資源簡介

8.2　離散型隨機變量及其分布列
8.2.1　隨機變量及其分布列
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　用隨機變量表示隨機試驗的結果
1.對一批產品進行逐個檢測,記第一次檢測到次品前已檢測的產品個數為X,則X=k表示的試驗結果為(　　)
A.第(k-1)次檢測到正品,而第k次檢測到次品
B.第k次檢測到正品,而第(k+1)次檢測到次品
C.前(k-1)次檢測到正品,而第k次檢測到次品
D.前k次檢測到正品,而第(k+1)次檢測到次品
2.某人進行射擊,共有5發子彈,擊中目標或子彈打完就停止射擊,記射擊次數為ξ,則“ξ=5”表示的試驗結果是(　　)
A.第5次擊中目標
B.第5次未擊中目標
C.前4次均未擊中目標
D.第4次擊中目標
3.袋中裝有大小和顏色均相同的5個乒乓球,分別標有數字1,2,3,4,5,現從中任意抽取2個,設兩個球上的數字之積為X,則X所有可能取值的個數為　　　　.
題組二　離散型隨機變量的概率分布
4.一袋中裝有5個除編號外完全相同的球,編號分別為1,2,3,4,5,在袋中隨機取出3個球,以ξ表示取出的3個球的最小號碼,則隨機變量ξ的概率分布為(　　)
A.
　
ξ 1 2 3
P
B.
　
ξ 1 2 3 4
P
C.
　
ξ 1 2 3
P
D.
　
ξ 1 2 3
P
5.設離散型隨機變量ξ的概率分布如下表所示:
ξ -1 0 1 2 3
P
則下列各式正確的是(　　)
A.P(ξ<3)= B.P(ξ>1)=
C.P(2<ξ<4)= D.P(ξ<0.5)=0
6.如圖,我國古代珠算算具算盤的每個檔(掛珠的桿)上有7顆算珠,用梁隔開,梁上面的2顆叫上珠,下面的5顆叫下珠,若從某一檔的7顆算珠中任取3顆,記其中上珠的個數為X,則P(X≤1)=(　　)
A.
7.為了促銷,某商場規定顧客購買商品滿500元即可參與抽獎,最多有3次抽獎機會,每次抽中,可依次獲得10元,30元,50元獎金,若沒有抽中,則停止抽獎.顧客每次抽中后,可以選擇帶走所有獎金,結束抽獎,也可選擇繼續抽獎,若沒有抽中,則連同前面所得獎金全部歸零,結束抽獎.小李購買了500元商品并參與了抽獎活動,已知他每次抽中的概率依次為,第一次抽中后選擇繼續抽獎的概率為,第二次抽中后選擇繼續抽獎的概率為,且每次是否抽中互不影響.
(1)求小李第一次抽中且所得獎金歸零的概率;
(2)設小李所得獎金總數為隨機變量X,求X的概率分布.
題組三　概率分布的性質及其應用
8.已知隨機變量ξ的概率分布如表所示,且m+2n=1.2,則n=(　　)
ξ 0 1 2 3
P 0.1 m n 0.1
A.-0.2　　　　B.0.4　　　　C.0.2　　　　D.0
9.若離散型隨機變量X的概率分布為
X 0 1
P 6a2-a 3-7a
則常數a的值為(　　)
A. B.
C. D.1或
10.已知隨機變量X的概率分布為P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a為常數,則P的值為(　　)
A.
11.已知離散型隨機變量X的概率分布中部分數據污損,污損部分用x,y(x,y∈N)代替,概率分布如下:
X 1 2 3 4 5 6
P 0.21 0.20 0.x5 0.10 0.1y 0.10
則P=(　　)
A.0.35 B.0.45
C.0.55 D.0.65
12.若隨機變量X的概率分布如表所示:
X 0 1 2 3
P a b
則a2+b2的最小值為　　　　.
題組四　兩點分布
13.已知隨機變量X服從兩點分布,且P(X=1)=0.4,Y=2X-1,則P(Y=-1)=(　　)
A.0.2 B.0.3
C.0.4 D.0.6
14.已知隨機變量X服從兩點分布,且P(X=0)=2a,P(X=1)=a,那么a=　　　　.
15.(2023河南洛陽強基聯盟聯考)已知隨機變量X服從兩點分布,且P(X=1)=P(X=0),則P(X=1)=　　　　.
能力提升練
　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　離散型隨機變量概率分布的性質及應用
1.設隨機變量X的概率分布如下,則P(|X-1|≤1)=(　　)
X -1 0 1 2
P m
A.
2.已知等差數列{an}的公差為d,隨機變量X滿足P(X=i)=ai(0A. B.
