資源簡介

8.2.4　超幾何分布
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　超幾何分布及其概率計算
1.(多選題)一個袋中裝有6個同樣大小的黑球,編號分別為1,2,3,4,5,6,還有4個同樣大小的白球,編號分別為7,8,9,10.現從中任取4個球,下列變量服從超幾何分布的是(　　)
A.X表示取出球的最大號碼
B.Y表示取出球的最小號碼
C.取出一個黑球記2分,取出一個白球記1分,Z表示取出的4個球的總得分
D.T表示取出的黑球個數
2.(教材習題改編)一袋中裝有大小、質地均相同的5個白球,3個黃球和2個黑球,從中任取3個球,則至少含有1個黑球的概率是(　　)
A.
3.若隨機變量X~H(3,2,10),則P(X=1)=　　　　.
4.在10件產品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品,從這10件產品中任取3件,求:
(1)取出的3件產品中一等品件數為X的概率分布;
(2)取出的3件產品中一等品件數多于二等品件數的概率.
題組二　超幾何分布的數學期望
5.學校要從5名男生和3名女生中隨機抽取2人參加社區志愿者服務,若用X表示抽取的志愿者中女生的人數,則E(X)=(　　)
A.　　　　D.1
6.已知6件產品中有2件次品,4件正品,檢驗員從中隨機抽取3件進行檢測,記取到的正品數為X,則下列結論正確的是(　　)
A.E(2X-1)= B.D(X)=
C.E(X)=1 D.D(2X-1)=
7.某班為了慶祝中秋節,設計了一個小游戲:在一個不透明箱中裝有4個黑球,3個紅球和1個黃球,這些球除顏色外完全相同.每名學生從中一次隨機摸出3個球,觀察顏色后放回.若摸出的球中有X個紅球,則分得X個月餅;若摸出的球中有黃球,則需要表演一個節目.
(1)求一學生既分得月餅又要表演節目的概率;
(2)求每名學生分得月餅數的概率分布和數學期望.
能力提升練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　超幾何分布的應用
1.(多選題)北京冬奧會之后,某市多個中小學開展了冬奧會項目科普活動.為了調查學生對冬奧會項目的了解情況,在該市中小學中隨機抽取了10所學校中的部分同學,10所學校中了解冬奧會項目的人數如圖所示:
若從這10所學校中隨機選取3所學校進行冬奧會項目的宣講活動,記X為被選中的學校中了解冬奧會項目的人數在30以上的學校數,則下列說法中正確的是(　　)
A.X的可能取值為0,1,2,3
B.P(X=0)=
C.E(X)=1.2
D.D(X)=
2.有40件產品,其中有10件次品,從中不放回地抽18件產品,最可能抽到的次品數是　　　　.
3.某市移動公司為了提高服務質量,決定對使用A,B兩種套餐的集團用戶進行調查,準備從本市n(n∈N*)個人數超過1 000的大集團和3個人數低于200的小集團中隨機抽取若干個集團進行調查,若一次抽取2個集團,全是大集團的概率為.
(1)在取出的2個集團是同一類集團的情況下,求全為小集團的概率;
(2)若一次抽取3個集團,假設取出大集團的個數為X,求X的概率分布和數學期望.
4.某商場舉行有獎促銷活動,顧客每購買滿400元的商品即可抽獎一次.抽獎規則如下:抽獎者擲各面標有1~6點數的正方體骰子1次,若擲得的點數不大于4,則可繼續在抽獎箱中抽獎;否則獲得三等獎,結束抽獎.已知抽獎箱中裝有2個紅球和m(m≥2,m∈N*)個白球,抽獎者從箱中任意摸出2個球,若2個球均為紅球,則獲得一等獎,若2個球為1個紅球和1個白球,則獲得二等獎,否則,獲得三等獎(抽獎箱中的所有小球除顏色外均相同).
(1)若m=4,求顧客參加一次抽獎活動獲得三等獎的概率;
(2)若一等獎可獲獎金400元,二等獎可獲獎金300元,三等獎可獲獎金100元,記顧客一次抽獎所獲得的獎金為X元,若商場希望X的數學期望不超過150,求m的最小值.
