資源簡(jiǎn)介

(共17張PPT)
7.1 兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理
知識(shí)點(diǎn) 1 分類計(jì)數(shù)原理(加法原理)
必備知識(shí) 清單破
　　如果完成一件事,有n類方式,在第1類方式中有m1種不同的方法,在第2類方式中有m2種不 同的方法……在第n類方式中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不 同的方法.
　
如果完成一件事,需要分成n個(gè)步驟,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法… …做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.
知識(shí)點(diǎn) 2 分步計(jì)數(shù)原理(乘法原理)
知識(shí)點(diǎn) 3 兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的比較
知識(shí)辨析
1.要完成一件事,如何選擇用分類計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理
2.在分類計(jì)數(shù)原理中,兩類不同方式中的方法可以相同嗎
3.在分步計(jì)數(shù)原理中,第2步的方法數(shù)是否受第1步不同方法的影響
4.有三只口袋裝有小球,一只裝有5個(gè)大小不同的白色小球,一只裝有6個(gè)大小不同的黑色小 球,一只裝有7個(gè)大小不同的紅色小球,若每次從中取兩個(gè)不同顏色的小球,則共有多少種不同 的取法
5.在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上有四項(xiàng)比賽,冠軍僅在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生,那么不同的奪冠情況共有43 種還是34種
一語破的
1.看每一種方法是否能夠獨(dú)立完成這件事,如果每類方式中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件 事,那么就用分類計(jì)數(shù)原理;如果每類方式中的每一種方法只能完成這件事的一部分,那么就 用分步計(jì)數(shù)原理.
2.不可以.在分類計(jì)數(shù)原理中,每類方式中的不同方法互相獨(dú)立,都能獨(dú)立完成這件事,因此兩 類不同方式中的方法是不同的.
3.否.無論第1步采用哪種方法,與之對(duì)應(yīng)的第2步都有相同的方法數(shù).
4.107種.5×6+5×7+6×7=107(種).
5.34種.要完成的一件事是“給比賽項(xiàng)目找冠軍獲得者”,因?yàn)槊總€(gè)項(xiàng)目中的冠軍都有3種可 能的情況,所以根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有34種不同的奪冠情況.

1.利用兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理時(shí),首先要理解題意,弄清“完成哪件事”,然后決定是分類還是分 步.“類”用“+”連接,“步”用“×”連接,“類”獨(dú)立,“步”連續(xù),“類”標(biāo)志一件事的 完成,“步”則缺一不可.
2.解題時(shí)通常要綜合考慮兩個(gè)計(jì)數(shù)原理
(1)類中有步

　　從A→B共有(m1×m2×m3+m4×m5)種方法.
關(guān)鍵能力 定點(diǎn)破
定點(diǎn) 1 兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的合理選擇
(2)步中有類

　　從A→D共有m1×(m2+m3+m4)×m5種方法.
典例1 有6名同學(xué)報(bào)名參加3個(gè)智力競(jìng)賽項(xiàng)目.
(1)若每人恰好參加一個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目人數(shù)不限,則有多少種不同的報(bào)名方法
(2)若每個(gè)項(xiàng)目限報(bào)一人,且每人至多參加一個(gè)項(xiàng)目,則有多少種不同的報(bào)名方法
(3)若每個(gè)項(xiàng)目限報(bào)一人,但每人參加的項(xiàng)目個(gè)數(shù)不限,則有多少種不同的報(bào)名方法
解析 (1)根據(jù)題意得,每名同學(xué)都可以從3個(gè)智力競(jìng)賽項(xiàng)目中選1個(gè)參加,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理, 得不同的報(bào)名方法種數(shù)為36=729.
(2)根據(jù)題意得,第1個(gè)項(xiàng)目有6種選法,第2個(gè)項(xiàng)目有5種選法,第3個(gè)項(xiàng)目有4種選法,根據(jù)分步計(jì) 數(shù)原理,得不同的報(bào)名方法種數(shù)為6×5×4=120.
(3)根據(jù)題意得,每個(gè)項(xiàng)目都可以從6名同學(xué)中選出1名參加,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,得不同的報(bào)名 方法種數(shù)為63=216.
