資源簡介

(共26張PPT)
6.2 空間向量的坐標表示
知識點 1 空間向量基本定理
必備知識 清單破
3.推論
設O,A,B,C是不共面的四點,則對空間任意一點P,都存在唯一的有序實數組(x,y,z),使得 =x +y +z .
1.空間直角坐標系
如圖(1),在空間選定一點O和一個單位正交基底{i,j,k}.以點O為原點,分別以i,j,k的方向為正 方向建立三條數軸:x軸、y軸、z軸,它們都叫作坐標軸.這時我們說建立了一個空間直角坐標 系O-xyz,點O叫作坐標原點,三條坐標軸中的每兩條確定一個坐標平面,分別稱為xOy平面、 yOz平面和zOx平面.

知識點 2 空間向量的坐標表示
如圖(2),在空間直角坐標系中,讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y軸的正方向,若中指指 向z軸的正方向,則稱這個坐標系為右手直角坐標系.
2.空間向量的坐標
在空間直角坐標系O-xyz中,對于空間任意一個向量a,根據空間向量基本定理,存在唯一的有 序實數組(a1,a2,a3),使a=a1i+a2j+a3k({i,j,k}為空間的一個單位正交基底).
有序實數組(a1,a2,a3)叫作向量a在空間直角坐標系O-xyz中的坐標,記作a=(a1,a2,a3).
3.點的坐標
如圖,在空間直角坐標系O-xyz中,對于空間任意一點P,我們稱向量 為點P的位置向量.于是,
存在唯一的有序實數組(x,y,z),使得 =xi+yj+zk.因此,向量 的坐標為 =(x,y,z).此時,我們
把與向量 對應的有序實數組(x,y,z)叫作點P的坐標,記作P(x,y,z).
知識拓展 空間直角坐標系中位于坐標軸、坐標平面上的點的坐標如表所示:
點的位置 x軸上 y軸上 z軸上
坐標形式 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z)
點的位置 xOy平面 yOz平面 zOx平面
坐標形式 (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)
4.空間向量的坐標運算
設a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則
(1)a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2);
(2)a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2);
(3)λa=(λx1,λy1,λz1),λ∈R;
(4)a·b=x1x2+y1y2+z1z2.
若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則
(1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1);
(2)A,B間的距離為AB=
;
(3)線段AB的中點坐標為 .
5.空間向量的平行、垂直、模及夾角的坐標表示
設兩個非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則
名稱 滿足條件
向量表示形式 坐標表示形式
a∥b b=λa(λ∈R) x2=λx1,y2=λy1,z2=λz1
(λ∈R)　　　　　
a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0
模 |a|= |a|=
夾角 cos= cos=

知識辨析
1.點P(1,0,0)在哪一條坐標軸上
2.點P(1,1,0)在哪一個坐標平面內
3.如何求解空間直角坐標系中任一點的坐標
4.若O為坐標原點, =(x,y,z),則P(x,y,z)是否正確
5.設a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),若a∥b,則 = = 是否成立
6.設a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),若x1x2+y1y2+z1z2>0,則一定是銳角嗎
一語破的
1.點P(1,0,0)在x軸上,點P(0,1,0)在y軸上,點P(0,0,1)在z軸上.
2.點P(1,1,0)在xOy平面內,點P(0,1,1)在yOz平面內,點P(1,0,1)在xOz平面內.
3.點在空間直角坐標系中的位置有3種可能:點在坐標軸上、點在坐標平面內和點不是特殊 點.對于前兩種,熟悉點的坐標特征即可輕松寫出其坐標;對于第三種,一般是先確定點在xOy 平面內的射影的位置,再由豎坐標確定點在空間直角坐標系中的具體位置,進而得到其坐標.
4.不正確.若O為坐標原點, =(x,y,z),則 =- =(-x,-y,-z),∴P(-x,-y,-z).
5.不一定成立.當a∥b且x2y2z2=0時, = = 無意義.
6.不一定.若x1x2+y1y2+z1z2>0,則為零角或銳角.