題組二　超幾何分布與二項分布的綜合應用
5.為推動黨史學習教育工作扎實開展,營造“學黨史、悟思想、辦實事、開新局”的濃厚氛圍,某校黨委決定在教師黨員中開展“學黨史”知識競賽.該校理綜支部經過層層篩選,還有最后一個參賽名額要在甲、乙兩名教師中產生,支部書記設計了兩種測試方案供兩名教師選擇.
方案一:從裝有6個不同問題的紙盒中依次有放回地抽取4個問題作答;
方案二:從裝有6個不同問題的紙盒中依次不放回地抽取4個問題作答.
已知這6個問題中,甲、乙兩名教師都能正確回答其中的4個問題,且甲、乙兩名教師對每個問題回答正確與否都是相互獨立、互不影響的.假設甲教師選擇方案一,乙教師選擇方案二.
(1)求甲、乙兩名教師都只答對2個問題的概率;
(2)若測試過程中每名教師答對1個問題得2分,答錯得0分.你認為安排哪名教師參賽比較合適 請說明理由.
6.隨著網絡的快速發展,電子商務成為新的經濟增長點,市場競爭也日趨激烈,除了產品品質外,客服團隊良好的服務品質也是電子商務的核心競爭力,衡量一位客服工作能力的重要指標——詢單轉化率,是指咨詢該客服的顧客中成交人數占比,可以看成一位顧客咨詢該客服后成交的概率.已知某網店共有10位客服,按詢單轉化率分為A,B兩個等級如表所示:
等級 A B
詢單轉化率 [70%,90%) [50%,70%)
人數 6 4
視A,B等級客服的詢單轉化率分別為對應區間的中點值,完成下列兩個問題的解答:
(1)現從這10位客服中任意抽取4位進行培訓,設抽取的A等級客服的人數為X,求隨機變量X的概率分布,并求這4人的詢單轉化率的中位數不低于70%的概率;
(2)已知該網店日均咨詢顧客約為1萬人,為保證服務質量,每位客服日接待顧客的數量不超過1 300人,在網店的前期經營中,進店咨詢的每位顧客由系統等可能地安排給任一位客服接待,為了提升店鋪成交量,網店實施改革,經系統調整,進店咨詢的每位顧客被任一位A等級客服接待的概率為a,被任一位B等級客服接待的概率為b,若希望改革后經咨詢日均成交人數至少比改革前增加300,則a應該控制在什么范圍內
答案與分層梯度式解析
8.2.4　超幾何分布
基礎過關練
1.CD 2.B 5.C 6.D
1.CD　
2.B　至少含有1個黑球的概率是.故選B.
3.答案　
解析　因為X~H(3,2,10),
所以P(X=1)=.
4.解析　(1)由題意得X的可能取值為0,1,2,3,
則P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的概率分布為
X 0 1 2 3
P
(2)設“取出的3件產品中一等品件數多于二等品件數”為事件A,“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1,“恰好取出2件一等品”為事件A2,“恰好取出3件一等品”為事件A3.
事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1∪A2∪A3,
P(A1)=,
P(A2)=P(X=2)=,
P(A3)=P(X=3)=,
所以取出的3件產品中一等品件數多于二等品件數的概率為P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=.
5.C　由題意可得,X的可能取值為0,1,2,
則P(X=0)=,
P(X=2)=,
故E(X)=0×.故選C.
6.D　解法一:根據題意可得,X的可能取值為1,2,3,且X服從超幾何分布,
則P(X=1)=,
P(X=3)=,
所以E(X)=1×=2,
D(X)=(1-2)2×,
E(2X-1)=2E(X)-1=2×2-1=3,
D(2X-1)=4D(X)=,故選D.
解法二:根據題意知,X服從超幾何分布H(3,4,6),
所以E(X)=,
所以E(2X-1)=2E(X)-1=2×2-1=3,D(2X-1)=4D(X)=,故選D.
知識總結　超幾何分布的期望與方差
若X~H(n,M,N),則E(X)=.
