資源簡介

8.1.2　全概率公式
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組　全概率公式的應用
1.設A,B為兩個事件,已知P(A)=,則P(A|B)=(　　)
A.
2.已知某工廠倉庫中有10盒同樣規格的零部件,其中有4盒、3盒、3盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產的,且甲、乙、丙三廠生產該種零部件的次品率依次為,現從這10盒零部件中任取一盒,再從這盒中任取一個零部件,則取得的零部件是次品的概率為(　　)
A.0.06　　　　B.0.07　　　　C.0.075　　　　D.0.08
3.(多選題)某市場供應多種品牌的N95口罩,相應的市場占有率和優質率的信息如表所示.在該市場中隨機買一種品牌的N95口罩,記A1,A2,A3表示買到的口罩分別為甲品牌、乙品牌、其他品牌,B表示買到的口罩是優質品,則(　　)
品牌 甲 乙 其他
市場占有率 50% 30% 20%
優質率 80% 90% 70%
A.P(A2+A3)=0.5 B.P(BA1)=0.8
C.P(B)=0.81 D.P(A2|B)=0.3
4.小明上學要經過兩個有紅綠燈的路口,已知小明在第一個路口遇到紅燈的概率為,若他在第一個路口遇到紅燈,第二個路口沒有遇到紅燈的概率為;在第一個路口沒有遇到紅燈,第二個路口遇到紅燈的概率為,則小明在第二個路口遇到紅燈的概率為　　　　.
5.現有兩個罐子,1號罐子中裝有3個紅球、2個黑球,2號罐子中裝有4個紅球、2個黑球.先從1號罐子中隨機取出1個球放入2號罐子,再從2號罐子中取出1個球,則從2號罐子中取出的球是紅球的概率為　　　　.
6.甲、乙、丙三人同時對樹上的某物進行射擊,擊中的概率分別為0.4,0.5,0.7,已知一人擊中且此物被擊落的概率為0.2,兩人擊中且此物被擊落的概率為0.6,若三人都擊中,此物必定被擊落,三人是否擊中此物相互獨立,則此物被擊落的概率為　　　　.
7.青團是江南人家在清明節時吃的一道傳統點心,據考證,青團之稱大約始于唐代,距今已有1 000多年的歷史.現有甲、乙兩個箱子裝有大小、外觀均相同的青團,已知甲箱中有3個蛋黃餡的青團,2個肉餡的青團和5個青菜餡的青團,乙箱中有3個蛋黃餡的青團,3個肉餡的青團和4個青菜餡的青團.
(1)求從甲箱中取出1個青團是蛋黃餡的概率;
(2)若依次從甲箱中取出2個青團,求在第一個是蛋黃餡的條件下,第二個是肉餡的概率;
(3)若先從甲箱中隨機取出1個青團放入乙箱,再從乙箱中隨機取出1個青團,求從乙箱中取出的青團是蛋黃餡的概率.
8.北京冬奧會的志愿者中,來自甲、乙、丙三所高校的人員情況如下:甲高校學生志愿者7名,教職工志愿者2名;乙高校學生志愿者6名,教職工志愿者3名;丙高校學生志愿者5名,教職工志愿者4名.
(1)從這三所高校的志愿者中各任取1名,求這3名志愿者中既有學生又有教職工的概率;
(2)先從這三所高校中任選一所,再從這所高校的志愿者中任取1名,求這名志愿者是教職工志愿者的概率.
9.受環境和氣候影響,近階段在相鄰的甲、乙、丙三個市內突發了支原體肺炎,經初步統計,這三個市分別有8%,6%,4%的人感染了支原體肺炎病毒,已知這三個市的人口數之比為4∶6∶10,現從這三個市中任意選取一個人.
(1)求這個人感染支原體肺炎病毒的概率;
(2)若此人感染支原體肺炎病毒,求他來自甲市的概率.
答案與分層梯度式解析
8.1.2　全概率公式
基礎過關練
1.B 2.C 3.AC
1.B　由P(B)=,得P(,顯然P(A)=P(B)P(A|B)+P(),
即,所以P(A|B)=.
故選B.
2.C　設事件A1,A2,A3分別表示任取的一盒來自甲廠、乙廠、丙廠,事件B表示任取的一盒中的一個零部件為次品,P(A1)=,
故P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)==0.075.故選C.
3.AC　由題意得P(A1)=0.5,P(A2)=0.3,P(A3)=0.2.
對于A,因為A2與A3互斥,所以P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)=0.3+0.2=0.5,故A正確;
對于B,P(BA1)=P(A1)P(B|A1)=0.5×0.8=0.4,故B錯誤;
對于C,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.5×0.8+0.3×0.9+0.2×0.7=0.81,故C正確;
對于D,P(A2|B)=,故D錯誤.
故選AC.
4.答案　
解析　設小明在第一個路口遇到紅燈為事件A,在第二個路口遇到紅燈為事件B,
則由題意得P(A)=,
故P(B)=P(A)P(B|A)+P(.
5.答案　
解析　記從1號罐子中取出紅球的事件為A1,取出黑球的事件為A2,從2號罐子中取出紅球的事件為B,