1.用基底表示空間向量
　　若未給定基底,則先選擇基底,選擇時,要盡量選擇共起點的三個向量,再看基向量的模及 其夾角是否已知或易求.基底確定后,利用空間向量的三角形法則、平行四邊形法則和共線 向量的特點,把目標向量逐步分解,向基底靠近,最后化簡整理求出結果.
2.用基底法解決立體幾何問題
　　利用基底法可解決立體幾何中線面關系問題及與夾角、距離(長度)有關的問題,解題時, 首先要確定基底,將所需向量用基底表示出來,然后通過向量運算解決問題.基底法是向量法 中的一種.
關鍵能力 定點破
定點 1 空間向量基本定理的應用
典例 如圖,在棱長為1的正四面體ABCD中,E是棱CD的中點,O在線段BE上,且 =2 .設
=a, =b, =c,以{a,b,c}為基底,用向量法解決下列問題:

(1)用基底表示向量 ;
(2)證明: ⊥ , ⊥ .
思路點撥 (1)利用空間向量的三角形法則、平行四邊形法則運算即可.
(2)先用基底表示 , ,再計算 · , · 即可.
解析 (1)連接AE. = + = + = + ( - )= + = + × ( +
)= + + = a+ b+ c.
(2)證明:由題意知,a2=b2=c2=1,a·b=b·c=c·a= , = - =b-a, = - =c-a.
∵ · = (a+b+c)·(b-a)= (a·b-a2+b2-b·a+c·b-c·a)=0,∴ ⊥ .
∵ · = (a+b+c)·(c-a)= (a·c-a2+b·c-b·a+c2-c·a)=0,∴ ⊥ .
1.確定空間任意一點P的坐標的常用方法
(1)垂面法:確定點P在三條坐標軸上的投影.方法是過點P作三個平面分別垂直于x軸,y軸,z軸 于A,B,C三點(A,B,C即為點P在三條坐標軸上的投影),點A,B,C在x軸,y軸,z軸上分別對應實數a, b,c,則(a,b,c)就是點P的坐標.
(2)垂線段法:先將P投射(沿與z軸平行的方向)到xOy平面上的一點P1,由 的長度及方向確定
豎坐標z,然后在xOy平面上同平面直角坐標系中一樣的方法確定P1的橫坐標x、縱坐標y,最后 得出點P的坐標(x,y,z).
定點 2 空間向量的坐標表示及其運算
3.空間向量的坐標運算
空間向量的坐標運算實質是平面向量坐標運算的推廣,其運算法則僅是在平面向量運算法則 的基礎上增加了豎坐標的運算.
2.用坐標表示空間向量的步驟
典例1 如圖,在長方體OABC-O1A1B1C1中,建立空間直角坐標系O-xyz,OA=2,OC=3,OO1=4,P是B1 C1的中點,則點P的坐標為　　　 ,| |=　　　　 .

(1,3,4)
解析 因為OA=2,OC=3,OO1=4,P是B1C1的中點,
所以點P的坐標是(1,3,4).
易知A(2,0,0),
所以 =(-1,3,4),
所以 =26,
所以| |= .
典例2 已知向量a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:
(1)向量a,b,c的坐標;
(2)a+c與b+c夾角的余弦值.
解析 (1)因為a∥b,所以 = = ,
解得x=2,y=-4.
故a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).
又因為b⊥c,
所以b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,
所以c=(3,-2,2).
(2)由(1)得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1).
設a+c與b+c的夾角為θ,
則cos θ= = =- .
　　通過建立空間直角坐標系,利用空間向量的坐標運算解決立體幾何問題的方法稱為“坐 標法”,是向量法中的一種.
定點 3 立體幾何中的向量運算
典例1 如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1= ,E,F分別是棱B1C1,A1C1的
中點,求:
(1)| |;
(2) 與 的夾角.

解析 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AA1⊥AB,AA1⊥AC,
以A為坐標原點,AB,AC,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

∵AB=AC=2,AA1= ,E,F分別是棱B1C1,A1C1的中點,
∴B(2,0,0),C(0,2,0),E(1,1, ),F(0,1, ).
(1)∵ =(0,1, )-(2,0,0)=(-2,1, ),∴| |= =2 .
