diǎn)A,B重合或點(diǎn)B,C重合,故),整理得(k-1)=0,又λ=0,所以λ=k-1,m=1,n=-k,顯然實(shí)數(shù)λ,m,n均不為0,所以λ+m+n的值為0.
5.證明　連接BD.∵E,H分別是AB,AD的中點(diǎn),且,
∴,
∴,且||≠|(zhì)|.
又F不在EH上,∴四邊形EFGH是梯形.
6.解析　(1)∵A'M=,
∴a-b-c.
∵A'N=),
∴a-b-c.
(2)證明:∵,且,
∴,即M,N,D'三點(diǎn)共線.
2

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