顯然Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥,易得P(A1)=,
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=.
6.答案　0.458
解析　用事件A1,A2,A3分別表示甲、乙、丙擊中樹上的此物,Bi表示有i(i=1,2,3)個人擊中樹上的此物,C表示此物被擊落,則P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3)=0.7,P(C|B1)=0.2,P(C|B2)=0.6,
P(C|B3)=1,所以P(B1)=P(A1)P(A3)=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7+0.4×0.5×0.7=0.41,P(B3)=P(A1A2A3)=P(A1)·P(A2)P(A3)=0.4×0.5×0.7=0.14.
由全概率公式得P(C)=P(Bi)P(C|Bi)=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458.
7.解析　(1)由題知,甲箱中共有3+2+5=10個青團,其中有3個是蛋黃餡的,
所以從甲箱中取出1個青團是蛋黃餡的概率為.
(2)設事件B=“從甲箱中取出的第一個青團是蛋黃餡的”,事件C=“從甲箱中取出的第二個青團是肉餡的”,
則P(C|B)=.
(3)設事件D=“從乙箱中取出的青團是蛋黃餡的”,事件A1,A2,A3分別是從甲箱中取出蛋黃餡的青團,肉餡的青團和青菜餡的青團,
則P(D)=P(A1)P(D|A1)+P(A2)P(D|A2)+P(A3)·P(D|A3)=.
8.解析　(1)設事件A為“從這三所高校的志愿者中各任取1名,這3名志愿者全是學生”,則P(A)=.
設事件B為“從這三所高校的志愿者中各任取1名,這3名志愿者全是教職工”,則P(B)=.
設事件C為“從這三所高校的志愿者中各任取1名,這3名志愿者中既有學生又有教職工”,則P(C)=1-P(A)-P(B)=1-.
(2)設事件D為“這名志愿者是教職工志愿者”,事件E1為“選甲高校”,事件E2為“選乙高校”,事件E3為“選丙高校”,
則P(E1)=P(E2)=P(E3)=.
所以P(D)=P(E1)P(D|E1)+P(E2)P(D|E2)+P(E3)P(D|E3)=.
9.解析　記事件D:選取的這個人感染了支原體肺炎病毒,事件E:此人來自甲市,事件F:此人來自乙市,事件G:此人來自丙市,則Ω=E∪F∪G,且E,F,G彼此互斥.
(1)由題意可得P(E)==0.3,
P(G)==0.5,P(D|E)=0.08,P(D|F)=0.06,
P(D|G)=0.04,
則由全概率公式可得P(D)=P(E)·P(D|E)+P(F)·P(D|F)+P(G)·P(D|G)
=0.2×0.08+0.3×0.06+0.5×0.04=0.054,
所以從這三個市中任取一人,這個人感染支原體肺炎病毒的概率為0.054.
(2)由條件概率的計算公式可得P(E|D)=,
所以當此人感染支原體肺炎病毒時,他來自甲市的概率為.
6(共11張PPT)
知識點 1 全概率公式
8.1.2 全概率公式 8.1.3 貝葉斯公式
必備知識 清單破
　　一般地,若事件A1,A2,…,An兩兩互斥,且它們的和 Ai=Ω,P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對于Ω中的
任意事件B,有P(B)= .這個公式稱為全概率公式.
　　一般地,若事件A1,A2,…,An兩兩互斥,且A1∪A2∪…∪An=Ω,P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對于Ω中 的任意事件B,P(B)>0,有P(Ai|B)·P(B)=P(B|Ai)P(Ai).因此P(Ai|B)= ,再由全概率公式
得P(Ai|B)= .這個公式稱為貝葉斯公式*.
特別地,當00時,有P(A|B)=
= .
知識點 2 貝葉斯公式
知識辨析
1.全概率公式中的A1,A2,…,An可以是任意一組隨機事件嗎
2.全概率公式的直觀解釋:已知事件B的發生有各種可能的情形Ai(i=1,2,…,n),則事件B發生的 可能性,就是各種可能情形Ai發生可能性的概率之和嗎
3.全概率公式的主要作用是“由結果推測原因”嗎
一語破的
1.不可以.A1,A2,…,An必須為一組兩兩互斥的事件,且其和事件是樣本空間.
2.不是.全概率公式的直觀解釋:已知事件B的發生有各種可能的情形Ai(i=1,2,…,n),則事件B發 生的可能性,就是各種可能情形Ai發生的可能性與已知在Ai發生的條件下事件B發生的可能 性的乘積之和.
3.不是.全概率公式的主要作用是“由原因推測結果”,貝葉斯公式的主要作用是“由結果推 測原因”.

