資源簡介

第2課時　離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差
基礎(chǔ)過關(guān)練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差
1.已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布如表所示:
　　　　　 　　　　　　　　　　
X 0 2 4
P
則D(X)=(　　)
A.
2.(教材習(xí)題改編)投資甲、乙兩種股票,每股收益(單位:元)分別如下表:
則下列說法正確的是(　　)
A.投資甲種股票的收益期望大
B.投資乙種股票的收益期望大
C.投資甲種股票的風(fēng)險較高
D.投資乙種股票的風(fēng)險較高
3.已知隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,若P(X=0)=,E(X)=1,則X的標(biāo)準(zhǔn)差為(　　)
A.
4.(多選題)隨機(jī)變量X的概率分布如下,若E(X)=1,則下列說法正確的有(　　)
X -1 1 2 3
P a b
A.a= B.b=
C.E(3X-1)=3 D.D(X)=
5.隨機(jī)變量X的概率分布如表所示:
X -1 0 1
P a b c
其中a,b,c成等差數(shù)列,若隨機(jī)變量X的期望E(X)=,則其方差D(X)=　　　　.
題組二　離散型隨機(jī)變量的方差的性質(zhì)
6.(多選題)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,其中P(X=0)=,E(X),D(X)分別為隨機(jī)變量X的均值與方差,則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4
C.D(6X+2)=2 D.D(X)=
7.(多選題)已知隨機(jī)變量ξ的概率分布如下表所示,且滿足E(ξ)=0,則下列選項(xiàng)正確的是(　　)
ξ -1 0 2
P a b
A.D(ξ)=1 B.D(|ξ|)=1
C.D(2ξ+1)=4 D.D(3|ξ|-2)=5
8.已知隨機(jī)變量X滿足E(2-2X)=4,D(2-2X)=4,則E(X)=　　　　,D(X)=　　　　.
9.已知袋中裝有20個完全相同的球,其中記上0號的有10個,記上n號的有n個(n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球,用X表示所取球的標(biāo)號.若η=aX+b,E(η)=1,D(η)=11,則a+b的值是　　　　.
能力提升練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　離散型隨機(jī)變量的方差
1.設(shè)隨機(jī)變量ξ的概率分布為P(ξ=k)=(k=1,2,5),a∈R,E(ξ),D(ξ)分別為隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望與方差,則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.P(0<ξ<3.5)= B.E(3ξ+2)=7
C.D(ξ)=2 D.D(3ξ+1)=6
2.(多選題)已知正四面體骰子的四個面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,正六面體骰子的六個面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,拋擲一枚質(zhì)地均勻的正四面體骰子,記向下的數(shù)字為X,拋擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子,記向上的數(shù)字為Y,則(　　)
A.P(X=2)= B.P(Y<3)=
C.E(X)>E(Y) D.D(X)3.(多選題)已知p1,p2∈(0,1),隨機(jī)變量X,Y的概率分布分別如下:
X -1 0 1
P
　
Y -1 0 1
P
則下列說法中正確的是(　　)
A.若p1<且p2<,則E(X)>E(Y)
B.若p1E(Y)
C.若p2D(Y)
D.若p1<D(Y)
4.已知a,b,c,d,e為互不相等的正實(shí)數(shù),隨機(jī)變量X和Y的概率分布如表,則D(Y)　　　　D(X).(填“>”“<”或“=”)
X a b c d e
P
Y
P
題組二　離散型隨機(jī)變量的均值與方差的綜合應(yīng)用
5.為了回饋顧客,某商場通過摸球兌獎的方式對1 000位顧客進(jìn)行獎勵,規(guī)定:每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋子中一次性隨機(jī)摸出2個球,球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵金額.
(1)若袋子中所裝的4個球中有2個所標(biāo)的面值為50元,2個所標(biāo)的面值為10元,求顧客所獲的獎勵金額的概率分布和數(shù)學(xué)期望;
(2)現(xiàn)有標(biāo)有面值為10元,20元,40元,50元的小球(除所標(biāo)面值外其他屬性都相同)若干.
①若袋子中的4個球有且僅有兩種面值,且兩種面值的和為60元,求袋子中的4個球有多少種裝法;
②若商場獎勵總金額的預(yù)算是60 000元,為了使顧客得到的獎勵盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵金額相對均衡,請從①的裝法中選擇一個最合適的,并說明理由.
答案與分層梯度式解析
第2課時　離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.A 2.C 3.C 4.AD 6.AB 7.ACD
1.A　由已知得,E(X)=0×=2,所以D(X)=(0-2)2×.
2.C　設(shè)甲種股票的收益為X元,乙種股票的收益為Y元.由題表中的數(shù)據(jù),得期望E(X)=-1×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1,
方差D(X)=(-1-1.1)2×0.1+(0-1.1)2×0.3+(2-1.1)2×0.6=1.29;
期望E(Y)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1,
方差D(Y)=(0-1.1)2×0.2+(1-1.1)2×0.5+(2-1.1)2×0.3=0.49,
所以E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),
則投資甲種股票的收益期望與投資乙種股票的收益期望相等,投資甲種股票比投資乙種股票的風(fēng)險高.故選C.
3.C　設(shè)P(X=1)=p,則P(X=2)=-p,
由E(X)=p+2=1,解得p=,
由D(X)=pi,得D(X)=,
則X的標(biāo)準(zhǔn)差為.
故選C.
4.AD　由題意得=1,解得a=,
所以E(3X-1)=3E(X)-1=2,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=1×.
故選AD.
5.答案　
解析　因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列,所以a+c=2b,
又a+b+c=1,所以b=,
則E(X)=-1×a+0×b+1×c=c-a=,且a+c=,
所以a=,
所以D(X)=.
6.AB　由題意得P(X=1)=,則E(X)=0×.
A中,P(X=1)=E(X),故A正確;
B中,E(3X+2)=3E(X)+2=3×+2=4,故B正確;
C中,D(6X+2)=36D(X)=36×=8,故C錯誤;
D中,D(X)=,故D錯誤.
故選AB.