典例2 7名學(xué)生中,有3名會(huì)下象棋但不會(huì)下圍棋,有2名會(huì)下圍棋但不會(huì)下象棋,另外2名既會(huì) 下象棋又會(huì)下圍棋.現(xiàn)從這7人中選2人分別參加象棋比賽和圍棋比賽,共有多少種不同的選 法
解析 分四類:
第一類,從3名只會(huì)下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時(shí)從2名只會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1 名參加圍棋比賽,有3×2=6種選法;
第二類,從3名只會(huì)下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時(shí)從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的 學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,有3×2=6種選法;
第三類,從2名只會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,同時(shí)從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的 學(xué)生中選1名參加象棋比賽,有2×2=4種選法;
第四類,從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中各選1名分別參加象棋比賽和圍棋比賽,有2×1 =2種選法.
故不同的選法共有6+6+4+2=18(種).
1.在計(jì)數(shù)問題中常涉及元素與位置,解題時(shí)要分析清楚要完成的事是元素選擇位置還是位置 選擇元素.
2.當(dāng)涉及元素?cái)?shù)目不大時(shí),一般選擇用列舉法、樹狀圖法.當(dāng)涉及元素?cái)?shù)目較大或情況比較復(fù) 雜時(shí),一般有兩種方法:
(1)直接法:直接應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理或分步計(jì)數(shù)原理解題.
(2)間接法:先去掉限制條件,計(jì)算方法總數(shù),然后減去所有不符合條件的方法數(shù),從而得到正確 答案.
定點(diǎn) 2 解決計(jì)數(shù)問題的常用方法
典例1 (1)假定有一排蜂房,其形狀如圖所示,一只蜜蜂在左下角的蜂房中,由于受了傷只能爬, 不能飛,而且只能從一間蜂房爬到與之相鄰的右方(包括右上、右下)蜂房中去,則該蜜蜂從最 初位置爬到4號(hào)蜂房中,不同的爬法有 (　 )

A.4種　 B.6種　 C.8種　 D.10種
(2)用0,1,…,9這十個(gè)數(shù)字可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是 (　 )
A.243　 B.252　 C.261　 D.279
C
B
解析 (1)記最初位置為P點(diǎn),畫出樹狀圖如圖所示:

故該蜜蜂從最初位置爬到4號(hào)蜂房中共有8種不同的爬法.
(2)直接計(jì)算比較復(fù)雜,可利用間接法.
組成的三位數(shù)可分為兩類:一類有重復(fù)數(shù)字,另一類無重復(fù)數(shù)字.先算無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的 個(gè)數(shù):第一步,排百位數(shù)字,有9種方法(0不能排首位),第二步,排十位數(shù)字,有9種方法,第三步,排 個(gè)位數(shù)字,有8種方法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,得共有9×9×8=648個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),又組成的 所有三位數(shù)的個(gè)數(shù)為9×10×10=900,所以有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是900-648=252.
典例2 某城市在中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃,花圃分為6個(gè)部分,如圖所示,現(xiàn)要栽種4種顏色的花, 每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花,求共有多少種不同的栽種方法.

解析 解法一:區(qū)域1,2,3依次栽種的不同顏色的花有4×3×2=24種栽種方法,下面通過分類討 論考慮區(qū)域4,5,6的栽種方法:
(1)若區(qū)域4與前3個(gè)區(qū)域栽種的花顏色不同,則:當(dāng)區(qū)域6與區(qū)域3栽種的花顏色相同時(shí),區(qū)域5 只有1種栽種方法,故區(qū)域4,5,6依次栽種的不同顏色的花有1×1×1=1種栽種方法;
當(dāng)區(qū)域6與區(qū)域4栽種的花顏色相同時(shí),區(qū)域5有2種栽種方法,故區(qū)域4,5,6依次栽種的不同顏 色的花有1×2×1=2種栽種方法.