(2)∵ =(1,1, )-(2,0,0)=(-1,1, ), =(0,1, )-(0,2,0)=(0,-1, ),
∴cos< , >= = = ,
∵< , >∈[0,π],
∴< , >= .
典例2 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,已知E,G,H分別是CC1,CD,A1C1的中點.

(1)求證: ∥ , ⊥ ;
(2)若P,Q分別為線段B1D1,BD上的點,且3 = ,是否存在實數λ,使 =λ ,且 ⊥ 若
存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由.
解析 設正方體的棱長為1,以A為坐標原點,{ , , }為單位正交基底,建立如圖所示的
空間直角坐標系A-xyz.

則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),A1(0,0,1),D(0,1,0),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1).
由中點坐標公式,得E ,G ,H .
(1)證明: =(1,0,1), = , = ,
所以 =2 , · =1× +0× +1× =0,
所以 ∥ , ⊥ .
(2)不存在.理由如下:
假設存在滿足條件的實數λ.
設點P(x1,y1,1),
則 =(x1-1,y1,0), =(-x1,1-y1,0),
由3 = ,得
解得 所以點P的坐標為 .
設點Q(x2,y2,0),則 = , =(x2,y2-1,0),且 = , =(-1,1,0).
由 ⊥ ,得x2- +y2- - =0,①
由 =λ ,得 ②
聯立①②,無解,故不存在滿足條件的實數λ.6.2　空間向量的坐標表示
6.2.1　空間向量基本定理
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　空間向量的基底的概念
1.(教材習題改編)已知{a,b,c}是空間的一個基底,則可以與向量p=a+b,q=a-b構成基底的向量是(　　)
A.a　　　　B.b　　　　C.a+2b　　　　D.a+2c
2.(多選題)已知O為空間任意一點,M,A,B,C四點互不重合且任意三點不共線,則下列式子中能使{}構成空間的一個基底的是(　　)
A.
B.
C.
D.6
題組二　用基底表示空間向量
3.在正四面體APBC中,過點A作平面PBC的垂線,垂足為點Q,點M滿足,則=(　　)
A. B.
C. D.
4.在空間四邊形ABCD中,=a-2c,=5a+6b-8c,對角線AC,BD的中點分別為P,Q,若=ma+nb+pc,則m+n+p=　　　　.
題組三　空間向量基本定理的應用
5.在棱長為a的正四面體OABC中,點M在OA上,且OM=2MA,N為BC的中點,則=(　　)
A.a2
6.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別在棱BB1,DD1上,且DF=DD1.若,且x+y+z=,則=(　　)
A.
7.如圖,在空間四邊形OABC中,2,E為AD的中點,設=a,=b,=c.
(1)試用向量a,b,c表示向量;
(2)若OA=OC=4,OB=3,∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°,求的值.
能力提升練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　用基底表示向量
1.(多選題)如圖,在四面體OABC中,點M在棱OA上,且滿足OM=2MA,N,G分別是BC,MN的中點,則下列結論正確的是(　　)
A.
B.
C.
D.
2.如圖,在三棱錐O-ABC中,點G為底面△ABC的重心,點M是線段OG上靠近點G的三等分點,過點M的平面分別交棱OA,OB,OC于點D,E,F,若,則=　　　　.
題組二　空間向量基本定理的應用
3.如圖,在四面體BACD中,平面ABD⊥平面ACD,△ABD是等邊三角形,AD=CD,AD⊥CD,M為AB的中點,N在側面BCD上(包含邊界),若(x,y,z∈R),則下列說法正確的是(　　)
A.若x=,則MN∥平面ACD
B.若z=0,則MN⊥CD
C.當MN最小時,x=
D.當MN最大時,x=0
4.如圖,在正四面體ABCD中,E為棱CD的中點,F為棱BC上的動點,則cos<>的最大值為(　　)
A.
5.如圖,正方形ABCD和正方形CDEF的邊長均為6,且二面角A-CD-E的大小為60°,M為對角線AC上靠近點A的三等分點,N為對角線DF的中點,則MN=　　　　.
