資源簡介

第8章　概率
8.1　條件概率
8.1.1　條件概率
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　定義法求條件概率
1.某單位開展主題為“學習強國,我學習我成長”的知識競賽活動,甲選手答對第一道題的概率為,連續答對兩道題的概率為.用事件A表示“甲選手答對第一道題”,事件B表示“甲選手答對第二道題”,則P(B|A)=(　　)
A.
2.先后兩次拋一枚質地均勻的正方體骰子,記事件A=“第一次拋出的點數小于3”,事件B=“兩次點數之和大于3”,則P(B|A)=(　　)
A.
3.如圖,高速服務區的停車場某片區內有A至H共8個停車位(每個車位只停一輛車),現有2輛黑色車和2輛白色車要在該停車場該片區內停車,則在2輛黑色車停在同一列的條件下,2輛白色車也停在同一列的概率為(　　)
A.
4.在某地區進行流行病調查,隨機調查了100名某種疾病患者的年齡(單位:歲),發現有30名的年齡在區間[40,50)內.已知該地區這種疾病的患病率為0.15%,年齡在區間[40,50)內的人口占該地區總人口的20%.現從該地區任選一人,若此人年齡在區間[40,50)內,則此人患該疾病的概率為(　　)
A.0.05%　　　　B.0.125%　　　　C.0.225%　　　　D.0.325%
5.已知A,B為隨機試驗的兩個事件,是事件A的對立事件,若P(A)=,則P(B|)=(　　)
A.
6.在我國長江中下游地區,每年的6月中旬到7月上、中旬為梅雨期,這段時間內陰雨天氣較多.這個地區的一個市級監測資料表明,該市某天為陰雨天氣的概率是0.8,連續兩天為陰雨天氣的概率是0.72,已知某天為陰雨天氣,則隨后一天也為陰雨天氣的概率是　　　　.
7.(教材習題改編)袋子中有10個除顏色外其他均完全相同的球,其中7個白球,3個黑球.每次從袋子中隨機摸出1個球,摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的條件下,第2次摸到白球的概率為　　　　.
題組二　縮小樣本空間法求條件概率
8.有兩位游客慕名來到蕪湖,都準備從甲、乙、丙、丁4個著名旅游景點中隨機選擇一個游玩.設事件A為“兩人中至少有一人選擇丙景點”,事件B為“兩人選擇的景點不同”,則P(B|A)=(　　)
A.
9.元宵節是中國傳統節日,當天人們會吃湯圓、賞花燈、猜燈謎.小華爸爸手里有6個燈謎,其中4個事物謎,2個字謎,小華隨機抽取2個燈謎,記事件A為“取到的2個為同一類燈謎”,事件B為“取到的2個均為事物謎”,則P(B|A)=(　　)
A.
10.某市為迎接即將到來的省辯論大賽,準備在全市高中生范圍內選擇成員,經過第一輪比賽,9人脫穎而出,其中5名女生,4名男生,并且男生和女生中各有1名參加過去年的比賽.現從這9人中選2名男生與2名女生參賽,若在至少有1名參加過去年比賽的成員被選中的條件下,2名去年參賽的成員都被選中的概率是(　　)
A.
11.某學校某班有五名學生報名參加社團活動,社團活動共有“記者在線”“機器人行動”“音樂之聲”三個項目,每人都要報名且限報其中一項,已知其中一項恰好只有三名學生報名,則只有學生甲一人報名“記者在線”的概率為　　　　.
題組三　條件概率的性質
12.已知A,B為兩個隨機事件,P(A)=,則P(|A)=　　　　.
13.在一個不透明的袋子中裝有10個球,其中1個紅球,2個黃球,3個黑球,4個白球,這些球除顏色外完全相同,從中依次摸2個球,則在第一次摸到紅球的條件下,第二次摸到黃球或黑球的概率為　　　　.
14.銀行卡的密碼由6位數字組成.某人在銀行自動取款機上取錢時,忘記了密碼的最后一位數字.如果記得密碼的最后一位數字是奇數,則不超過2次就按對的概率為　　　　.
題組四　概率的乘法公式的應用
15.設P(A|B)=P(B|A)=,則P(B)=(　　)
A.
16.已知A,B為兩個隨機事件,P(B)=0.3,P(B|A)=0.9,P(B|)=0.2,則P(A)=(　　)
A.0.1　　　　B.
17.從裝有3個紅球和3個藍球的袋中,每次隨機摸出1個球,摸出的球不再放回,記Ai表示事件“第i次摸出紅球”,i=1,2,…,6.
(1)求在第一次摸出藍球的條件下第二次摸出紅球的概率;
(2)記P(A1A2A3)表示A1,A2,A3同時發生的概率,P(A3|A1A2)表示已知A1與A2都發生時A3發生的概率.
①證明:P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2);
②求P(A3).
答案與分層梯度式解析
第8章　概率
8.1　條件概率
8.1.1　條件概率
基礎過關練
1.D 2.B 3.A 4.C 5.C 8.D 9.B 10.C
15.B 16.B
1.D　因為P(AB)=,所以P(B|A)=.故選D.