7.ACD　依題意得
則D(ξ)=×(-1-0)2+×(0-0)2+×(2-0)2=1,則D(2ξ+1)=22D(ξ)=4,|ξ|的概率分布為
|ξ| 1 0 2
P
則E(|ξ|)=1×,
所以D(3|ξ|-2)=32D(|ξ|)=5.
故選ACD.
8.答案　-1;1
解析　根據(jù)方差和期望的性質(zhì)可得E(2-2X)=-2E(X)+2=4,D(2-2X)=4D(X)=4,所以E(X)=-1,D(X)=1.
9.答案　0或2
解析　由題意可知,X的所有可能取值為0,1,2,3,4,
且P(X=0)=,
則E(X)=,
所以D(X)=.
由η=aX+b,得D(η)=a2D(X)=11,即a2×=11,即a=±2.
又E(η)=aE(X)+b=1,
所以當(dāng)a=2時,1=2×+b,得b=-2,此時a+b=0;
當(dāng)a=-2時,1=-2×+b,得b=4,此時a+b=2.
能力提升練
1.C 2.BD 3.AC
1.C　因?yàn)殡S機(jī)變量ξ的概率分布為P(ξ=k)=(k=1,2,5),
所以P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=5)==1,解得a=1.
對于A,P(0<ξ<3.5)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=,故A不正確;
對于B,因?yàn)镋(ξ)=1×=2,
所以E(3ξ+2)=3E(ξ)+2=3×2+2=8,故B不正確;
對于C,D(ξ)=×(5-2)2=2,故C正確;
對于D,因?yàn)镈(ξ)=2,所以D(3ξ+1)=9D(ξ)=18,故D不正確.故選C.
2.BD　對于A,易知P(X=2)=,故A錯誤;
對于B,當(dāng)Y<3時,Y=1或Y=2,則P(Y<3)=P(Y=1)+P(Y=2)=,故B正確;
對于C,D,易得X的概率分布為
X 1 2 3 4
P
則E(X)=1×,且D(X)=E(X2)-[E(X)]2=12×,
Y的概率分布為
Y 1 2 3 4 5 6
P
則E(Y)=1×,且D(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2=12×,
所以E(X)故選BD.
3.AC　依題意得E(X)=-1×,
則E(X)-E(Y)==1-(p1+p2),
又E(X2)=(-1)2×,
E(Y2)=(-1)2×,
所以D(X)=E(X2)-[E(X)]2=,
所以D(X)-D(Y)==(p2-p1)(p2+p1-1).
對于A,因?yàn)閜1<且p2<,所以p1+p2<1,所以E(X)-E(Y)>0,所以E(X)>E(Y),故A正確;
對于B,無法確定p1+p2與1的大小關(guān)系,即無法判斷1-(p1+p2)的正負(fù),故無法確定E(X)與E(Y)的大小關(guān)系,故B錯誤;
對于C,因?yàn)閜2所以(p2-p1)(p2+p1-1)>0,即D(X)-D(Y)>0,
即D(X)>D(Y),故C正確;
對于D,因?yàn)閜1<0,但是無法確定p1+p2與1的大小關(guān)系,即無法判斷p1+p2-1的正負(fù),故無法確定D(X)與D(Y)的大小關(guān)系,故D錯誤.
故選AC.
4.答案　<
解析　由題得E(X)=(a+b+c+d+e)=E(X),
所以D(X)={[a-E(X)]2+[b-E(X)]2+…+[e-E(X)]2}=(a2+b2+…+e2)-[E(X)]2,
D(Y)=+…+=-[E(X)]2,
又因?yàn)閍,b,c,d,e為互不相等的正實(shí)數(shù),
所以D(Y)-D(X)=+…+-(a2+b2+…+e2)=-+…+<0,即D(Y)5.解析　(1)設(shè)顧客所獲的獎勵金額為X元,則X的可能取值為20,60,100,
P(X=20)=,
P(X=60)=,
P(X=100)=,
所以X的概率分布為
X 20 60 100
P
故E(X)=20×=60.
(2)①因?yàn)閮煞N面值的和為60元,所以可以裝10元與50元面值的小球,也可以裝20元與40元面值的小球,
每類都有3種裝法:其中一種面值的小球裝1,2,3個,另一種面值的小球?qū)?yīng)裝3,2,1個,
由分類計數(shù)原理知,袋中小球的不同裝法共有3+3=6(種).
②選擇(20,20,40,40)的方案,理由如下:
根據(jù)商場的預(yù)算,每位顧客的平均獎勵金額為60 000÷1 000=60(元),故先尋找數(shù)學(xué)期望為60元的可能方案.
當(dāng)小球標(biāo)有的面值分別為10元和50元時,若選擇(10,10,10,50)的方案,則60元是面值之和的最大值,數(shù)學(xué)期望不可能為60元;
當(dāng)選擇(50,50,50,10)的方案時,60元是面值之和的最小值,數(shù)學(xué)期望也不可能是60元.
因此可能的方案是(10,10,50,50),記為方案1.
當(dāng)小球標(biāo)有的面值分別為20元和40元時,同理可排除(20,20,20,40),(40,40,40,20)的方案,
因此可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2.
下面對這兩個方案進(jìn)行分析:
對于方案1,即方案(10,10,50,50),由(1)知E(X)=60,
D(X)=(20-60)2×.
對于方案2,即方案(20,20,40,40),設(shè)顧客所獲的獎勵金額為Y元,則Y的可能取值為40,60,80,
P(Y=40)=,
P(Y=80)=,
所以Y的概率分布為
Y 40 60 80
P
所以E(Y)=40×=60,
D(Y)=(40-60)2×.
因?yàn)閮煞N方案的獎勵金額的數(shù)學(xué)期望都符合要求,但方案2的獎勵金額的方差要比方案1的小,
所以應(yīng)選擇方案2,即袋子中裝有標(biāo)有面值為20元和40元的球各2個.