6.如圖,已知四棱錐T-ABCD的底面為平行四邊形,平面α與直線AD,TA,TC分別交于點P,Q,R,且滿足=x,點M在直線TB上,N為棱CD的中點,且直線MN∥平面α,設=a,=b,=c.
(1)試用基底{a,b,c}表示向量;
(2)若點M的軌跡長度與線段TB的長度的比值為μ,試討論μ是不是定值,若μ為定值,請求出μ;若μ不為定值,請說明理由.
答案與分層梯度式解析
6.2　空間向量的坐標表示
6.2.1　空間向量基本定理
基礎過關練
1.D 2.AC 3.B 5.D 6.B
1.D　易知能與p,q構成基底的向量與p,q不共面.
由題可知a=p+q,b=p-q,a+2b=(a+b)-(a-b)=p-q,
所以a,b,a+2b都與p,q共面,故A,B,C錯誤;
假設a+2c與p,q共面,則存在x,y∈R,使得a+2c=xp+yq=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b,
則2c=(x+y-1)a+(x-y)b,
所以a,b,c共面,這與{a,b,c}是空間的一個基底矛盾,假設不成立,
所以a+2c與p,q不共面,可構成基底,故D正確.
故選D.
2.AC　設空間四點M,A,B,C共面的充要條件是(x+y+z=1),即共面.
對于A,因為≠0,所以不共面,可以構成基底;
對于B,根據平面向量基本定理,可得共面,無法構成基底;
對于C,因為1+1+1=3≠0,所以不共面,可以構成基底;
對于D,由6,得,又=1,所以M,A,B,C四點共面,即共面,無法構成基底.故選AC.
3.B　由題意可得,Q是△PBC的中心,連接PQ,如圖,
則),
所以.故選B.
4.答案　1
解析　∵Q為BD的中點,∴),
又∵P為AC的中點,∴),
∴).
又∵=a-2c,=5a+6b-8c,
∴[(a-2c)+(5a+6b-8c)]=3a+3b-5c,
又∵=ma+nb+pc,
∴根據空間向量基本定理,得m=3,n=3,p=-5.
∴m+n+p=3+3-5=1.
5.D　如圖,
由OM=2MA,得,
由N為BC的中點,得,
則,
易知∠OAB=∠OAC=∠BAC=60°,
所以|a2·cos 60°-a2·cos 60°+a2cos 60°=a2.
故選D.
6.B　設=λ(0≤λ≤1),則,又,
所以x=-1,y=1,z=-λ.
因為x+y+z=,所以-1+1+,所以λ=.
故選B.
7.解析　(1)因為E為AD的中點,所以,因為2,所以,
所以,
所以a+b+c.
(2)由(1)得a+b+c,
因為OA=OC=4,OB=3,∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°,=c-a,
所以·(c-a)=a·c-a2+b·c-a·b+c2-a·c=a·c-a2+b·c-a·b+c2=×4×4cos 60°-×3×4cos 60°-×4×3cos 60°+.
能力提升練
1.AD 3.C 4.C
1.AD　連接ON,因為N,G分別是BC,MN的中點,
所以,故B錯誤;
,故A正確;
,故C錯誤,D正確.故選AD.
2.答案　
解析　由題意可得)=,
因為D,E,F,M四點共面,所以存在實數λ,μ,使得,
所以),
所以,
所以.
3.C　連接BN.因為N在側面BCD上(包含邊界),所以可設,λ,μ∈[0,1],λ+μ≤1,所以.
又,所以且λ,μ∈[0,1],λ+μ≤1.
對于A,若x=,則λ=μ=0,所以點N與點B重合,顯然MN∩平面ACD=A,故A錯誤.
對于B,若z=μ=0,則,所以點N在線段BC上(包括端點),
因為AD⊥CD,平面ABD⊥平面ACD,平面ABD∩平面ACD=AD,CD 平面ACD,所以CD⊥平面ABD,
所以當點N與點B重合時,MN⊥CD,故B錯誤.
對于C,D,過M作ME⊥BD,垂足為E,則BE=|BM|·cos∠ABD=BD,ME=BM·sin∠ABD=BD.