1.全概率公式的適用條件
　　當所研究事件的試驗前提或前一步驟試驗有多種可能,在這多種可能中均有所研究的事 件時,要求所研究事件的概率可用全概率公式.
2.運用全概率公式求事件B發生的概率的一般步驟
(1)確定樣本空間Ω的劃分A1,A2,…,An;
(2)計算劃分后的每個小事件的概率,即P(Ai), i =1,2,…,n;
(3)求每個小事件發生的條件下,事件B發生的概率,即P(B|Ai), i =1,2,…,n;
(4)利用全概率公式計算P(B),即P(B)=
關鍵能力 定點破
定點 1 全概率公式及其應用
典例1 有一批同一型號的產品,已知其中一廠生產的占30%,二廠生產的占50%,三廠生產的占 20%,且這三個廠的產品次品率分別為2%,1%,1%,求從這批產品中任取一件是次品的概率.
解析 設事件A為“任取一件為次品”,事件Bi為“任取一件為i廠的產品”,i=1,2,3.
則P(B1)=0.3,P(B2)=0.5,P(B3)=0.2,
P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=0.01,
故由全概率公式可得P(A)=P(B1)·P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.3×0.02+0.5×0.01+0.2× 0.01=0.013.
典例2 已知某超市的玻璃杯成箱出售,每箱20只,假設各箱含0,1,2只殘次品的概率分別是0.8, 0.1,0.1,某顧客欲購一箱玻璃杯,在購買時,售貨員隨機取出一箱,顧客開箱隨機查看4只,若無 殘次品,則買下該箱玻璃杯,否則退回,試求顧客買下該箱玻璃杯的概率.
解析 記事件B為“顧客買下該箱玻璃杯”,事件Ai為“取出的一箱中有i只殘次品”,i=0,1,2.
則P(A0)=0.8,P(A1)=0.1,P(A2)=0.1,
P(B|A0)=1,P(B|A1)= = ,P(B|A2)= = ,
由全概率公式可得,P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.8×1+0.1× +0.1× = .
即顧客買下該箱玻璃杯的概率為 .

貝葉斯公式是在條件概率的基礎上尋找事件發生的原因,在運用貝葉斯公式時,一般已知條 件和未知條件如下:
(1)A的多種情況中到底哪種情況發生是未知的,但是每種情況發生的概率已知,即P(Ai)已知;
(2)事件B是已經發生的確定事實,且A的每種情況發生的條件下B發生的概率已知,即P(B|Ai) 已知;
(3)P(B)未知,需要使用全概率公式計算得到;
(4)求解的目標是用A的某種情況Ai的無條件概率求其在B發生的條件下的有條件概率P(Ai|B).
定點 2 貝葉斯公式及其應用
典例 為豐富學生的課外活動,學校羽毛球社團舉行羽毛球團體賽,賽制采取5局3勝制,每局都 是單打模式,每隊有5名隊員,比賽中每名隊員至多上場一次且上場順序是隨機的,每局比賽結 果互不影響,經過小組賽后,最終甲、乙兩隊進入最后的決賽,根據前期比賽的數據統計,甲隊 的明星隊員M對乙隊的每名隊員的勝率均為 ,甲隊其余的4名隊員對乙隊的每名隊員的勝
率均為 .(注:比賽結果沒有平局)
(1)若甲隊的明星隊員M在前4局比賽中不出場,求甲、乙兩隊比賽4局,甲隊最終獲勝的概率;
(2)求甲、乙兩隊比賽3局,甲隊獲得最終勝利的概率;
(3)若甲、乙兩隊比賽3局,甲隊獲得最終勝利,求甲隊的明星隊員M上場的概率.
解析 (1)設事件Aj=“甲隊第j局獲勝”,其中j=1,2,3,4,事件B=“甲、乙兩隊比賽4局甲隊最 終獲勝”,
則P(Aj)= ,B= A2A3A4+A1 A3A4+A1A2 A4,
所以P(B)=P(B= A2A3A4+A1 A3A4+A1A2 A4)= × × × + × × × + × × × = .
(2)設事件C=“甲、乙兩隊比賽3局,甲隊獲得最終勝利”,事件D=“在前3局比賽中,甲隊的 明星隊員M上場比賽”,
由全概率公式知,P(C)=P(C|D)·P(D)+P(C| )·P( ),
易得P(D)= = ,
所以P( )=1- = ,
P(C|D)= × = ,
P(C| )= = ,
所以P(C)= × + × = .
(3)由(2)及貝葉斯公式可得,所求概率為P(D|C)= = = = .

展開更多......

收起↑