18.2.2　離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征
第1課時　離散型隨機(jī)變量的均值
基礎(chǔ)過關(guān)練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　離散型隨機(jī)變量的均值
1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=i)=a,i=1,2,3,則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=(　　)
A. B.
C. D.
2.某醫(yī)院對10名入院人員進(jìn)行一病毒感染篩查,若采用單管檢驗(yàn)需檢驗(yàn)10次;若采用“十合一”混管檢驗(yàn),當(dāng)檢驗(yàn)結(jié)果為陰性(都沒有被感染)時,只需檢驗(yàn)1次,當(dāng)檢驗(yàn)結(jié)果為陽性(至少有1人被感染)時,就要再全部進(jìn)行單管檢驗(yàn).設(shè)10名人員都未被感染的概率為p,若對這10名人員采用“十合一”混管檢驗(yàn),總檢驗(yàn)次數(shù)為ξ,則“E(ξ)<10”的充要條件是(　　)
A.0.01C.0.13.(多選題)袋中有3個大小、形狀完全相同的小球,其中1個黑球2個白球.從袋中不放回地取球2次,每次取1個球,記取得黑球的次數(shù)為X;從袋中有放回地取球2次,每次取1個球,記取得黑球的次數(shù)為Y,則(　　)
A.隨機(jī)變量X的可能取值為0或1
B.隨機(jī)變量Y的可能取值為0或1
C.隨機(jī)事件{X=1}的概率與隨機(jī)事件{Y=1}的概率相等
D.隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望與隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望相等
4.(多選題)已知X 0 1 2
P p-p2 1-p p2
A.P(X=2)的值最大
B.P(X=0)C.E(X)隨著p的增大而減小
D.E(X)隨著p的增大而增大
5.某校在一次慶祝活動中,設(shè)計了一個“套圈游戲”,規(guī)則如下:每人3個圈,向M,N兩個目標(biāo)進(jìn)行投擲,先向目標(biāo)M擲一次,套中得1分,沒有套中不得分,再向目標(biāo)N連續(xù)擲兩次,每套中一次得2分,沒套中不得分,然后根據(jù)累計得分發(fā)放獎品.已知小明每投擲一次,套中目標(biāo)M的概率為,套中目標(biāo)N的概率為,假設(shè)小明每次投擲的結(jié)果相互獨(dú)立,累計得分記為X分.
(1)求小明恰好套中2次的概率;
(2)求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望.
題組二　離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)
6.(多選題)已知隨機(jī)變量X的概率分布如下,且E(X)=6.3,則下列結(jié)論正確的是(　　)
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A.a=7 B.b=0.4
C.E(aX)=44.1 D.E(bX+a)=2.62
7.設(shè)ξ的概率分布如下,且η=2ξ+a,則E(η)=　　　　.
ξ 1 2 3 4
P a
題組三　均值的實(shí)際應(yīng)用
8.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,每人各局取勝的概率均為,現(xiàn)采用五局三勝制,勝3局者贏得全部獎金800元.若前兩局比賽均為甲勝,此時因某種原因比賽中止,為使獎金分配合理,則乙應(yīng)得的獎金為(　　)
A.700元　　　　B.600元　　　　C.200元　　　　D.100元
9.(多選題)已知8只小白鼠中有1只患有某種疾病,需要通過血液化驗(yàn)來確定患這種病的小白鼠,血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的為患病小白鼠.下面是兩種化驗(yàn)方案:方案甲,將8只小白鼠的血液逐個化驗(yàn),直到查出患病小白鼠為止;方案乙,先取4只小白鼠,將它們的血液混在一起化驗(yàn),若呈陽性,則對這4只小白鼠的血液再逐個化驗(yàn),直到查出患病小白鼠,若不呈陽性,則對剩下的4只小白鼠的血液再逐個化驗(yàn),直到查出患病小白鼠.則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.若用方案甲,則化驗(yàn)次數(shù)為2的概率為
B.若用方案乙,則化驗(yàn)次數(shù)為3的概率為
C.若用方案甲,則平均化驗(yàn)次數(shù)為4
D.若平均化驗(yàn)次數(shù)少的方案更好,則方案乙比方案甲好
10.某超市準(zhǔn)備在今年店慶日舉行抽獎活動,凡購物金額超過m元的顧客均可參加一次抽獎.抽獎規(guī)則如下:從裝有大小、形狀完全相同的4個黑球和2個紅球的盒子中隨機(jī)取2個小球,若2個小球都為紅色,則獲100元獎金;若2個小球?yàn)?紅1黑,則獲30元獎金;若2個小球都為黑色,則獲10元獎金.
(1)記參加抽獎的一名顧客獲得的獎金為X元,求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望;
(2)該超市去年店慶日共有3 000名顧客購物,統(tǒng)計購物金額得到如下的頻率直方圖.若今年抽獎活動總獎金預(yù)設(shè)為12 000元,依據(jù)去年店慶日的數(shù)據(jù),給出合理的m的值,并說明理由.
能力提升練　　　　　 　　　　 　　　　
題組　離散型隨機(jī)變量的均值及其應(yīng)用
1.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,約定每局勝者得1分,負(fù)者得0分,比賽進(jìn)行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止,設(shè)甲在每局中獲勝的概率為,乙在每局中獲勝的概率為,且各局勝負(fù)相互獨(dú)立,則比賽停止時已打局?jǐn)?shù)X的期望E(X)為(　　)
A.
2.(多選題)甲盒中裝有3個藍(lán)球、2個黃球,乙盒中裝有2個藍(lán)球、3個黃球,同時從甲、乙兩盒中取出i(i=1,2)個球進(jìn)行交換,記交換后甲、乙兩個盒子中藍(lán)球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望分別為Ei(X),Ei(Y),則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.E1(X)+E1(Y)=5 B.E1(X)>E1(Y)
C.E2(X)3.某超市舉行五一優(yōu)惠活動,購物滿100元即可參加一次游戲抽獎活動,游戲抽獎規(guī)則如下:顧客將一個半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器正上方的入口處,小球?qū)⒆杂陕湎?在此過程中,小球?qū)?次遇到黑色障礙物,最后落入A袋或B袋,落入A袋可獲得獎金4元,落入B袋可獲得獎金8元,且小球每次遇到黑色障礙物時,向左或向右下落的概率都為,則小球落在A袋中的概率為　　　　;已知活動當(dāng)天小剛在該超市購物消費(fèi)了108元,按照活動規(guī)則要求,他得到的獎金的期望為　　　　元.