(2)若區(qū)域4與區(qū)域2栽種的花顏色相同,則:
當(dāng)區(qū)域6為第四種顏色的花時(shí),區(qū)域5只有1種栽種方法,故區(qū)域4,5,6依次栽種的不同顏色的花 有1×1×1=1種栽種方法;
當(dāng)區(qū)域6與區(qū)域3栽種的花顏色相同時(shí),區(qū)域5只有1種栽種方法,故區(qū)域4,5,6依次栽種的不同 顏色的花有1×1×1=1種栽種方法.
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理,得不同的栽種方法共有24×(1+2+1+1)=120(種).
解法二:先考慮區(qū)域1,有4種栽種方法,再將其余五個(gè)區(qū)域視為一個(gè)圓環(huán),沿著圓環(huán)一個(gè)邊界剪 開并拉直得到如圖的五個(gè)方格,在五個(gè)方格中放3種不同的元素,且滿足下列兩個(gè)條件:①相同 元素不能相鄰;②兩端元素不能相同.

記3個(gè)元素分別為甲、乙、丙,依次從左往右確定元素,前兩個(gè)方格中的元素有3×2=6種情形, 不妨記為甲、乙,后三個(gè)方格中的元素可能情形有:甲乙丙、甲丙乙、丙甲乙、丙甲丙、丙 乙丙,共5種,
由分步計(jì)數(shù)原理,得不同的栽種方法共有4×6×5=120(種).
規(guī)律方法 涂色(或種植)問題一般是直接利用兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理求解,常用方法如下:
(1)根據(jù)區(qū)域的不同,以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù),用分步計(jì)數(shù)原理分析;
(2)根據(jù)所選顏色(或種植作物)種數(shù)不同,以顏色(或種植作物)為主分類討論,用分類計(jì)數(shù)原理 分析.第7章　計(jì)數(shù)原理
7.1　兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理
基礎(chǔ)過關(guān)練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　分類計(jì)數(shù)原理及其應(yīng)用
1.(教材習(xí)題改編)已知兩條異面直線a,b上分別有4個(gè)點(diǎn)和7個(gè)點(diǎn),則這11個(gè)點(diǎn)可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為(　　)
A.4　　　　B.7　　　　C.11　　　　D.126
2.小明在某一天中有七個(gè)課間,為準(zhǔn)備“小歌手”比賽,他想要選出至少一個(gè)課間來練習(xí)唱歌,但他希望任意兩個(gè)練習(xí)唱歌的課間之間都至少有兩個(gè)課間不練習(xí)唱歌,則小明的練習(xí)方案種數(shù)為(　　)
A.31　　　　B.18　　　　C.21　　　　D.33
3.用1,3,5,7中的任意一個(gè)數(shù)作分子,2,4,8,9中的任意一個(gè)數(shù)作分母,則可構(gòu)成真分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)為(　　)
A.8　　　　B.9　　　　C.10　　　　D.11
題組二　分步計(jì)數(shù)原理及其應(yīng)用
4.某市舉行自行車系列賽,已知本次比賽設(shè)有4個(gè)服務(wù)點(diǎn),現(xiàn)將5名志愿者安排到4個(gè)服務(wù)點(diǎn),要求每名志愿者都要到一個(gè)服務(wù)點(diǎn)服務(wù),每個(gè)服務(wù)點(diǎn)都要安排志愿者,且最后一個(gè)服務(wù)點(diǎn)需安排2名志愿者,則不同的安排方法種數(shù)為(　　)
A.30 B.60
C.120 D.125
5.如圖,提供4種不同的顏色給圖中A,B,C,D四塊區(qū)域涂色,若相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色,則不同的涂法共有　　　　種.
6.設(shè)集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐標(biāo)平面上的點(diǎn),a,b∈M.
