資源簡介

8.1.3　貝葉斯公式
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組　貝葉斯公式的應用
1.居民的某疾病患病率為1%,現進行普查化驗,醫學研究表明,化驗結果是可能存有誤差的.已知患有該疾病的人的化驗結果中有99%呈陽性,而沒有患該疾病的人的化驗結果中有1%呈陽性.若某人的化驗結果呈陽性,則他真的患該疾病的概率是(　　)
A.0.99　　　　B.0.9　　　　C.0.5　　　　D.0.1
2.根據以往的臨床記錄,某種診斷癌癥的試驗有如下的效果:若A表示事件“試驗反應為陽性”,C表示事件“被診斷者患有癌癥”,則P(A|C)=0.95,P()=0.95.現在對自然人群進行普查,設被試驗的人患有癌癥的概率為0.005,即P(C)=0.005,則P(C|A)=(結果保留小數點后三位)(　　)
A.0.087　　　　B.0.950　　　　C.0.050　　　　D.0.475
3.AI換臉是一項深度偽造技術,某視頻網站利用該技術摻入了一些“AI”視頻,“AI”視頻占有率為0.001.某團隊決定用AI對抗AI,研究了深度鑒偽技術來甄別視頻的真假.該鑒偽技術的準確率是0.98,即在該視頻是偽造的情況下,它有98%的可能性被鑒定為“AI”.它的誤報率是0.04,即在該視頻是真實的情況下,它有4%的可能性被鑒定為“AI”.已知某個視頻被鑒定為“AI”,則該視頻是“AI”合成的可能性約為(　　)
A.0.1%　　　　B.0.4%　　　　C.2.4%　　　　D.4%
4.(多選題)某高校有甲、乙兩家餐廳,王同學第一天去甲、乙兩家餐廳就餐的概率分別為0.4和0.6.如果他第一天去甲餐廳,那么第二天去甲餐廳的概率為0.6;如果第一天去乙餐廳,那么第二天去甲餐廳的概率為0.5,則下列判斷正確的是(　　)
A.他第二天去甲餐廳的概率為0.54
B.他第二天去乙餐廳的概率為0.44
C.若他第二天去了甲餐廳,則他第一天去乙餐廳的概率為
D.若他第二天去了乙餐廳,則他第一天去甲餐廳的概率為
5.某足球隊為評估球員的場上作用,對球員進行數據分析.球員甲在場上出任邊鋒、前衛、中場三個位置,根據過往多場比賽,其出場率與出場時球隊的勝率如下表所示.
場上位置 邊鋒 前衛 中場
出場率 0.3 0.5 0.2
球隊勝率 0.8 0.6 0.7
(1)當甲出場比賽時,求球隊輸球的概率;
(2)當甲出場比賽時,在球隊獲勝的條件下,求球員甲出任邊鋒的概率;
(3)當甲出場比賽時,如果該足球隊獲勝,那么球員甲最有可能出任場上的哪個位置 請說明理由.
答案與分層梯度式解析
8.1.3　貝葉斯公式
基礎過關練
1.C 2.A 3.C 4.AC
1.C　記事件A為“此人患該疾病”,事件B為“此人的化驗結果呈陽性”,
由題意可知P(A)=,
所以P(B)=P(A)·P(B|A)+P()·P(B|,
則P(A|B)=.故選C.
2.A　因為P()=0.95,所以P(A|)=0.05,
因為P(C)=0.005,所以P()=0.995,
所以由全概率公式可得P(A)=P(A|C)·P(C)+P(A|)·P(),
又因為P(AC)=P(C|A)P(A)=P(A|C)P(C),
所以P(C|A)=
=≈0.087.故選A.
3.C　記“視頻是‘AI’合成的”為事件A,“視頻被鑒定為‘AI’”為事件B,
則P(A)=0.001,P()=0.04,
由貝葉斯公式得,
P(A|B)=
=≈0.024.故選C.
4.AC　設事件A1:他第一天去甲餐廳,A2:他第二天去甲餐廳,B1:他第一天去乙餐廳,B2:他第二天去乙餐廳,
則P(A1)=0.4,P(B1)=0.6,P(A2|A1)=0.6,
P(A2|B1)=0.5,
又因為P(A2|A1)==0.6,
P(A2|B1)==0.5,
所以P(A2)P(A1|A2)=0.24,P(A2)P(B1|A2)=0.3,
所以P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.4×0.6+0.6×0.5=0.54,故A正確;
P(B2)=1-P(A2)=0.46,故B不正確;
P(B1|A2)=,故C正確;
P(A1|B2)=,故D不正確.故選AC.
5.解析　用事件A1表示“甲出任邊鋒”,A2表示“甲出任前衛”,A3表示“甲出任中場”,B表示“當甲出場比賽時,球隊贏球”,
則P(A1)=0.3,P(A2)=0.5,P(A3)=0.2,P(B|A1)=0.8,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=0.7.
(1)當甲出場比賽時,球隊贏球的概率為P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=0.3×0.8+0.5×0.6+0.2×0.7=0.68,
所以甲出場比賽時,球隊輸球的概率為1-P(B)=1-0.68=0.32.
(2)由(1)知P(B)=0.68,
又P(A1B)=P(A1)P(B|A1)=0.3×0.8=0.24,
所以P(A1|B)=,
故當甲出場比賽時,在球隊獲勝的條件下,球員甲出任邊鋒的概率為.
(3)易得P(A2|B)=,
P(A3|B)=.
因為P(A2|B)>P(A1|B)>P(A3|B),
所以當甲出場比賽時,如果該足球隊獲勝,那么球員甲最有可能出任前衛.
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