4.設(shè)隨機(jī)變量ξ的取值為弧度制角.在某正三棱柱的九條棱中任取兩條,當(dāng)兩條棱平行時,ξ=0,當(dāng)兩條棱相交時,ξ為這兩條棱的夾角,當(dāng)兩條棱異面時,ξ為這兩條棱所在的異面直線所成的角,則E(ξ)=　　　　.
5.設(shè)a,b是從集合{1,2,3,4}中隨機(jī)選取的數(shù),直線l:y=ax+b,圓O:x2+y2=1,則直線l與圓O有公共點(diǎn)的概率是　　　　;直線l與圓O的公共點(diǎn)個數(shù)的數(shù)學(xué)期望是　　　　.
6.某學(xué)校體育課進(jìn)行投籃練習(xí),投籃地點(diǎn)分為A區(qū)和B區(qū),每名同學(xué)投每一個球可以選擇在A區(qū)內(nèi)投籃,也可以選擇在B區(qū)內(nèi)投籃,在A區(qū)內(nèi)每投進(jìn)一球得2分,沒有投進(jìn)得0分;在B區(qū)內(nèi)每投進(jìn)一球得3分,沒有投進(jìn)得0分.已知學(xué)生甲在A,B兩區(qū)內(nèi)的投籃練習(xí)情況統(tǒng)計如下表:
投籃地點(diǎn) A區(qū) B區(qū)
投籃次數(shù) 30 20
得分 40 30
用頻率估計概率,假設(shè)學(xué)生甲每次投籃結(jié)果相互獨(dú)立.
(1)試分別估計甲在A區(qū),B區(qū)內(nèi)投籃命中的概率;
(2)若甲在A區(qū)內(nèi)投3個球,在B區(qū)內(nèi)投2個球,求甲在A區(qū)內(nèi)投籃的得分高于在B區(qū)內(nèi)投籃得分的概率;
(3)若甲在A區(qū),B區(qū)內(nèi)一共投籃5次,投籃得分的期望不低于7分,請直接寫出甲選擇在A區(qū)內(nèi)投籃的最多次數(shù).(結(jié)論不要求證明)
7.某市開展了“學(xué)黨史,知黨情”大型黨史知識競賽活動.競賽活動后,在參賽的人員中,隨機(jī)抽取了100名參賽人員,對他們的成績(滿分150分)進(jìn)行統(tǒng)計分析,將所抽取的100名參賽人員的成績(單位:分)數(shù)據(jù)繪制成頻率直方圖,如圖所示.直方圖中m,n的關(guān)系為m-n=,根據(jù)頻率直方圖中的信息解答下列問題.
(1)從成績在[90,110)內(nèi)的參賽人員中任取3人,求其中至少有2人的成績在[90,100)內(nèi)的概率;
(2)用分層抽樣的方法,先從成績分別在[110,120),[120,130),[130,140)內(nèi)的參賽人員中抽取9人,再從這9人中任取4人,設(shè)抽取的4人中成績在[110,120)內(nèi)的人數(shù)為ξ,求ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望;
(3)若參賽人員共有1 000人,現(xiàn)有B公司準(zhǔn)備拿出一定資金,獎勵成績在120分及以上的參賽人員,并擬定了兩種獎勵方案.方案一:人均獎勵333元;方案二:把成績在[120,130)內(nèi)的記為等級三,成績在[130,140)內(nèi)的記為等級二,成績在[140,150]內(nèi)的記為等級一,并按等級每人分別獎勵200元,400元,600元.若你是競賽活動的負(fù)責(zé)人,你將選擇哪一種獎勵方案 并說明理由.
8.某大學(xué)為響應(yīng)國家號召,大力推行全民健身運(yùn)動,向全校學(xué)生開放了A,B兩個健身中心,要求全校學(xué)生每周都必須利用課外時間去健身中心進(jìn)行適當(dāng)?shù)捏w育鍛煉.
(1)該校學(xué)生甲、乙、丙三人某周均從A,B兩個健身中心中任意選擇一個進(jìn)行體育鍛煉,若甲、乙、丙該周選擇A健身中心的概率分別為,求這三人在這一周內(nèi)恰好有一人選擇A健身中心的概率;
(2)該校學(xué)生丁每周六、日均去健身中心進(jìn)行體育鍛煉,且這兩天中每天只選擇兩個健身中心中的一個,其中周六選擇A健身中心的概率為.若丁周六選擇A健身中心,則周日仍選擇A健身中心的概率為;若周六選擇B健身中心,則周日選擇A健身中心的概率為.求丁周日選擇B健身中心的概率;
(3)現(xiàn)用健身指數(shù)k(k∈[0,10])來衡量各學(xué)生在一個月內(nèi)的健身運(yùn)動后的健身效果,并規(guī)定k值低于1的學(xué)生為健身效果不佳的學(xué)生,經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,其k值低于1的概率為0.12.現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,如果抽取到的學(xué)生不是健身效果不佳的學(xué)生,則繼續(xù)抽取下一個,直到抽取到一位健身效果不佳的學(xué)生為止,但抽取的總次數(shù)不超過n.若抽取次數(shù)的期望值不超過3,求n的最大值.
參考數(shù)據(jù):0.8829≈0.025,0.8830≈0.022,0.8831≈0.019,ln 0.88≈-0.128.
答案與分層梯度式解析
8.2.2　離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征
第1課時　離散型隨機(jī)變量的均值
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.A 2.C 3.AD 4.BD 6.ABC 8.D 9.AD
1.A　由題意可得P(X=1)=,所以=1,解得a=,
所以E(X)=1×.故選A.
2.C　由題意可得ξ的可能取值為1,11,
且P(ξ=1)=p,P(ξ=11)=1-p.
所以E(ξ)=1×p+11×(1-p)=11-10p,則E(ξ)<10 11-10p<10 p>0.1,
又p≤1,所以0.13.AD　對于A,B,根據(jù)題意可知,隨機(jī)變量X的可能取值為0或1,
隨機(jī)變量Y的可能取值為0或1或2,故A正確,B錯誤;
對于C,由題意可知P(X=1)=,P(X=1)≠P(Y=1),故C錯誤;
對于D,P(X=0)=,
故E(X)=0×,E(X)=E(Y),故D正確.故選AD.