(1)P可以表示多少個(gè)平面上不同的點(diǎn)
(2)P可以表示多少個(gè)第二象限的點(diǎn)
(3)P可以表示多少個(gè)不在直線y=x上的點(diǎn)
題組三　兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用
7.(教材習(xí)題改編)如圖,若要讓電路中的A處與B處接通,則不同的線路條數(shù)為(　　)
A.5　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.12
8.中國有十二生肖,又叫十二屬相,每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè),三位同學(xué)依次選一個(gè)作為禮物,甲同學(xué)喜歡牛和馬,乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊,丙同學(xué)每個(gè)吉祥物都喜歡,若三位同學(xué)對(duì)選取的禮物都滿意,則不同的選法有(　　)
A.30種　　　　B.50種　　　　C.60種　　　　D.90種
能力提升練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　分類計(jì)數(shù)原理及其應(yīng)用
1.定義:“各位數(shù)字之和為8的三位數(shù)叫幸運(yùn)數(shù)”,比如116,431,則所有“幸運(yùn)數(shù)”的個(gè)數(shù)為(　　)
A.21　　　　B.35　　　　C.36　　　　D.45
2.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個(gè)數(shù)中任意取出3個(gè)不同的數(shù),若這3個(gè)數(shù)的和為不小于9的奇數(shù),則不同的取法有(　　)
A.54種 B.53種
C.47種 D.46種
3.口袋里有紅、黃、藍(lán)、綠色小球各四個(gè),這些球除顏色外完全相同,現(xiàn)在從口袋里任意取出四個(gè)小球,則不同的取法有(　　)
A.48種　　　　B.77種　　　　C.35種　　　　D.39種
4.從集合U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}的子集中選出兩個(gè)非空集合A,B,同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件:①A∪B=U且A∩B= ;②若x∈A,則x+1∈B.則共有　　　　種不同的選法.
5.如圖,某景區(qū)共有A,B,C,D,E五個(gè)景點(diǎn),相鄰景點(diǎn)之間僅設(shè)置一個(gè)檢票口供出入,共有7個(gè)檢票口,工作人員為了檢測(cè)檢票設(shè)備是否正常,需要對(duì)每個(gè)檢票口的檢票設(shè)備進(jìn)行檢測(cè).若不重復(fù)經(jīng)過同一個(gè)檢票口,依次對(duì)所有檢票口進(jìn)行檢測(cè),則共有　　　　種不同的檢測(cè)順序.
題組二　分步計(jì)數(shù)原理及其應(yīng)用
6.現(xiàn)有印有數(shù)字0,1,2,6,12,20,22,26的8張卡片,每張卡片大小、質(zhì)地均相同且有若干張.若從中任選幾張卡片并擺成一排,則數(shù)字20 220 126的擺放方式共有(　　)
A.12種　　　　B.18種　　　　C.24種　　　　D.28種
7.10 000除去1和自身外的正因數(shù)的個(gè)數(shù)是(　　)
A.25　　　　B.24　　　　C.23　　　　D.16
8.杭州亞運(yùn)會(huì)的吉祥物包括三種機(jī)器人造型,這三種機(jī)器人分別叫“蓮蓮”“琮琮”“宸宸”,小輝同學(xué)購買三種吉祥物各兩個(gè)(同名的兩個(gè)吉祥物完全相同),送給三位好朋友,每人兩個(gè),則每個(gè)好朋友都收到不同名的吉祥物的分配方案共有　　　　種.(用數(shù)字作答)
題組三　兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用
9.如圖,用四種不同的顏色給圖中的A,B,C,D,E,F,G七個(gè)點(diǎn)涂色,要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色,且每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色,則不同的涂色方法種數(shù)為(　　)
A.192 B.336　　　　
C.600 D.以上均不對(duì)
10.某單位有4位同事各有一輛私家車,車牌尾數(shù)分別是0,1,2,5,為遵守所在城市某月15日至18日這4天的限行規(guī)定(奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行,偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行),四人商議拼車出行,每天任選一輛符合規(guī)定的車,但甲的車(車牌尾數(shù)為2)最多只能用一天,則不同的用車方案種數(shù)是(　　)
A.4　　　　B.12　　　　C.16　　　　D.24
11.5個(gè)人排成一列,重新站隊(duì)時(shí),各人全不站在原來的位置上,那么不同的站隊(duì)方式共有　　　　種.
答案與分層梯度式解析
第7章　計(jì)數(shù)原理
7.1　兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.C 2.B 3.D 4.B 7.C 8.B
1.C　分兩類情況討論:
第一類,直線a分別與直線b上的7個(gè)點(diǎn)可以確定7個(gè)不同的平面;
第二類,直線b分別與直線a上的4個(gè)點(diǎn)可以確定4個(gè)不同的平面.
