資源簡介

8.2.3　二項分布
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　n重伯努利試驗及其概率計算
1.一個n重伯努利試驗的所有結果構成集合S,則下列說法錯誤的是(　　)
A.若事件M“試驗成功”的概率為p(0B.集合S內的元素個數不確定
C.用X表示事件N:“得到y∈S”發生的次數,p為事件N發生的概率,則P(X=4)=p4·(1-p)n-4
D.該n重伯努利試驗共做了n次互相獨立的試驗
2.某人參加一次考試,共有4道試題,至少答對其中3道試題才能合格.若他答每道題的正確率均為,并且答每道題之間相互獨立,則他能合格的概率為(　　)
A.
3.甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標的概率分別是.假設兩人射擊是否擊中目標相互之間沒有影響,每人每次射擊是否擊中目標相互之間也沒有影響.
(1)若甲連續射擊,命中為止,求甲恰好射擊3次結束射擊的概率;
(2)若乙連續射擊,直至命中2次為止,求乙恰好射擊3次結束射擊的概率.
題組二　二項分布及其概率計算
4.2025年,“北上滑雪”成為冬季熱門的度假方式,某滑雪場通過調查了解到有的游客是第一次滑雪,其他游客以前滑過雪,則從所有游客中任選四人,其中恰有兩人是第一次滑雪的概率為(　　)
A.
5.(教材習題改編)如圖,一個質點在隨機外力作用下,從原點O出發,每隔1秒等可能地向左或向右移動1個單位長度,已知向右移動的概率為,向左移動的概率為,共移動6次,則質點位于2的位置的概率是(　　)
A. B.
C. D.
6.設隨機變量X~B(2,p),若P(X≥1)=,則p的值為(　　)
A.
7.一個袋子中裝有大小、形狀完全相同的6個球,其中有4個紅球和2個白球.
(1)有放回地每次從袋子中摸出1個球,連摸3次,設摸出紅球的次數為X,求隨機變量X的概率分布及數學期望E(X);
(2)無放回地依次從袋子中摸出1個球,連摸2次,求第二次摸出白球的概率;
(3)若每次任意摸出1個球,記錄顏色后放回袋子中,直到摸出2次紅球為止,設取球的次數為Y,求Y=4的概率.
題組三　二項分布的數學期望與方差
8.(教材習題改編)(多選題)某籃球運動員罰球命中的概率為0.8,若罰球10次,各次之間相互獨立,其中命中的次數為X,則下列結論正確的是(　　)
A.P(X=k)=0.8k×0.210-k
B.P(X=k)=×0.8k×0.210-k
C.E(X)=8
D.D(X)=1.6
9.設隨機變量X~B(12,p),若E(X)≤4,則D(X)的最大值為(　　)
A.4　　　　B.3　　　　C.
10.若隨機變量X~B(25,sin θ),且D(X)=6,則E(X)=　　　　.
11.某學生在上學路上要經過4個路口,假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的,遇到紅燈的概率都是,遇到紅燈停留的時間都是2分鐘,則這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間ξ(單位:分鐘)的數學期望為　　　　,方差為　　　　.
12.某學校舉行定點投籃比賽,規定每人投籃4次,投中一球得2分,沒有投中得0分,假設每次投籃投中與否是相互獨立的.已知小明每次投籃投中的概率都是,小強每次投籃投中的概率都是p(0(1)求小明在4次投籃后的總得分ξ的概率分布和數學期望;
(2)小強投籃4次,投中的次數為X,若期望E(X)=1,求p和X的方差D(X).
13.會員足夠多的某知名咖啡店,男會員占60%,女會員占40%.現對會員進行服務質量滿意度調查.根據調查結果得知,男會員對服務質量滿意的概率為,女會員對服務質量滿意的概率為.
(1)隨機選取一名會員,求其對服務質量滿意的概率;
(2)從會員中隨機抽取3人,記抽取的3人中,對服務質量滿意的人數為X,求X的概率分布和數學期望.