4.BD　取p=,則P(X=2)=,A錯誤;
因?yàn)?p<1,所以p-p2=p(1-p)<1-p,即P(X=0)E(X)=1×(1-p)+2p2=2,
又因?yàn)?p<1,所以結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知,E(X)隨著p的增大而增大,C錯誤,D正確.故選BD.
5.解析　(1)記“小明恰好套中2次”為事件A,則事件A包含三種情況:第一次和第二次套中;第一次和第三次套中;第二次和第三次套中,
則P(A)=,
故小明恰好套中2次的概率為.
(2)由題意可得X的可能取值為0,1,2,3,4,5,
P(X=0)=,
P(X=2)=,
P(X=4)=,
所以X的概率分布為
X 0 1 2 3 4 5
P
所以E(X)=0×.
6.ABC　由概率分布的性質(zhì)得0.5+0.1+b=1,解得b=0.4,又E(X)=4×0.5+0.1a+9×0.4=6.3,∴a=7,
∴E(aX)=aE(X)=7×6.3=44.1,E(bX+a)=bE(X)+a=0.4×6.3+7=9.52.故選ABC.
7.答案　6
解析　由概率分布的性質(zhì)得+a=1,得a=,從而E(ξ)=1×,
而η=2ξ+a=2ξ+,
所以E(η)=E=6.
8.D　設(shè)甲應(yīng)得的獎金為X元,則X的可能取值為800,0.
甲贏得比賽有3種情況:①第3局勝,甲贏的概率為;②第3局輸,第4局勝,甲贏的概率為;③第3,4局輸,第5局勝,甲贏的概率為.∴甲贏的概率為,
∴E(X)=800×=700,∴乙應(yīng)得的獎金為800-700=100(元).故選D.
9.AD　若用方案甲,設(shè)化驗(yàn)次數(shù)為X,則X的可能取值為1,2,3,4,5,6,7,P(X=2)=,A正確;
若用方案乙,設(shè)化驗(yàn)次數(shù)為Y,當(dāng)Y=3時,有兩種情況:
①先取的4只均為陰性,其概率P1=,
②先取的4只中有陽性,其概率P2=,
所以化驗(yàn)次數(shù)為3的概率為P(Y=3)=,B錯誤;
若用方案甲,則P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=,
所以E(X)=(1+2+3+4+5+6)×,C錯誤;
由B可知,P(Y=3)=,又Y的可能取值為2,3,4,
且P(Y=2)=,
所以E(Y)=2×,
因?yàn)镋(X)>E(Y),所以若平均化驗(yàn)次數(shù)少的方案更好,則方案乙比方案甲好,D正確.
故選AD.
10.解析　(1)由題意得X的取值可能為10,30,100,
且P(X=10)=.
所以X的概率分布為
X 10 30 100
P
所以E(X)=10×.
(2)由(1)知,一名顧客參與抽獎所獲的獎金均值為元,若今年抽獎活動總獎金預(yù)設(shè)為12 000元,則參與抽獎的人數(shù)可以為=450,
所以一名顧客可以參與抽獎的概率為=0.15.
又因?yàn)?00×(0.002+0.004+0.002 5)=0.85,所以m=300.
能力提升練
1.B　由題意得隨機(jī)變量X的可能取值是2,4,6,設(shè)每兩局比賽為一輪,則一輪結(jié)束時比賽停止的概率為,
若一輪結(jié)束時比賽還要繼續(xù),則甲、乙在該輪中必是各得1分,此時該輪比賽結(jié)果對下一輪比賽是否停止沒有影響,
所以P(X=2)=,
所以E(X)=2×.故選B.
2.ABC　由題意知X表示交換后甲盒子中的藍(lán)球個數(shù),Y表示交換后乙盒子中的藍(lán)球個數(shù),
當(dāng)i=1時,根據(jù)題意可知,X的可能取值為2,3,4,Y的可能取值為1,2,3,且P(X=2)=P(Y=3)=,
則E1(X)=2×=5,故A,B正確;
當(dāng)i=2時,根據(jù)題意可知,X的可能取值為1,2,3,4,5,Y的可能取值為0,1,2,3,4,且P(X=1)=P(Y=4)=,
P(X=3)=P(Y=2)=,
因此E2(X)=1×,
E2(Y)=4×,故C正確,D錯誤.
故選ABC.
3.答案　;5
解析　記“小球落入A袋”為事件M,“小球落入B袋”為事件N,
若小球落入B袋,則小球一直向左落下或一直向右落下,
故P(N)=,則P(M)=1-P(N)=1-.
由題意可得小剛可以參加一次抽獎活動,設(shè)小剛獲得的獎金為X元,則X的可能取值為4,8,
P(X=8)=P(N)=,故小剛得到的活動獎金的期望E(X)=8×=5.
4.答案　
解析　任取一正三棱柱ABC-A1B1C1,如圖所示,
從正三棱柱ABC-A1B1C1的九條棱中任取兩條,有=36種取法.
若所取的兩條棱平行,如AA1和BB1,AB和A1B1,則有6種取法,此時ξ=0;
若所取的兩條棱相交且同在上底面(或下底面)內(nèi),如AB和BC,則有2×=6種取法,此時ξ=;
若所取的兩條棱相交且同在側(cè)面內(nèi),如AB和AA1,則有3×4=12種取法,此時ξ=;
若所取的兩條棱所在直線為異面直線,且一條在底面上,另一條為相對的側(cè)棱,如AB和CC1,則有6種取法,此時ξ=;
若所取的兩條棱所在直線為異面直線且一條在上底面內(nèi),另一條在下底面內(nèi),如AB和B1C1,則有6種取法,此時ξ=.
所以P(ξ=0)=,
所以E(ξ)=0×.
5.答案　
解析　圓O:x2+y2=1的圓心為O(0,0),半徑r=1,
圓心O(0,0)到直線l的距離d=.