連接NE,因為CD⊥平面ABD,ME 平面ABD,所以ME⊥CD,又ME⊥BD,BD∩CD=D,BD,CD 平面BCD,所以ME⊥平面BCD,又NE 平面BCD,
所以ME⊥NE,
所以MN=,顯然當點N與點E重合時,MN最小,此時λ=0,μ=,所以y=0,z=;當點N與點C重合時,MN最大,此時λ=1,μ=0,所以y=1,z=0,x=-,故C正確,D錯誤.故選C.
4.C　設正四面體ABCD的棱長為1,且=a,=b,=c,
由E為棱CD的中點,可得(b+c),
則|.
設,λ∈[0,1],
則=a+λ(b-a)=(1-λ)a+λb,
則|
=
=,
則(b+c)·[(1-λ)a+λb]=[(1-λ)·a·b+λb2+(1-λ)a·c+λb·c]=(λ+2),
所以cos<.
令t=λ+2,則t∈[2,3],可得,則.
設g,當時,函數g取得最小值,且最小值為g,
所以,所以,即cos<>的最大值為.故選C.
5.答案　
解析　由題意得DE⊥DC,DA⊥DC,所以∠ADE為二面角A-CD-E的平面角,即∠ADE=60°,
因為,N為對角線DF的中點,所以),
因為M為對角線AC上靠近點A的三等分點,
所以),
所以,
所以,
所以+0=14,所以|,即MN=.
6.解析　(1)因為四棱錐T-ABCD的底面為平行四邊形,所以,
故=a+c-b.
(2)μ是定值.
由(1)知,=a+c-b,因為=x,
所以=xa,=(1-x)c,,
則)=a+x(a+c-b-a)=a+xc-xb,=(1-x)a+xc-xb,=-xa+(1-x)c,
設=λb,λ∈R,
又a-b+c,
所以a+b-c,
因為MN∥平面α,QP,QR 平面α,所以存在實數y,z,使得,
故=y(1-x)a+xyc-xyb-xza+(1-x)zc,
所以-a+b-c=y(1-x)a+xyc-xyb-xza+(1-x)zc=(y-xy-xz)a-xyb+(xy+z-xz)c,
故消去y,z并整理,得(4λ+1)x2-(4λ+3)x+2λ+1=0,
易知該方程在x∈R內有解.
當4λ+1=0,即λ=-時,-2x-+1=0,解得x=;
當4λ+1≠0,即λ≠-時,Δ=[-(4λ+3)]2-4(4λ+1)(2λ+1)≥0,解得-≤λ<-或-<λ≤.
綜上,-≤λ≤.
所以點M的軌跡為直線TB上長為TB的線段.
故μ為定值,且μ=.
方法總結　解決空間幾何中點的存在性問題或軌跡問題,可通過引入基底,應用向量共線定理和空間向量基本定理,將幾何問題轉化為代數問題.
16.2.2　空間向量的坐標表示
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　空間向量的坐標表示與運算
1.已知a=(1,2,3),a+b=(-1,3,5),則b=(　　)
A.(2,-2,2) B.(-2,1,2)
C.(-2,-1,2) D.(2,-1,2)
2.在空間直角坐標系中,點A(9,8,5)關于xOz平面對稱的點的坐標為(　　)
A.(9,8,-5) B.(9,-8,5)
C.(-9,8,5) D.(-9,8,-5)
3.已知空間直角坐標系中,A(4,1,3),B(2,-5,1),點C滿足,則點C的坐標為(　　)
A.(3,-2,2) B.(-2,-6,-2)
C.(6,-4,4) D.(0,-11,-1)
4.已知{a,b,c}是空間的一個基底,{a+b,a-b,c}是空間的另一個基底,向量p在基底{a,b,c}下的坐標為(4,2,3),則向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐標是(　　)
A.(4,0,3) B.(3,1,3)
C.(1,2,3) D.(2,1,3)
5.(多選題)在空間直角坐標系中,已知某平行四邊形的三個頂點的坐標分別為(1,2,3),(3,4,2),(-1,4,6),則第四個頂點的坐標可能為(　　)
A.(5,2,-1) B.(-3,2,7)
C.(5,2,7) D.(1,6,5)
6.已知O是坐標原點,且A,B,C三點的坐標分別是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),若),則點P的坐標為　　　　　;若),則點P的坐標為　　　　.