2.B　由題意可得P(A)=,所以P(B|A)=.故選B.
3.A　設事件A=“2輛黑色車停在同一列”,事件B=“2輛白色車停在同一列”,則所求概率為P(B|A),
易得P(A)=,
所以P(B|A)=.故選A.
4.C　設“此人年齡在區間[40,50)內”為事件A,“此人患該疾病”為事件B,則所求概率為P(B|A)==0.225%.故選C.
5.C　∵P(A)=,
∴P(.故選C.
6.答案　0.9
解析　設“第一天為陰雨天氣”為事件A,“第二天為陰雨天氣”為事件B,
由題意知P(A)=0.8,P(AB)=0.72,
所以P(B|A)==0.9.
7.答案　
解析　記事件A為“第1次摸到白球”,事件B為“第2次摸到白球”,
則P(A)=,
所以P(B|A)=.
8.D　兩人中至少有一人選擇丙景點分兩種情況:一是兩人均選擇丙景點,二是只有一人選擇丙景點,故事件A包含的樣本點個數為1+=7,而事件AB包含的樣本點個數為=6,
所以P(B|A)=.故選D.
9.B　由題意可得事件A包含兩種情況:取到的2個都是事物謎,取到的2個都是字謎,故n(A)=,易得n(AB)=,所以P(B|A)=.故選B.
10.C　設事件A=“至少有1名參加過去年比賽的成員被選中”,事件B=“2名去年參賽的成員都被選中”,
則n(AB)==42,
所以P(B|A)=,故選C.
11.答案　
解析　記事件A為“其中一項恰好只有三名學生報名”,事件B為“只有學生甲一人報名‘記者在線’”,
則事件A包含=120個樣本點.
若A,B同時發生,即其中一項恰好只有三名學生報名,且只有學生甲一人報名“記者在線”,
則事件AB包含=8個樣本點,
所以P(B|A)=.
12.答案　
解析　因為P(A|B)=,
所以P(AB)=,
故P(B|A)=,
所以P(.
13.答案　
解析　設“第一次摸到紅球”為事件A,“第二次摸到黃球”為事件B,“第二次摸到黑球”為事件C.
則P(A)=,
∴P(B|A)=,
∴P((B+C)|A)=P(B|A)+P(C|A)=,
∴所求的概率為.
14.答案　
解析　設Ai為“第i(i=1,2)次按對密碼”,“不超過2次就按對”為事件A,則A=A1∪(A2),
記B=“密碼的最后一位數字是奇數”,
則由條件概率的性質可得P(A|B)=P(A1|B)+P(.
15.B　由題意得P(AB)=P(A)P(B|A)=,
又P(A|B)=.故選B.
16.B　∵P(B|A)==0.9,∴P(BA)=0.9P(A),
∵P(B|),
則P(BA)+P(B),
即P(BA)+P(B)=0.9P(A)+0.2[1-P(A)],
即P(B)=0.9P(A)+0.2[1-P(A)],
即0.3=0.7P(A)+0.2,解得P(A)=.故選B.
17.解析　(1)P(A2|,
所以在第一次摸出藍球的條件下第二次摸出紅球的概率為.
(2)①證明:因為P(A1A2A3)=P(A1A2)P(A3|A1A2),P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1),
所以P(A1A2A3)=P(A1A2)P(A3|A1A2)=P(A1)·P(A2|A1)P(A3|A1A2).
②P(A3)=P(A1A2A3)+P()·P(A2||A1)·P(A3|A1.
方法總結　乘法公式可以推廣到三個或三個以上的事件.設A,B,C是三個隨機事件,且P(AB)>0,則P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
1(共15張PPT)
8.1 條件概率
知識點 1 條件概率
8.1.1 條件概率
必備知識 清單破
一般地,設A,B為兩個事件,P(A)>0,我們稱 為事件A發生的條件下事件B發生的條件概
率,記為P(B|A),讀作“A發生的條件下B發生的概率”,即P(B|A)= (P(A)>0).
　　由條件概率公式可知P(AB)=P(B|A)·P(A).
　　注意:當事件A與事件B相互獨立時,P(AB)=P(A)P(B),則P(B|A)=P(B).
知識點 2 概率的乘法公式
知識拓展 乘法公式的推廣:當Ai(i=1,2,3,…,n)為隨機事件,且P(A1A2…An-1)>0時,P(A1A2…An)= P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An-1).
(1)P(Ω|A)=1,P( |A)=0;
(2)若B,C互斥,則P((B+C)|A)=P(B|A)+P(C|A);
(3)設 和B互為對立事件,則P( |A)=1-P(B|A).