若直線l與圓O有公共點(diǎn),則d≤r=1,整理可得a2+1≥b2.
又因?yàn)閍,b∈{1,2,3,4},所以a≥b,
則滿足條件的(a,b)可能為(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(2,2),(3,2),(4,2),(3,3),(4,3),(4,4),共10個.
又(a,b)的所有可能結(jié)果的個數(shù)為4×4=16,
所以直線l與圓O有公共點(diǎn)的概率為.
設(shè)直線l與圓O的公共點(diǎn)個數(shù)為X,則X的可能取值為0,2,
P(X=2)=.
所以E(X)=0×P(X=0)+2×P(X=2)=0×.
6.解析　(1)由題表可知,甲在A區(qū)內(nèi)投籃30次,投進(jìn)20次,所以可估計甲在A區(qū)內(nèi)投籃命中的概率為.
甲在B區(qū)內(nèi)投籃20次,投進(jìn)10次,所以可估計甲在B區(qū)內(nèi)投籃命中的概率為.
(2)由(1)知甲在A區(qū)內(nèi)進(jìn)球的概率為,在B區(qū)內(nèi)進(jìn)球的概率為.
由題意得甲在A區(qū)內(nèi)投3個球的得分可能為0分,2分,4分,6分,在B區(qū)內(nèi)投2個球的得分可能是0分,3分,6分.
則甲在A區(qū)內(nèi)投籃的得分高于在B區(qū)內(nèi)投籃得分的情況如下:
①A區(qū)得2分,B區(qū)得0分,其概率為;
②A區(qū)得4分,B區(qū)得0分,其概率為;
③A區(qū)得4分,B區(qū)得3分,其概率為;
④A區(qū)得6分,B區(qū)得0分,其概率為;
⑤A區(qū)得6分,B區(qū)得3分,其概率為,
則甲在A區(qū)內(nèi)投籃的得分高于在B區(qū)內(nèi)投籃得分的概率為.
(3)甲在A區(qū)內(nèi)投籃一次的得分的期望是2×(分),
甲在B區(qū)內(nèi)投籃一次的得分的期望是3×(分),
設(shè)甲在A區(qū)內(nèi)投籃x次,0≤x≤5,則甲在B區(qū)內(nèi)投籃(5-x)次,
則甲總得分的期望為分,令(5-x)≥7,解得0≤x≤3,
則甲選擇在A區(qū)內(nèi)投籃的次數(shù)最多是3.
7.解析　(1)因?yàn)?0.005+m+0.032+0.024+n+0.006)×10=1,所以m+n=0.033,又m-n=,
所以m=0.017,n=0.016,
所以成績在[90,100)內(nèi)的有0.005×10×100=5(人),成績在[100,110)內(nèi)的有0.017×10×100=17(人),
所以至少有2人的成績在[90,100)內(nèi)的概率P=.
(2)由題意及(1)知,成績在[110,120),[120,130),[130,140)內(nèi)的分別有32人,24人,16人,
因此,抽取的9人中成績在[110,120)內(nèi)的有9×=4(人),成績在[120,130)內(nèi)的有9×=3(人),成績在[130,140)內(nèi)的有9×=2(人),
所以ξ的所有可能取值為0,1,2,3,4,
所以P(ξ=0)=,
P(ξ=2)=,
P(ξ=4)=.
所以ξ的概率分布為
ξ 0 1 2 3 4
P
故E(ξ)=0×.
(3)由題意及(2)知,在所抽取的這100人的成績中,成績在[120,130),[130,140),[140,150]內(nèi)的人數(shù)分別為24,16,6,
所以方案一所需費(fèi)用為(24+16+6)×10×333=153 180(元);
方案二所需費(fèi)用為(24×200+16×400+6×600)×10=148 000(元).
因?yàn)?53 180>148 000,所以選擇方案一,既能使獲獎人員得到的獎勵資金總額較多,又淡化了等級意識,可以更好地發(fā)揮激勵作用(也可以選擇方案二,既能相對的節(jié)約資金,又能激勵等級競爭意識).
8.解析　(1)由題意得,這三人在這一周內(nèi)恰好有一人選擇A健身中心的概率P=.
(2)記事件C:丁周六選擇A健身中心,事件D:丁周日選擇B健身中心,
則P(C)=P(,
由全概率公式得P(D)=P(C)P(D|C)+P(,
故丁周日選擇B健身中心的概率為.
(3)設(shè)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,抽取到的學(xué)生是健身效果不佳的學(xué)生的概率為p,則p=0.12,
設(shè)抽取次數(shù)為X,則X的概率分布為
X 1 2 3 … n-1 n
P p (1-p)p (1-p)2p … (1-p)n-2p (1-p)n-1
故E(X)=p+(1-p)p×2+(1-p)2p×3+…+(1-p)n-2p×(n-1)+(1-p)n-1×n,
則(1-p)E(X)=(1-p)p+(1-p)2p×2+(1-p)3p×3+…+(1-p)n-1p×(n-1)+(1-p)n×n,
兩式相減得pE(X)=p+(1-p)p+(1-p)2p+…+(1-p)n-2p+(1-p)n-1p-(1-p)n×n,
所以E(X)=1+(1-p)+(1-p)2+…+(1-p)n-2+(1-p)n-1-,
令f(x)=(1+x)0.88x,則f '(x)=0.88x+(1+x)0.88x×ln 0.88=0.88x[1+(1+x)ln 0.88],
令f '(x)<0,得1+(1+x)ln 0.88<0,即x>-1≈6.8,
所以f(x)在(7,+∞)上單調(diào)遞減,
故E(X)=在n>7,n∈N*時單調(diào)遞增,
當(dāng)n=29時,E(X)=≈2.08;
當(dāng)n=30時,E(X)==2.65;
當(dāng)n=31時,E(X)=≈3.27.
若抽取次數(shù)的期望值不超過3,則n的最大值為30.
