資源簡介

(共22張PPT)
知識點 二項式系數的性質
7.4.2 二項式系數的性質及應用
必備知識 清單破
1.對稱性
在(a+b)n的展開式中,與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等,即 = (m∈N,n∈N*,
m≤n).
2.增減性與最大值
(1)增減性:當r< 時, < ;當r> 時, < .
(2)最大值:當n為偶數時,中間一項的二項式系數 最大;當n為奇數時,中間兩項的二項式系
數 , 相等,且最大.
3.二項式系數的和
(1)二項展開式中,各項的二項式系數的和等于2n,即 + + +…+ =2n.
(2) + + +…= + + +…= .
4.特殊情況
在楊輝三角中,除1以外的每一個數都等于它“肩上”兩個數的和,即 + = .
知識辨析
1.二項展開式的各二項式系數的和是 + +…+ 嗎
2.(x+2)5與(x-2)5的展開式的各二項式系數和相等嗎
3.若(a+b)n的展開式的第4項的二項式系數與第6項的二項式系數相等,則二項式系數最大的 項是哪一項
4.在(1-x)9的展開式中,系數最大的項是第5項和第6項嗎
一語破的
1.不是.二項展開式的各二項式系數的和是 + + +…+ =2n.
2.相等.均為25=32.
3.由題意可知, = ,所以n=3+5=8,(a+b)8的展開式的中間項為第5項,所以第5項為二項式系
數最大的項.
4.不是.展開式共有10項,其中奇數項的系數為正,偶數項的系數為負,所以系數最大的項僅為 第5項.
1.展開式中二項式系數最大的項的確定方法
(1)當n為偶數時,中間一項 的二項式系數最大;
(2)當n為奇數時,中間兩項 第 項和第 項,即 和 的二項式系數相等且最大.
2.展開式中系數最值的確定方法
方法一,二項展開式中的系數是關于正整數n的式子,可以看成關于n的函數,利用判斷函數單 調性的方法判斷系數的增減性,從而求出系數的最值.
關鍵能力 定點破
定點 1 求解二項式系數、系數最值問題
方法二,分析系數的符號,利用不等式組求解,具體如下:(1)在系數符號相同的前提下,求系數 的最大(小)值只需比較兩組相鄰兩項系數的大小,根據通項列出不等式組即可.(2)當各項系 數正負相間時,求系數的最大值應在系數都為正的各項系數間構造不等式組;求系數的最小
值應在系數都為負的各項系數間構造不等式組.
典例 在(3x-2y)20的展開式中,求:
(1)二項式系數最大的項;
(2)系數絕對值最大的項;
(3)系數最大的項.
解析 (1)二項式系數最大的項是第11項,T11= ×310×(-2)10x10y10=610 x10y10.
(2)設系數絕對值最大的項是第(r+1)(0≤r≤20,r∈N)項,
于是
化簡,得
解得 ≤r≤ (r∈N),所以r=8,
即T9= ×312×28×x12y8是系數絕對值最大的項.
(3)因為系數為正的項為y的偶次方項,
所以可設第(2k-1)(1≤k≤11,k∈N)項系數最大,
于是
所以
解得k=5,即第9項系數最大,T9= ×312×28×x12y8.
知識拓展 二項展開式系數最大理論:在(ax+by)n(a,b∈R,且a,b≠0,n∈N*)的展開式中,第k= +1項系數的絕對值最大,其中[x]為取整函數.

1.利用二項式定理解決整除或求余數問題
(1)利用二項式定理解決整除或求余數問題,關鍵是要巧妙構造二項式,通常把底數寫成除數 (或與除數密切相關的數)與某數的和或差的形式,再用二項式定理展開,只考慮后面(或前面) 一兩項就可以了.
(2)要注意余數的范圍:a=cr+b中,r是除數,b是余數,且b∈[0,r).切記余數不能為負數,所以利用 二項式定理展開變形后,若“剩余部分”是負數,則要注意進行轉換.
2.利用二項式定理進行近似計算
　　利用二項式定理進行近似計算,其關鍵在于構造恰當的二項式(p+q)n(n∈N*,p∈Z,|q|<1), 并根據近似要求,對其展開式的項合理取舍,通常只考慮前面(或后面)幾項,從而確定(p+q)n的 近似值.