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知,共可以確定7+4=11個(gè)不同的平面.
2.B　設(shè)七個(gè)課間的編號(hào)分別為1,2,3,4,5,6,7,則練習(xí)的情況有三類:
①有且僅有一個(gè)課間練習(xí),則每個(gè)課間都可以,有7種方案;
②有兩個(gè)課間練習(xí),選法為{1,4},{1,5},{1,6},{1,7},{2,5},{2,6},{2,7},{3,6},{3,7},{4,7},共有10種方案;
③有三個(gè)課間練習(xí),選法為{1,4,7},有1種方案.
故小明的練習(xí)方案種數(shù)為7+10+1=18.
3.D　分四類:①當(dāng)分子為1時(shí),有,共4個(gè)真分?jǐn)?shù);②當(dāng)分子為3時(shí),有,共3個(gè)真分?jǐn)?shù);③當(dāng)分子為5時(shí),有,共2個(gè)真分?jǐn)?shù);④當(dāng)分子為7時(shí),有,共2個(gè)真分?jǐn)?shù).根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知,可構(gòu)成4+3+2+2=11個(gè)真分?jǐn)?shù).故選D.
4.B　設(shè)5名志愿者分別為A,B,C,D,E,根據(jù)題意,分兩步進(jìn)行:
第一步,在5名志愿者中選出2名志愿者,安排在最后一個(gè)服務(wù)點(diǎn),有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10種安排方法;
第二步,將剩下的3名志愿者安排到其他3個(gè)服務(wù)點(diǎn),不妨設(shè)剩余的3名志愿者分別為C,D,E,則有CDE,CED,DCE,DEC,ECD,EDC,共6種安排方法.
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知,共有10×6=60種安排方法.故選B.
5.答案　48
解析　先對(duì)B區(qū)域涂色,共有4種不同的涂法,再對(duì)D區(qū)域涂色,共有3種不同的涂法,然后對(duì)A區(qū)域涂色,共有2種不同的涂法,最后對(duì)C區(qū)域涂色,共有2種不同的涂法,
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,得不同的涂法共有4×3×2×2=48種.
6.解析　(1)分兩步:第一步,確定a,有6種選法;第二步,確定b,也有6種選法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,得P可以表示6×6=36個(gè)平面上不同的點(diǎn).
(2)分兩步:第一步,確定a,只能從-3,-2,-1中選,有3種選法;第二步,確定b,只能從1,2中選,有2種選法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,得P可以表示3×2=6個(gè)第二象限的點(diǎn).
(3)分兩步:第一步,確定a,從集合M中的6個(gè)元素中任選一個(gè),有6種選法;第二步,確定b,從剩下的5個(gè)元素中任選一個(gè),有5種選法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,得P可以表示6×5=30個(gè)不在直線y=x上的點(diǎn).
7.C　若要讓電路中的A處與B處接通,則不同的線路條數(shù)為2×1+2×3=8.故選C.
8.B　①若甲同學(xué)選擇牛,則乙同學(xué)有2種選擇,丙同學(xué)有10種選擇,不同的選法種數(shù)為2×10=20;
②若甲同學(xué)選擇馬,則乙同學(xué)有3種選擇,丙同學(xué)有10種選擇,不同的選法種數(shù)為3×10=30.
綜上,共有20+30=50種不同的選法.故選B.