1(共23張PPT)
知識點(diǎn) 1 離散型隨機(jī)變量的均值
8.2.2 離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征
必備知識 清單破
1.一般地,隨機(jī)變量X的概率分布如表所示:
X x1 x2 … xn
概率p p1 p2 … pn
　　其中pi≥0,i=1,2,…,n,p1+p2+…+pn=1,我們將p1x1+p2x2+…+pnxn稱為隨機(jī)變量X的均值或數(shù) 學(xué)期望,記為E(X)或μ.即E(X)=p1x1+p2x2+…+pnxn.
2.離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.
3.離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)
一般地,對于隨機(jī)變量X和常數(shù)a,b,有E(aX+b)=aE(X)+b.特別地,E(X+b)=E(X)+b,E(ax)=aE(X).
1.一般地,若離散型隨機(jī)變量X的概率分布如表所示:
知識點(diǎn) 2 離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
　　其中,pi≥0,i=1,2,…,n,p1+p2+…+pn=1,則(xi-μ)2(μ=E(X))描述了xi(i=1,2,…,n)相對于均值μ的 偏離程度,故(x1-μ)2p1+(x2-μ)2p2+…+(xn-μ)2pn(其中pi≥0,i=1,2,…,n,p1+p2+…+pn=1)刻畫了隨機(jī)變 量X與其均值μ的平均偏離程度,我們將其稱為離散型隨機(jī)變量X的方差,記為D(X)或σ2,即
D(X)=σ2=(x1-μ)2p1+(x2-μ)2p2+…+(xn-μ)2pn.
2.隨機(jī)變量X的方差也稱為X的概率分布的方差,X的方差D(X)的算術(shù)平方根稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差, 即σ= .
3.隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量的取值偏離于均值的平均程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差 越小,隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度就越小.
4.離散型隨機(jī)變量的方差的性質(zhì)
(1)一般地,對于隨機(jī)變量X和常數(shù)a,b,有D(aX+b)=a2D(X).特別地,D(X+b)=D(X),D(aX)=a2D(X).
(2)D(X)=E(X2)-[E(X)]2.
知識辨析
1.隨機(jī)變量X的均值E(X)(方差D(X))是否隨樣本的改變而改變
2.離散型隨機(jī)變量的方差越大,其取值越穩(wěn)定是嗎
3.離散型隨機(jī)變量X乘上一個常數(shù)a(a≠0),其均值會發(fā)生改變嗎 方差呢
一語破的
1.隨機(jī)變量X的均值E(X)(方差D(X))是一個確定的數(shù),不隨樣本的改變而改變,而樣本的均值 (方差)具有隨機(jī)性,會隨樣本的改變而改變.
2.不是.離散型隨機(jī)變量的方差越小,其取值越穩(wěn)定.
3.均會發(fā)生改變.離散型隨機(jī)變量X乘上一個常數(shù)a,其均值變?yōu)樵瓉淼腶倍,方差變?yōu)樵瓉淼腶2 倍,即E(aX)=aE(X),D(aX)=a2D(X).

1.求離散型隨機(jī)變量的均值、方差(標(biāo)準(zhǔn)差)的一般步驟
(1)理解X的意義,并寫出X的全部取值;
(2)求出X取每個值時的概率;
(3)寫出X的概率分布;
(4)利用定義求E(X),D(X)( ).
在隨機(jī)變量X2的均值比較好計算的情況下,運(yùn)用D(X)=E(X2)-[E(X)]2求方差是一種比較好的方 法.
2.已知隨機(jī)變量X的均值、方差或其均值、方差易求時,Y=aX+b(a≠0)的均值、方差可利用 E(aX+b)=aE(X)+b和D(aX+b)=a2·D(X)求解.
關(guān)鍵能力 定點(diǎn)破
定點(diǎn) 1 求離散型隨機(jī)變量的均值和方差
典例1 (多選)隨機(jī)變量X的概率分布如表所示:
X 1 2 3
P a 2b a
其中a>0,b>0,則 (　 )
A.a+b= 　 B.E(X)=2
C.D(X)=1　 D.D(bX)的最大值為
ABD
解析 由題可知a+2b+a=1,所以a+b= ,故A正確;
E(X)=a+4b+3a=4(a+b)=2,故B正確;
D(X)=(1-2)2a+(2-2)2×2b+(3-2)2a=2a,故C錯誤;
D(bX)=b2D(X)=2ab2,因?yàn)閍+b= ,所以a= -b,所以D(bX)=-2b3+b2,
令f(b)=-2b3+b2(b>0),
則f '(b)=-6b2+2b=-2b·(3b-1).
因?yàn)閍>0,b>0,a+b= ,所以0當(dāng)00,函數(shù)f(b)在 上單調(diào)遞增;當(dāng) 遞減,
所以f(b)max=f = ,故D正確.故選ABD.
典例2 隨著小汽車的普及,駕駛證已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”的證件之一.若某人報名參加了駕 駛證考試,要順利拿到駕駛證,他需要通過四個科目的考試,其中科目二為場地考試.在一次報 名中,每個學(xué)員有5次參加科目二考試的機(jī)會(這5次考試機(jī)會中任何一次通過考試,就算順利 通過,即進(jìn)入下一科目考試;若5次都沒有通過,則需重新報名),其中前2次參加科目二考試免 費(fèi),若前2次都沒有通過,則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補(bǔ)考費(fèi).某駕校對以往
2 000名學(xué)員第1次參加科目二考試的情況進(jìn)行了統(tǒng)計,得到表格:
考試情況 男學(xué)員/人 女學(xué)員/人
第1次考科目二 1 200 800
第1次通過科目二 960 600
第1次未通過科目二 240 200
以上表得到的男、女學(xué)員第1次通過科目二考試的頻率分別作為此駕校男、女學(xué)員每次通 過科目二考試的概率,且每人每次是否通過科目二考試相互獨(dú)立.現(xiàn)有一對年輕的夫妻同時 在此駕校報名參加了駕駛證考試.
(1)求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的概率;
(2)若這對夫妻前2次參加科目二考試均沒有通過,記這對夫妻在本次報名中參加科目二考試 產(chǎn)生的補(bǔ)考費(fèi)用之和為X元,求X的概率分布與數(shù)學(xué)期望.
解析 記Ai表示事件“男學(xué)員在第i次考科目二時通過”,Bi表示事件“女學(xué)員在第i次考科 目二時通過”,
則P(Ai)= ,P(Bi)= (其中i=1,2,3,4,5).