能力提升練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　二項分布的概率
1.(多選題)若隨機變量X~B,記f(k)=P(X=k)為恰好發生k次(k∈{0,1,2,…,10})的概率,下列說法正確的有(　　)
A.P(X>0.5)=
B.f(k)=f(10-k)
C.(i·f(i))=(i=0,1,2,…,10)
D.當k=5時,f(k)取得最大值
2.經檢測,有一批產品的合格率為,現從這批產品中任取5件,記其中合格產品的件數為ξ,則P(ξ=k)取得最大值時,k的值為　　　　.
3.口袋里有大小相等的2個紅球和1個白球,有放回地每次摸取1個球,數列{an}滿足:an=如果Sn為數列{an}的前n項和,那么S7=3的概率為　　　　.
4.設隨機變量X~B(n,p),記pk=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.在研究pk的最大值時,某學習小組發現并證明了如下正確結論:若(n+1)p是正整數,則當k=(n+1)p時,pk=pk-1,此時這兩項概率均為最大值;若(n+1)p不是正整數,則當且僅當k取(n+1)p的整數部分時,pk取最大值.某同學重復拋擲一枚質地均勻的正方體骰子并實時記錄點數1出現的次數,當拋擲到第20次時,點數1出現4次,若再繼續進行80次拋擲試驗,則在這100次拋擲試驗中,點數1總共出現的次數為　　　　的概率最大.
5.王先生準備每天從騎自行車和開車兩種出行方式中隨機選擇一種出行.即日起出行方式選擇規則自定如下:第一天選擇騎自行車出行,隨后每天用“一次性拋擲4枚均勻的硬幣”的方法確定出行方式,若得到的正面朝上的枚數小于3,則該天出行方式與前一天相同,否則選擇另一種出行方式.設pn(n∈N*)表示事件“第n天王先生選擇騎自行車出行”的概率.
(1)用pn-1表示pn(n≥2);
(2)請問王先生每天選擇騎自行車出行的概率和開車出行的概率哪個大 并說明理由.
題組二　二項分布的數學期望與方差
6.在某個獨立重復試驗中,事件A,C相互獨立,且在一次試驗中,事件A發生的概率為p,事件C發生的概率為1-p,其中p∈(0,1).若進行n次試驗,記事件A發生的次數為X,事件C發生的次數為Y,事件AC發生的次數為Z,則下列說法正確的是(　　)
A.pE(X)=(1-p)E(Y)
B.(1-p)D(X)=pD(Y)
C.E(Z)=D(Y)
D.[D(Z)]2=D(X)·D(Y)
7.某校在校慶期間舉辦羽毛球比賽,某班派出甲、乙兩名單打主力,為了提高兩位主力的能力,體育老師安排了為期一周的對抗訓練,比賽規則如下:甲、乙兩人每輪分別與體育老師打2局,當兩人獲勝局數不少于3局時,則認為這輪訓練過關;否則不過關.若甲、乙兩人每局獲勝的概率分別為p1,p2,且滿足p1+p2=,每局之間相互獨立.記甲、乙兩人在n輪訓練中訓練過關的輪數為X,若E(X)=16,則從期望的角度來看,甲、乙兩人訓練的輪數至少為(　　)
A.27　　　　B.24　　　　C.32　　　　D.28
8.在數字通信中,信號是由數字“0”和“1”組成的序列.現連續發射信號n次,每次發射信號“0”和“1”是等可能的.記發射信號“1”的次數為X.