知識點 3 條件概率的性質
知識辨析
1.P(B|A)與P(A|B)的意義是否相同
2.在事件A發生的條件下事件B發生,是否相當于事件A與B同時發生
3.當P(B)>0時,事件A與B相互獨立的充要條件是P(B|A)=P(A)嗎
4.P(B|A)= 是否可能成立
一語破的
1.不相同.P(B|A)是在事件A發生的條件下,事件B發生的概率,P(B|A)= (P(A)>0);P(A|B)是
在事件B發生的條件下,事件A發生的概率,P(A|B)= (P(B)>0).
2.是.
3.不是.當P(B)>0時,事件A與B相互獨立的充要條件是P(A|B)=P(A).
4.可能成立.當B A時,P(AB)=P(B),所以P(B|A)= = .
求條件概率的方法
(1)定義法:利用定義,分別求P(A)和P(AB),得P(B|A)= ,這是通用的求條件概率的方法.
(2)縮小樣本空間法:借助古典概型的概率公式,先求事件A包含的樣本點個數n(A),再求事件 AB包含的樣本點個數n(AB),則P(B|A)= .
(3)求較復雜事件的條件概率時,往往把該事件分成兩個(或多個)互斥的較簡單的事件,求出 這些簡單事件的概率后,再利用條件概率公式及性質即可求解.
關鍵能力 定點破
定點 1 條件概率
典例1 現有6個節目,其中4個舞蹈節目,2個語言類節目,如果不放回地依次抽取2個節目參加 比賽,求:
(1)第1次和第2次都抽到舞蹈節目的概率;
(2)在第1次抽到舞蹈節目的條件下,第2次抽到舞蹈節目的概率.
解析 設第1次抽到舞蹈節目為事件A,第2次抽到舞蹈節目為事件B,則第1次和第2次都抽到 舞蹈節目為事件AB.
(1)因為n(Ω)= =30,n(AB)= =12,
所以P(AB)= = = .
(2)解法一:由(1)知P(AB)= ,
因為P(A)= = ,
所以P(B|A)= = = .
解法二:因為n(AB)= =12,n(A)= =20,
所以P(B|A)= = = .
典例2 在某次考試中,從20道題中隨機抽取6道題,若考生至少能答對其中的4道題,則考試通 過;若至少能答對其中的5道題,則獲得優秀.已知某考生能答對其中的10道題,并且知道他在 這次考試中已經通過,求他獲得優秀的概率.
解析 設事件A為“該考生6道題全答對”,
事件B為“該考生答對了其中的5道題”,
事件C為“該考生答對了其中的4道題”,
事件D為“該考生在這次考試中通過”,
事件E為“該考生在這次考試中獲得優秀”,
則A,B,C兩兩互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B,由古典概型的概率公式及概率的加法公式可知,P (D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)= + + = .
∵P(AD)=P(A∩D)=P(A),P(BD)=P(B∩D)=P(B),
∴P(E|D)=P((A∪B)|D)=P(A|D)+P(B|D)= + = + = ,
∴他獲得優秀的概率是 .
　
　　概率的乘法公式實質上是條件概率公式的變形,當P(A)>0時,已知P(A),P(B|A),P(AB)中的 兩個值就可以求出第三個值.
定點 2 概率的乘法公式及其應用
典例1 銀行儲蓄卡的密碼由6位數字組成.某人在銀行自助取款機上取錢時,忘記了密碼的最 后1位數字.
(1)任意按最后1位數字,求不超過2次就按對的概率;
(2)如果記得密碼的最后1位是偶數,求不超過2次就按對的概率.
解析 設Ai=“第i(i=1,2)次按對密碼”,則事件A“不超過2次就按對密碼”可表示為A=A1∪ A2.
(1)事件A1與事件 A2互斥,由互斥事件的概率加法公式和概率的乘法公式,得P(A)=P(A1)+P
( A2)=P(A1)+P( )·P(A2| )= + × = .
因此,任意按最后1位數字,不超過2次就按對的概率為 .
(2)設B=“密碼的最后1位是偶數”,
則由條件概率的性質可得P(A|B)=P(A1|B)+P( A2|B)= + × = .
因此,如果記得密碼的最后1位是偶數,那么不超過2次就按對的概率為 .
典例2 在某次空戰演習中,甲機先向乙機開火,擊落乙機的概率是0.2;若乙機未被擊落,則進行 還擊,擊落甲機的概率為0.3;若甲機未被擊落,則再次進攻,擊落乙機的概率是0.4,求這三個回 合中,甲、乙兩機被擊落的概率.
解析 設A=“乙機被擊落”,B=“甲機被擊落”,A1=“乙機第一回合被擊落”,A2=“乙機第 三回合被擊落”,由題意知A1,A2互斥,且A=A1∪A2,
依題意,有P(A1)=0.2,P(B| )=0.3,P(A2| )=0.4,
由概率的乘法公式可得P(B)=P( B)=P( )P(B| )=0.8×0.3=0.24,
從而P(A2)=P( A2)=P( )P( | )·P(A2| )=0.8×0.7×0.4=0.224,
由互斥事件的概率加法公式可得P(A)=P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=0.424.
即這三個回合中,甲、乙兩機被擊落的概率分別為0.24,0.424.

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