定點 2 二項式定理的應用
3.利用二項式定理證明有關不等式
　　利用二項式定理證明組合數不等式,通常表現為二項式定理的正用或逆用,再結合不等 式證明的方法進行論證.證明不等式時,應注意運用放縮法,可將對結論不構成影響的若干項 去掉.
典例 (1)求證:5151-1能被7整除;
(2)求0.9986的近似值,使誤差小于0.001;
(3)求證:對一切n∈N*,都有2≤ <3.
解析 (1)證明:5151-1=(49+2)51-1= ×4951+ ×4950×2+…+ ×49×250+ ×251-1,
易知除 ×251-1=251-1以外各項都能被7整除.
又251-1=(23)17-1=(7+1)17-1= 717+ 716+…+ 7+ -1=7( 716+ 715+…+ ),
顯然上式能被7整除,所以5151-1能被7整除.
(2)0.9986=(1-0.002)6=1+6×(-0.002)+15×(-0.002)2+…+(-0.002)6.
因為T3=15×(-0.002)2=0.000 06<0.001,且第3項以后的項的絕對值都遠小于0.001,
所以第3項及其以后的項可以忽略不計,
所以0.9986=(1-0.002)6≈1+6×(-0.002)=1-0.012=0.988.
(3)證明:∵ = + · + · + · +…+ · =1+1+ · + · · +…+
· · ·…· ,
∴2≤ <2+ + +…+ <2+ + +…+ =2+ + +…+ =
3- <3,即2≤ <3.
當且僅當n=1時, =2;
當n≥2時,2< <3.
故對一切n∈N*,都有2≤ <3.
解決與楊輝三角有關的問題的一般思路

定點 3 楊輝三角
典例 (1)(多選)我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式系 數表,數學愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究.則下列結論正確的是 (　 )

A.1+ + + =
B.第2 022行的第1 011個數最大
ACD
C.第20行所有數字之和為220
D.第34行中從左到右第14個數與第15個數之比為2∶3
(2)若圖中的數字滿足條件:①第n行首尾兩數均為n;②遞推關系類似楊輝三角,則第10行的第 2個數是　　　 ,第n(n≥2,n∈N*)行的第2個數是　　　 .

46
解析 (1)1+ + + =1+6+ + =84, = =84,故A正確;
第2 022行的第1 012個數最大,故B錯誤;
第20行所有數字之和為 + +…+ =220,故C正確;
第34行第14個數是 = ,第15個數是 = ,
所以 = = =2∶3,故D正確.
(2)由題圖可知,第10行的第2個數為(1+2+3+…+9)+1=46,第n(n≥2,n∈N*)行
的第2個數為[1+2+3+…+(n-1)]+1=
+1= .
素養解讀
　　排列、組合知識在高考中多以選擇題或填空題的形式出現,要求考生能對不確定的情況 進行分析,因此在學習中,要注意由點到面,由淺至深的辯證理解,多方面、多角度的思考并解 決問題.
在解決排列與組合的相關問題時,常用的方法有相鄰問題捆綁法、相間問題插空法、多排問 題單排法、定序問題縮倍法、定位問題優先法、有序分配問題分步法、多元問題分類法、 交叉問題集合法、至少(或至多)問題間接法等.通過正確分類將排列、組合問題進行模型化, 從而找到解決對策,提高解題效率,培養邏輯推理、數學建模的核心素養.
學科素養 情境破
素養 通過對排列、組合的研究,培養邏輯推理、數學建模的核心素養
例題 將A,B,C,D,E,F這六個字母排成一排,且A,B均在C的同側,則不同的排法共有　　　 種. (用數字作答)
典例呈現
480
解題思路 解法一(特殊元素優先法):如圖,

①C在第1位時,有 =120種排法;
②C在第2位時,在字母D,E,F中任取一個放在第1位,剩下的4個字母全排列,共有 · =72種
排法;
③C在第3位時,若A,B均在C的左側,則有 種排法,若A,B均在C的右側,則在字母D,E,F中任
取兩個放在C的左側,有 · 種排法,故共有 + =48種排法.
根據對稱性可知,不同的排法共有2×(120+72+48)=480(種).