(1)當n=6時,P(X≤2)=　　　　;
(2)已知切比雪夫不等式:對于任一隨機變量Y,若其數學期望E(Y)和方差D(Y)均存在,則對任意正實數a,有P(|Y-E(Y)|9.某區域中的物種C有A種和B種兩個亞種.為了調查該區域中這兩個亞種的數目比例(A種數目比B種數目少),某生物研究小組設計了如下試驗方案:①在該區域中有放回地捕捉50個物種C,統計其中A種數目,以此作為一次試驗的結果;②重復進行這個試驗n次(其中n∈N*),記第i次試驗中的A種數目為隨機變量Xi(i=1,2,…,n);③記隨機變量Xi,利用的數學期望E()和方差D()進行估算.設該區域中A種數目為M,B種數目為N,每一次試驗都相互獨立.
(1)已知E(Xi+Xj)=E(Xi)+E(Xj),D(Xi+Xj)=D(Xi)+D(Xj),證明:E(D(X1);
(2)該小組完成所有試驗后,得到Xi的實際取值分別為xi(i=1,2,…,n),并計算了數據xi(i=1,2,…,n)的平均值和方差s2,然后部分數據丟失,僅剩方差的數據s2=.
①請用和s2分別代替E()和D(),估算;
②在①的條件下,求X1的分布列中概率值最大的隨機事件{X1=k}對應的隨機變量的取值.
答案與分層梯度式解析
8.2.3　二項分布
基礎過關練
1.B 2.A 4.C 5.C 6.A 8.BCD 9.C
1.B　對于A,事件M在第k次試驗中才首次發生的概率為p(1-p)k-1,故A中說法正確;
對于B,集合S內的元素個數為n+1,故B中說法錯誤;
對于C,在n次獨立重復試驗中恰好發生4次的概率為P(X=4)=p4(1-p)n-4,故C中說法正確;
對于D,該n重伯努利試驗共做了n次互相獨立的試驗,故D中說法正確.
故選B.
2.A　由題意可知,他能合格的概率為.故選A.
3.解析　(1)記“甲恰好射擊3次結束射擊”為事件A1,
則P(A1)=.
(2)記“乙恰好射擊3次結束射擊”為事件A2,
則P(A2)=.
4.C　設四人中第一次滑雪的人數為X,則X~B,則四人中恰有兩人是第一次滑雪的概率為P(X=2)=.故選C.
5.C　設此質點向左移動的次數為X,則X~B,
易知質點從0移動到2,需向右移動4次,向左移動2次,
故所求概率為P(X=2)=.故選C.
6.A　∵X~B(2,p),∴P(X=0)=(1-p)2,
∴P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2=,
解得p=或p=.故選A.
7.解析　(1)由題意得每次摸出紅球的概率為,
故X~B,則X的可能取值為0,1,2,3,
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
所以X的概率分布為
X 0 1 2 3
P
故E(X)=3×=2.
(2)記“第一次摸出紅球”為事件A1,“第一次摸出白球”為事件A2,“第二次摸出白球”為事件B,
則P(A1)=,
P(A2B)=,
故第二次摸出白球的概率為P(A1B)+P(A2B)=.
(3)Y=4即“前3次只有1次摸出紅球,其余2次摸出白球,第4次摸出紅球”,
易知每次摸出紅球的概率為,
所以P(Y=4)=.
8.BCD　由題意可得X~B(10,0.8),則P(X=k)=×0.8k×0.210-k,故A錯誤,B正確;E(X)=10×0.8=8,故C正確;D(X)=10×0.8×(1-0.8)=1.6,故D正確.故選BCD.
9.C　由X~B(12,p),得E(X)=12p,
因為E(X)≤4,所以0<12p≤4,解得0D(X)=12p(1-p)=-12p2+12p,
令y=-12x2+12x,
易知二次函數y=-12x2+12x的圖象開口向下,對稱軸為直線x=,
所以y=-12x2+12x在上單調遞增,
故當p=時,D(X)取得最大值,且最大值為12p(1-p)=12×.故選C.
10.答案　10
解析　因為X~B(25,sin θ),D(X)=6,
所以D(X)=25sin θ(1-sin θ)=6,解得sin θ=或sin θ=,
因為0<θ<,所以0所以E(X)=25sin θ=10.