題組二　空間向量平行(共線)的坐標表示
7.如果三點A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)在同一條直線上,則(　　)
A.a=3,b=2 B.a=6,b=-1
C.a=3,b=-3 D.a=-2,b=1
8.已知向量a=(-1,1,0),b=(1,0,m),且ka+b與a-2b平行,則k=　　　　.
題組三　空間向量數量積的坐標表示及應用
9.已知a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若2a-b與b垂直,則|a|=(　　)
A.
10.(多選題)已知a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),則下列結論正確的是(　　)
A.(2a+b)∥a
B.5|a|=|b|
C.a⊥(5a+6b)
D.a與b夾角的余弦值為-
11.若a=(2,3,-1),b=(-1,0,3),c=(0,1,2),則a·(2b-3c)=　　　　;(a+b)·(c+b)=　　　　.
12.在空間直角坐標系O-xyz中,已知=(0,0,2),則的夾角的余弦值為　　　　;上的投影向量為　　　　.
13.已知向量a=(x,1,2),b=(1,y,-2),c=(3,1,z),且a∥b,b⊥c.
(1)求向量a,b,c的坐標;
(2)求a+c與b+c所成角的余弦值.
題組四　空間直角坐標系的應用
14.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D為側棱CC1的中點,AC∶AA1∶AB∶BC=2∶2∶1∶,則向量所成角的余弦值為(　　)
A.
15.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,BC=4,E為AD的中點,則三棱錐A1-CDE的外接球的表面積為(　　)
A.8π　　　　B.24π　　　　C.32π　　　　D.44π
16.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為正方形,M為AB的中點,N為PD的中點.若PA=4,AB=2,則=　　　　.
17.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是DD1,DB的中點,G在棱CD上,且CG=CD.
(1)證明:;
(2)求cos<>.
能力提升練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　空間向量的坐標運算
1.在空間直角坐標系中,已知a=(1,-2,-1),b=(-1,x-1,1),且a與b的夾角為鈍角,則x的取值范圍是(　　)
A.(0,+∞) B.(0,3)
C.(3,+∞) D.(0,3)∪(3,+∞)
2.在空間直角坐標系O-xyz中,=(1,1,2),點Q在直線OP上運動,則當取得最小值時,點Q的坐標為(　　)
A. B.
C. D.
3.在空間直角坐標系O-xyz中,O(0,0,0),E(2,0),B為EF的中點,C為空間中一點,且滿足||=3,若cos<,則=(　　)
A.9　　　　B.7　　　　C.5　　　　D.3
4.已知空間三點A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求以AB和AC為鄰邊的平行四邊形的面積;
(2)試判斷點P(-3,-3,11)與點A,B,C是否共面,并說明理由.
題組二　空間直角坐標系的應用
5.如圖,圓臺OO1的軸截面為等腰梯形ABCD,AB=2CD,E在上底面的圓周上,且∠CO1E=45°,則上的投影向量為(　　)
A. B.
C. D.
6.已知正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面邊長為1,P是正六棱柱內(不含表面)的一點,則的取值范圍是　　　　.
7.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=,O為BC的中點,M為棱B1C1上的動點,N為棱AM上的動點,且,則線段MN的長度的取值范圍為　　　　.
8.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為4的正方形,A1C1與B1D1交于點N,BC1與B1C交于點M,連接AM,BN,且.
(1)用向量法求AA1的長;
(2)對于n個向量a1,a2,…,an,如果存在不全為零的n個實數λ1,λ2,…,λn,使得λ1a1+λ2a2+…+λnan=0,則稱n個向量a1,a2,…,an線性相關,否則稱為線性無關.試判斷是否線性相關.
答案與分層梯度式解析
6.2.2　空間向量的坐標表示
基礎過關練
1.B 2.B 3.A 4.B 5.ABD 7.A 9.B 10.BCD
14.D 15.D
1.B　由題意,得b=(a+b)-a=(-1,3,5)-(1,2,3)=(-2,1,2).故選B.