解法二(定序問題縮倍法):由題設可知,A,B,C三者的順序可以為ABC,ACB,BAC,BCA,CBA, CAB,共6種情況,其中滿足條件的共有4種情況,所以將A,B,C,D,E,F這六個字母排成一排,且A,
B均在C的同側的不同的排法共有 × = ×720=480(種).
思維升華
解決排列、組合問題后要注意進行反思,總結題目考查的是哪個知識點、與哪些知識相關 聯、是以什么形式來出題的、題目中隱藏的信息有哪些、怎樣將已有知識綜合運用到題目 中等,多角度分析問題的來龍去脈,從而提高邏輯思考能力,掌握解決每類問題的通法,達到培 養數學建模素養的目的.7.4.2　二項式系數的性質及應用
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　二項式系數的性質及其應用
1.若(n∈N*)的展開式中所有項的二項式系數之和為16,則的展開式中的常數項為(　　)
A.6　　　　B.8　　　　C.28　　　　D.56
2.在的展開式中,各二項式系數之和為A,各項系數之和為B,若B-A=240,則n=(　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6
3.已知的展開式中所有奇數項的二項式系數的和為28,則展開式中有理項項數為(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5
4.在(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展開式中含x2的項的系數等于(　　)
A.280　　　　B.300　　　　C.210　　　　D.120
5.對于:
(1)若展開式的第4項與第8項的二項式系數相等,求展開式中x2的系數;
(2)若展開式的前三項的系數成等差數列,求展開式的中間項.
題組二　二項式系數與項的系數的最大值問題
6.設n∈N*,(a+b)2n的展開式中二項式系數的最大值為x,(a+b)2n+1的展開式中二項式系數的最大值為y,若11x=6y,則n=(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
7.已知(a>0)的展開式中唯有第5項的系數最大,則a的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
8.若(mx-1)n(n∈N*)的展開式中,所有項的系數和與二項式系數和相等,且第6項的二項式系數最大,則有序實數對(m,n)共有(　　)
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
9.(多選題)在的展開式中,下列說法中正確的是(　　)
A.常數項是
B.各項系數和是64
C.第4項的二項式系數最大
D.奇數項的二項式系數和是32
10.在的展開式中,只有第5項的二項式系數最大,則展開式中含x2項的系數為　　　　.
11.在的展開式中,前三項的二項式系數之和等于79.
(1)求n的值;
(2)若展開式中的常數項為,求展開式中系數最大的項.
12.已知(n∈N*)的展開式的第5項的系數與第3項的系數之比是10∶1.
(1)求展開式中各項系數的和;
(2)求展開式中含的項;
(3)求展開式中系數最大的項和二項式系數最大的項.
題組三　二項式定理的應用
13.32 023被8除所得的余數為(　　)
A.1　　　　B.3　　　　C.5　　　　D.7
14.(多選題)若f(x)=x5-5x4+10x3-10x2+5x-1,則(　　)
A.f(x)可以被(x-1)3(x≠1)整除
B.f(x+y+1)可以被(x+y)4(x+y≠0)整除
C.f(30)被27除所得的余數為6
D.f(29)的個位數為6
15.中國南北朝時期的著作《孫子算經》中,對同余除法有較深的研究.設a,b,m(m>0)為整數,若a和b被m除所得的余數相同,則稱a和b對模m同余,記為a≡b(mod m).若a=×218,a≡b(mod 10),則b的值可以是(　　)
A.2 018 B.2 020
C.2 022 D.2 024
16.1.026的近似值為　　　　.(精確到0.01)
17.已知f(x)=(x2+2x+3)8=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a16(x+1)16.
(1)求an(n=0,1,2,…,16)的最大值;
(2)求f(5)-5被13除所得的余數.
能力提升練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　二項式中系數的綜合應用
1.已知在的展開式中,第5項的系數與第3項的系數之比是56∶3,則展開式中系數的絕對值最大的項為(　　)
A.第6項　　　　B.第8項　　　　C.第9項　　　　D.第11項
2.在的展開式中,含x3項的系數為15,則展開式中二項式系數最大的項是(　　)
A.第4項　　　　B.第5項　　　　C.第6項　　　　D.第3項
3.(多選題)已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且存在正整數n,滿足a1+2a2+…+nan=321,則下列結論正確的是(　　)
A.n=6
B.a1+a2+…+an=119
C.(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n的展開式中所有項的系數之和為126
D.(1+2x)n的展開式中二項式系數最大的項為第3項和第4項
4.在(1+ax)8的展開式中,若x3的系數為-56,則a=　　　　;若展開式中有且僅有x4項的系數最大,則a的取值范圍是　　　　.