C. D.
3.若離散型隨機變量X的分布列為P(X=k)=(1≤k≤5,k∈Z),則P的值為(　　)
A.
4.(多選題)設隨機變量ξ的分布列為P=ak(k=1,2,3,4,5),則(　　)
A.a= B.P
C.P D.P
題組二　求離散型隨機變量的概率分布
5.學生甲想加入校籃球隊,籃球教練對其進行投籃測試,測試規則如下:①投籃分為兩輪,每輪均有兩次機會,第一輪在罰球線處,第二輪在三分線處;②若他在罰球線處投進第一球,則直接進入下一輪,若第一次沒投進可以進行第二次投籃,投進則進入下一輪,否則不予錄取;③若他在三分線處投進第一球,則直接錄取,若第一次沒投進可以進行第二次投籃,投進則錄取,否則不予錄取.已知學生甲在罰球線處投籃的命中率為,在三分線處投籃的命中率為.假設學生甲每次投進與否互不影響.
(1)求學生甲被錄取的概率;
(2)在這次測試中,記學生甲投籃的次數為X,求X的概率分布.
6.在統計學的實際應用中,除了中位數外,經常使用的是25%分位數(也稱為第一四分位數)與75%分位數(也稱為第三四分位數).四分位數常應用于統計學的箱形圖繪制,是統計學中分位數的一種,即把所有數值由小到大排列,并分成四等份,處于三個分割點的數值就是四分位數,箱形圖中“箱體”的下底邊對應的數據為第一四分位數,上底邊對應的數據為第三四分位數,上、下底邊之間的線對應的數據為中位數.已知甲、乙兩班人數相同,在一次測試中兩班所得分數的箱形圖如圖所示.
(1)由此圖估計甲、乙兩班平均分較高的是哪個班級;(直接寫出結論即可,不用說明理由)
(2)若在兩班中隨機抽取一人,發現他的分數小于128,求該同學來自甲班和乙班的概率分別是多少;
(3)據統計,兩班中分數大于140的共有10人,其中甲班有6人,乙班有4人,從中抽取了3人進行學習經驗交流,記3人中來自乙班的人數為X,求X的概率分布.
7.甲、乙兩人進行乒乓球比賽,經過以往的比賽分析,甲、乙兩人對陣時,若甲發球,則甲得分的概率為,若乙發球,則甲得分的概率為.該局比賽中,甲乙依次輪換發球(甲先發球),每人發兩球后輪到對方進行發球.
(1)求在前4球中,甲領先的概率;
(2)12球過后,雙方戰平(6∶6),已知繼續對戰奇數個球后,甲率先取得11分獲得勝利(獲勝要求至少取得11分并凈勝對方2分及以上).設凈勝分(甲,乙的得分之差)為X,求X的概率分布.
答案與分層梯度式解析
8.2　離散型隨機變量及其分布列
8.2.1　隨機變量及其分布列
基礎過關練
1.D 2.C 4.C 5.C 6.A 8.B 9.A 10.D
11.B 13.D
1.D　由題意知,X=k表示第一次檢測到次品前已檢測的產品個數為k,因此前k次檢測到的都是正品,第(k+1)次檢測到的是次品.故選D.
2.C　因為擊中目標或子彈打完就停止射擊,所以射擊次數ξ=5說明前4次均未擊中目標.故選C.
易錯警示　由于停止射擊的條件是“擊中目標或子彈打完”,所以“ξ=5”與“ξ=4”不同,“ξ=4”的含義是“前3次未擊中目標,第4次擊中目標”,而“ξ=5”的含義是“前4次均未擊中目標”,與第5次是否擊中目標沒有關系.
3.答案　10
解析　X的所有可能取值為2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,共10個.
4.C　隨機變量ξ的可能取值為1,2,3,且P(ξ=1)=,
∴隨機變量ξ的概率分布為
ξ 1 2 3
P
故選C.
5.C　P(ξ<3)=P(ξ=-1)+P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)=,A錯誤;
P(ξ>1)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=,B錯誤;
P(2<ξ<4)=P(ξ=3)=,C正確;
P(ξ<0.5)=P(ξ=-1)+P(ξ=0)=,D錯誤.故選C.
6.A　解法一:由題意可知,X的所有可能取值為0,1,2,則P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=.故選A.
解法二:由題意可知,X的所有可能取值為0,1,2,
則P(X≤1)=1-P(X=2)=1-.
7.解析　(1)記小李第i次抽中為事件Ai(i=1,2,3),則有P(A1)=,且A1,A2,A3兩兩互相獨立.記小李第一次抽中且所得獎金歸零為事件A,
則P(A)=P(A1.