7.解析　(1)記“一學生既分得月餅又要表演節目”為事件A,
由題可知有兩種可能:“2個紅球,1個黃球”和“1個黑球,1個紅球,1個黃球”,
所以P(A)=.
(2)由題意可知,X的可能取值為0,1,2,3,
則P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的概率分布為
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0×.
能力提升練
1.ACD　由題圖可得,這10所學校中了解冬奧會項目的人數在30以上的有4所,則X的可能取值為0,1,2,3,故A正確;
易知X~H(3,4,10),且P(X=k)=(k=0,1,2,3),則P(X=0)=,故B錯誤;
E(X)==1.2,故C正確;
D(X)=(0-1.2)2×,故D正確.
故選ACD.
2.答案　4
解析　設抽到的次品數為X,易知X服從超幾何分布,
假設抽到次品數為n的概率最大,
則有
即
解得≤n≤,
又n∈N*,所以n=4,
故最可能抽到的次品數是4.
3.解析　(1)由題意知共有(n+3)個集團,取出2個集團的方法總數是,其中全是大集團的取法有種,故一次抽取2個集團全是大集團的概率為,
整理,得9n2-39n-30=0,解得n=5或n=-(舍去).
若取出的2個全是大集團,則有=10種情況;若取出的2個全是小集團,則有=3種情況,
故在取出的2個集團是同一類集團的情況下,全為小集團的概率為.
(2)由題意得,X的可能取值為0,1,2,3,
則P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的概率分布為
X 0 1 2 3
P
則E(X)=0×.
4.信息提取　①若擲得的點數不大于4,則可繼續在抽獎箱中抽獎,否則獲得三等獎,結束抽獎;②若2個球均為紅球,則獲得一等獎,若2個球為1個紅球和1個白球,則獲得二等獎,否則,獲得三等獎.
數學建模　根據紅球的個數判斷獲得的獎項可知其概率模型為超幾何分布.(1)顧客獲得三等獎分為兩種情況,利用古典概型求概率;(2)先根據骰子的點數判斷是獲得三等獎還是繼續抽獎,然后根據顧客摸出小球的情況得到X的取值和對應的概率,利用X的數學期望不超過150求出m的最小值.
解析　(1)設顧客獲得三等獎為事件A,則事件A有兩種情況:
顧客擲骰子擲得的點數大于4,其概率為;
顧客擲骰子擲得的點數不大于4,且摸出的2個球均為白球,其概率為,
所以P(A)=.
故當m=4時,顧客參加一次抽獎活動獲得三等獎的概率為.
(2)由題意得,X的可能取值為100,300,400,
則P(X=100)=,
P(X=300)=,
P(X=400)=,
故E(X)=100P(X=100)+300P(X=300)+400×P(X=400)=,
由題意可得,E(X)≤150,即3m2-23m-18≥0,
又m≥2,m∈N*,所以m≥9,
即m的最小值為9.
5.解析　(1)設甲、乙兩名教師都只答對2個問題分別為事件A與事件B,
則P(A)=.
(2)設甲教師得了X分,則答對題數為,
故E(X)=2E,
設乙教師得了Y分,則Y的可能取值為4,6,8,
則P(Y=4)=,
P(Y=8)=,
則E(Y)=4×,
D(Y)=,
因為E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以乙教師發揮更穩定,故選擇乙教師參賽比較合適.
6.解析　(1)依題意,A,B等級客服的詢單轉化率分別為80%,60%,X的可能取值為0,1,2,3,4,且X服從超幾何分布,
則P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=,
所以X的概率分布為
X 0 1 2 3 4
P
當X=0時,4人的詢單轉化率分別為60%,60%,60%,60%,其中位數為60%;
當X=1時,4人的詢單轉化率分別為60%,60%,60%,80%,其中位數為60%;
當X=2時,4人的詢單轉化率分別為60%,60%,80%,80%,其中位數為70%;
當X=3時,4人的詢單轉化率分別為60%,80%,80%,80%,其中位數為80%;
當X=4時,4人的詢單轉化率分別為80%,80%,80%,80%,其中位數為80%.
所以當X≥2時,這4人的詢單轉化率的中位數不低于70%,
所以P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-.