5.已知m,n是正整數,(1+x)m+(1+x)n的展開式中x的系數為15.
(1)求展開式中x2的系數的最小值;
(2)已知(2+3x的展開式中的二項式系數的最大值為a,項的系數的最大值為b,求a+b.
題組二　二項式定理的綜合應用
6.(多選題)下列說法正確的是(　　)
A.若(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,則|a1|+|a2|+…+|a10|=310-1
B.1.0510精確到0.1的近似數為1.6
C.5555被8除所得的余數為1
D.=39
7.(多選題)定義集合Tn={an|2nA.S1=3
B.T2={3,6}
C.當n為偶數時,Tn中有項
D.當n為奇數時,Tn中元素的最小值為2n+1
8.設a∈Z,且0≤a≤7,若32 024+a能被8整除,則a=　　　　.
9.若(x+5)2 023=a0+a1x+a2x2+…+a2 023x2 023,T=a0+a1+a2+…+a2 023,則T被5除所得的余數為　　　　.
10.證明:(1)5151-1能被7整除;
(2)當n∈N*時,(1+)n為偶數.
答案與分層梯度式解析
7.4.2　二項式系數的性質及應用
基礎過關練
1.C 2.B 3.C 4.D 6.D 7.A 8.D 9.ACD
13.B 14.AB 15.A
1.C　由題意得2n=16,所以n=4,則的展開式的通項為Tr+1=(0≤r≤8且r∈N),
令=0,得r=2,
故的展開式中的常數項為T3==28.故選C.
2.B　當x=1時,=4n,故B=4n,
易知各二項式系數之和為A=2n,
因為B-A=240,所以4n-2n=240,則2n=16,所以n=4.故選B.
3.C　由題意得+…==2n-1=28,所以n-1=8,解得n=9,
所以的展開式的通項為Tr+1=(0≤r≤9,r∈N),
若Tr+1為有理項,則r能被3整除,即滿足題意的r可以是0,3,6,9,共4個.
故選C.
4.D　在(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展開式中含x2的項的系數為+…++…++…+=…==120.故選D.
5.解析　(1)由題意得,所以n=10,則展開式的通項為Tr+1=,
令=2,解得r=4,則T5=x2,所以x2的系數為.
(2)的展開式的通項為Tr+1=)n-r·,
所以第一項的系數為=1,第二項的系數為,第三項的系數為,
因為前三項的系數成等差數列,
所以2×,解得n=8或n=1,
因為至少有三項,所以n=8,
所以展開式有9項,中間項為T5=x.
6.D　由題意可得x=,
則11,即11×,所以11=6×,解得n=5.
故選D.
7.A　的展開式的通項為Tr+1=(x3)6-r··ar·x18-4r,
由題可知.
故選A.
8.D　由第6項的二項式系數最大,知n的可能取值為9,10,11,
令x=1,可得所有項的系數和為(m-1)n,
又二項式系數和為2n,
所以(m-1)n=2n,當n=9或n=11時,m=3;當n=10時,m=3或m=-1,
故有序實數對(m,n)共有4個,分別為(3,9),(3,11),(-1,10),(3,10).故選D.
9.ACD　的展開式的通項為Tk+1=·(,
令3-k=0,得k=2,所以常數項為,故A正確;
令x=1,得各項系數和為,故B錯誤;
易知第4項的二項式系數最大,故C正確;
奇數項的二項式系數和為×26=32,故D正確.
故選ACD.
10.答案　70
解析　由只有第5項的二項式系數最大可得n=8,
∴的展開式的通項為Tr+1=,
令8-r=2,解得r=4.
∴展開式中含x2項的系數為(-1)4=70.
11.解析　(1)展開式中前三項的二項式系數之和為=79,
整理,得n2+n-156=0,因為n∈N*,所以n=12.
(2)的展開式的通項為Tr+1=·(ax)12-r··a12-r·(r=0,1,2,…,12),
令12-r=0,得r=9,
所以展開式中的常數項為T10=,解得a=.