2.B　點A(9,8,5)關于xOz平面對稱的點的坐標為(9,-8,5).故選B.
方法技巧　空間中點的對稱規律:關于誰對稱誰不變,其余坐標均相反.
3.A　由,可得C為AB的中點,因為A(4,1,3),B(2,-5,1),所以C(3,-2,2),故選A.
4.B　設向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐標為(x,y,z),則p=x(a+b)+y(a-b)+zc,
因為向量p在基底{a,b,c}下的坐標為(4,2,3),所以p=4a+2b+3c,
所以4a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc,即4a+2b+3c=(x+y)a+(x-y)b+zc,
所以所以向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐標為(3,1,3).故選B.
5.ABD　記點A的坐標為(1,2,3),點B的坐標為(3,4,2),點C的坐標為(-1,4,6),設該平行四邊形的第四個頂點為D(x,y,z),
易知對角線互相平分的四邊形是平行四邊形,所以可分三種情況:
①若AD與BC的中點重合,
則
②若BD與AC的中點重合,
則
③若CD與AB的中點重合,
則
所以第四個頂點的坐標可能為(1,6,5)或(-3,2,7)或(5,2,-1).故選ABD.
6.答案　
解析　由題得=(-4,3,1).
若,則P.
若,
則.
7.A　∵A,B,C三點共線,
∴為共線向量,又=(a-1,-2,b+4),
∴,解得a=3,b=2.
8.答案　-
解析　根據題意,得ka+b=(1-k,k,m),a-2b=(-3,1,-2m).
因為ka+b與a-2b平行,
所以當m=0時,,解得k=-;
當m≠0時,,解得k=-.
綜上,k=-.
9.B　由題意得2a-b=(4,2n-1,2),
因為2a-b與b垂直,
所以(2a-b)·b=(4,2n-1,2)·(-2,1,2)=4×(-2)+(2n-1)×1+2×2=0,解得n=,
所以a=,所以|a|=.故選B.
10.BCD　因為2a+b=2(-2,-1,1)+(3,4,5)=(-1,2,7),a=(-2,-1,1),且,所以2a+b與a不平行,故A中結論錯誤;
由題知,|a|=,|b|=,所以5|a|=|b|,故B中結論正確;
易得5a+6b=(8,19,35),則a·(5a+6b)=(-2)×8-1×19+1×35=0,所以a⊥(5a+6b),故C中結論正確;
由a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),得cos=,故D中結論正確.
故選BCD.
11.答案　-13;12
解析　因為b=(-1,0,3),c=(0,1,2),所以2b=(-2,0,6),3c=(0,3,6),所以2b-3c=(-2,-3,0),
故a·(2b-3c)=(2,3,-1)·(-2,-3,0)=-4-9+0=-13.
由a=(2,3,-1),b=(-1,0,3),c=(0,1,2),可得a+b=(1,3,2),b+c=(-1,1,5),
故(a+b)·(c+b)=-1+3+10=12.
12.答案　;(1,-1,0)
解析　因為=(0,0,2),所以=(2,-2,0),
所以cos<,
則上的投影向量為|>·=(1,-1,0).
13.解析　(1)易知y≠0,∵a=(x,1,2),b=(1,y,-2),c=(3,1,z),且a∥b,b⊥c,
∴
∴a=(-1,1,2),b=(1,-1,-2),c=(3,1,1).
(2)由(1)知,a+c=(2,2,3),b+c=(4,0,-1),
∴(a+c)·(b+c)=2×4+2×0+3×(-1)=5,
|a+c|=,
|b+c|=,
設a+c與b+c所成的角為θ,
則cos θ=,
故a+c與b+c所成角的余弦值為.
14.D　不妨設AC=AA1=2,AB=1,BC=,則AB2+AC2=BC2,所以∠BAC=90°,即AB⊥AC,
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AC,AB 平面ABC,所以AA1⊥AC,AA1⊥AB.
以A為坐標原點建立空間直角坐標系A-xyz,如圖所示,
則A(0,0,0),A1(0,0,2),B(1,0,0),D(0,2,1),
所以=(0,2,1),
所以cos<,
故所成角的余弦值為-.故選D.