(2)由題意可知X的可能取值為0,10,40,90,
P(X=0)=P(A)+,
P(X=10)=,
P(X=40)=,
P(X=90)=,
所以X的概率分布為
X 0 10 40 90
P
8.B　依題意得m+n+0.1+0.1=1,又m+2n=1.2,所以n=0.4,m=0.4.故選B.
9.A　由概率分布的性質知,
,故選A.
易錯警示　本題不僅要注意隨機變量的每一個可能取值對應的隨機事件的概率均在區間[0,1]內,還要注意概率分布中各概率之和為1.
10.D　因為P(X=n)=(n=1,2,3,4),所以=1,解得a=,所以P,故選D.
11.B　由題意得0.21+0.20+0.05++0.10=1,化簡得10x+y=24,
又x,y∈N且x,y∈[0,9],所以x=2,y=4,
所以P=P(X=2)+P(X=3)=0.20+0.25=0.45.故選B.
12.答案　
解析　由概率分布的性質,知a+b=,故a2+b2≥.
13.D　令Y=2X-1=-1,得X=0,因為X服從兩點分布,且P(X=1)=0.4,所以P(Y=-1)=P(X=0)=1-P(X=1)=0.6.故選D.
14.答案　
解析　由題意可知P(X=0)+P(X=1)=2a+a=1,解得a=.
15.答案　
解析　由隨機變量X服從兩點分布,得P(X=1)+P(X=0)=1,
又P(X=1)=P(X=0),所以P(X=1)=.
能力提升練
1.C 2.D 3.A 4.AB
1.C　由概率分布的性質可得=1,則m=,所以P(|X-1|≤1)=P(0≤X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=.
故選C.
2.D　由題意可得a1+a2+a3+a4=1,
因為{an}是公差為d的等差數列,所以an=a1+(n-1)d,則a2=a1+d,a3=a1+2d,a4=a1+3d,
所以a1+a1+d+a1+2d+a1+3d=4a1+6d=1,
則a1=d,
因為0故選D.
3.A　由題意及分布列的性質可得P(X=1)+P(X=2)+…+P(X=5)
=m
=m,
故P.
故選A.
4.AB　由題意得P+P(ξ=1)=a+2a+3a+4a+5a=15a=1,解得a=,故A正確;
P,故B正確;
P,故C錯誤;
P,故D錯誤.
故選AB.
5.解析　(1)記事件Ai表示“學生甲在罰球線處投籃,第i次投進”,事件Bi表示“學生甲在三分線處投籃,第i次投進”,其中i=1,2,
則P(A1)=P(A2)=.
記事件C表示“學生甲被錄取”,則C=A1B1+A1B2,
所以P(C)=,
所以學生甲被錄取的概率為.
(2)由題意得X的可能取值為2,3,4.
P(X=2)=P(,
P(X=3)=P(,
P(X=4)=P(,
所以X的概率分布為
X 2 3 4
P
6.解析　(1)甲班平均分較高.理由如下:
由題圖可以看出,甲班分數的中位數為128,而乙班分數的第三四分位數為128,同時,甲班的第一四分位數明顯高于乙班,由此估計甲班平均分較高.
(2)由題圖可知,甲班中有的學生分數小于128,乙班中有的學生分數小于128.
設從兩班中隨機抽取一人,“該同學來自甲班”為事件A,“該同學分數小于128”為事件B,
則P(A)=,
所以P(B)=P(AB)+P(B)=P(B|A)·P(A)+P(B|)·P(,
P(A|B)=,
P(,
所以該同學來自甲班和乙班的概率分別為.
(3)由題意得X的所有可能取值為0,1,2,3.
P(X=0)=,
P(X=2)=.
所以X的概率分布為
X 0 1 2 3
P
7.解析　(1)在前4球中,甲領先的情況有兩種:①甲與乙的比分是4∶0;②甲與乙的比分是3∶1.
甲與乙的比分是4∶0的概率為,
比分是3∶1的概率為2×,
故在前4球中,甲領先的概率P=.
(2)由題意可知接下來將由甲發球,若繼續對戰奇數個球后,甲獲得勝利,則甲以11∶6或11∶8獲勝,即在接下來的比賽中,甲、乙的比分為5∶0或5∶2,且最后一球均為甲獲勝.
記“接下來的比賽中,甲、乙的比分為5∶0”為事件A,則P(A)=,
記“接下來的比賽中,甲、乙的比分為5∶2”為事件B,則前6球中,乙獲勝兩球,甲發球4次,乙發球兩次,
P(B)=×,
故甲獲勝的概率為.