設展開式中系數最大的項是第(k+1)項,
則
解得≤k≤.
因為k∈N,所以k=8,
故展開式中系數最大的項為T9=.
12.解析　由題意知,第5項的系數為(-2)4,第3項的系數為(-2)2,則=10,
化簡,得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去),故.
(1)令x=1,得各項系數的和為(1-2)8=1.
(2)的展開式的通項為Tr+1=)8-r··(-2)r,
令4-,解得r=1,故展開式中含的項為T2=-16.
(3)的展開式中的第r項,第(r+1)項,第(r+2)項的系數的絕對值分別為·2r-1,·2r,,設第(r+1)項的系數的絕對值最大,
則解得5≤r≤6(r∈N*).
又第6項的系數為負,所以系數最大的項為T7=1 792.
由n=8知第5項的二項式系數最大,即T5=1 120x-6.
13.B　32 023=3×32 022=3×91 011=3×(8+1)1 011
=3(×80×11 011)
=3(×81×11 010)+3,
其中3(×81×11 010)是8的整數倍,
故32 023被8除所得的余數為3.
故選B.
14.AB　∵f(x)=x5-5x4+10x3-10x2+5x-1=(x-1)5,
∴f(x)可以被(x-1)3(x≠1)整除,故A正確;
∵f(x+y+1)=(x+y)5,
∴f(x+y+1)可以被(x+y)4(x+y≠0)整除,故B正確;
∵f(30)=(30-1)5=(27+2)5=·25
=·27×24+27+5,
∴f(30)被27除所得的余數為5,故C錯誤;
∵f(29)=(29-1)5=(30-2)5=·(-2)5
=·30×(-2)4-32,
∴個位數為10-2=8,故D錯誤.
故選AB.
15.A　由二項式定理得,a=(1+2)18-)-2,
所以a被10除所得的余數為8,
結合選項知,2 018被10除所得的余數是8.故選A.
16.答案　1.13
解析　由二項式定理得,1.026=(1+0.02)6=1+×0.023+…+0.026≈1+0.12+0.006≈1.13.
17.解析　(1)由題意得(x2+2x+3)8=[2+(x+1)2]8=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a16(x+1)16,
因為[2+(x+1)2]8的展開式的通項為Tr+1=28-r(x+1)2r,r=0,1,2,…,8,
所以a1=a3=…=a15=0,a2n=28-n,n=0,1,2,…,8.
令25=1 792,
所以an的最大值為1 792.
(2)因為f(5)-5=388-5=(39-1)8-5=39(-1)7+1-5,
所以f(5)-5被13除所得的余數即為-4被13除所得的余數,為9.
能力提升練
1.B 2.A 3.AC 6.ABD 7.ACD
1.B　,r=0,1,2,…,n,
所以第5項的系數為(-2)4·,
由題意得,整理得n2-5n-50=0,解得n=10或n=-5(舍去),
所以Tr+1=(-2)r·.
設第(s+1)項的系數的絕對值最大,則該項系數的絕對值為|(-2)s·,
所以
即
整理可得.
又s∈N,所以s=7,所以展開式中系數的絕對值最大的項是第8項.故選B.
2.A　由題意可得x>0,
當0其展開式的通項為Tr+1=,
令=15,解得n=6,r=4;
當x≥1時,x≥,
其展開式的通項為Tk+1=,
令n-=15,解得n=6,k=2.
綜上所述,n=6,所以展開式共有7項,故展開式中二項式系數最大的項是第4項.故選A.
3.AC　對(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn兩邊同時求導,得1+2(1+x)+…+n(1+x)n-1=a1+2a2x+…+nanxn-1,
令x=1,得1+2×2+…+n·2n-1=a1+2a2+…+nan=321,
令Sn=1+2×2+…+n·2n-1①,得Sn=321,
所以2Sn=1×2+2×22+…+n·2n②,
①-②得,-Sn=1+2+22+…+2n-1-n·2n=-n·2n=(1-n)2n-1=-321,解得n=6,故A正確;
對于(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,
令x=1,得2+22+…+26=a0+a1+a2+…+a6==126,
令x=0,得6=a0,
所以a1+a2+…+a6=126-6=120,故B錯誤,C正確;
因為(1+2x)6的展開式共7項,
所以(1+2x)6的展開式中二項式系數最大的項為第4項,故D錯誤.