能力提升練
1.C 2.B 3.C 6.B 7.C 9.C 10.B
1.C　由題意可得幸運(yùn)數(shù)的首位最大為8,且首位不為0,按百位數(shù)字分類討論:
①當(dāng)百位數(shù)字為1時(shí),后兩位數(shù)字相加為7,則剩余兩位數(shù)字為7,0或6,1或5,2或4,3,可組成8個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”;
②當(dāng)百位數(shù)字為2時(shí),后兩位數(shù)字相加為6,則剩余兩位數(shù)字為6,0或5,1或4,2或3,3,可組成7個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”;
③當(dāng)百位數(shù)字為3時(shí),后兩位數(shù)字相加為5,則剩余兩位數(shù)字為5,0或4,1或3,2,可組成6個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”;
④當(dāng)百位數(shù)字為4時(shí),后兩位數(shù)字相加為4,則剩余兩位數(shù)字為4,0或3,1或2,2,可組成5個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”;
⑤當(dāng)百位數(shù)字為5時(shí),后兩位數(shù)字相加為3,則剩余兩位數(shù)字為3,0或2,1,可組成4個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”;
⑥當(dāng)百位數(shù)字為6時(shí),后兩位數(shù)字相加為2,則剩余兩位數(shù)字為2,0或1,1,可組成3個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”;
⑦當(dāng)百位數(shù)字為7時(shí),后兩位數(shù)字相加為1,則剩余兩位數(shù)字為1,0,可組成2個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”;
⑧當(dāng)百位數(shù)字為8時(shí),后兩位數(shù)字相加為0,則剩余兩位數(shù)字均為0,可組成1個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”.
故所有幸運(yùn)數(shù)的個(gè)數(shù)為8+7+6+5+4+3+2+1=36.
故選C.
2.B　根據(jù)題意,將10個(gè)數(shù)分為2組,一組為奇數(shù):1,3,5,7,9,一組為偶數(shù):0,2,4,6,8,
若取出的3個(gè)數(shù)的和為不小于9的奇數(shù),分兩類情況討論:
①取出的3個(gè)數(shù)全部為奇數(shù),有{1,3,5},{1,3,7},{1,3,9},{1,5,7},{1,5,9},{1,7,9},{3,5,7},{3,5,9},{3,7,9},{5,7,9},共10種情況;
②取出的3個(gè)數(shù)有1個(gè)奇數(shù),2個(gè)偶數(shù),
若1個(gè)奇數(shù)取9,2個(gè)偶數(shù)取{0,2},{0,4},{0,6},{0,8},{2,4},{2,6},{2,8},{4,6},{4,8},{6,8},共10種情況;
若1個(gè)奇數(shù)取7,2個(gè)偶數(shù)取{0,2},{0,4},{0,6},{0,8},{2,4},{2,6},{2,8},{4,6},{4,8},{6,8},共10種情況;
若1個(gè)奇數(shù)取5,2個(gè)偶數(shù)取{0,4},{0,6},{0,8},{2,4},{2,6},{2,8},{4,6},{4,8},{6,8},共9種情況;
若1個(gè)奇數(shù)取3,2個(gè)偶數(shù)取{0,6},{0,8},{2,4},{2,6},{2,8},{4,6},{4,8},{6,8},共8種情況;
若1個(gè)奇數(shù)取1,2個(gè)偶數(shù)取{0,8},{2,6},{2,8},{4,6},{4,8},{6,8},共6種情況.
綜上,若這3個(gè)數(shù)的和為不小于9的奇數(shù),則不同的取法有10+10+10+9+8+6=53種.故選B.
3.C　分四類:
①當(dāng)取出的小球只有一種顏色時(shí),有4種取法;
②當(dāng)取出的小球只有兩種顏色時(shí),顏色組合可能為紅黃、紅藍(lán)、紅綠、黃藍(lán)、黃綠、藍(lán)綠,共6種,以取出紅黃兩種顏色的小球?yàn)槔?可能情況為1紅3黃,2紅2黃,3紅1黃,共3種,故不同的取法共有6×3=18種;
③當(dāng)取出的小球只有三種顏色時(shí),顏色組合可能為紅黃藍(lán)、紅黃綠、紅藍(lán)綠、黃藍(lán)綠,共4種,以取出紅黃藍(lán)三種顏色的小球?yàn)槔?可能情況為1紅1黃2藍(lán),1紅2黃1藍(lán),2紅1黃1藍(lán),共3種,故不同的取法共有4×3=12種;
④當(dāng)取出的小球有四種顏色時(shí),只有1種取法.
綜上,不同的取法有4+18+12+1=35種.故選C.
4.答案　88
解析　由題易知集合A,B中的元素互不相同且元素個(gè)數(shù)相加為10,因此由A中的元素可唯一確定B中的元素.又若某個(gè)數(shù)字在A中,則比這個(gè)數(shù)字大1的數(shù)字在B中,因此按集合A中的元素個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論如下:
當(dāng)A為單元素集合時(shí),有{1},{2},…,{9},共9種情況.