易得X的所有可能取值為3,5,
P(X=3)=,
故X的概率分布為
X 3 5
P
1(共12張PPT)
8.2 離散型隨機變量及其分布列
知識點 1 隨機變量
8.1.1 隨機變量及其分布列
必備知識 清單破
1.隨機變量的概念
　　一般地,對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω,都有唯一的實數X(ω)與之對應,則稱 X為隨機變量.
2.隨機變量的表示
　　隨機變量通常用大寫英文字母X,Y,Z(或小寫希臘字母ξ,η,ζ)等表示,而用小寫英文字母x, y,z(加上適當下標)等表示隨機變量的取值.
離散型隨機變量 取值為離散的數值的隨機變量
連續型隨機變量 取值為連續的實數區間的隨機變量
3.隨機變量的分類
1.概率分布列
　　一般地,隨機變量X有n個不同的取值,它們分別是x1,x2,…,xn,且P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n,稱上 式為隨機變量X的概率分布列,簡稱為X的分布列.
2.概率分布表
知識點 2 隨機變量的概率分布
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
　　將上表稱為隨機變量X的概率分布表,概率分布列和概率分布表都叫作隨機變量X的概 率分布.
3.概率分布的性質
　　概率分布里的pi(i=1,2,…,n)滿足條件:
(1)pi≥0;
(2)p1+p2+…+pn=1.
隨機變量X只取兩個可能值0和1,我們把這一類概率分布稱為0-1分布或兩點分布,并記為X~0 -1分布或X~兩點分布.此處“~”表示“服從”.
知識點 3 兩點分布
知識辨析
1.一天內的溫度為X ℃,則X是離散型隨機變量嗎
2.隨機變量的取值可以是有限個,也可以是無限個嗎
3.在離散型隨機變量的分布列中,隨機變量的取值所對應的概率可以為任意的實數嗎
4.如果隨機變量X只取兩個不同的可能值,那么X一定服從兩點分布嗎
一語破的
1.不是.一天內的溫度的取值不能一一列出,故不是離散型隨機變量.
2.是.因為隨機變量的每一個取值均代表一個試驗結果,所以若試驗結果是有限個,則隨機變 量的取值就是有限個,若試驗結果是無限個,則隨機變量的取值就是無限個.
3.不可以.在離散型隨機變量的分布列中,每個隨機變量的取值所對應的概率均在[0,1]范圍 內.
4.不一定.服從兩點分布的隨機變量X的兩個可能取值必須是0和1.
　
1.求離散型隨機變量的概率分布的步驟(其中i=1,2,…,n)
2.兩個相關的隨機變量的概率分布
　　一般地,若X是隨機變量,則Y=f(X)也是隨機變量.已知隨機變量X的概率分布,求隨機變量 Y=f(X)的概率分布,其關鍵是弄清X取每一個值時相對應的Y的值,若f(X)的取值出現重復,則
需要把它們的相應概率相加.
關鍵能力 定點破
定點 求離散型隨機變量的概率分布
典例 某超市舉辦酬賓活動,單次購物超過100元的顧客可參與一次抽獎活動,活動規則如下: 盒子中裝有大小和形狀完全相同的7個小球,其中3個紅球、2個白球和2個黑球,從中不放回 地隨機抽取2個球,每個球被抽到的機會均等.每抽到1個紅球記0分,每抽到1個白球記50分,每 抽到1個黑球記100分.若抽取2個球的總得分為200分,則可獲得10元現金,若總得分低于100 分,則沒有現金,其余得分可獲得5元現金.
(1)設抽取2個球的總得分為X分,求X的概率分布;
(2)設每位顧客參與一次抽獎可獲得現金Y元,求Y的概率分布.
解析 (1)隨機變量X的可能取值為0,50,100,150,200.
P(X=0)= = ,
P(X=50)= = ,
P(X=100)= = ,
P(X=150)= = ,
P(X=200)= = .
故X的概率分布如表所示:
X 0 50 100 150 200
P
(2)由(1)知Y=f(X)=
所以P(Y=0)=P(X=0)+P(X=50)= + = ,
P(Y=5)=P(X=100)+P(X=150)= + = ,
P(Y=10)=P(X=200)= .
故Y的概率分布如表所示:
Y 0 5 10
P
方法總結 (1)若要正確求出概率分布,則必須先準確寫出隨機變量的所有可能取值,再依古 典概型求出每一個可能取值的概率.至于隨機變量在某一范圍內取值的概率,應等于它取這 個范圍內各個值的概率之和.(2)在求解過程中注重知識間的融合,常常會用到排列組合、古 典概型及互斥事件的概率、對立事件的概率等知識.

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