15.D　以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,
則A1(0,0,2),C(2,4,0),D(0,4,0),E(0,2,0),
設三棱錐A1-CDE的外接球的球心為O(x,y,z),
則OA1=OC=OD=OE,
由OD=OE,得,解得y=3,
由OC=OD,得,解得x=1,
由OA1=OC,得,即,解得z=3,
所以O(1,3,3),因此三棱錐A1-CDE的外接球的半徑為,
故該外接球的表面積為4π·()2=44π.故選D.
16.答案　-8
解析　以A為坐標原點,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系,如圖,
則A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,4),C(2,2,0),所以=(2,2,-4),
因為M為AB的中點,N為PD的中點,
所以M(1,0,0),N(0,1,2),
所以=(-1,1,2),所以=-2+2-8=-8.
17.解析　(1)證明:以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則D(0,0,0),E(0,0,1),F(1,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),B1(2,2,2),G,
所以=(-2,0,-2),
所以=1×(-2)+1×0+(-1)×(-2)=0,
所以.
(2)由(1)知,=(1,1,-1),
所以|,
所以cos<.
能力提升練
1.D 2.C 3.D 5.B
1.D　因為a與b的夾角為鈍角,所以a·b<0,且a與b不共線,
又a=(1,-2,-1),b=(-1,x-1,1),所以a·b=1×(-1)-2×(x-1)-1×1=-2x<0,解得x>0,
若a與b共線,則,即x=3,
所以x的取值范圍為x>0且x≠3,即x∈(0,3)∪(3,+∞).故選D.
2.C　設Q(x,y,z),由點Q在直線OP上,可得存在實數λ,使得,即(x,y,z)=λ(1,1,2),所以Q(λ,λ,2λ),所以=(2-λ,1-λ,2-2λ),則=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)·(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=2(3λ2-8λ+5),根據二次函數的性質,可得當λ=時,取得最小值,為-,此時Q.故選C.
3.D　易得B(,0),設C(x,y,z),則,z),
由cos<
=,
得x-y=-①.
由||=3,得,化簡,得x+y=②.
聯立①②,解得x=,所以,易得,0),所以·(0,2,0)=3.故選D.
4.解析　(1)由已知可得,=(1,-3,2),
∴cos A=cos<,又0故以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的面積為||·||·sin A=.
(2)點P與點A,B,C共面,理由如下:
由題得=(1,-3,2),
假設存在實數λ,μ,使得,
則
∴,即是共面向量,
∴點P與點A,B,C共面.
5.B　連接OO1,則OO1⊥底面圓O,以點O為坐標原點建立空間直角坐標系O-xyz,如圖所示,
不妨設圓臺OO1的高為h,CD=4a,則AB=8a,
故A(0,-4a,0),B(0,4a,0),E(-a,h),
則)a,h),
所以)a2,
所以.故選B.
6.答案　
解析　以A為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,且AB=BC=CD=DE=EF=AF=1,
由正六邊形的性質可得,A(0,0,0),B(1,0,0),F,所以=(1,0,0),
設P(x,y,z),其中-,
則=(x,y,z),
所以=x,故.
7.答案　
解析　取B1C1的中點Q,連接OQ,OA,易得OQ,OA,OC互相垂直.
以O為坐標原點,OC,OA,OQ所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,如圖,
則O(0,0,0),A(0,),
因為M是棱B1C1上一動點,所以設M(a,0,),且a∈[-1,1],
因為,所以MN=,
令t=,a∈[-1,1],則,t∈[],
又函數y=t-在t∈[]上單調遞增,
所以當t=時,,當t=時,,
所以線段MN的長度的取值范圍為.
8.解析　(1)以D為坐標原點,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則A(4,0,0),B(4,4,0),
設AA1=t(t>0),則M,N(2,2,t),
所以=(-2,-2,t),
由,得=0,即-2×(-2)+4×(-2)+t2=0,解得t=2(負值舍去),
故AA1=2.
(2)由(1)知=(0,-4,0),
設存在實數λ1,λ2,λ3,使得λ1=0成立,
則
即當且僅當λ1=λ2=λ3=0時,λ1=0,
∴線性無關.
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