當(dāng)A為雙元素集合時(shí),有{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{1,7},{1,8},{1,9},{2,4},{2,5},{2,6},{2,7},{2,8},{2,9},{3,5},{3,6},{3,7},{3,8},{3,9},{4,6},{4,7},{4,8},{4,9},{5,7},{5,8},{5,9},{6,8},{6,9},{7,9},共28種情況.
當(dāng)A為三元素集合時(shí),含有數(shù)字1,3的有{1,3,5},{1,3,6},{1,3,7},{1,3,8},{1,3,9},共5種情況,含有數(shù)字1,4的有{1,4,6},{1,4,7},{1,4,8},{1,4,9},共4種情況,……,含有數(shù)字1,7的有{1,7,9},共1種情況,所以A為最小數(shù)字是1的三元素集合的情況共有1+2+3+4+5=15(種);同理含有數(shù)字2,4的有{2,4,6},{2,4,7},{2,4,8},{2,4,9},共4種情況,……,所以A為最小數(shù)字是2的三元素集合的情況共有1+2+3+4=10(種);……;A為最小數(shù)字是5的三元素集合的情況有{5,7,9},共1種.所以A為三元素集合時(shí)共有(1+2+3+4+5)+(1+2+3+4)+(1+2+3)+(1+2)+1=35種情況.
當(dāng)A為四元素集合時(shí),含有數(shù)字1,3,5的有{1,3,5,7},{1,3,5,8},{1,3,5,9},共3種情況,含有數(shù)字1,3,6的有{1,3,6,8},{1,3,6,9},共2種情況,含有數(shù)字1,3,7的有{1,3,7,9},共1種情況,所以A為含有數(shù)字1,3的四元素集合的情況共有1+2+3=6(種),同理含有數(shù)字1,4的有{1,4,6,8},{1,4,6,9},{1,4,7,9},共3種情況,含有數(shù)字1,5的有{1,5,7,9},共1種情況,所以A為最小數(shù)字是1的四元素集合的情況共有1+3+6=10(種),同理,A為最小數(shù)字是2的四元素集合的情況共有1+3=4(種),A為最小數(shù)字是3的四元素集合的情況為{3,5,7,9},共1種.所以A為四元素集合時(shí)共有1+4+10=15種情況.
當(dāng)A為五元素集合時(shí),有{1,3,5,7,9},共1種情況.綜上可知,共有9+28+35+15+1=88種不同的選法.
5.答案　32
解析　如圖,將5個(gè)景點(diǎn)抽象為5個(gè)點(diǎn),7個(gè)檢票口抽象為7條路線,
則問題可轉(zhuǎn)化為不重復(fù)地走完7條路線,即一筆畫問題,
從B或E處出發(fā)的線路是奇數(shù)條,其余是偶數(shù)條,可以判斷只能從B或E處出發(fā)才能不重復(fù)地走完7條路線,由圖形對(duì)稱性知從B出發(fā)和從E出發(fā)出現(xiàn)的情況種數(shù)相同,故只列出從B處出發(fā)的路線情形即可.
①走BA路線:3126547,3126745,3147526,3147625,3156247,3157426,共6種;
②走BC路線:4137526,4137625,4265137,4267315,4562137,4573126,共6種;
③走BE路線:7513426,7543126,7621345,7624315,共4種.
故共有2×(6+6+4)=32種不同的檢測(cè)順序.
6.B　
思路點(diǎn)撥　先擺放20,再擺放220,最后擺放126,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可求解.
解析　分三步:先擺放20,有2種方式,分別是2,0;20;再擺放220,有3種方式,分別是2,2,0;22,0;2,20;最后擺放126,有3種方式,分別是1,2,6;12,6;1,26.
則由分步計(jì)數(shù)原理知,數(shù)字20 220 126的擺放方式共有2×3×3=18(種).故選B.