11.答案　
解析　設這名學生在上學路上遇到紅燈的次數為η,則ξ=2η.由題意知,η~B,所以E(η)=4×,所以E(ξ)=2E(η)=.
12.解析　(1)小明在4次投籃后總得分ξ的可能取值為0,2,4,6,8,
P(ξ=0)=,
P(ξ=2)=,
P(ξ=4)=,
P(ξ=6)=,
P(ξ=8)=,
所以ξ的概率分布為
ξ 0 2 4 6 8
P
所以E(ξ)=0×.
(2)由題意得X~B(4,p),所以E(X)=4p=1,所以p=,
所以D(X)=4×.
13.解析　(1)記事件A1為“會員為男會員”,事件A2為“會員為女會員”,事件B為“會員對服務質量滿意”,
則P(A1)=,
P(B|A2)=,
所以P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)=.
(2)由題設及(1)知X~B,則X的可能取值為0,1,2,3,
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
所以X的概率分布為
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0×.
能力提升練
1.ABD 6.C 7.A
1.ABD　對于A,f(k)=,故A正確;
對于B,因為,所以,即f(k)=f(10-k),故B正確;
對于C,因為f(k)=f(10-k),所以(i·f(i))=10×[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+5f(5)=5×[f(0)+f(1)+…+f(9)+f(10)]=5×210×=5,故C錯誤;
對于D,由二項式系數的性質可得最大,即當k=5時,f(k)取得最大值,故D正確.
故選ABD.
2.答案　4
解析　由題意得ξ~B,
則P(ξ=k)=,
若P(ξ=k)取得最大值時,
則
即
化簡,得
解得3.5≤k≤4.5,又k∈N*,∴k=4.
故當k=4時,P(ξ=k)取得最大值.
3.答案　
解析　由題意知每次摸球結果互不影響,摸到紅球的概率為,摸到白球的概率為,
S7=3表示共摸球7次,且只有2次摸到紅球,
設摸到紅球的次數為X,且X~B,
所以只有2次摸到紅球的概率為P(X=2)=.
4.答案　17
解析　設再繼續進行80次投擲試驗,出現點數為1的次數是X,則X~B,
由于(n+1)p=81×=13.5,故結合題中結論可知,當k=13時概率最大,即后面進行的80次拋擲試驗中出現13次點數1的概率最大,又前面進行的20次拋擲試驗中點數1出現了4次,所以點數1出現17次的概率最大.
5.解析　(1)設一次性拋擲4枚均勻的硬幣得到正面向上的枚數為ξ,則ξ~B,
P(ξ<3)=,
則P(ξ≥3)=1-P(ξ<3)=.
記事件An-1表示“第(n-1)天王先生選擇的是騎自行車出行”,事件An表示“第n天王先生選擇的是騎自行車出行”,
由全概率公式知pn=P(An)=P(An|An-1)P(An-1)+P(An|)=pn-1·P(ξ<3)+(1-pn-1)·P(ξ≥3)=,
所以pn=(n≥2).
(2)由(1)知,pn-,n≥2,
因為p1=1,所以p1-,所以pn-≠0,
所以,
所以數列,公比為的等比數列,
所以pn-,即pn=.
又因為pn=恒成立,
所以王先生每天選擇騎自行車出行的概率始終大于選擇開車出行的概率.
6.C　由已知得X~B(n,p),Y~B(n,1-p),
∴E(X)=np,D(X)=np(1-p),E(Y)=n(1-p),D(Y)=n(1-p)[1-(1-p)]=np(1-p),
∵事件A,C相互獨立,∴在一次試驗中,A,C同時發生的概率P(AC)=P(A)P(C)=p(1-p),
∴Z~B(n,p(1-p)),
∴E(Z)=np(1-p),D(Z)=np(1-p)[1-p(1-p)]=np(1-p)(1-p+p2).