故選AC.
4.答案　-1;
解析　在(1+ax)8的展開式中,x3的系數為a3,
由題知,a3=-56,即56a3=-56,∴a3=-1,解得a=-1.
若展開式中有且僅有x4項的系數最大,則a≠0,
當a>0時,所有項的系數均為正數,則需滿足;
當a<0時,奇數項的系數均為正數,偶數項的系數均為負數,
則需滿足.
綜上可得,a的取值范圍是.
5.解析　(1)由題意得=15,即m+n=15,所以n=15-m,
所以展開式中x2的系數為,
故當m=7或m=8時,x2的系數取得最小值,且最小值為49.
(2)由(1)知=(2+3x)7,
所以a==35,
(2+3x)7的展開式的通項為Tr+1=27-r·3rxr,
令,
因為r∈N,所以r=4.
因為×23×34=22 680>37>27成立,
所以b=22 680,
所以a+b=35+22 680=22 715.
6.ABD　對于A,(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,
令x=0,則a0=1,易知a1,a3,a5,a7,a9為負數,a2,a4,a6,a8,a10為正數,
令x=-1,得310=a0-a1+a2-…-a9+a10,
故|a1|+|a2|+…+|a10|=-a1+a2-…-a9+a10=310-1,故A正確;
對于B,1.0510=(1+0.05)10=×0.0510=1+0.5+0.112 5+…=1.5+0.112 5+…,故1.0510精確到0.1的近似數為1.6,故B正確;
對于C,5555=(56-1)55=×560,
由此可得5555被8除所得的余數為8-1=7,故C錯誤;
對于D,=(2+1)9=39,故D正確.
故選ABD.
7.ACD　對于A,T1={a1|2對于B,T2={a2|4對于C,當n為偶數時,設n=2k,k∈N*,則Tn=T2k={a2k|22k其中22k=4k=(3+1)k=3k-1+…+3+1,
22k+1=2(3k-1+…+3k-1+…+3)+2,
所以3k-1+…+3+3≤a2k≤2(3k-1+…+3),
即22k+2≤a2k≤22k+1-2,即2n+2≤an≤2n+1-2,
集合Tn中元素個數為,故C正確;
對于D,當n為奇數時,設n=2k-1,k∈N*,k≥2,
則Tn=T2k-1={a2k-1|22k-1其中22k-1=22(k-1)+1=2×4k-1=2×(3+1)k-1=2(3k-2+…+3+1),
所以a2k-1≥2(3k-2+…+3)+3
=2(3k-2+…+3+1)+1=2×(3+1)k-1+1=22k-1+1,即an≥2n+1,
當n=1時,T1={a1|2即Tn中元素的最小值為2n+1,故D正確.
故選ACD.
8.答案　7
解析　32 024=(8+1)1 012=81 012+81 011+…+81 011+81 010+…+80)+1,故32 024-1能被8整除,又a∈Z,0≤a≤7,故當a=7時,32 024+7能被8整除.
方法總結　用二項式定理處理整除問題,通常把底數寫成除數(或與除數密切關聯的數)與某數的和或差的形式,再用二項式定理展開,但要注意兩點:一是余數的范圍,二是二項式定理的逆用.
9.答案　1
解析　由題知,當x=1時,a0+a1+a2+a3+…+a2 023=62 023=(5+1)2 023,
故T=52 023+52 022+…+51+1,
所以T被5除所得的余數是1.
10.證明　(1)5151-1=(49+2)51-1=×4950×2+…+×251-1,
易知除×251-1以外各項都能被7整除.
又×251-1=(23)17-1=(7+1)17-1
=×716+…+-1
=7×(×715+…+),
顯然上式能被7整除,所以5151-1能被7整除.
(2)(1+)2+…+)n,
(1-)2+…+·(-)n.
當n為正奇數時,(1+·()2+…++…+),顯然+…+為正整數,
所以(1++…+)為偶數;
當n為正偶數時,(1+)2+…++…+),顯然+…+為正整數,
所以(1++…+)為偶數.
綜上,當n∈N*時,(1+)n為偶數.
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