(2)設改革前、后A等級客服的接待顧客人數分別為Y,Z,則改革前每位進店咨詢的顧客被A等級客服接待的概率P1=,
所以Y~B=6 000.
因為A,B等級客服的詢單轉化率分別為80%,60%,
所以改革前日均成交人數為6 000×80%+(10 000-6 000)×60%=7 200.
改革后,每位進店咨詢的顧客被A等級客服接待的概率P2=6a,
所以Z~B(10 000,6a),則E(Z)=10 000×6a=60 000a,
故改革后日均成交人數為60 000a×80%+(10 000-60 000a)×60%=12 000a+6 000.
令12 000a+6 000≥7 200+300,解得a≥.①
由題意可得,6a+4b=1,所以b=.
因為每位客服日接待顧客的數量不超過1 300人,
所以②
由①②,得,
所以a應該控制在內.
1(共9張PPT)
8.2.4 超幾何分布
必備知識 清單破
　　對一般情形,一批產品共N件,其中有M件不合格品,隨機取出的n件產品中,不合格品數X 的概率分布如表所示.
知識點 1 超幾何分布
X 0 1 2 … l
P …
其中l=min{n,M}.
一般地,若一個隨機變量X的分布列為P(X=r)= ,其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,r=m,m+1,
m+2,…,l,m=max{0,n-N+M},l=min{n,M},則稱X服從超幾何分布,記為X~H(n,M,N),并將P(X=r)= 記為H(r;n,M,N).
　　注:r為樣本中不合格品數,n為樣本容量,M為不合格品總數,N為總體中的個體總數.
　　一般地,當X~H(n,M,N)時,E(X)= kPk= ,其中l=min{n,M}.
知識點 2 超幾何分布的均值
知識辨析
1.如何判斷一個隨機變量是否服從超幾何分布
2.超幾何分布和二項分布的關系是怎樣的
3.在超幾何分布中,隨機變量X的取值r的最大值一定是不合格品總數M嗎
一語破的
1.(1)總體是否可分為兩類明確的對象;
(2)是不是不放回抽樣;
(3)隨機變量是不是樣本中其中一類個體的個數.
2.超幾何分布與二項分布都是隨機變量取非負整數值的離散型概率分布,但超幾何分布需要 知道總體容量,是“不放回”抽取,二項分布不需要知道總體容量,是“有放回”抽取(獨立重 復).當總體容量N非常大時,超幾何分布可近似地看作二項分布,并且隨著N的增加,這種近似 的精確度也會增加.
3.不一定.當抽取的產品的件數n不大于總體中的不合格品總數M時,r的最大值為n.
關鍵能力 定點破
　
利用超幾何分布模型解決實際問題的一般步驟
(1)辨模型:結合實際情境分析是不是不放回抽樣,且所求概率分布問題的總體是由差異明顯 的兩部分組成,如“男生、女生”“正品、次品”等,只有具有該特征的概率模型才可能為 超幾何分布模型.
(2)算概率:可以直接借助公式P(X=r)= 求解,也可以利用排列組合及概率知識求解,借
助公式求解時應明確參數M,N,n,r的含義.
(3)寫出概率分布,并解決相關問題.
定點 超幾何分布的應用
典例 一個盒子中有10個球,其中3個紅球,7個白球.從這10個球中任取3個.
(1)若采用無放回抽取,求取出的3個球中紅球的個數X的概率分布及數學期望;
(2)若采用有放回抽取,求取出的3個球中紅球的個數Y的概率分布及數學期望.
解析 (1)由題意知,X的所有可能取值為0,1,2,3,
則P(X=0)= = = ;
P(X=1)= = = ;
P(X=2)= = = ;
P(X=3)= = .
∴X的概率分布為
X 0 1 2 3
P
故E(X)=0× +1× +2× +3× = .
(2)由題意知,Y~B ,
則P(Y=0)= × = ;
P(Y=1)= × × = ;
P(Y=2)= × × = ;
P(Y=3)= × = .
∴Y的概率分布為
Y 0 1 2 3
P
E(Y)=3× = .

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