對于A,∵pE(X)=np2,(1-p)E(Y)=n(1-p)2,
∴pE(X)=(1-p)E(Y)不一定成立,故A不正確;
對于B,∵(1-p)D(X)=np(1-p)2,pD(Y)=np2(1-p),∴(1-p)D(X)=pD(Y)不一定成立,故B不正確;
對于C,∵E(Z)=np(1-p),D(Y)=np(1-p),
∴E(Z)=D(Y)成立,故C正確;
對于D,∵[D(Z)]2=n2p2(1-p)2(1-p+p2)2,D(X)·D(Y)=n2p2(1-p)2,∴[D(Z)]2=D(X)·D(Y)不一定成立,故D不正確.
故選C.
7.A　設甲、乙每一輪訓練過關的概率為p,
則p=×p1×(1-p1)
=-3p1p2,
0令y=-3x2+x,則其圖象開口向下,對稱軸方程為x=,
所以0<-3p1p2≤-3×,
依題意,X~B(n,p),
所以E(X)=n=16,
所以n==27,
所以甲、乙兩人訓練的輪數至少為27.
故選A.
8.答案　(1)　(2)1 250
解析　(1)當n=6時,由已知得X~B,所以P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=.
(2)由已知得X~B,
所以E(X)=0.5n,D(X)=0.25n,
若0.4<<0.6,則0.4n由切比雪夫不等式,得P(|X-0.5n|<0.1n)≥1-,
要使得至少有98%的把握使發射信號“1”的頻率在0.4與0.6之間,則1-≥0.98,解得n≥1 250,所以估計信號發射次數n的最小值為1 250.
9.解析　(1)證明:由題可知,Xi(i=1,2,…,n)均近似服從完全相同的二項分布,
則E(X1)=E(X2)=…=E(Xn),D(X1)=D(X2)=…=D(Xn),
E(×nE(X1)=E(X1),
D(D(X1),
所以E(D(X1).
(2)①由(1)可知,X1~B,
則E(X1)=,
所以D(,解得,
由題意可知,0≤M所以=15.
②由①可知,=0.3,則X1~B(50,0.3),
則P(X1=m)=×0.3m×(1-0.3)50-m,m=0,1,2,…,50,
由題意可知
解得14.3≤k≤15.3,又k∈N*,所以k=15,
所以X1的概率分布中概率值最大的隨機事件{X1=k}對應的隨機變量的取值為15.
2(共17張PPT)
8.2.3 二項分布
必備知識 清單破
知識點 1 二項分布
X 0 1 2 … n
P p0qn pqn-1 p2qn-2 … pnq0
知識拓展 二項分布中的概率最大值理論:設隨機變量X~B(n,p),其中0　　一般地,當X~B(n,p)時,E(X)=np,D(X)=np(1-p),σ= .
知識點 2 二項分布的數學期望、方差與標準差
知識辨析
1.如何判斷一個試驗是不是n重伯努利試驗
2.在n重伯努利試驗的各次試驗中,事件發生的概率可以不同嗎
3.兩點分布與二項分布的關系是什么
一語破的
1.(1)該試驗在相同的條件下可以重復進行;(2)每次試驗相互獨立,互不影響;
(3)每次試驗都只有兩種結果,即事件發生、不發生.
2.不可以.在n重伯努利試驗的各次試驗中,事件發生的概率必須相同.
3.兩點分布可看作一種特殊的二項分布.
關鍵能力 定點破
　
利用二項分布解決實際問題的一般步驟
(1)根據題意設出隨機變量;
(2)分析隨機變量是否服從二項分布;
(3)若服從二項分布,則求出參數n和p的值;
(4)根據需要列出相關式子并解決問題.
定點 二項分布的應用
典例1 為降低汽車尾氣的排放量,某廠生產了甲、乙兩種不同型號的節排器,分別從甲、乙兩 種節排器中各自抽取100件進行性能質量評估檢測,綜合得分情況的頻率直方圖如圖所示.