(1)記M表示事件“這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補(bǔ)考費(fèi)”,
則P(M)=P(A1B1+A1 B2+ A2B1+ A2 B2)=P(A1B1)+P(A1 B2)+P( A2B1)+P( A2 B2)= × +
× × + × × + × × × = .
(2)X的可能取值為400,600,800,1 000,1 200.
P(X=400)=P(A3B3)= × = ,
P(X=600)=P(A3 B4+ A4B3)= × × + × × = ,
P(X=800)=P( A4 B4+A3 + B3)= × × × + × × + × × = ,
P(X=1 000)=P( A4 + B4)= × × × + × × × = ,
P(X=1 200)=P( )= × × × = .
所以X的概率分布如表所示:
X 400 600 800 1 000 1 200
P
故E(X)=400× +600× +800× +1 000× +1 200× =510.5.
在實(shí)際生活中存在許多決策問題,我們決策或優(yōu)化的目的通常是使損失最小或利益最大.
離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平,而方差反映了離散型隨機(jī)變 量的取值相對于均值的離散程度(或波動大小).因此,在利用均值和方差的意義去分析、解決 實(shí)際問題時,兩者都要考慮.
(1)若我們希望實(shí)際的平均水平較理想,則先求隨機(jī)變量X1,X2的均值,當(dāng)E(X1)=E(X2)時,不應(yīng)認(rèn) 為它們一樣好,還需要用D(X1),D(X2)來比較這兩個隨機(jī)變量的偏離程度,偏離程度越小越好.
(2)若我們希望隨機(jī)變量的取值比較穩(wěn)定,則應(yīng)先考慮方差,再考慮均值是否相等或接近.
定點(diǎn) 2 數(shù)學(xué)期望和方差在實(shí)際生活中的應(yīng)用
典例1 某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價格出售. 如果當(dāng)天賣不完,那么剩下的玫瑰花當(dāng)作垃圾處理.
(1)若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花,求當(dāng)天利潤y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:枝,n∈N)的函 數(shù)解析式;
(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量n(單位:枝),整理得表:
日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20
頻數(shù) 10 20 16 16 15 13 10
以頻率作為概率.
①若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花,當(dāng)天的利潤為X元,求X的概率分布、數(shù)學(xué)期望及方差;
②若花店計劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花,你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝 請說明理由.
解析 (1)當(dāng)日需求量n≥16時,y=(10-5)×16=80.
當(dāng)日需求量n<16時,y=(10-5)n-(16-n)×5=10n-80.
所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為
y= (n∈N).
(2)①X的所有可能取值為60,70,80,
P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.
所以X的概率分布為
X 60 70 80
P 0.1 0.2 0.7
則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76,
X的方差D(X)=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44.
②若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花,設(shè)當(dāng)天的利潤為Y元,則Y的概率分布為
Y 55 65 75 85
P 0.1 0.2 0.16 0.54
所以Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4,
Y的方差D(Y)=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04.
結(jié)合①可知E(X)從利潤角度看,購進(jìn)17枝玫瑰花時的平均利潤大于購進(jìn)16枝玫瑰花時的平均利潤,所以花店 一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花,但D(Y)>D(X),且E(X)與E(Y)之間相差不大,即購進(jìn)17枝玫瑰花時利潤 波動相對較大,且購進(jìn)17枝玫瑰花沒有比購進(jìn)16枝玫瑰花的利潤大很多,故應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰 花.
典例2 已知某工廠的一種機(jī)器有兩個相同的易損配件,當(dāng)兩個配件都正常工作時(兩個配件 損壞與否互不影響),該機(jī)器才能正常運(yùn)轉(zhuǎn).該工廠計劃購買一批易損配件,現(xiàn)有甲、乙兩個品 牌的配件供選擇,甲、乙兩個品牌的配件可以搭配使用,甲品牌配件的價格為400元/個,乙品 牌配件的價格為800元/個.現(xiàn)需決策如何購買易損配件,為此收集并整理了以往購買的甲、乙 兩個品牌配件各100個的使用時間的數(shù)據(jù),得到如下條形圖.分別以甲、乙兩種配件使用時間 的頻率作為概率.

(1)若從2個甲品牌配件和2個乙品牌配件中任選2個裝入機(jī)器,求該機(jī)器正常運(yùn)轉(zhuǎn)時間不少于
2個月的概率;
(2)現(xiàn)有兩種購置方案:方案一,購置2個甲品牌配件;方案二,購置2個乙品牌配件.試從性價比 (機(jī)器正常運(yùn)轉(zhuǎn)的時間的數(shù)學(xué)期望與成本的比值)的角度考慮,哪一種方案更實(shí)惠.
解析 (1)若裝入2個甲品牌的配件,則該機(jī)器正常運(yùn)轉(zhuǎn)時間不少于2個月的概率為 × × =
;
若裝入2個乙品牌的配件,則該機(jī)器正常運(yùn)轉(zhuǎn)時間不少于2個月的概率為 = ;
若裝入1個甲品牌和1個乙品牌的配件,則該機(jī)器正常運(yùn)轉(zhuǎn)時間不少于2個月的概率為 ×
= .
故該機(jī)器正常運(yùn)轉(zhuǎn)時間不少于2個月的概率為 + + = .
(2)若采用方案一,設(shè)機(jī)器可正常運(yùn)轉(zhuǎn)的時間為X月,則X的可能取值為1,2,P(X=1)=1- × = ,
P(X=2)= × = ,
所以X的概率分布為
X 1 2
P
故E(X)=1× +2× = ,它與購置配件的成本的比值為 = = .
若采用方案二,設(shè)機(jī)器可正常運(yùn)轉(zhuǎn)的時間為Y月,則Y的可能取值為3,4,
P(Y=3)=1- × = ,P(Y=4)= × = ,
所以Y的概率分布為
Y 3 4
P
故E(Y)=3× +4× = ,
它與購置配件的成本的比值為 = = .因?yàn)?< ,
所以從性價比的角度考慮,方案二更實(shí)惠.

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