7.C　10 000=(2×5)4=24×54,所求數(shù)的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)可以看成從A,B兩個(gè)盒子中取數(shù),其中A盒子中有4個(gè)2,B盒子中有4個(gè)5,從A盒子中取i個(gè)2,從B盒子中取j個(gè)5(其中i,j=0,1,2,3,4)相乘可以得到一個(gè)因數(shù)(如不取可看成取1),
所以從兩個(gè)盒子中取數(shù)均有5種取法,當(dāng)都不取或全取出所有的2和5時(shí),因數(shù)為1和10 000,所以10 000除去1和自身外的正因數(shù)的個(gè)數(shù)是5×5-2=23.故選C.
8.答案　6
解析　設(shè)“蓮蓮”“琮琮”“宸宸”分別為A,B,C,則不同名的吉祥物的組合形式有AB,AC,BC三種,
故送給第一個(gè)好朋友有3種方案,送給第二個(gè)好朋友有2種方案,送給第三個(gè)好朋友有1種方案,
故每個(gè)好朋友都收到不同名的吉祥物的分配方案共有3×2×1=6種.
9.C　先對(duì)E涂色,有4種涂色方法,再對(duì)F涂色,有3種涂色方法,然后對(duì)G涂色,有2種涂色方法.對(duì)A涂色分以下三種情況:
(1)當(dāng)A與F同色時(shí),B有2種涂色方法.
若C與F同色,則D有3種涂色方法;
若C與F不同色,則C有1種涂色方法,D有2種涂色方法.
此時(shí)涂色方法種數(shù)為4×3×2×1×2×(1×3+1×2)=240.
(2)當(dāng)A與G同色時(shí),
若C與F同色,則B,D各有2種涂色方法;
若C與F不同色,則C有2種涂色方法,B有2種涂色方法,D有1種涂色方法.
此時(shí)涂色方法種數(shù)為4×3×2×1×(1×2×2+2×2×1)=192.
(3)當(dāng)A既不與F同色,也不與G同色時(shí),A有1種涂色方法.
若B與F同色,且A與C同色,則D有2種涂色方法;若B與F同色,A與C不同色,則C有1種涂色方法,D有1種涂色方法;若B與F不同色,則B有1種涂色方法,
①若C與F同色,則D有2種涂色方法,
②若C與F不同色,則必與A同色,C有1種涂色方法,D有2種涂色方法.
此時(shí)涂色方法種數(shù)為4×3×2×1×[1×1×2+1×1×1+1×(1×2+1×2)]=168.
綜上,不同的涂色方法種數(shù)為240+192+168=600.
故選C.
10.B　第一步,安排奇數(shù)日出行,每天都有2種選擇,共有22=4(種).第二步,安排偶數(shù)日出行,分兩類:第一類,先選1天安排甲的車,另外一天安排其他車,有2種;第二類,不安排甲的車,只有1種選擇,共有2+1=3(種).根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知,不同的用車方案共有4×3=12(種),故選B.
11.答案　44
解析　考慮一般情況,即n(n>2)個(gè)人排成一列,重新站隊(duì)時(shí),各人都不站在原來的位置上,設(shè)滿足這樣的站隊(duì)方式有an種,下面通過合理分布,恰當(dāng)分類找出遞推關(guān)系:
第一步:第一個(gè)人不站在原來的第1個(gè)位置,則有(n-1)種站法,
第二步:假設(shè)第一個(gè)人站在第2個(gè)位置,則第二個(gè)人的站法可以分為兩類:
第一類,若第二個(gè)人恰好站在第1個(gè)位置,則余下的(n-2)個(gè)人有an-2種站隊(duì)方式;
第二類,若第二個(gè)人不站在第1個(gè)位置,則就是第二個(gè)人不站在第1個(gè)位置,第三個(gè)人不站在第3個(gè)位置,第四個(gè)人不站在第4個(gè)位置,……,第n個(gè)人不站在第n個(gè)位置,所以有an-1種站隊(duì)方式,
由分步計(jì)數(shù)原理和分類計(jì)數(shù)原理,得an=(n-1)·(an-2+an-1),
顯然a1=0,a2=1,則a3=2,a4=9,a5=44.
故不同的站隊(duì)方式共有44種.
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