節排器等級及利潤率如表所示,其中 綜合得分k的范圍 節排器等級 節排器利潤率
k≥85 一級品 a
75≤k<85 二級品 5a2
70≤k<75 三級品 a2
視頻率直方圖中的頻率為概率,用樣本估計總體.
(1)若從這100件甲型號節排器中,按節排器等級用分層抽樣的方法抽取10件,再從這10件節排 器中隨機抽取3件,求至少有2件一級品的概率;
(2)①若從乙型號節排器中隨機抽取3件,求其中二級品的件數X的概率分布及數學期望E(X);
②從長期來看,投資哪種型號節排器的平均利潤率較大
解析 (1)由題中的頻率直方圖知,甲型號節排器中的一級品的頻率為 ,二級品的頻率為 ,
用分層抽樣的方法抽取10件,
則抽取一級品的件數為10× =6.
故從這10件節排器中隨機抽取3件,至少有2件一級品的概率P= = .
(2)①由題中的頻率直方圖知,乙型號節排器中的一級品的頻率為 ,二級品的頻率為 ,三級
品的頻率為 ,
若從乙型號節排器中隨機抽取3件,
則其中二級品的件數X~B ,
所以P(X=0)= = ,
P(X=1)= = ,
P(X=2)= = ,
P(X=3)= = .
所以X的概率分布如表所示:
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0× +1× +2× +3× = .
②由題意知,投資甲型號節排器的平均利潤率E1= a+ ×5a2=2a2+ a,
投資乙型號節排器的平均利潤率E2= a+ ×5a2+ a2= a2+ a,
則E1-E2= a2- a= a ,
又 所以E1-E2<0,故E1所以投資乙型號節排器的平均利潤率較大.
典例2 為了引導居民合理用水,某市決定全面實施階梯水價.階梯水價原則上以住宅(一套住 宅為一戶)的月用水量為基準定價,具體劃分標準如表1所示.
表1
階梯級別 第一階梯 第二階梯 第三階梯
月用水量范圍/立方 米 (0,10] (10,15] (15,+∞)
從本市隨機抽取了10戶家庭(編號分別為1~10),統計了他們某月的用水量,得到表2.
表2
家庭編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
月用水量/立方米 7 10 11 12 13 13 14 15 20 32
(1)現要在這10戶家庭中任意選取3戶,求取到月用水量為第二階梯的戶數X的概率分布;
(2)用抽到的10戶家庭的月用水量作為樣本,估計全市居民的用水情況,現從全市隨機抽取10 戶,若抽到k戶月用水量為第二階梯的可能性最大,求k的值.
解析 (1)由題中表1和表2可知,抽取的10戶家庭中月用水量為第一階梯的有2戶,第二階梯的 有6戶,第三階梯的有2戶,
故取到月用水量為第二階梯的戶數X的可能取值為0,1,2,3,
則P(X=0)= = ,
P(X=1)= = ,
P(X=2)= = ,
P(X=3)= = .
所以X的概率分布如表所示:
X 0 1 2 3
P
(2)設Y為從全市抽取的10戶家庭中月用水量為第二階梯的家庭戶數,
依題意得Y~B ,
所以P(Y=k)= ,其中k=0,1,2,…,10.
當k≥1時,設t= = = ,
若t>1,則k<6.6,此時P(Y=k-1)若t<1,則k>6.6,此時P(Y=k-1)>P(Y=k),
所以k=6或k=7,P(Y=k)的值最大,
因為 = = >1,
所以P(Y=6)>P(Y=7),
所以當k的值為6時,P(Y=k)的值最大.
解題模板 求二項分布中的最大值的步驟:
(1)由X~B(n,p),得P(X=k)= pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.
(2)令P(X=k)-P(X=k-1)≥0或 ≥1,求出k的取值集合,在此集合內,P(X=k)單調遞增,
則在其補集內,P(X=k)單調遞減.
(3)結合P(X=k)的單調性確定P(X=k)的最大值和對應k的值.

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